Абелевы функции. Теорема Абеля и связанная с ней теория тэта-функций

АБЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ
Теорема Абеля и связанная с ней
теория тэта-функций

ABELIAN FUNCTIONS

Abel’s theorem and the allied theory
of theta functions

H. F. Baker
St John’s College, Cambridge

КЛАССИЧЕСКИЕ МОНОГРАФИИ: МАТЕМАТИКА

Г. Бейкер

АБЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ

Теорема Абеля и связанная с ней теория
тэта-функций

Перевод С. М. Львовского

Предисловие И. М. Кричевера

Москва
Издательство МЦНМО
2008

УДК 515.178.2
ББК 22.147
Б41

Серия КЛАССИЧЕСКИЕ МОНОГРАФИИ: МАТЕМАТИКА

Б41
Бейкер Г.
Абелевы функции. Теорема Абеля и связанная с ней теория тэта-функций / Перевод с англ. С. М. Львовского. –– М.:
МЦНМО, 2008. –– 736 с.
ISBN 978-5-94057-192-6

Эта книга, оригинал которой впервые вышел в свет в 1897 году, –– перевод
классической монографии по теории римановых поверхностей и тэта-функций.
Изложение ведется в непривычном современному читателю классическом стиле конца XIX века. Основной упор делается не на изложение общих теорий, а
на получение явных формул.
Издание книги на русском языке вызвано тем, что в последние десятилетия
XX века многочисленные задачи математической и
теоретической физики
(например, метод обратной задачи рассеяния и конечнозонного интегрирования, задачи теории автодуальных калибровочных полей и др.) оказались тесно
связанными с кругом проблем, которым посвящена книга Бейкера.
Знакомство с этой книгой будет очень полезно всем математикам и физикам, занимающимся алгебраической геометрией или интегрируемыми системами.

ББК 22.147

Translation from the English language edition:
Abelian functions. Abel’s theorem and the allied theory of theta functions
by Henry Frederick Baker. Cambridge University Press, 1995.

ISBN 0-521-49877-5 (англ.)
ISBN 978-5-94057-192-6
© Cambridge University Press, 1995.
© МЦНМО, перевод на русск. яз., 2008.

Оглавление

Предисловие редактора английского издания
15

Литература к предисловию редактора
27

Предисловие автора
28

Глава 1

ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ

1
Основная алгебраическая иррациональность . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2, 3
Точки и бесконечно малые на римановой поверхности
. . . . . . . . . . .
31
4, 5
При рациональных преобразованиях ситуация не меняется
. . . . . . . .
33
6
Инвариантность рода при рациональных преобразованиях; если существует рациональная функция порядка 1, род поверхности равен нулю . .
37
7, 8
Максимальное количество неустранимых параметров равно 3p − 3 . . . .
38
9, 10
Геометрическое обоснование теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
11
Обобщение методов Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42

Глава 2

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

12
Пока что мы опираемся на теорему существования Римана . . . . . . . .
44
13
Обозначения для нормальных элементарных интегралов второго рода . .
44
14
Обозначения для нормальных элементарных интегралов третьего рода . .
45
15
Выбор нормальных интегралов первого рода . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
16
Значение слова «период». Общие замечания
. . . . . . . . . . . . . . . .
46
17
Примеры интегралов и точек поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
18
Периоды нормальных элементарных интегралов второго рода . . . . . . .
51
19
Интеграл второго рода получается с помощью дифференцирования интеграла третьего рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
20
Выражение рациональной функции через интегралы второго рода . . . . .
54
21
Специальные рациональные функции, инвариантные при рациональных
преобразованиях
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
22
Нормальные римановы интегралы зависят от способа разрезания поверхности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56

Глава 3

ПОЛЮСЫ ОДНОЗНАЧНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

23
Взаимозависимость полюсов рациональной функции . . . . . . . . . . . .
57
24, 25
Условие «заданные точки являются полюсами рациональной функции»
.
57
26
Общая форма теоремы Вейерштрасса о лакунах
. . . . . . . . . . . . . .
60
27
Предварительная формулировка теоремы Римана—Роха . . . . . . . . . .
63

Оглавление

28, 29
Случаи слияния полюсов; p критических чисел . . . . . . . . . . . . . . .
64
30
Простая геометрическая иллюстрация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
31—33
(p − 1) p(p + 1) точек, являющихся единственными полюсами рациональных функций порядка, меньшего p + 1
. . . . . . . . . . . . . . . . .
67
34—36
Из этих точек не менее 2p + 2 различны . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
37
Формулировка теоремы Римана—Роха с примерами . . . . . . . . . . . .
74

