Анализ в матричных областях

Монография посвящена комплексному и гармоническому 
анализу в матричных областях многомерного комплексного пространства. Рассмотрены интегральные представления для голоморфных функций, вопросы голоморфного продолжения, построения локального вычета и др.

Г. Худайберганов, А. М. Кытманов,

Б. А. Шаимкулов

АНАЛИЗ
В МАТРИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ

Г. Худайберганов, А. М. Кытманов,
Б. А. Шаимкулов
Анализ в матричных областях

Оглавление 

1 

Министерство образования и науки Российской Федерации 

Сибирский федеральный университет 

Министерство  высшего  и  среднего  специального 

образования  Республики Узбекистан 

Национальный университет Узбекистана 

имени Мирзо Улугбека 

Г. Худайберганов, А. М. Кытманов, Б. А. Шаимкулов 

АНАЛИЗ   

В  МАТРИЧНЫХ  ОБЛАСТЯХ 

Монография 

Красноярск 

СФУ 
2017 

Анализ в матричных областях 

2 

УДК 512.643.4 
ББК 22.161+22.143 
Х98 

Р е ц е н з е н т ы:  
Н. Тарханов, доктор физико-математических наук, профессор Потсдам
ского университета  (Потсдам) 

 А.А. Джалилов, доктор физико-математических наук, профессор 

Туринского политехнического университета (Ташкент) 

Худайберганов, Г. 

Х98              Aнализ в матричных областях : монография / Г. Худайберга
нов, А. М. Кытманов, Б. А. Шаимкулов ; науч. ред. Е. К. Лейнартас. – 
Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2017. –  296  с.          

ISBN 978-5-7638-3550-2 

Монография посвящена комплексному и гармоническому анализу в мат
ричных областях многомерного комплексного пространства. Рассмотрены интегральные представления для голоморфных функций, вопросы голоморфного 
продолжения, построения локального вычета и др.                                       

Предназначена для специалистов по многомерному комплексному анализу.   

 
 
Электронный вариант издания см.: 
http://catalog.sfu-kras.ru 

УДК 512.643.4 
ББК 22.161+22.143 
 
ISBN 978-5-7638-3550-2                                © Сибирский федеральный  
                                                                              университет, 2017 

© Национальный университет  
    Узбекистана имени Мирзо Улугбека, 2017 

Оглавление 

3 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ПРЕДИСЛОВИЕ .................................................................................................. 7 

Г л а в а  1. СТЕПЕННЫЕ  РЯДЫ  И  ГОЛОМОРФНЫЕ  ФУНКЦИИ  
                    ОТ  НЕСКОЛЬКИХ  МАТРИЦ ..................................................... 8 
1. Некоторые матричные области в пространстве 
[
]
n m
m


 ......................... 8 

1.1. Матричный единичный круг .................................................................. 8 
1.2. Матричная верхняя  полуплоскость ...................................................... 9 
1.3. Матричный единичный поликруг ........................................................ 10 
1.4. Матричный шар ..................................................................................... 10 
1.5. Матричная область Зигеля второго рода ............................................ 11 
1.6. Матричная область Рейнхарта ............................................................. 12 

2. Степенные ряды от матриц .......................................................................... 14 

2.1. Матричная норма .................................................................................. 14 
2.2. Степенные ряды в 
[
]
n m
m


 ............................................................... 15  

2.3. Формула Коши – Адамара  ................................................................... 19 
2.4. Области сходимости степенных рядов ............................................... 20 
2.5. Степенные ряды в 
[
]
n m
m


  .............................................................. 20 

2.6. Критерий абсолютной сходимости ..................................................... 21 
2.7. Логарифмически выпуклая оболочка области в 
[
]
n m
m


 .............. 23 

2.8.  Теорема Гартогса .................................................................................. 25 

3. Голоморфные функции и области голоморфности в 
[
]
n m
m


 .............. 26 

3.1. Определения ........................................................................................... 26 
3.2. Связь между голоморфными функциями от nm2 переменных  
       и голоморфными функциями от нескольких матриц ........................ 28 
3.3. Области сходимости как области голоморфности ............................. 30 
3.4. Кратная интегральная формула Бохнера – Хуа Локена .................... 31 
3.5. Доказательство основного результата главы 1 ................................... 34 

