Математика для воспитателей

МАТЕМАТИКА

Н.И. Фрейлах

Допущено Министерством образования и науки

Российской Федерации в качестве учебника для студентов

учреждений среднего профессионального образования

УЧЕБНИК

2-е издание, переработанное и дополненное

Москва 

ИД «ФОРУМ» — ИНФРА-М

2019

ДЛЯ ВОСПИТАТЕЛЕЙ

УДК 372.851(075.32)
ББК 22.1я723
 
Ф86

Фрейлах Н.И.

Ф86  
Математика для воспитателей : учебник / Н.И. Фрейлах. — 2-е изд., 

перераб. и доп. — М. : ИД «ФОРУМ» : ИНФРА-М, 2019. — 136 с. — 
(Среднее профессиональное образование).

ISBN 978-5-8199-0767-2 (ИД «ФОРУМ»)
ISBN 978-5-16-013723-0 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-101633-6 (ИНФРА-М, online)

Учебник содержит теоретический материал, практические задания, 

вопросы для самоконтроля и задания для самостоятельной работы обучающихся. В приложении представлены вопросы и задания для итоговой 
аттестации (экзамена) студентов, опорные конспекты для систематизации 
приобретаемых знаний.

Учебник предназначен для студентов, имеющих математическую под
готовку средней школы и изучающих математику ЕН.01 как дисциплину 
цикла «Математический и общий естественно-научный цикл». В курсе 
раскрываются некоторые вопросы логики, теории множеств, теории величин, теории чисел, геометрический материал, понятие текстовой задачи.

Учебник написан в соответствии с Федеральным государственным 

образовательным стандартом среднего профессионального образования 
для студентов педагогических колледжей, обучающихся по специальностям 44.02.01 «Дошкольное образование» и 44.02.04 «Специальное дошкольное образование».

Книга может быть полезна воспитателям детских садов, групп продлен
ного дня и родителям, желающим грамотно осуществлять математическое 
развитие детей и помощь в изучении математики.

УДК 372.851(075.32)

ББК 22.1я723

Р е ц е н з е н т ы:

Л.П. Стойлова — кандидат педагогических наук, профессор, заведу
ющая кафедрой математики и методики ее преподавания в начальной 
школе Московского городского педагогического университета;

А.С. Ходос — кандидат экономических наук, преподаватель мате
матики Педагогического колледжа № 16 г. Москвы, доцент кафедры 
высшей математики Московского технологического университета 
(МИРЭА)

ISBN 978-5-8199-0767-2 (ИД «ФОРУМ»)
ISBN 978-5-16-013723-0 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-101633-6 (ИНФРА-М, online)