Глава 4

ОПИСАНИЕ РИМАНОВЫХ ИНТЕГРАЛОВ ОБЩЕГО ВИДА

38
Общие замечания о целых рациональных функциях . . . . . . . . . . . . .
77
39
Определение размера; базис рациональных функций . . . . . . . . . . . .
78
40
Пример с четырехлистной поверхностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
41
Сумма размеров функций из базиса равна p + n − 1 . . . . . . . . . . . .
84
42
Базис целых рациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
43
Основные свойства базиса целых рациональных функций . . . . . . . . .
87
44
Определение производного множества специальных функций
ϕ0, ϕ1, . . . , ϕn−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
45
Алгебраическое представление элементарных интегралов третьего рода
с особенностями в обыкновенных точках, а также интегралов первого рода 94
46
Алгебраическая форма элементарного интеграла третьего рода в общем
случае
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
47
Алгебраическая форма интеграла второго рода: альтернативный вывод . . 100
48
Дискриминант базиса целых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
49
Вывод выражения для некоторой рациональной функции в общем
случае
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
50
Алгебраические результаты этой главы могут заменить римановы теоремы существования
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Глава 5

О НЕКОТОРЫХ КОНКРЕТНЫХ ФОРМАХ УРАВНЕНИЯ

РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

51
Обзор содержания главы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
52
Если p > 1, то существование рациональной функции второго порядка
влечет существование (1, 1)-соответствия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
53—55
Из существования рациональной функции второго порядка вытекает гиперэллиптическое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
56
Базис целых функций и интегралы первого рода
. . . . . . . . . . . . . . 113
57
Базис целых функций и интегралы первого рода
. . . . . . . . . . . . . . 115
58
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
59
Число неустранимых параметров в гиперэллиптическом уравнении; преобразование к каноническому виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
60—63
Каноническое уравнение Вейерштрасса для произвольного рода
. . . . . 120
64—66
Фактическое построение уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
67, 68
Примеры к теории целых функций: случай вейерштрассова канонического уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
69—71
Метод может быть серьезно обобщен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
72—79
Нахождение базиса целых функций по Гензелю . . . . . . . . . . . . . . . 133

Оглавление
7

Глава 6

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РАССМОТРЕНИЯ

80
Сравнение теории рациональных функций с теорией пересечений кривых 143
81—83
Набросок элементарной теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
84
Метод, используемый в этой главе
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
85
Как мы будем рассматривать бесконечность. Возможность использования однородных координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
86
Ранг целого многочлена; число членов; обобщенные нули
. . . . . . . . . 150
87
Присоединенные многочлены; определение индекса точки
. . . . . . . . . 151
88
Плюккеровы уравнения; связь с теорией дискриминанта . . . . . . . . . . 153
89, 90
Выражение рациональных функций через присоединенные многочлены . . 155
91
Выражение интегралов первого рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
92
Число слагаемых в присоединенном многочлене; выражение элементарного интеграла третьего рода
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
93
Линейные системы присоединенных многочленов; теорема взаимности . . 163
94, 95
Определения множества точек, линейной системы, а также вынужденных,
эквивалентных и совычетных множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
96, 97
Теорема о совычетных множествах; алгебраическая основа этой теоремы 167
98
Рациональная функция порядка < p + 1 выразима через ϕ-многочлены . 169
99, 100
Критика этой теории; теорема Кэли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
101—104 Рациональные преобразования с помощью ϕ-многочленов . . . . . . . . . 173
105—108 Приложения специальных множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
109
Гиперэллиптическая поверхность; преобразование к каноническому виду . 184
110—114 Всю рациональную теорию можно построить с помощью инвариантных
отношений ϕ-многочленов; число соотношений, связывающих эти многочлены
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
115—119 Элементарные соображения, относящиеся к пространственным кривым . 192

Глава 7

КООРДИНАЦИЯ ПРОСТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ

120
Предмет этой главы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
121
Обозначения для интегралов первого рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
122, 123 Выражение функции ψ(x, a; z, c1, . . . , cp) через римановы интегралы
. . . 203
124
Выражение для одной фундаментальной функции . . . . . . . . . . . . . . 205
125
Приложения этой функции к рациональным функциям и интегралам . . . 206
126—128 Функция ψ(x, a; z, c); ее использование для выражения рациональных
функций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
129
Модифицированная фундаментальная функция; ее использование для
выражения рациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
130, 131 Алгебраические формулы для функций ψ(x, a; z, c1, . . . , cp) и ψ(x, a; z, c) . 211
132
Примеры этих функций; из этих функций получаются алгебраические
выражения для элементарных интегралов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
133, 134 Построение канонического интеграла третьего рода, в котором можно
переставлять аргумент и параметр; алгебраическое выражение для такого
интеграла; его связь с римановым элементарным нормальным интегралом 216
135
Алгебраическая теорема, равносильная перестановочности аргумента
и параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Оглавление