Г л а в а  2. МНОГОМЕРНЫЕ  ГРАНИЧНЫЕ   
                    ТЕОРЕМЫ  МОРЕРА ................................................................... 38 
4. Многомерные граничные теоремы Морера в поликруге и шаре ............. 38 
4.1. Известные результаты ........................................................................... 38 
4.2. Граничная теорема Морера для поликруга ......................................... 41 
4.3. Граничная теорема Морера для шара .................................................. 44 
 

Анализ в матричных областях 

4 

5. Условия существования аналитического продолжения функций  
     в классических областях .............................................................................. 48 
5.1. Классические области ........................................................................... 48 
5.2. Условия существования продолжения ................................................ 50 
5.3. Граничные теоремы  Морера для классических областей ................ 57 
6. Многомерные граничные теоремы Морера для неограниченной  
    реализации поликруга и шара ...................................................................... 60 
6.1. Граничная теорема Морера для неограниченной  
       реализации поликруга ........................................................................... 60 
6.2. Граничная теорема Морера для неограниченной  
       реализации шара .................................................................................... 66 
 
Г л а в а  3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ  ПРЕДСТАВЛЕНИЯ  И  ФОРМУЛЫ 
                   КАРЛЕМАНА  В  МАТРИЧНЫХ  ОБЛАСТЯХ ........................ 78 
7. Интегральные представления ...................................................................... 78 
7.1. Автоморфизмы матричного шара........................................................ 79 
7.1.1.  Объем матричного шара в пространстве 
[
]
n m
m


 ............... 87 
7.1.2. Автоморфизмы матричных шаров второго и третьего типов 89 
7.2. Интегральная формула Бергмана для  матричного шара .................. 97 
7.3. Ядра Коши – Сеге и Пуассона для матричного шара ...................... 100 
7.4. Интегральные формулы для матричного шара второго типа ......... 108 
7.5. Ядра Бергмана и Коши – Сеге для матричного шара  
       третьего типа ........................................................................................ 115 
7.6. Интегральные формулы в областях Зигеля ...................................... 121 
7.7. Формула Бергмана для неограниченной матричной области ........ 130 
8. Формулы Карлемана ................................................................................... 135 
8.1. Формула Карлемана для функций от матриц ................................... 135 
8.2. Формулы Карлемана в классических областях ................................ 137 
8.3. Формула Карлемана в матричном шаре ........................................... 143 
8.4. Граничная теорема Морера для матричного шара .......................... 147 
 
Г л а в а  4. МНОГОМЕРНЫЕ  ГРАНИЧНЫЕ  ТЕОРЕМЫ  МОРЕРА  
                     В  НЕОГРАНИЧЕННЫХ  МАТРИЧНЫХ  ОБЛАСТЯХ ....... 152 
9. Граничная теорема Морера для матричной верхней  полуплоскости ... 152 
10. Теорема Морера в неограниченной реализации матричного шара ..... 159 

10.1. О неограниченной реализации матричного шара ........................ 159 
10.2. Об  интегральных представлениях в области Зигеля D .............. 163 
10.2.1. Об интегральных формулах  
            в пространстве прямоугольных матриц ........................... 167 
10.2.2. Интегральные формулы ..................................................... 169 
10.3. Граничная теорема Морера для области Зигеля D ..................... 173 
10.3.1. Ортонормальная система в матричном шаре ................. 181 

Оглавление 

5 

10.3.2. Инвариантный оператор Лапласа – Хуа Локена  
            в матричном шаре .............................................................. 186 
 
Г л а в а  5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ  МЕТОДЫ  В  ЗАДАЧАХ  
                    ГОЛОМОРФНОГО  ПРОДОЛЖЕНИЯ .................................... 194 
11. Критерии существования голоморфного продолжения  
      непрерывной функции, заданной на части границы области в 
n
  ..... 194 
12. О возможности голоморфного продолжения в матричную область 
      функций, заданных на куске ее границы Шилова ................................. 200 
13. О возможности голоморфного продолжения в шар Ли функций,  
      заданных на части сферы Ли .................................................................... 207 
14. Условия  голоморфной продолжимости в трубчатую область  
       функций, заданных на остове трубчатой области ................................ 216 
15.  Интерполяционные последовательности в классических областях ... 221 
 
