Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ. Международная

научно-практическая конференция

(20 октября 2017 года)

Москва

Инфра-М

2018

Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ. Международная

научно-практическая конференция

(20 октября 2017 года)

Москва

Инфра-М; Znanium.com

2018

Казарян, М.Л.

Математическое моделирование, численные методы и комплексы 

программ: сборник научных трудов / М.Л. Казарян, И.Д. Музаев, Е.Г. Гиоева и 
др. – М.: Инфра-М; Znanium.com, 2018. – 150 с.

ISBN 978-5-16-106772-7 (online)

Экономические проблемы, возникающие перед специалистами, в большинстве своем 
сложные. Они зависят от множества различных, иногда противоречащих друг другу 
факторов, изменяются с течением времени и влияют на другие проблемы и процессы. 
Вследствие этого исследование экономической проблемы целесообразно проводить на 
адекватной математической модели. Математическая модель отражает проблему в 
абстрактной форме и позволяет учесть большое число разнообразных характеристик, от 
которых зависит эта проблема. Анализ и расчет математической модели позволяют 
выбрать оптимальные решения поставленной задачи и обосновать этот выбор.

По инициативе Владикавказского филиала Финансового университета при Правительстве 
Российской Федерации была организована международная научно-методическая 
конференция «Математическое
моделирование, численные методы и комплексы 

программ», в которой обсуждаются вышеизложенные проблемы.

ISBN 978-5-16-106772-7 (online)
© Казарян М.Л., 2018

СОДЕРЖАНИЕ 
 
1. Музаев И.Д. Математическое моделирование упругих колебательных процессов в ударном инструменте  
2. Музаев И.Д. Математическое моделирование селективного водозаборного процесса при заборе воды из промежуточного слоя 
через грани трехслойного стратифицированного водоема 
3. Музаев И.Д. , Гиоева А.Г., Исакова Ю.Р. Постановка и решение 
одной задачи электрофизики методами нелинейной оптимизации  
4. Хубежты Ш.С. Об одном новом методе приближенного решения сингулярных интегральных уравнений 
5. Дзебисов Х.П. Интегральные формулы и краевые задачи сопряжения на аналитических плоскостях 
6. Мерзлов В.С., Дзампаева Ж.Т., Хатагов А.Ч. Модернизация 
высшего образования и инновационное развитие региона. 
7. Крыжановская И.В., Мерзлов В.С., Хатагов А.Ч. Аспекты автоматизированной разработки энергоэффективных микроволновых приборов.  
8. Мерзлов В.С, Хатагов А.Ч., Крыжановская И.В. Математическое моделирование взаимодействия электронов с высокочастотным полем плоскоэлектродного промежутка 
9. Хатагов А.Ч., Крыжановская И.В., Мерзлов В.С. Имитационное 
моделирование полевых процессов в коллекторах мощных СВЧ 
– приборов с рекуперацией энергии. 
10. Казарян М. Л., Шахраманьян М.А., Рихтер А.А. Проектная деятельность в системе общего образования в области космического мониторинга объектов захоронения отходов 
11. Казарян М. Л., Шахраманьян М.А., Рихтер А.А. Объекты захоронения отходов в учебно-методической деятельности 
12. Казарян М. Л., Шахраманьян М.А., Рихтер А.А., Дементьев 
И.А. Методика пространственного моделирования и оценки освещённости ригидных объектов с применением программного 
средства 3ds-max 
13. Казарян М. Л., Шахраманьян М.А., Рихтер А.А., Дементьев 
И.А. Пространственное моделирование реальных сцен и   освещённости в программе 3ds-max в проектной деятельности 
школьников 
14 Казарян М. Л., Шахраманьян М.А. Деловая игра «Электронная 
Школьная Республика»   как модель подготовки школьников к 
выбору будущей профессии Ковалева М.А., Тедтова И.Э. 
15 Казарян М. Л., Шахраманьян М.А., Рихтер А.А, Мурынин А.Б., 
Дементьев И.А., Давыдов А.А., Игнатьев Д.С.  Методика построения 3d-моделей ригидных объектов по одному изображению и её применение в построении 3d-моделей антропогенных 
территорий по космическим изображениям 