136
Элементарные канонические интегралы второго рода . . . . . . . . . . . . 220
137
Приложения. Канонические интегралы третьего рода, получаемые из
функции ψ(x, a; z, c1, . . . , cp). Модификации для функции ψ(x, a; z, c) . . . 221
138
Ассоциированные интегралы первого и второго рода. Новые канонические интегралы. Алгебраическая теория гиперэллиптических интегралов
в одной формуле
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
139, 140 Вывод вейерштрассовых и римановых соотношений для периодов интегралов первого и второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
141
Эквивалентность соотношений Римана и Вейерштрасса . . . . . . . . . . 232
142
Другие доказательства вейерштрассовых и римановых соотношений
между периодами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
143
Выражение однозначных трансцендентных функций через функцию
ψ(x, a; z, c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
144, 145 Теорема Миттаг-Леффлера
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
146
Разложение однозначной трансценденной функции на простейшие множители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
147
Перестановка аргумента и параметра в общем виде (по Абелю) . . . . . . 240

Глава 8

ТЕОРЕМА АБЕЛЯ; ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ

148—150 Примерное описание теоремы Абеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
151
Формулировка теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
152
Редукция общей теоремы к двум более простым . . . . . . . . . . . . . . . 246
153, 154 Доказательство теоремы и ее аналитическая формулировка . . . . . . . . 247
155
Замечание; формулировка на языке многочленов . . . . . . . . . . . . . . 249
156
Исчезновение логарифма в правой части формулы . . . . . . . . . . . . . 251
157
Приложения теоремы. Оригинальное доказательство Абеля . . . . . . . . 252
158, 159 Количество алгебраически независимых уравнений, задаваемых теоремой. Теорема, обратная к теореме Абеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
160, 161 Интегрирование дифференциальных уравнений Абеля
. . . . . . . . . . . 260
162
Точно такое же доказательство теоремы Абеля для пространственных
кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

Глава 9

ПРОБЛЕМА ОБРАЩЕНИЯ ЯКОБИ

163
Формулировка проблемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
164
Единственность общего решения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
165
Необходимость использования сравнений, а не уравнений . . . . . . . . . 271
166, 167 Исключение из рассмотрения функций с бесконечно малыми периодами . 272
168, 169 Доказательство существования решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
170—172 Построение функций, задающих решения; связь с тэта-функциями . . . . 276

Глава 10

РИМАНОВЫ ТЭТА-ФУНКЦИИ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

173
Исторический очерк: как появились тэта-функции
. . . . . . . . . . . . . 280
174
Сходимость. Обозначения. Введение матричных обозначений . . . . . . . 280
175, 176 Периодичность тэта-функций. Нечетные и четные функции
. . . . . . . . 282

Оглавление
9

177
Число нулей равно p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
178
Расположение нулей в простом случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
179
Точки m, . . . , mp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
180
Расположение нулей в произвольном случае . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
181
Тэта-функции, тождественно обращающиеся в нуль
. . . . . . . . . . . . 292
182, 183 Основные свойства. Геометрический смысл точек m1, . . . , mp
. . . . . . . 293
184—186 Геометрические рассмотрения; специальная проблема обращения; контактные кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
187
Решение проблемы обращения Якоби с помощью отношений
тэта-функций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
188
Тэта-функции, тождественно обращающиеся в нуль: общая теория; выражение ϕ-многочленов через тэта-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
189—191 Общая форма тэта-функции. Основные формулы. Периодичность
. . . . 317
192
Определение ζ-функций. Обобщение эллиптической формулы . . . . . . . 322
193
Выражение разности двух ζ-функций через алгебраические интегралы
и рациональные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
194—196 Дальнейшее развитие теории. Выражение одной ζ-функции через алгебраические интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
197, 198 Определение ℘-функций. Выражение через рациональные функции . . . . 327

Глава 11

РИМАНОВЫ ТЭТА-ФУНКЦИИ В ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ

199
Гиперэллиптический случай иллюстрирует общую теорию
. . . . . . . . . 331
200
Точки m1, . . . , mp. Правило полупериодов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
201, 202 Базис характеристик, определяемый точками ветвления
. . . . . . . . . . 334
203
Обозначения; какие общие теоремы мы будем иллюстрировать . . . . . . 336
204, 205 Таблицы, иллюстрирующие общую теорию . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
206—213 Алгебраическое выражение для отношений гиперэллиптических
тэта-функций. Решение проблемы обращения в гиперэллиптическом
случае
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
214, 215 Выражение одной ζ-функции через алгебраические интегралы и рациональные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
216
Рациональное выражение для ℘-функции. Связь с отношениями тэтафункций. Решение проблемы обращения с помощью ℘-функции
. . . . . 358
217
Рациональное выражение для ℘-функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
218—220 Алгебраический вывод формулы сложения для тэта-функций в случае
p = 2; обобщение формулы σ(u + v)σ(u − v) = σ2(u)σ2(v) (℘(u) − ℘(v))
. . 366
221
Примеры для случая p = 2. Гёпелево биквадратичное соотношение . . . . 374