© Фрейлах Н.И., 2016
© ИД «ФОРУМ», 2016

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ

Ñâîåâðåìåííîå ìàòåìàòè÷åñêîå ðàçâèòèå äîøêîëüíèêîâ, óñïåøíîå èçó÷åíèå ìàòåìàòèêè ó÷àùèìèñÿ â øêîëå âî ìíîãîì çàâèñèò îò
ïðîôåññèîíàëüíûõ çíàíèé è óìåíèé âîñïèòàòåëåé äåòñêèõ ñàäîâ è
âîñïèòàòåëåé ãðóïï ïðîäëåííîãî äíÿ â øêîëå. Ïðåæäå ÷åì ðåøàòü,
êàê ó÷èòü, íàäî çíàòü, ÷åìó ó÷èòü. Âëàäåíèå ïðåäìåòîì èçó÷åíèÿ
íåîáõîäèìî íå òîëüêî ó÷èòåëþ, íî è âîñïèòàòåëþ, ó÷àñòâóþùåìó â
ðàçâèòèè ðåáåíêà. Ìàòåìàòèêà — íàóêà, êîòîðóþ èçîáðåë ÷åëîâåê â
ïðîöåññå ñâîåãî ðàçâèòèÿ äëÿ ðåøåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷. Áåç èñïîëüçîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé íå îáõîäèòñÿ íè îäíà íàóêà, äà
è âñå æèçíåííûå ïðîáëåìû ëåã÷å ðåøàþòñÿ ïîñðåäñòâîì ìàòåìàòèêè. Äàòü ýòîò èíñòðóìåíò â ðóêè äåòÿì, ñôîðìèðîâàòü îñíîâû íàó÷íîãî ìèðîâîççðåíèÿ — îäíà èç çàäà÷ âçðîñëûõ.
Îñíîâíàÿ åãî öåëü — ïîâûñèòü îáùåîáðàçîâàòåëüíûé è êóëüòóðíûé óðîâåíü áóäóùèõ âîñïèòàòåëåé, äàòü âîçìîæíîñòü îñóùåñòâëÿòü ïðèíöèï íàó÷íîñòè â ðàáîòå ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó ðàçâèòèþ
äåòåé.
Çàäà÷è êóðñà:
1. Âûÿâèòü ìåñòî ìàòåìàòèêè ñðåäè äðóãèõ íàóê è åå èñïîëüçîâàíèå â ðàçëè÷íûõ ñôåðàõ æèçíè.
2. Ðàñøèðèòü çíàíèÿ íàó÷íûõ îñíîâ ïðåäìåòà (ýëåìåíòû ëîãèêè, òåîðèè ìíîæåñòâ, ÷èñåë, âåëè÷èí, ýëåìåíòû ãåîìåòðèè).
3. Ñîçäàòü íåîáõîäèìóþ áàçó äëÿ èçó÷åíèÿ êóðñîâ ÌÄÊ.03.04.
«Òåîðèÿ è ìåòîäèêà ìàòåìàòè÷åñêîãî ðàçâèòèÿ» (ñïåöèàëüíîñòè
050114) è ÌÄÊ.02.06. «Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû è ìåòîäèêà ìàòåìàòè÷åñêîãî ðàçâèòèÿ äîøêîëüíèêîâ» (ñïåöèàëüíîñòè 050710) è ïðîôåññèîíàëüíîé äåÿòåëüíîñòè (ðàçâèòèÿ âîñïèòàíèÿ è îáðàçîâàíèÿ
äåòåé).
Äëÿ öåëåíàïðàâëåííîé è ïëîäîòâîðíîé ðàáîòû âîñïèòàòåëþ îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ è ñïåöèàëüíûõ ó÷ðåæäåíèé íåîáõîäèìî çíàòü
ñóòü ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé, êîòîðûå ôîðìèðóþòñÿ ó äåòåé
â äîøêîëüíîì è øêîëüíîì âîçðàñòå.
Áîëüøîå âíèìàíèå â äàííîì êóðñå óäåëÿåòñÿ âîïðîñàì ëîãèêè è
ýëåìåíòàì òåîðèè ìíîæåñòâ, êîòîðûå íå èçó÷àþòñÿ â ÿâíîì âèäå â
ñðåäíåé øêîëå, íî ÿâëÿþòñÿ íå òîëüêî ôóíäàìåíòîì âñåé ìàòåìàòèêè, íî îñíîâîé ìàòåìàòè÷åñêîãî ðàçâèòèÿ ðåáåíêà è ôîðìèðîâàíèÿ
âñåõ âèäîâ äåÿòåëüíîñòè. Ëåêöèè î ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóðàõ, âåëè÷èíàõ, íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ ðàñøèðÿþò è ñèñòåìàòèçèðóþò øêîëüíûå çíàíèÿ, ÷òî îáåñïå÷èò âîçìîæíîñòü ãðàìîòíî îñóùåñòâëÿòü ïîìîùü äåòÿì â èçó÷åíèè ìàòåìàòèêè. Ôîðìèðîâàíèå óìåíèÿ ðåøàòü
çàäà÷è — îäíî èç óñëîâèé óñïåøíîãî îáó÷åíèÿ â øêîëå. Ýòîé ïðî