16 Дзгоев А.Э. Обработка и анализ данных при прогнозировании поведения систем 
17 
Гаглоева И.Э. Применение систем поддержки принятия решений в 
электронергети 

18 
Ковалева М.А., Тедтова И.Э. Разработка модели оценки финансового состояния предприятия на основе математического моделирования

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГИХ  

КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ В УДАРНОМ ИНСТРУМЕНТЕ  
 
И.Д. МУЗАЕВ 
«Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации», 
Владикавказский филиал 
 
Аннотация: В статье поставлена и решена начально-краевая 
задача продольного колебания призматического стержня при периодически повторяющихся высокочастотных продольных ударах. Считается, 
что один конец стержня закреплен, а другой испытывает соударение с 
упругим призматическим стержнем с заданной скоростью. Полагается, 
что в момент столкновения стержни соприкасаются по параллельным 
плоскостям. В итоге получены расчетные формулы для вычисления на 
компьютере перемещения и напряжения в стержнях. 
Ключевые слова: начально-краевая задача, продольные удары, 
начальные условия, граничные условия.  
Abstract: The paper formulated and solved the initial-boundary 
value problem for the longitudinal vibrations of a prismatic rod under repetitive high-frequency longitudinal impacts. It is believed that one end of the 
rod is fixed, while the other experiences collision with an elastic prismatic 
rod with a given speed. It is believed that at the time of the collision terminals 
in contact in parallel planes. In the end, the formulae are derived to calculate 
on the computer the displacement and tension in the rods. 
Keywords: initial-boundary value problem, the longitudinal shocks, 
initial conditions, boundary conditions. 
Одним из основных элементов ударного инструмента является 
призматический стержень, который подвергается периодически повторяющимся ударам. В момент удара от поверхности соприкосновения в 
стержень и ударяющее тело распространяются упругие волны сжатия – 
растяжения. Для расчета возникающих в обоих телах напряжений и перемещений 
необходимо 
составить 
адекватную 
механикоматематическую модель. 
Известно, что наибольшие сжимающие напряжения при одном 
ударе возникают у жестко закрепленного конца стержня и в инженерных расчетах они описываются различными приближенными формулами в зависимости от параметра μ представляющего отношение массы 
ударяющего тела к массе стержня [1, 2]: 
















































 5
 
при
 ,
1
2

 
24
5 
при
 ,
1,1

24
 
при
 ,
1

2

max












e
a
v
E

a
v
E

a
v
E
,  
 
(1) 

где: E – модуль упругости материала стержня, v - скорость удара, а - 
скорость распространения продольных волн в стержне  

(


E
a 
, где ρ – плотность материала стержня). Данные инженерные 

расчетные формулы получены в предположении, что ударяющее тело 
является абсолютно твердым и в нем не распространяются упругие волны. Такое предположение может обусловить существенные погрешности при оценке напряжений. В предложенной ниже механикоматематической модели напряженно деформированного состояния рассматриваемой системы это предположение исключено. Мы моделируем 
механику рассматриваемого процесса в виде периодически повторяющихся соударений двух призматических стержней состоящих из одного 
и того же материала. На рис. 1 представлен схематический чертеж рассматриваемого элемента. 
 
 

 
 
Рис.1. Схематический чертеж ударного инструмента 
Математическая модель продольных упругих колебаний в рассматриваемой системе представляет следующая контактная начальнокраевая задача математической физики [1, 2]. 