Глава 12

ОБ ОДНОМ ЧАСТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

222
Эта глава посвящена некоторой замене независимой переменной и некоторой специальной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
223—225 Определение группы подстановок; основные свойства
. . . . . . . . . . . 380
226, 227 Сходимость некоторого ряда; функции, ассоциированные с группой
. . . 386
228—232 Основные функции. Сравнение с теорией, развиваемой далее в этой
книге . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
233—235 Определение и периодичность фундаментальной функции Шоттки
. . . . 396

Оглавление

236, 237 Ее связь с тэта-функциями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
238
Еще одна функция, связанная с функцией Шоттки . . . . . . . . . . . . . 404
239
Гиперэллиптический случай
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

Глава 13

О КОРНЯХ ИЗ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

240
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
241, 242 Выражение корня из рациональной функции через римановы интегралы
и через тэта-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
243
Корни из рациональных функций как обобщение рациональных функций 414
244, 245 Характеристики радикальных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
246—249 Бикасательные к плоской квартике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
250, 251 Решение проблемы обращения с помощью радикальных функций . . . . . 426

Глава 14

ФАКТОРИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

252
Формулировка результатов. Обозначения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
253
Разрезание римановой поверхности, необходимое для наших целей . . . . 431
254
Определение факториальной функции (в частности, и радикальной функции). Примарные и ассоциированные системы факториальных функций
. 432
255
Факториальные интегралы из примарной и ассоциированной систем . . . 434
256
Факториальные интегралы, конечные всюду, кроме фиксированных точек.
Определение чисел ̟ и σ + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
257
Если σ + 1 > 0, то имеется σ + 1 всюду конечная факториальная функция
из ассоциированной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
258
Другой подход к вопросу о существовании всюду конечных факториальных функций из ассоциированной системы. Различные случаи, возникающие в зависимости от значений σ + 1 и σ′ + 1. . . . . . . . . . . . . . . . 438
259
Выражение этих функций через всюду конечные интегралы . . . . . . . . 440
260
Общие замечания о периодах факториальных интегралов
. . . . . . . . . 441
261, 262 Теорема Римана––Роха для факториальных функций. Если σ′ + 1 = 0, то
наименьшее количество произвольно заданных полюсов для функции из
примарной системы равно ̟′ + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
263
Построение факториальных функций из примарной системы с ̟′ + 1
произвольным полюсом
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
264, 265 Построение факториального интеграла, имеющего особенностями только
полюсы. Для интеграла из примарной системы наименьшее количество
таких полюсов равно σ + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
266
Факториальный интеграл можно упростить (по аналогии с римановым
нормальным интегралом второго рода) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
267
Выражение факториальной функции с ̟′ + 1 полюсами через факториальный интеграл с σ + 2 полюсами. Аналогия между факториальными
функциями и функциями ψ(x, a; z, c1, . . . , cp) . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
268
Проверка теории в одном очень частном случае . . . . . . . . . . . . . . . 451
269
Радикальные функции как частный случай факториальных функций
. . . 457
270
Факториальные функции без существенных особенностей, мультипликаторы которых являются произвольными константами . . . . . . . . . . . . 458

Оглавление
11

271, 272 Исследование общей формулы, связывающей факториальные функции
и тэта-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
273
Функция Шоттки—Клейна в некотором виде
. . . . . . . . . . . . . . . . 464
274
Выражение тэта-функции через радикальные функции как частный случай результата из п. 272
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
275, 276 Формула из п. 272 для случая рациональных функций
. . . . . . . . . . . 469
277
Формула из п. 272 позволяет алгебраически определить гиперэллиптическую тэта-функцию и ее тэта-характеристику . . . . . . . . . . . . . . . . 472
278
Выражение произвольной факториальной функции через простые тэтафункции; примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
279
Связь теории факториальных функций с теорией автоморфных форм . . . 478

Глава 15

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПРОИЗВЕДЕНИЯМИ ТЭТА-ФУНКЦИЙ: ВВЕДЕНИЕ