áëåìå ïîñâÿùåíà ïîñëåäíÿÿ ëåêöèÿ, êîòîðàÿ ðàñêðûâàåò ïîíÿòèå
òåêñòîâîé çàäà÷è è åå ðåøåíèÿ.
Óìåíèå
ïîëüçîâàòüñÿ
ìàòåìàòè÷åñêèìè
ìåòîäàìè
ïîçíàíèÿ,
âëàäåíèå ìàòåìàòè÷åñêèì ÿçûêîì, ñôîðìèðîâàííîñòü ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé, çíàíèå îñíîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîíÿòèé è èõ
âçàèìîñâÿçåé íåîáõîäèìî âîñïèòàòåëþ äëÿ îñóùåñòâëåíèÿ íå òîëüêî îáðàçîâàòåëüíûõ, íî è îáùåðàçâèâàþùèõ è êîððåêöèîííûõ çàäà÷ â ïðîöåññå âîñïèòàíèÿ äåòåé.
Äàííîå ïîñîáèå ïîìîæåò íå òîëüêî ñòóäåíòàì â èçó÷åíèè ïðåäìåòà, íî è ïðåïîäàâàòåëÿì â îðãàíèçàöèè ó÷åáíîãî ïðîöåññà.  ñèëó íåáîëüøîãî êîëè÷åñòâà ÷àñîâ, ïðåäóñìîòðåííîãî ó÷åáíûì ïëàíîì äëÿ
èçó÷åíèÿ äàííîãî êóðñà, òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë èçëàãàåòñÿ â ñæàòîé
ôîðìå. Ïðè
ïðîâåäåíèè ëåêöèé íåîáõîäèìî îñóùåñòâëÿòü äåÿòåëüíîñòíûé ïîäõîä â îáó÷åíèè, ñòóäåíòû äîëæíû àêòèâíî ó÷àñòâîâàòü â
îáñóæäåíèè ìàòåðèàëà, ïðèìåíÿòü ñâîè çíàíèÿ â ïðàêòè÷åñêîé ðàáîòå, èñïîëüçîâàòü èìåþùèåñÿ çíàíèÿ øêîëüíîé ïðîãðàììû ïî ìàòåìàòèêå. Ëåêöèîííûé ìàòåðèàë ñíàáæåí çàäàíèÿìè, â ïðîöåññå êîòîðûõ ñòóäåíòû èñïîëüçóþò çíàíèÿ ïðåäûäóùèõ ëåêöèé è îõâàòûâàþò
âîïðîñû, êîòîðûå áóäóò èçó÷àòüñÿ â áóäóùåì. Òàêèì îáðàçîì îñóùåñòâëÿåòñÿ âçàèìîñâÿçü òåîðåòè÷åñêîãî è ïðàêòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà.
Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ ìîòèâàöèè â îáó÷åíèè íà ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèÿõ ïðåäëàãàþòñÿ äëÿ îáñóæäåíèÿ âîïðîñû («Âîïðîñû äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû»), ñâÿçàííûå ñ ïðîôåññèîíàëüíîé äåÿòåëüíîñòüþ,
ðàñêðûâàþùèå íåîáõîäèìîñòü íàó÷íûõ çíàíèé ïðåäìåòà, çàäàíèÿ
äëÿ ïîâûøåíèÿ îáùåé ýðóäèðîâàííîñòè. Îïîðíûå êîíñïåêòû ïîìîãóò ñèñòåìàòèçèðîâàòü è îáîáùèòü ïîëó÷åííûå çíàíèÿ, óïðîñòÿò
ïðîöåññ
çàïîìèíàíèÿ
èçó÷åííîãî.
Âîïðîñû
äëÿ
ñàìîêîíòðîëÿ
(â êîíöå êàæäîé òåìû) è èòîãîâîãî êîíòðîëÿ (â ïðèëîæåíèè) ìîãóò
èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ òåêóùèõ çà÷åòîâ è ýêçàìåíà. Ñòóäåíòû èìåþò
âîçìîæíîñòü ñàìîñòîÿòåëüíî ïîäãîòîâèòüñÿ è ïðîêîíòðîëèðîâàòü
ñåáÿ, ÷òî àêòèâèçèðóåò èõ ïîçíàâàòåëüíóþ äåÿòåëüíîñòü è ñòèìóëèðóåò ê ñàìîîáðàçîâàíèþ. Èçó÷åíèå äàííîãî êóðñà ìîæåò áûòü áàçîé äëÿ
äàëüíåéøåãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ. Æåëàþùèå ðàñøèðèòü
ñâîè çíàíèÿ ìîãóò âîñïîëüçîâàòüñÿ ëèòåðàòóðîé, óêàçàííîé â êîíöå
ïîñîáèÿ.
Ïðè ðàçðàáîòêå ó÷åáíèêà àâòîð îïèðàëñÿ íà ñîâðåìåííûå ïðîãðàììû
øêîëüíûõ
è
äîøêîëüíûõ
îáðàçîâàòåëüíûõ
ó÷ðåæäåíèé
(â òîì ÷èñëå ñïåöèàëüíûõ), ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèå ïîñîáèÿ ïî ìàòåìàòèêå, ìåòîäèêå ìàòåìàòè÷åñêîãî ðàçâèòèÿ äîøêîëüíèêîâ, ìåòîäèêå ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòèêè â íà÷àëüíûõ êëàññàõ. Àâòîð áëàãîäàðåí Ë.Ï. Ñòîéëîâîé çà ïîìîùü, çàìå÷àíèÿ è ïîëåçíûå ñîâåòû, êîòîðûå ñûãðàëè áîëüøóþ ðîëü ïðè íàïèñàíèè äàííîãî ïîñîáèÿ.

4
ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ

ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ìàòåìàòèêà è åå ðîëü â æèçíè îáùåñòâà

«Òîò, êòî íå çíàåò ìàòåìàòèêè, íå
ìîæåò óçíàòü íèêàêîé äðóãîé íàóêè è
äàæå îáíàðóæèòü ñâîåãî íåâåæåñòâà».
Ðîäæåð Áýêîí
(àíãëèéñêèé ôèëîñîô
è åñòåñòâîèñïûòàòåëü, îê. 1214—92)