Г л а в а  6. ТЕОРИЯ  ЛОКАЛЬНОГО  ВЫЧЕТА  
                    ДЛЯ  ГОЛОМОРФНЫХ  ФУНКЦИЙ  ОТ  МАТРИЦ ............ 236 
16. Интегральные представления локального вычета  
      для голоморфных функций от матриц .................................................... 237 
17. Свойства локального  вычета ................................................................... 242 
18. Представление локального вычета через след    
      и распространение формулы Бишопа на функции от матриц .............. 245 
19. Формула Вейля и принцип Руше в  
[
]
n m
m


 ....................................... 249 
20. Обобщенная  интегральная реализация локального вычета ................. 253 
20.1. Общий рецепт интегральной реализации  
         локального вычета Гротендика ..................................................... 254 
20.2. Примеры преобразования локального  
         вычета Гротендика при композициях отображений ................... 256 
 
Г л а в а  7. РАСШИРЕННЫЕ  МАТРИЧНЫЕ  ТРУБА  И  КРУГ ............. 260 
21. Труба будущего ......................................................................................... 260 
21.1. Определения ..................................................................................... 260 
21.2. Касательное пространство. Форма Леви ....................................... 261 
21.3. Групповая структура. Автоморфизмы .......................................... 263 
22. Труба будущего как классическая область ............................................. 263 
22.1. Реализация трубы будущего  
         в виде матричного единичного круга ............................................ 263 
22.2. Геометрия  матричного единичного круга ................................... 265 
22.3. Реализация трубы будущего в виде шара Ли ............................... 267 
23.  Расширенный матричный круг. Определения и гипотезы ................... 270 
 

Анализ в матричных областях 

6 

24. Критерий голоморфной выпуклости для областей в 
n
  ,  
      инвариантных относительно действия компактных групп Ли ............. 272 
24.1. Факторы  относительно действия групп ....................................... 272 
24.2. Теорема Гильберта .......................................................................... 273 
24.3. Орбитальная выпуклость ................................................................ 274 
24.4. Эквивариантная теорема продолжения ........................................ 274 
24.5. Критерий голоморфной выпуклости ............................................. 275 
25. Доказательство гипотезы о расширенном матричном круге  ............... 276 
25.1. Насыщенные орбитально псевдовыпуклые области  ............... 276 
25.2. Орбитально выпуклые области ...................................................... 277 
25.3. Расширенный матричный круг  
         является орбитально выпуклым ..................................................... 278 
25.4. Расширенный матричный круг является насыщенным………... 279 
25.5. Основной результат ......................................................................... 279 
26. Гипотеза о расширенной матричной трубе ............................................ 280 
26.1. Частные случаи ................................................................................ 280 
26.2. Матричная формулировка гипотезы  
         о расширенной трубе будущего ..................................................... 281 
26.3. Схема доказательства гипотезы  
         о расширенной матричной полуплоскости................................... 283 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................................... 285 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Оглавление 

7 

 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Данная работа  является существенно переработанной и расширенной  
монографией  авторов «Комплексный анализ в матричных областях», вышедшей в издательстве СФУ в 2011 г. Она посвящена комплексному анализу в матричных областях пространства 
n
 . В ней изложены результаты, 
полученные в течение последних 35 лет в Красноярском государственном 
университете (ныне Сибирский федеральный университет), Национальном 
университете Узбекистана (кроме гл. 7). В монографии рассмотрены          
различные матричные области – матричный круг, матричный поликруг, 
матричная верхняя полуплоскость, классические области Картана, области 
Зигеля второго рода, матричные  области Рейнхарта. 
В такого вида областях получены многомерные граничные теоремы 
Морера и теоремы о функциях с одномерным свойством голоморфного 
продолжения. Построены формулы Карлемана, восстанавливающие значения голоморфной функции в области по ее значениям на части границы. 
Доказаны критерии существования голоморфного продолжения функций, 
непрерывных на части остова матричных областей различного вида – классических областей первого типа, шара Ли, трубчатых областей.  Построена 
теория локального вычета для голоморфных функций от матриц. Рассмотрены известные гипотезы о расширенном матричном круге и о расширенной трубе будущего. 
Нумерация параграфов сквозная. Нумерация теорем, лемм, предложений и формул – двойная и состоит из номера параграфа и номера теоремы, леммы, предложения или формулы. Конец доказательства отмечается 
знаком  □. 
Один из авторов, А. М. Кытманов, был поддержан грантом Президента РФ для ведущих научных школ № НШ-9149.2016.1, а также грантом 
№ 14.Y26.31.0006 Правительства Российской Федерации для поддержки  
научных школ под руководством ведущего ученого в Сибирском федеральном университете. 
 