280
План этой и двух последующих глав . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
281
Однозначная целая аналитическая функция от p переменных, периодическая по каждой переменой в отдельности, представляется в виде ряда
из экспонент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
282, 283 Доказательство того, что 22p тэта-функций с полуцелыми характеристиками линейно независимы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
284, 285 Определение общей тэта-функции порядка r; ее линейное выражение через r p тэта-функций. Любые p + 2 тэта-функции одного порядка и с одинаковыми периодами и характеристиками связаны однородным полиномиальным соотношением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
286
Теорема сложения для гиперэллиптических тэта-функций, а также для
общего случая, если p < 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
287, 288 Число линейно независимых тэта-функций порядка r, имеющих одну и ту
же четность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
289
Примеры. Гёпелево биквадратичное соотношение . . . . . . . . . . . . . . 504

Глава 16

ПРЯМОЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ СООТНОШЕНИЙ МЕЖДУ ТЭТА-ПРОИЗВЕДЕНИЯМИ

290
Обзор содержания главы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
291
Теорема сложения, получаемая при перемножении двух тэта-функций . . 511
292
Теорема сложения, получаемая при перемножении четырех тэта-функций 514
293
Общая формула, получаемая при перемножении произвольного количества тэта-функций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

Глава 17

ТЭТА-СООТНОШЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С НЕКОТОРЫМИ ГРУППАМИ ХАРАКТЕРИСТИК

294
Сокращенные обозначения; определения понятий «соединенный»
и «разъединенный»; литературные ссылки (см. также с. 331)
. . . . . . . 528
295
Одна подготовительная лемма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
296
Определение гёпелевой группы характеристик . . . . . . . . . . . . . . . . 531
297
Определение гёпелевой системы характеристик . . . . . . . . . . . . . . . 532
298, 299 Определение гёпелевых систем постоянной четности; число таких систем 534
300—303 Определение базисного набора гёпелевых систем . . . . . . . . . . . . . . 536
304, 305 Сводка полученных результатов и простейшие приложения
. . . . . . . . 545

Оглавление

306—308 Число линейно независимых тэта-функций второго порядка, имеющих
некоторый определенный вид. Явная формулировка одного важного
тождества
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
309—311 Самые важные формулы этой главы. Общая теорема сложения. Выражение ℘-функции через отношения тэта-функций . . . . . . . . . . . . . . 554
312—317 Другие применения идей этой главы. Представление функции ϑ(nv) в виде целого многочлена степени n2 от 2p функций ϑ(v) . . . . . . . . . . . . 561

Глава 18

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЕРИОДОВ, И В ОСОБЕННОСТИ ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

318
Общие соображения по поводу теории преобразований
. . . . . . . . . . 574
319—323 Общая теория преобразования петель периодов на римановой
поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
324
Аналитическая теория преобразования периодов и характеристик
тэта-функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
325
Сходимость ряда для преобразованной функции . . . . . . . . . . . . . . . 584
326
Специализация формул для случая линейного преобразования
. . . . . . 585
327
Преобразование тэта-характеристик; четных характеристик; соединенных характеристик
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
328
Характеристики периодов и тэта-характеристики . . . . . . . . . . . . . . 589
329
Нахождение линейного преобразования, переводящего данную четную
характеристику в нулевую . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
330, 331 Линейное преобразование одной разъединенной системы
тэта-характеристик в другую . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592
332
Композиция двух преобразований различного порядка; дополнительные
преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
333, 334 Построение p + 2 элементарных линейных преобразований, обладающих
тем свойством, что всякое линейное преобразование представимо в виде
их композиции; нахождение постоянных множителей для каждого из этих
преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
335
Постоянный множитель для произвольного линейного преобразования . . 603
336
Всякое линейное преобразование соответствует замене петель периодов
на римановой поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605
337, 338 Линейные преобразования точек m1, . . . , mp . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
339
Линейное преобразование характеристик радикальной функции . . . . . . 609
340
Нахождение точек m1, . . . , mp на римановой поверхности с заданными
разрезами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
341
Линейное преобразование отношений гиперэллиптических тэта-функций . 613
342
Удобный выбор петель периодов для гиперэллиптических поверхностей
специального вида. Вейерштрассовы числовые обозначения для полуцелых характеристик
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

Глава 19

О СИСТЕМАХ ПЕРИОДОВ И ОБОБЩЕННЫХ ЯКОБИЕВЫХ ФУНКЦИЯХ

343
Предмет этой главы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
344—350 Столбцы периодов. Исключение бесконечно малых периодов. Выражение
произвольного столбца периодов через конечное число таких столбцов,
с целыми коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617