Âîñïèòàòåëþ øêîëüíûõ è äîøêîëüíûõ ó÷ðåæäåíèé íóæíî çíàòü
ìíîãèå ïåäàãîãè÷åñêèå íàóêè: ïåäàãîãèêó, ïñèõîëîãèþ, äåôåêòîëîãèþ è äð.; íåîáõîäèìî âëàäåòü ðàçëè÷íûìè ìåòîäèêàìè, â ÷àñòíîñòè — ìàòåìàòè÷åñêîãî ðàçâèòèÿ äåòåé, à äëÿ ýòîãî íóæíî ðàçáèðàòüñÿ â ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîíÿòèÿõ, âëàäåòü ìàòåìàòè÷åñêèì ÿçûêîì, èìåòü çàïàñ ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé, óìåíèé è íàâûêîâ.
Èçó÷åíèå íàó÷íûõ îñíîâ êóðñà ìàòåìàòèêè: ýëåìåíòîâ ëîãèêè,
òåîðèè ìíîæåñòâ, òåîðèè ÷èñåë, òåîðèè âåëè÷èí, ýëåìåíòîâ ãåîìåòðèè ïîìîæåò îñóùåñòâèòü ïðèíöèï íàó÷íîñòè â ðàáîòå ñ äåòüìè,
ëîãè÷íî ñòðîèòü ðàññóæäåíèÿ, ãðàìîòíî ðàñêðûâàòü ìàòåìàòè÷åñêèå
ïîíÿòèÿ, ïðàâèëüíî ôîðìèðîâàòü ìàòåìàòè÷åñêèå óìåíèÿ. Çíàêîìñòâî ñ èñòîðèåé âîçíèêíîâåíèÿ è ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè ðàñøèðèò
êðóãîçîð ïåäàãîãîâ, äàñò âîçìîæíîñòü ïðîÿâèòü ñâîþ ýðóäèöèþ â
îáùåíèè ñ ðåáåíêîì.

Ìàòåìàòèêà
—
íàóêà
î
êîëè÷åñòâåííûõ
îòíîøåíèÿõ
è
ïðîñòðàíñòâåííûõ ôîðìàõ äåéñòâèòåëüíîãî ìèðà.
Ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû: ìíîæåñòâà, ÷èñëà, âåëè÷èíû, ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû è äð.
Ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ:
àáñòðàãèðîâàíèå
—
ìûñëåííîå
îòâëå÷åíèå
îò
ðÿäà
ñòîðîí,
ñâîéñòâ èëè ñâÿçåé ïðåäìåòîâ è ÿâëåíèé äëÿ âûäåëåíèÿ èõ ñóùåñòâåííûõ ïðèçíàêîâ;
èäåàëèçàöèÿ — ìûñëåííîå ïðåäñòàâëåíèå èäåàëüíûõ îáúåêòîâ,
íå ñóùåñòâóþùèõ â äåéñòâèòåëüíîñòè (òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü,
÷èñëî è äð.);