 

Анализ в матричных областях 

8 

 
Г л а в а  1 

 
СТЕПЕННЫЕ  РЯДЫ  И  ГОЛОМОРФНЫЕ 
ФУНКЦИИ  ОТ  НЕСКОЛЬКИХ  МАТРИЦ 

1. Некоторые матричные области  

в пространстве Рассмотрим пространство m2 комплексных переменных, обозначае
мое . В некоторых вопросах точки Z этого пространства удобно представлять в виде квадратных (-матриц, т. е. в виде 
,
1
(
)
m
ij i j
Z
z


. При 

таком представлении точек пространство будем обозначать . 
Прямое произведение … n экземпляров пространств 
(-матриц обозначим . Теперь опишем некоторые простейшие матричные области.  

1.1. Матричный единичный круг 

Матричный единичный круг (классическая область первого типа по 

классификации Э. Картана) определяется как множество 

∈ : ∗ I, 

где 
'
*
Z
Z

– матрица, сопряженная и транспонированная к Z , запись 

I
ZZ 
*
 (I = Im – единичная (-матрица) означает, что эрмитова мат
рица 
*
ZZ
I 
 положительно определена, таким образом, все ее собственные 

значения положительны. Граница состоит из множества 

∈ ∶ det∗0,  ∗ , 

т. е. из множества матриц Z, для которых матрица 
*
ZZ
I 
является неотри
цательно определенной, но не положительно определенной эрмитовой 
матрицей (ее собственные значения неотрицательны, и хотя бы одно равно 
нулю). На границе лежит множество 

∈ : ∗, 

Г л а в а  1. Степенные ряды и голоморфные функции от нескольких матриц 
 

9 

которое называется остовом (заметим, что 
)
(
S
является границей Ши
лова для ). Ясно, что множество 
)
(
S
 есть множество всех унитарных 

(-матриц (множество унитарных матриц порядка n обозначается 
как обычно – ). Следует отметить, что множество матриц

}
0
)
det(
:
{
* 
 ZZ
I
Z
 содержит ограниченную компоненту, выделяемую 

условием 
I
ZZ 
*
, и неограниченную, для которой 
I
ZZ 
*
. Эти компо
ненты пересекаются по остову 
)
(
S
. 

При 
2

m
 множество допускает представление 

∈ 2 2: 0, 

где 

 
2
2
2
2
11
12
21
22
0
( )
max
1,
1,
Z
z
z
z
z
Z










 , 

*
*
0( )
det
1,
Z
ZZ
SpZZ




 

а есть след (шпур) матрицы Z (данное представление нетрудно получить из критерия Сильвестра положительной определенности матриц). 

Полезно заметить, что если ∈ , то 

.)
det(
)
det(
*
*
Z
Z
I
ZZ
I



 

Кроме того, условия 
0
* 
 ZZ
I
 и 
0
*


Z
Z
I
 эквиваленты. Это вер
но даже для прямоугольных матриц (см. лемму 13 из [29]). 

Лемма 1.1. Если Z – матрица из p строк и q столбцов, то соотноше
ния ∗и ∗ эквивалентны. 

 Доказательство. Справедливость этого утверждения вытекает из 

тождества 

0
0
∗∗
∗∗
∗
0
0
∗
∗. 