Оглавление
13

351—356 Определение общих якобиевых функций, сравнение с тэта-функциями . . 624
357—362 Выражение якобиевой функции через тэта-функции. Всякие p + 2 якобиевы функции с одинаковыми периодами и параметром связаны однородным полиномиальным соотношением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

Глава 20

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТЭТА-ФУНКЦИЙ

363
Обзор содержания главы и литературные ссылки . . . . . . . . . . . . . . 646
364, 365 Элементарная теория преобразований второго порядка . . . . . . . . . . . 647
366, 367 Одна общая формула, из которой выводится формула для преобразований нечетного порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653
368, 369 Общая теорема о преобразованиях нечетного порядка . . . . . . . . . . . 657
370
Преобразования второго порядка в общем случае . . . . . . . . . . . . . . 664
371
Два этапа нахождения постоянных коэффициентов . . . . . . . . . . . . . 666
372
Первый этап нахождения коэффициентов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 667
373
Замечания и примеры в связи со вторым этапом
. . . . . . . . . . . . . . 669
374
Преобразование периодов с нецелыми коэффициентами . . . . . . . . . . 672
375
Ссылки на алгебраические приложения теории . . . . . . . . . . . . . . . 675

Глава 21

КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ ТЭТА-ФУНКЦИЙ.

СООТВЕТСТВИЯ ТОЧЕК НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

376
Предмет настоящей главы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676
377, 378 Необходимые условия для существования комплексного умножения
(специального преобразования) тэта-функций . . . . . . . . . . . . . . . . 676
379—382 Доказательство того, что в одном из случаев условия достаточны . . . . . 679
383
Пример: эллиптический случай
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
384
Определение (r, s)-соответствия на римановой поверхности . . . . . . . . 687
385
Соотношения, необходимые для существования соответствия . . . . . . . 687
386
Алгебраическое задание соответствия на общей римановой поверхности . 689
387
Неподвижные точки. Примеры с бикасательными и перегибами плоской
кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693
388
Условия на (1, s)-соответствие на специальной римановой поверхности
. 696
389
Если p > 1, то всякое (1, 1)-соответствие периодично...
. . . . . . . . . . 697
390
...и его наличие влечет ограничения на вид уравнения римановой поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698
391—393 При p > 1 не бывает бесконечно много (1, 1)-соответствий
. . . . . . . . 699
394
Примеры для случая p = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702

Глава 22

ВЫРОЖДЕННЫЕ АБЕЛЕВЫ ИНТЕГРАЛЫ

395
Пример эффекта, о котором пойдет речь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704
396
Теорема Вейерштрасса. Связь с преобразованием, в результате которого
тэта-функция распадается в произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704
397
Теоремы Вейерштрасса и Пикара. Связь с линейным преобразованием,
для которого τ ′′
1, 2 = r
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
398
При p = 2 существование одного вырожденного интеграла влечет существование второго . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706

Оглавление

399, 400 Случай p = 2: связь с теорией специальных преобразований . . . . . . . . 707
401—403 Условия на уравнение римановой поверхности. Литературные ссылки
. . 708

Приложение 1

ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ

404
Формальное доказательство того, что на всякой алгебраической кривой
в пространстве реализуются соотношения, связывающие три рациональные функции на римановой поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710

Приложение 2

О МАТРИЦАХ

405—410 Вводные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712
411—415 Разложение абелевой матрицы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715
416
Один частный результат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720
417, 418 Леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720
419, 420 Обоснование результатов, принятых без доказательства в п. 396, 397 . . . 721