ìîäåëèðîâàíèå — ïîñòðîåíèå ìîäåëåé è èññëåäîâàíèå îáúåêòîâ
íà èõ ìîäåëÿõ.
Ìàòåìàòèêà êàê íàóêà èçó÷àåò îêðóæàþùèé íàñ ìèð, ïðèðîäíûå è îáùåñòâåííûå ÿâëåíèÿ. Íî â îòëè÷èå îò äðóãèõ íàóê, ìàòåìàòèêà èçó÷àåò èõ îñîáûå ñâîéñòâà, îòâëåêàÿñü îò äðóãèõ. Òàê, ãåîìåòðèÿ èçó÷àåò ôîðìó è ðàçìåðû ïðåäìåòîâ, íå ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå,
íàïðèìåð, èõ öâåò. Âîîáùå ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû (ãåîìåòðè÷åñêàÿ ôèãóðà, ÷èñëî, âåëè÷èíà) ñîçäàíû ÷åëîâå÷åñêèì óìîì è ñóùåñòâóþò ëèøü â ìûøëåíèè ÷åëîâåêà, â çíàêàõ è ñèìâîëàõ, êîòîðûå
îáðàçóþò ìàòåìàòè÷åñêèé ÿçûê. Àáñòðàêòíîñòü ìàòåìàòèêè ïîçâîëÿåò ïðèìåíÿòü åå¸ â ñàìûõ ðàçíûõ îáëàñòÿõ, îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
ìîãóùåñòâåííûé èíñòðóìåíò äëÿ ïîçíàíèÿ ïðèðîäû.
Ïîÿâëåíèå ïåðâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîíÿòèé ñâÿçàíî ñ ïîÿâëåíèåì àáñòðàêòíîé ìûñëè âîîáùå. Àðõåîëîãè÷åñêèå ðàñêîïêè ñâèäåòåëüñòâóþò î íàëè÷èè ïðèìèòèâíîãî àáñòðàêòíîãî ìûøëåíèÿ ó ïåðâîáûòíîãî ÷åëîâåêà. Íà ïðîòÿæåíèè òûñÿ÷åëåòèé â ïðîöåññå ñâîåé
ïðàêòè÷åñêîé äåÿòåëüíîñòè ÷åëîâåê âûðàáàòûâàë òàêèå ïîíÿòèÿ,
êàê: «îäèí — ìíîãî»,
«áîëüøå — ìåíüøå», ïîíÿòèÿ, îòðàæàþùèå
ôîðìó, âåëè÷èíó, ïðîñòðàíñòâåííîå ðàñïîëîæåíèå ïðåäìåòîâ è äð.
Ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ ïîëó÷èëè ñâîå äàëüíåéøåå ðàçâèòèå âñëåäñòâèå
ðàñøèðåíèÿ ïîòðåáíîñòåé ÷åëîâåêà, ðàçâèòèÿ çåìëåäåëèÿ, ñòðîèòåëüñòâà è ïð. Ñóùåñòâóåò ìíåíèå, ÷òî ìàòåìàòèêà, òàê æå êàê ïîýçèÿ, æèâîïèñü, ìóçûêà, áûëà âûçâàíà ê æèçíè íå òîëüêî ïðàêòè÷åñêèìè, íî è äóõîâíûìè ïîòðåáíîñòÿìè ÷åëîâåêà, åãî ñòðåìëåíèåì ê
ïîçíàíèþ, êðàñîòå è ãàðìîíèè, à ãëàâíîå — äîêàçàòåëüñòâó.
×òî æå äàëà ìàòåìàòèêà ÷åëîâå÷åñòâó? Ìíîãèå êðóïíåéøèå ó÷åíûå âèäÿò åå ãëàâíóþ çàäà÷ó â ñîäåéñòâèè îáúÿñíåíèþ çàêîíîâ ïðèðîäû. Ñîþç ìàòåìàòèêè è íàóê î ïðèðîäå (ôèçèêè, õèìèè, áèîëîãèè è äð.) ñäåëàë âîçìîæíûì ìíîãèå âåëè÷àéøèå îòêðûòèÿ (çàêîíû
äâèæåíèÿ ïëàíåò, òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè, òàáëèöà Ìåíäåëååâà,
ôîðìóëû ÄÍÊ è ìí. äð.). Ìàòåìàòèêà ñëóæèò áàçîé äëÿ èíæåíåðíûõ íàóê, áåç íåå íåâîçìîæíî ñòðîèòåëüñòâî çäàíèé, ìîñòîâ, ýëåêòðîñòàíöèé, ïîåçäîâ, ñàìîëåòîâ, ðàêåò . Ïîòðåáíîñòü ðåøàòü ýòè
ãðàíäèîçíûå çàäà÷è ïðèâåëà ê ñîçäàíèþ êîìïüþòåðîâ. Ìû ÿâëÿåìñÿ ñîâðåìåííèêàìè íîâîé òåõíè÷åñêîé è èíôîðìàöèîííîé ðåâîëþöèè. Òðóäíî íàçâàòü ïðîôåññèþ, ãäå ÷åëîâåê îáõîäèëñÿ áû áåç çíàíèÿ ìàòåìàòèêè.
Äëÿ ÷åãî èçó÷àþò ìàòåìàòèêó? Äîñòèæåíèÿ íàóêè ìàòåìàòèêè
ÿâëÿþòñÿ ÷àñòüþ îáùå÷åëîâå÷åñêîé êóëüòóðû. Êàæäûé äåíü, ðåøàÿ
ëè÷íûå è áûòîâûå ïðîáëåìû (ðàñ÷åò âðåìåíè íà äîðîãó, ïîêóïêà
òîâàðîâ, ïðèãîòîâëåíèå ïèùè, ðåìîíò äîìà è ìí. äð.), ìû èñïîëüçóåì èìåþùèåñÿ ó íàñ ìàòåìàòè÷åñêèå çíàíèÿ. Ìàëåíüêèé ðåáåíîê,

6
ÂÂÅÄÅÍÈÅ

ïîçíàâàÿ îêðóæàþùóþ äåéñòâèòåëüíîñòü, ïðèîáðåòàåò è ïðèìåíÿåò
ïåðâè÷íûå ìàòåìàòè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ î êîëè÷åñòâå, âåëè÷èíå,
ôîðìå è äð. íå òîëüêî áëàãîäàðÿ îáó÷åíèþ, íî è ïîçíàâàòåëüíîìó
èíòåðåñó, ïðèðîäíîé ïîòðåáíîñòè. Èçó÷åíèå ìàòåìàòèêè îêàçûâàåò
îãðîìíîå âëèÿíèå íà èíòåëëåêòóàëüíûå è òâîð÷åñêèå ñïîñîáíîñòè
÷åëîâåêà.

Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû

1. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ ìàòåìàòèêè â ðàçëè÷íûõ ñôåðàõ
æèçíè ÷åëîâå÷åñêîãî îáùåñòâà: ýêîíîìèêå (ñåëüñêîì õîçÿéñòâå è
ïðîìûøëåííîñòè), ïîëèòèêå, èñêóññòâå, äðóãèõ íàóêàõ, äîìàøíåì õîçÿéñòâå è äð.
2. Âûáåðèòå îäíó èç íàóê è ðàñêðîéòå íà åå ïðèìåðå çíà÷åíèå ôðàçû èçâåñòíîãî ñîâåòñêîãî ìàòåìàòèêà Ñîáîëåâà Ñ.Ë. (1908—89 ãã.)
«Ìàòåìàòèêà — ýòî öàðèöà è ñëóæàíêà âñåõ íàóê…».
3. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîíÿòèé â óñòíîì íàðîäíîì òâîð÷åñòâå: ïîñëîâèöàõ, ïîãîâîðêàõ, ñêîðîãîâîðêàõ,
ñ÷èòàëêàõ, ïðèáàóòêàõ, ïåñíÿõ, ñêàçêàõ, çàãàäêàõ è äð.