Отсюда же вытекает и равенство определителей  

.)
det(
)
det(
*
*
Z
Z
I
ZZ
I



 

1.2. Матричная верхняя полуплоскость 

Матричная верхняя полуплоскость определяется как множество матриц 

∈ : Im0, 

где 
)
(
2
1
Im
*
Z
Z
i
Z


. Граница   этой области состоит из матриц Z, для 

которых 
Z
Im
– неотрицательно определенная, но неположительно опреде

Анализ в матричных областях 

10 

ленная эрмитова матрица (ее собственные значения неотрицательны, и хотя 
бы одно равно нулю). Так как обращение в нуль собственных значений  
эрмитовой матрицы выражается вещественно аналитическим равенством, 
то  состоит из кусков вещественно аналитических поверхностей размерности 
1
2
2 
m
. 

Множество  



( )
: Im
0 ,
S
Z
Z
 

 

которое лежит на , называется остовом верхней полуплоскости . Оно 
состоит из всех эрмитовых матриц. Условие эрмитовости выражается 
2
m  

независимыми уравнениями, поэтому вещественная размерность 
( )
S 

равна m2. 

1.3. Матричный единичный поликруг 

Матричный единичный поликруг в определим как 

прямое произведение n раз области , т. е. 

, … , : ∈ , 1, … , . 

Граница является объединением поверхностей 

∈ ∶ ∈ , ∈ ̅, , 

каждая из которых есть
)1
2
(
2 
nm
-мерная поверхность (так как 
2
2nm коор
динат 
точки 
Z 
связаны 
одним 
действительным 
соотношением 

0
)
det(
* 


 Z
Z
I
). Поэтому и вся граница поликруга 


n
T

1








 является 

)1
2
(
2 
nm
-мерной. Множество 

( )
( )
( )

n
S T
S T
S T
T


 

 

назовем остовом Т. Размерность его – nm2. 
 

1.4. Матричный шар 
 
Пусть 


n
Z
Z
Z
,...,
1

 – вектор, составленный из квадратных матриц порядка m, рассматриваемых над полем комплексных чисел . Можно считать, что Z – элемент пространства 

≅ . 

Г л а в а  1. Степенные ряды и голоморфные функции от нескольких матриц 
 

11 

 Матричное «скалярное» произведение для , ∈ определим так: 

*
*
1
1
,
.
n
n
Z W
Z W
Z W




 

Область 
n
m
B ,  пространства : 


,
0
,
:
,



Z
Z
I
Z
B
n
m
 

где I, как обычно, единичная матрица порядка m, есть матричный шар. 
Остов этой области есть многообразие вида 


.
,
:
,
I
Z
Z
Z
X
n
m


 

Очевидно, действительная размерность остова равна 
)1
2
(
2

n
m
 и при 
1

m
 не совпадает с размерностью границы матричного шара. 
В частности, при 1 ,– матричный круг из , а 
1,
m
X
 –
множество всех унитарных матриц. 
При 1  ,– шар из , а 
n
X ,1  – единичная сфера. 

При 1  ,– единичный круг из , а 
1,1
X  – единичная окружность. 
 

1.5. Матричная область Зигеля второго рода 
 
Пусть 





,
1
: Im
,
'
0 ,
n
m n
D
Z
C
m
m
Z
Z Z





 

где 


*
1
1
1
1
Im
2
Z
Z
Z
i


, 
*
*
2
2
,
'
n
n
Z Z
Z Z
Z Z




. 

Остов этой области: 

,∈ : Im〈, 〉. 

В частности, при n = 1 Dm,1 – матричная верхняя полуплоскость, а остов 
1,
m
R
– множество всех эрмитовых матриц. 
При 1  ,– область Зигеля второго рода (шар Пуанкаре) в ,              

а остов 



2
1,
1
2
.
n
n
n
y
z
z





R
 

При 1  ,– верхняя полуплоскость в , а остов 
1,1
R
– действительная ось. 
 

Анализ в матричных областях 

12 

1.6. Матричная область Рейнхарта 
 
Множество ⊂ назовем матричной областью Рейнхарта, если она обладает следующим свойством: вместе с каждой точкой 
)
,...,
,
(
2
1
n
Z
Z
Z
 множество G содержит точки вида
)
,...,
,
(
2
2
2
1
1
1
n
n
n
V
Z
U
V
Z
U
V
Z
U
, 

где 
,
U
V

 – произвольные унитарные матрицы, 
n
,...,
2,1


. Другими словами, область Рейнхарта является инвариантной относительно действия 
группы на .  