Предметный указатель
723

Список некоторых обозначений
729

Указатель имен
731

Предисловие редактора
английского издания

Классическая алгебраическая геометрия, неразрывно связанная с именами
Абеля, Римана, Вейерштрасса, Пуанкаре, Клебша, Якоби и других выдающихся математиков XIX века, являлась главным образом аналитической теорией.
В XX веке она обогатилась методами и идеями топологии и коммутативной
алгебры и превратилась в одну из основных математических дисциплин.
Традиционный эклектизм (в лучшем значении этого слова) алгебраической
геометрии всегда был источником ее многочисленных приложений к другим областям математики. Роль алгебраической геометрии как «прикладной науки»
чрезвычайно возросла в последние 15––20 лет, когда были найдены ее новые
приложения к нелинейным уравнениям и квантовой теории поля.
Механика, математическая и теоретическая физика могут быть названы «новыми» сферами приложения алгебраической геометрии. Впрочем, эти области
нетрадиционны только для второй трети XX века –– периода, когда казалось, что
абстрактный язык гротендиковских схем навсегда заменил довольно наивный
язык классической алгебраической геометрии.
Результаты последних лет, среди которых особо стоит отметить решение проблемы Римана––Шоттки и приложения топологической гравитации к теории пересечений на пространствах модулей алгебраических кривых, показывают, что
теперь, как и в XIX веке, отношения между алгебраической геометрией и физикой
ни в коей мере не являются односторонними.
Когда число ученых, для которых алгебраическая геометрия стала рабочим
инструментом, стало быстро расти, обнаружилась нехватка подходящей для них
математической литературы. Почти все книги по этой теме, доступные современному читателю, написаны на языке абстрактной алгебры. Идея максимальной
общности, заложенная в теорию схем, мешает читателю, желающему быстро
войти в курс дела, особенно если этот читатель –– физик.
Было бы преувеличением сказать, что подходящая литература отсутствует полностью. Некоторые книги последних десятилетий, такие как «Принципы
алгебраической геометрии» Гриффитса и Харриса, «Лекции о тэта-функциях»
Мамфорда и «Theta-functions» Дж. Фея (J. Fay), написаны в отчетливо неоклассическом стиле.
Несомненно, книга Бейкера занимает особое место в этом списке, благодаря
хотя бы тому, что ее первое издание датировано концом XIX века. Но это ––
не единственная ее особенность. Книга на удивление современна и, более того,
содержит результаты, которые до сих пор выходят за рамки современных учеб

Предисловие редактора английского издания

ников. Замечательно, что именно эти результаты тесно связаны с приложениями
алгебраической геометрии к современной математической физике, упоминавшимися выше.
При всем многообразии результатов, полученных в рамках классической алгебраической геометрии, ее ядро состоит из сравнительно небольшого числа
основных определений и теорем. В их список входят теорема Римана––Роха,
понятие якобиана алгебраической кривой, теорема Абеля и якобиево решение
проблемы обращения с помощью тэта-функций.
Хотя автор этой книги вынес в заголовок лишь теорему Абеля и теорию
тэта-функций, скромные слова «и связанная с ней теория» означают «все остальное». Это «остальное», кроме теорем, перечисленных выше, включает в себя
элементы теории униформизации алгебраических кривых и связанную с ней теорию автоморфных форм, а также модель Шоттки алгебраических кривых. Очень
важны для современных приложений разделы, посвященные «факториальным
функциям».
Необходимо подчеркнуть еще одно –– возможно, основное –– достоинство этой
книги. В ней проявляется характерная черта классической алгебраической геометрии –– стремление выразить конечный результат в виде явной аналитической
формулы. Это предполагает определение минимального класса новых трансцендентных функций –– «кирпичей», из которых может быть построено все здание.
Чтобы продемонстрировать это, мы кратко изложим основные моменты теории так называемого конечнозонного (или алгебро-геометрического) интегрирования нелинейных уравнений. При этом мы сможем отдать дань уважения автору
этой книги, чье имя увековечено в названии функции Бейкера––Ахиезера, играющей ключевую роль в разнообразных современных приложениях алгебраической
геометрии к нелинейной физике.
Алгебро-геометрическая схема интегрирования нелинейных уравнений применима ко всем уравнениям, рассматриваемым в рамках метода обратной задачи.
К таковым относятся уравнение Кортевега––де Фриза (КдФ)

ut − 3

2uux + 1

4uxxx = 0,
(0.1)

его двумерное обобщение –– уравнение Кадомцева––Петвиашвили (КП)

3
4uyy =
ut − 3

2uux + 1

4uxxx
x,
(0.2)

нелинейное уравнение Шрёдингера

iψt = ψxx + |ψ|2ψ,
(0.3)

уравнение sin-Гордон
utt − uxx = sinu,
(0.4)

а также многие другие фундаментальные уравнения современной математической
физики.
Все уравнения, рассматриваемые в рамках обратной задачи, могут быть представлены в виде условий совместимости для переопределенной системы вспомогательных линейных задач.

Предисловие редактора английского издания
17

К примеру, для уравнения Кортевега––де Фриза (0.1) эта система имеет вид

Lψ = 0,
∂tψ = Aψ,
(0.5)

где L и A равны

L = −∂2
x + u(x, t),
A = ∂3
x − 3

2u∂x − 3

4ux.
(0.6)

Из совместимости системы (0.5) следует, что

[∂t − A, L] = 0 ⇔ Lt = [A, L].
(0.7)

Операторное уравнение (0.7) называется уравнением Лакса. Широкий класс
нелинейных уравнений может быть представлен в виде (0.7), где L и A –– обыкновенные дифференциальные операторы от x с матричными или скалярными
коэффициентами, зависящими от переменных x и t:

L =

n
i=1
ui (x, t)∂i
x,
A =

m
i=1
vi(x, t)∂i
x.
(0.8)