Ìàòåìàòèêà è åå ðîëü â æèçíè îáùåñòâà
7

ÒÅÌÀ 1
ÝËÅÌÅÍÒÛ ËÎÃÈÊÈ

1.1. Îáúåì è ñîäåðæàíèå ïîíÿòèÿ

Âñÿêèé ìàòåìàòè÷åñêèé îáúåêò îáëàäàåò îïðåäåëåííûìè ñâîéñòâàìè. Íàïðèìåð, êâàäðàò èìååò ÷åòûðå ñòîðîíû, ÷åòûðå ïðÿìûõ
óãëà è äð. Ðàçëè÷àþò ñâîéñòâà ñóùåñòâåííûå è íåñóùåñòâåííûå.
Ñóùåñòâåííîå ñâîéñòâî — ñâîéñòâî, áåç êîòîðîãî îáúåêò íå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü.
Íåñóùåñòâåííîå ñâîéñòâî — ñâîéñòâî,
îòñóòñòâèå êîòîðîãî íå
âëèÿåò íà ñóùåñòâîâàíèå îáúåêòà.
Äëÿ êâàäðàòà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñóíêå 1, ñóùåñòâåííûå ñâîéñòâà: ÀÂ=ÂÑ=ÑD=DÀ, ÀÂ||DÑ, ÀD||ÂÑ; íåñóùåñòâåííûå ñâîéñòâà:
ÀÂ, DÑ — ãîðèçîíòàëüíû, ÀD, ÂÑ — âåðòèêàëüíû.

Åñëè êâàäðàò ïîâåðíóòü, ñîõðàíÿòñÿ òîëüêî ñóùåñòâåííûå ñâîéñòâà, èìåííî îíè è ñîñòàâëÿþò ïîíÿòèå îá îáúåêòå.

Çàäàíèå 1

Íàçîâèòå ñóùåñòâåííûå ñâîéñòâà ôèãóðû, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 2.

Ðàññìîòðèì ïðèìåð äèàëîãà ñ äîøêîëüíèêîì, èñïîëüçóÿ íàãëÿäíûé ìàòåðèàë (ðèñ. 3):
– Îïèøè ëåâóþ ôèãóðó. (Áåëûé òðåóãîëüíèê.)

Ðèñ.1
Ðèñ. 2
Ðèñ. 3

– Îïèøè ïðàâóþ ôèãóðó. (×åðíûé òðåóãîëüíèê.)
– ×åì ôèãóðû ïîõîæè? (Ôîðìîé.)
– ×åì ôèãóðû îòëè÷àþòñÿ? (Öâåòîì.)
– ×òî åñòü ó òðåóãîëüíèêà? (3 ñòîðîíû, 3 óãëà.)
Òàêèì îáðàçîì, äåòè âûÿñíÿþò ñóùåñòâåííûå è íåñóùåñòâåííûå
ñâîéñòâà
ïîíÿòèÿ
«òðåóãîëüíèê».
Ñóùåñòâåííûå
ñâîéñòâà:
«èìåòü òðè ñòîðîíû», «èìåòü òðè óãëà»; íåñóùåñòâåííîå ñâîéñòâî —
öâåò.
Ñîäåðæàíèå ïîíÿòèÿ — ñîâîêóïíîñòü âñåõ ñóùåñòâåííûõ ñâîéñòâ
îáúåêòà.
Êîãäà ãîâîðÿò î ìàòåìàòè÷åñêîì îáúåêòå, èìåþò â âèäó âñþ ñîâîêóïíîñòü îáúåêòîâ, îáîçíà÷àåìûõ îäíèì òåðìèíîì.
Îáúåì ïîíÿòèÿ — ñîâîêóïíîñòü âñåõ îáúåêòîâ, îáîçíà÷àåìàÿ îäíèì òåðìèíîì.
Íàïðèìåð, ñîäåðæàíèå ïîíÿòèÿ «êâàäðàò» — ýòî ñîâîêóïíîñòü
âñåõ ñóùåñòâåííûõ ñâîéñòâ, êîòîðûìè îáëàäàþò êâàäðàòû, à â îáúåì ýòîãî ïîíÿòèÿ âõîäÿò âñå êâàäðàòû, êîòîðûå òîëüêî ìîæíî ïðåäñòàâèòü.
Èòàê, ëþáîå ïîíÿòèå õàðàêòåðèçóåòñÿ:
– òåðìèíîì (íàçâàíèå);
– îáúåìîì;
– ñîäåðæàíèåì.