0
2

2
2
2

2






x
U
a
t
U
k
k
, k=1, 2, 3…, 
 
 
 
(2) 





 









 


































,
,
,
 ,
,
,

,
,
 ,0
,

1
k
k
1

0

1
0
1

x
V
t
t
x
U
t
t
x
U
t
x
U
t
x
U

x
V
t
t
x
U
t
x
U

kT
t
kT
t
kT
t
k
kT
t
k

t
t
, 
(3) 





,0
,
 ,0
,
k
0







L
x
x
k
x
t
x
U
t
x
U
 
 
 
 
(4) 










L-l
x

L
x
L-l
V
x
V
0
  
при
 ,0

  
при
 ,
)
(
0
,  
 
 
 

где приняты следующие обозначения: k – порядковый номер очередного 
удара, Т – период повторения ударов, V0 – скорость удара, l – длина ударяющего стержня, L-l – длина основного стержня, а – скорость распро

странения упругой волны в стержнях, 

t
x
Uk
,
 - продольные перемещения в стержне после совершения к-го удара, х – продольная координата, 
t – время. 
Представленная математическая модель (2)-(4) состоит из:  
 
дифференциального уравнения продольных упругих колебаний в 
стержнях (2); 
 
начальных условий (3) в моменты времени совершения к+1-го удара, 
первое условие выражает непрерывное сопряжение перемещений в момент времени t=kT, а второе - скачкообразное сопряжение скоростей в 
момент времени t=kT; 
 
граничных условий (4) на концах стержней; первое условие выражает 
жесткую заделку начала стержня, т.е. при х=0; второе условие выражает 
равенство нулю напряжения на вершине ударяющего стержня, т.е. при 
x=L; Такое граничное условие приемлемо в связи с тем, что промежуток 
времени отрыва ударяющего стержня от основного стержня принимается бесконечно малой величиной по сравнению с промежутком времени 
их соприкосновения. 
График зависимости скорости ударов от времени представлен 
на рис (2). 

 
 
Рис.2. График зависимости скорости ударов от времени 
Поставленную начально-краевую задачу можно решить так называемым методом отдачи паса (метод припасовывания [2]). Согласно 
этому методу сперва решается поставленная задача в промежутке первого периода времени, т.е. при 0≤t≤T: 

0
2
1
2
2
2
1
2






x
U
a
t
U
,  
 
 
 
 
(5) 

0
0
1


t
U
, 
)
(

0

1
x
V
t
U

t





  
 
 
 
(6) 

0
0 

x
U
, 
0




L
x
x
U
 
 
 
 
 
(7) 

Начально-краевая задача (5)-(7) решается методом Фурье [1]. 
Искомая функция 
)
,
(
1
t
x
U
 ищется в виде следующего тригонометрического ряда по переменной х 








1
,1
1
2
1
2
sin
)
(
)
,
(
n
n
x
L
n
t
U
t
x
U

, 
 
 
 
(8) 

Функция V(x) разлагается в ряд Фурье по синусам в промежутке 
(0,L) 









1
0
2
1
2
sin
)
(
)
(
n
n
x
L
n
t
V
x
V


, 
 
 
 
(9) 

где 



n

n
n
La
l
L
a


cos
2

, 



L

n
an
2
1
2



. 

Легко можно проверить, что функция 
)
,
(
1
t
x
U
 представленная в 
виде (8) автоматически удовлетворяет граничным условиям (7). Подставив выражения (8) и (9) в уравнение (5) и в начальные условия (6), а 
затем приравняв между собой коэффициенты при одинаковых синусах в 
левых и правых частях, получаем задачу Коши для обыкновенного 
дифференциального уравнения второго порядка относительно искомых 
функций 
)
(
,1
t
U n
, n=1, 2, 3… 

0
,1
2
2
2
,1
2


n
n
n
U
a
a
dt

U
d
, 
 
 
 
 
(10) 

0
0
,1


t
n
U
, 

n
t

n
V
t
U

0
0

,1






 
 
 
 
(11) 

Решение задачи (10)-(11) имеет следующий вид: 

 
t
aa
aa
V
t
U
n
n

n
n
sin
0
,1




, 
 
 
 
 
(12) 

Поставив значение 
)
(
,1
t
U n
 из (12) в (8) получим следующие выражения для перемещений и скоростей перемещений в промежутке 
времени 0≤t≤T. 