Матричную область Рейнхарта назовем полной, если вместе с каждой 

точкой 
0
0
0
1
2
(
,
,...,
)
n
Z
Z
Z
 этой области ей принадлежат и все точки вида 

S
S
n
Z
Z
Z
Z
Z
||
||
||
:||
)
,...,
,
(
0
2
1



, 
1,2,..., ,n
 
 т. е. весь матричный поликруг 

0
1
2
{(
,
,...,
) :||
||
||
||
n
S
S
Z Z
Z
Z
Z



, 
1,2,..., }.
n
 

Здесь 
S||
||
 – спектральная норма матрицы (определение спектраль
ной нормы см. ниже). 

Напомним представление произвольной невырожденной матрицы 

∈ в полярных координатах.  

Пусть Z – невырожденная матрица, тогда она представима в виде 

произведения эрмитовой и унитарной матриц SV, причем если первый множитель положительно определен, то это представление единственно [12, с. 243]. 
Положительно определенную эрмитову матрицу S всегда можно унитарным преобразованием привести к диагональному виду (см., например, [12, 
с. 81]), отсюда получаем представление матрицы Z в виде  

V
U
Z


,                                                 (1.1)  

где U, V – унитарные матрицы, а 
1
2
[
,
,...,
]
m
 

 
 – диагональная матри
ца, причем
0
...
2
1



m



. 

Если 
G
Z 
, то из (1.1) следует, что 
1
1
1
1
U ZV
U U VV


  при

*
*
1
1
,
U
U
V
V


. Таким образом, каждую точку 
G
Z 
 можно получить из 

вектора 

1
2
,
,...,
n
 

 диагональных матриц с помощью указанного поляр
ного представления. Поэтому изучение таких областей эквивалентно изучению их образов в подпространстве ,… (m раз) простран
ства при отображении, которое каждой точке 
)
,...,
,
(
2
1
n
Z
Z
Z
 из 

G ставит в соответствие точку (
n



,...,
,
2
1
). 

Образ области G  при отображении 
)
,...,
(
)
,...,
(
1
1
n
n
Z
Z



 будем 

называть матричной диаграммой Рейнхарта и обозначим через  .  

Г л а в а  1. Степенные ряды и голоморфные функции от нескольких матриц 
 

13 

Множество 

ln  ln ln  , … , ln  ∈ :  , … ,  ∈  ,  det  0, 1,2, … , будем называть логарифмическим образом области G.  
Область G называется логарифмически выпуклой, если множество 
ln   выпукло в пространстве . 

Матричная область Рейнхарта не обязательно является областью 
Рейнхарта в , но мы всегда можем сопоставить ей открытое (возможно, несвязное) множество Рейнхарта diag (т. е. множество, инвариантное 
относительно действия тора) в , а именно 

diag , … , ∈ : диагональные матрицы, 1 . 

Отметим, что это множество, очевидно, содержит матричную диаграмму Рейнхарта  . Более того, из полярного представления (1.1) полу
чаем, что логарифмический образ области совпадает с логарифмическим 
образом области diag . 
Рассмотрим примеры матричных областей Рейнхарта.  
Пример 1.1. Матричный единичный круг . Для всех унитарных 
матриц U, V, W имеет место соотношение  

.
0
)
(
)
)(
(











U
WW
I
U
U
UWW
I
UWV
UWV
I
 

Следовательно, 


)
(UWV
, т. е. – матричная область Рейнхарта. Из 
неравенства  



0
)
(
)
(
)
(
)
)(
(














QQ
I
Q
WW
I
W
RR
I
W
Q
QWR
QWR
I
 

при 
,
,
Q R W

  вытекает, что является полной матричной областью 
Рейнхарта в . Так как множество  

ln ln Λ∈ : ln Λ0выпуклое, то логарифмически выпуклое множество. Здесь – множество всех отрицательно определенных диагональных действительных 
(-матриц (т. е. множество m-мерных действительных векторов с отрицательными координатами). 
Пример 1.2. Матричный единичный поликруг 




n
T





...
. 

Согласно примеру 1.1 область T  является полной матричной областью Рейнхарта. Ее логарифмический образ