1.2. Îòíîøåíèå ðîäà è âèäà ìåæäó ïîíÿòèÿìè

Ìàòåìàòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ ìîãóò íàõîäèòüñÿ â ðàçíûõ îòíîøåíèÿõ.
Ïîíÿòèÿ íàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè ðîäà è âèäà, åñëè îáúåì îäíîãî
ïîíÿòèÿ âêëþ÷àåò îáúåì äðóãîãî ïîíÿòèÿ, íî íå ñîâïàäàåò ñ íèì.
Ïðèìåðû:
1) Êâàäðàò è ïðÿìîóãîëüíèê íàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè ðîäà è âèäà,
ãäå ïðÿìîóãîëüíèê — ðîäîâîå ïîíÿòèå, à êâàäðàò — âèäîâîå ïîíÿòèå, òàê êàê âñå êâàäðàòû ÿâëÿþòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêàìè, íî íå âñå
ïðÿìîóãîëüíèêè ÿâëÿþòñÿ êâàäðàòàìè.
2) Îòðåçîê è ïðÿìàÿ íå íàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè ðîäà è âèäà, òàê
êàê îòðåçîê — ýòî ÷àñòü ïðÿìîé, à íå åå ðàçíîâèäíîñòü. Îíè íàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè ÷àñòè è öåëîãî.
Óæå â äîøêîëüíîì âîçðàñòå äåòè ðàíî íà÷èíàþò ïîíèìàòü ðîäîâèäîâûå îòíîøåíèÿ, íå íàçûâàÿ èõ ÿâíî. Íàïðèìåð, âûïîëíÿÿ
çàäàíèå: «Íàçîâè îäíèì ñëîâîì» (ðèñ. 4), îíè ïîäðàçóìåâàþò, ÷òî

1.2. Îòíîøåíèå ðîäà è âèäà ìåæäó ïîíÿòèÿìè
9

ïîíÿòèÿ «êâàäðàò», «ïðÿìîóãîëüíèê», «òðàïåöèÿ», «ðîìá», «ïàðàëëåëîãðàìì» ÿâëÿþòñÿ âèäîâûìè ïî îòíîøåíèþ ê ïîíÿòèþ «÷åòûðåõóãîëüíèê».

Çàäàíèå 2

Íàçîâèòå, êàêèå èç ïåðå÷èñëåííûõ ïîíÿòèé íàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè
ðîäà è âèäà: êðóã, ëîìàíàÿ, òðåóãîëüíèê, îòðåçîê, ìíîãîóãîëüíèê,
ðàäèóñ, îêðóæíîñòü.

Åñëè îáúåìû ïîíÿòèé ñîâïàäàþò, òî ýòè ïîíÿòèÿ òîæäåñòâåííû.
Íàïðèìåð, ïîíÿòèÿ «ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê» è «ðàâíîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê» òîæäåñòâåííû. Â øêîëå íà óðîêàõ ðóññêîãî
ÿçûêà äåòè èçó÷àþò ïîíÿòèå «ñèíîíèìû» — ñëîâà, ðàçëè÷íûå ïî
çâó÷àíèþ, íî òîæäåñòâåííûå ïî ñìûñëó.
Íåêîòîðûå îñîáåííîñòè ðîäîâèäîâûõ îòíîøåíèé ìåæäó ïîíÿòèÿìè
1) Ïîíÿòèÿ ðîäà è âèäà îòíîñèòåëüíû. Îäíî è òî æå ïîíÿòèå
ìîæåò áûòü ðîäîâûì ïî îòíîøåíèþ ê îäíîìó ïîíÿòèþ è âèäîâûì
ïî îòíîøåíèþ ê äðóãîìó. Íàïðèìåð: ïîíÿòèå «ïðÿìîóãîëüíèê» —
ðîäîâîå ê ïîíÿòèþ «êâàäðàò», íî âèäîâîå ê ïîíÿòèþ «÷åòûðåõóãîëüíèê».
2) Äëÿ äàííîãî ïîíÿòèÿ ÷àñòî ìîæíî óêàçàòü íåñêîëüêî ðîäîâûõ
ïîíÿòèé. Íàïðèìåð, äëÿ ïîíÿòèÿ «êâàäðàò» ðîäîâûìè ÿâëÿþòñÿ ïîíÿòèÿ
«ïðÿìîóãîëüíèê», «ðîìá», «÷åòûðåõóãîëüíèê», «ìíîãîóãîëüíèê», «ãåîìåòðè÷åñêàÿ ôèãóðà».
3) Âèäîâîå ïîíÿòèå îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâàìè ðîäîâîãî ïîíÿòèÿ.
Íàïðèìåð: êâàäðàò îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâàìè ïðÿìîóãîëüíèêà.
4) Ó ðîäîâîãî ïîíÿòèÿ áîëüøå îáúåì, íî ìåíüøå ñîäåðæàíèå; ó âèäîâîãî ïîíÿòèÿ áîëüøå ñîäåðæàíèå, íî ìåíüøå îáúåì. Íàïðèìåð, îáúåì
ïîíÿòèÿ «ïðÿìîóãîëüíèê» áîëüøå, ÷åì îáúåì ïîíÿòèÿ «êâàäðàò», òàê
êàê âñå îáúåêòû âòîðîãî ïîíÿòèÿ ÿâëÿþòñÿ è îáúåêòàìè ïåðâîãî ïîíÿòèÿ. Ñîäåðæàíèå ïîíÿòèÿ «ïðÿìîóãîëüíèê» ìåíüøå, ÷åì ñîäåðæàíèå ïîíÿòèÿ «êâàäðàò», òàê êàê êâàäðàò îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâàìè
ïðÿìîóãîëüíèêà è åùå äðóãèìè ñâîéñòâàìè, ïðèñóùèìè òîëüêî åìó.