1
0
1
sin
sin
)
,
(
n
n
n
n

n
x
a
t
aa
aa
V
t
x
U

, 
 
     
(13) 







1
0
1
sin
cos
)
,
(
n
n
n
n
x
a
t
aa
V
t
x
V

, 
 
 
 
(14) 

Для вычисления напряжений получаем следующее выражение 










1
0
1
cos
sin
)
,
(
)
,
(
n
n
n
n
x
a
t
aa
a
EV
x
t
x
U
E
t
x


, 
 
(15) 

Обозначим момент времени до совершения второго удара 

T
, 

а момент времени после совершения второго удара 

T
. В момент вре
мени 

T
 перемещения и скорости перемещений вычисляются по формулам (13) и (14) соответственно 











1
0
1
sin
sin
)
,
(
n
n
n
n

n
x
a
t
aa
aa
V
T
x
U

, 
 
 
(16) 











1
0
1
sin
cos
)
,
(
n
n
n
n

n
x
a
t
aa
aa
V
T
x
V

, 
 
 
(17) 

В промежутке времени между вторым и третьим ударами, т.е. 






T
T
t
,
, начально-краевая задача (2)-(4) запишется так: 

0
2
2
2
2
2
2
2






x
U
a
t
U
,  
 
 
 
(18) 









 ,
,
,
 ,
,
,
1
k
2
1
2
x
V
t
t
x
U
t
t
x
U
t
x
U
t
x
U

T
t
T
t
T
t
T
t


















       (19) 





,0
,
 ,0
,
2
0
2







L
x
x
x
t
x
U
t
x
U
 
 
 
 
(20) 

Поставленная начально-краевая задача решена таким же путем, 
каким была решена задача (5)-(7). Для перемещений, скорости перемещений а также для напряжений получены следующие формулы: 






T
T
t
,
 












1
0
2
sin
sin
)
,
(
n
n
n
n

n
T
t
aa
t
aa
aa
V
t
x
U

, 












1
0
2
cos
cos
)
,
(
n
n
n
n
T
t
aa
t
aa
V
t
x
V

, 





x
a
T
t
aa
t
aa
a
EV
t
x
n
n
n
n
n
cos
sin
sin
)
,
(
1
0
2











. 

Таким же образом для момента времени после совершения к-го 
удара для перемещений, скоростей перемещений а также для напряжений получаются следующие расчетные формулы 







T
k
kT
t
)1
(,
 























1
0
1
sin
...
sin
sin
)
,
(

n
n
n
n
n

n
k
T
k
t
aa
T
t
aa
t
aa
aa
V
t
x
U

, 




















1
0
cos
1
cos
...
cos
cos
)
,
(
n
n
n
n
n
n
k
x
a
T
k
t
naa
T
t
aa
t
aa
V
t
x
V

, 




















1
0
cos
1
sin
...
sin
sin
)
,
(
n
n
n
n
n
n
k
x
a
T
k
t
naa
T
t
aa
t
aa
a
V
t
x


, 

 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
 
1. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. Изд-во Физикоматематической литературы. М.: 1959, 439 с. 
2. Пановко Я.П., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих 
систем. М.: Наука, 1987, 352 с. 
 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕЛЕКТИВНОГО ВОДОЗАБОРНОГО ПРОЦЕССА ПРИ ЗАБОРЕ ВОДЫ ИЗ ПРОМЕЖУТОЧНОГО СЛОЯ ЧЕРЕЗ ГРАНИ ТРЕХСЛОЙНОГО СТРАТИФИЦИРОВАННОГО ВОДОЕМА 
 
И.Д. МУЗАЕВ 

«Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации», 
Владикавказский филиал; 
Южный математический институт ВНЦ РАН 
Аннотация: Разработан гидродинамический метод расчета селективного водозаборного процесса в водоеме с плотностной стратифи