10
ÝËÅÌÅÍÒÛ ËÎÃÈÊÈ

Ðèñ. 4

1.3. Îïðåäåëåíèå ïîíÿòèé

Äëÿ ðàñïîçíàâàíèÿ îáúåêòà íåîáÿçàòåëüíî ïðîâåðÿòü ó íåãî âñå
ñóùåñòâåííûå ñâîéñòâà, äîñòàòî÷íî ëèøü íåêîòîðûõ. Ýòèì ïîëüçóþòñÿ, êîãäà ïîíÿòèþ äàþò îïðåäåëåíèå.
Îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ — ýòî ëîãè÷åñêàÿ îïåðàöèÿ, êîòîðàÿ ðàñêðûâàåò ñîäåðæàíèå ïîíÿòèÿ ëèáî óñòàíàâëèâàåò çíà÷åíèå òåðìèíà.
Îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ ïîçâîëÿåò îòëè÷àòü îïðåäåëÿåìûå îáúåêòû
îò äðóãèõ îáúåêòîâ. Òàê, íàïðèìåð, îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ «ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê» ïîçâîëÿåò îòëè÷èòü åãî îò äðóãèõ òðåóãîëüíèêîâ.
Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå âèäû îïðåäåëåíèé. Ðàçëè÷àþò ÿâíûå è
íåÿâíûå îïðåäåëåíèÿ (ðèñ. 5).

ßâíûå îïðåäåëåíèÿ èìåþò ôîðìó ðàâåíñòâà äâóõ ïîíÿòèé. Îäíî èç
íèõ íàçûâàþò îïðåäåëÿåìûì, äðóãîå — îïðåäåëÿþùèì.
Íàïðèìåð: «Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê — ýòî òðåóãîëüíèê, ó
êîòîðîãî åñòü ïðÿìîé óãîë». Çäåñü îïðåäåëÿåìîå ïîíÿòèå — «ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê», à îïðåäåëÿþùåå — «òðåóãîëüíèê, ó êîòîðîãî åñòü ïðÿìîé óãîë».
Ñàìûé ðàñïðîñòðàíåííûé âèä ÿâíûõ îïðåäåëåíèé — ýòî îïðåäåëåíèå ÷åðåç ðîä è âèäîâîå îòëè÷èå. Ïðèâåäåííîå âûøå îïðåäåëåíèå
ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà îòíîñèòñÿ ê òàêèì îïðåäåëåíèÿì. Ïîíÿòèå «òðåóãîëüíèê», ñîäåðæàùååñÿ â îïðåäåëÿþùåì ïîíÿòèè, ÿâëÿåòñÿ áëèæàéøèì ðîäîâûì ïîíÿòèåì ïî îòíîøåíèþ ê ïîíÿòèþ «ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê», à ñâîéñòâî «èìåòü ïðÿìîé óãîë» ïîçâîëÿåò
èç âñåõ òðåóãîëüíèêîâ âûäåëèòü îäèí èç âèäîâ — ïðÿìîóãîëüíûé
òðåóãîëüíèê.
Âèäîâîå îòëè÷èå — ñóùåñòâåííîå ñâîéñòâî, êîòîðîå îòëè÷àåò
âèäîâîå ïîíÿòèå îò âñåãî ðîäà.
Ñòðóêòóðà îïðåäåëåíèÿ ÷åðåç ðîä è âèäîâîå îòëè÷èå èçîáðàæåíà
ñõåìàòè÷íî íà ðèñóíêå 6. Ïî äàííîé ñõåìå ìîæíî ñòðîèòü îïðåäåëåíèÿ ïîíÿòèé íå òîëüêî â ìàòåìàòèêå, íî è â äðóãèõ íàóêàõ.

1.3. Îïðåäåëåíèå ïîíÿòèé
11

Ðèñ. 5