кацией. В качестве математической модели водозаборного процесса 
использована краевая задача линейной теории поверхностных гравитационных волн малой амплитуды в идеальной несжимаемой и неоднородной жидкости. Получена совокупность расчетных формул, которая 
позволяет решить задачу водоснабжения промышленных предприятий, 
в том числе тепловых и атомных электростанций из водоемов с плотностной стратификацией. Предлагаемый метод расчета позволяет рассчитать такую скорость водозабора через окно и такую высоту водозаборного окна, которые обеспечивают надлежащее положение поверхности 
раздела соответствующее заданной плотности (температуры) забираемой воды. 
Ключевые слова: селективный водозаборный процесс, стратифицированный водоем, плотностное число Фруда, безвихревое движение воды, потенциал скорости, эмпирические формулы, водозаборное 
устройство.  
Abstract: The paper presents a hydrodynamic method of calculation 
of the selective intake process in the reservoir continuously along the entire 
depth of density stratification. As a mathematical model of the intake process 
is used the boundary value problem of the linear theory of surface gravity 
waves of small amplitude in an ideal incompressible and inhomogeneous 
fluid. The resulting set of design formulas, which allows to solve the problem 
of water supply of industrial enterprises, including thermal and nuclear power 
plants from the pond with a continuous density stratification. The proposed 
calculation method allows this speed of water intake through the window and 
the height of the intake window that ensure the proper position of the interface corresponding to the specified plane (temperature) of water withdrawn. 
Key words: selective intake process, the stratified reservoir, a density 
Froude number, the irrotational motion of the water, velocity potential, empirical formula, the water intake. 
В литературных источниках в зависимости от схемы водозабора 
рекомендуются эмпирические формулы для гидравлического расчета и 
проектирования селективных водозаборных устройств. Для схемы водозабора из верхнего слоя двухслойного стратифицированного водоема 
рекомендуются две формулы А. Края, имеющие следующий вид (рис. 
1а) [1, 2, 3]: 
1. 
для двумерной задачи, т.е. когда ширина водозаборного 
окна равна ширине схематизированного в виде прямоугольного параллелепипеда водоема,  

 
(1) 

2. 
для пространственной задачи, когда ширина схематизированного водоема значительно больше ширины окна,  

 
(2) 

где 
 и 
 - плотности верхнего и нижнего слоев воды соответственно, 

 – расстояние (отметка) центра водозаборного окна от невозмущен

ной поверхности раздела слоев воды, 
 – ускорение силы тяжести,  - 
удельный расход забираемой воды (расход, приходящийся на единицу 
ширины окна, 
), 
 - полный расход, 
. 
Для схемы водозабора, представленной на рис. 1а (двумерная задача), также рекомендуется расчетная формула (Р. Смутек 1952), 
имеющая следующий вид [1, 2]: 

 
(3) 

где приняты обозначения формулы (1), 
 - половина высоты окна. 
Для схемы, когда вода забирается из нижнего слоя, расчет и проектирование водозаборных устройств рекомендуется формулой И. Кулеша, имеющей следующий вид (рис 1б) [1,2]: 

 
 

где 
 - толщина нижнего слоя,  - поправочный коэффициент. 
 

 
Рис. 1. Схемы водозаборных процессов из двухслойного стратифицированного водоема: а) при заборе воды из верхнего слоя; б) при заборе 
воды из нижнего слоя. 
 
Указанные формулы имеют существенные недостатки. В них не 
содержатся габаритные размеры водозаборного окна, толщины слоев 

 и 
 и ширина водоема и окна. В формуле И. Кулеша не содержатся 
толщина верхнего слоя и расстояние центра водозаборного окна от невозмущенной поверхности радела слоев. Ниже будет доказано утверждение о том, что перечисленные входные параметры системы существенно влияют на селективный водозаборный процесс. В связи с этими 
обстоятельствами расчет и проектирование водозаборных устройств на 
основе указанных эмпирических формул может не гарантировать селективный водоотбор из определенного слоя плотностратифицированного 
водоема. 
Для решения этих проблем нужны разработки строгих и адекватных математических моделей с привлечением современных вычислительных средств. 
Предположим, что в прямоугольной системе координат 
 
часть пространства, ограниченная условиями: 
, 
, 

, представляет схематизированный трехслойный 
стратифицированный водоем – источник водоснабжения вышеуказанных промышленных предприятий, где  - длина, 
 – ширина, 
, 
,