Всякое уравнение Лакса является бесконечномерным аналогом вполне интегрируемой системы. В частности, оно может быть включено в бесконечную
иерархию коммутирующих потоков. Для уравнения Кортевега––де Фриза они
имеют вид

∂nu = fn(u, ux, . . . , u(2n+1)),
u = u(x, t, t3, t4, . . .),
∂n = ∂

∂tn ,
(0.9)

и эквивалентны операторному уравнению

∂nL = [A2n+1, L],
(0.10)

где L –– оператор Шрёдингера, а A2n+1 –– дифференциальный оператор порядка 2n + 1.
Первоначальное определение n-зонных решений уравнения Кортевега––де Фриза было предложено Новиковым, который рассматривал ограничение этого уравнения на пространство стационарных решений уравнения (0.10):

fn(u, ux, . . . , u(2n+1)) = 0 ⇔ [L, A2n+1] = 0.
(0.11)

Операторное уравнение (0.11) является частным случаем более общей задачи:
классификации пар коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов Ln и Lm порядков n и m соответственно. В чисто алгебраическом виде
эта задача была рассмотрена и частично решена в выдающихся работах Берчналла и Чоунди [1, 2] в 1920-х гг. Они доказали, что для всякой пары таких
операторов существует многочлен R(λ, µ) от двух переменных, для которого

R(Ln, Lm) = 0.
(0.12)

Если порядки n и m этих операторов взаимно просты, то каждой точке Q = (λ, µ)
кривой Γ ⊂ C2, заданной уравнением R(λ, µ) = 0, соответствует единственная

Предисловие редактора английского издания

(с точностью до умножения на скаляр) общая собственная функция ψ(x, Q)
операторов Ln и Lm:

Lnψ(x, Q) = λψ(x, Q);
Lmψ(x, Q) = µψ(x, Q).
(0.13)

Логарифмическая производная ψxψ−1 является мероморфной функцией на Γ.
В общем положении (когда кривая Γ гладкая) она имеет g полюсов γ1(x), . . .
. . . , γg (x) в аффинной части кривой, где g –– род кривой Γ. Коммутирующие
операторы Ln, Lm (в случае взаимно простых порядков) однозначно определены
многочленом R и множеством из g точек {γ1(x0), . . . , γg (x0)} на кривой Γ.
В таком виде решение задачи имеет чисто классификационный характер:
устанавливается взаимно однозначное соответствие между двумя множествами,
но не делается даже попытки получить точную формулу для коэффициентов
коммутирующих операторов. Бейкер предложил сделать план эффективным, указав, что собственная функция ψ обладает аналитическими свойствами функций,
введенных Клебшем, Горданом и им самим в качестве аналога экспоненты для
римановых поверхностей.
Авторы работ [1, 2] не сочли нужным действовать согласно плану Бейкера
(см. добавление к статье Бейкера [3]), и эти результаты были забыты на долгие
годы.
Приведем набросок доказательства этих результатов. Так как Ln и Lm коммутируют, пространство L(λ) решений уравнения

Lny(x) = λy(x)
(0.14)

инвариантно относительно оператора Lm. Матричные элементы Lij
m, i, j = 0, . . .
. . . , n − 1, соответствующего оператора Lm(λ),

Lm|L(λ) = Lm(λ) : L(λ) → L(λ),
(0.15)

в каноническом базисе

ci (x, λ, x0) ∈ L(λ),
ci (x, λ, x0)|x=x0 = δij,
(0.16)

являются многочленами от λ. Они зависят от выбора точки x = x0, т. е. Lij
m =
= Lij
m(λ, x0). Характеристический многочлен

R(λ, µ) = det(µ − Lij
m(λ, x0))
(0.17)

является многочленом от обеих переменных λ и µ и не зависит от x0.
Согласно свойству характеристического многочлена имеем

R(Ln, Lm)y(x, λ) = 0.
(0.18)

Здесь R(Ln, Lm) –– это обыкновенный дифференциальный оператор. Поэтому, если он не является нулевым, его ядро имеет конечную размерность. Стало быть,
равенство (0.18) влечет (0.12), и первое утверждение из [1, 2] доказано.
Уравнение
R(λ, µ) = 0
(0.19)

определяет аффинную часть алгебраической кривой Γ ⊂ C2.

Предисловие редактора английского издания
19

Удивительным образом изложение материала в настоящей книге параллельно
решению этой задачи. В первых строках мы читаем: «Эта книга посвящена разделу теории алгебраических иррациональностей, относящемуся к случаю, когда
величина y выражается через величину x с помощью уравнения вида

a0yn + a1yn−1 + . . . + an−1y + an = 0 . . . »
(0.20)

Возможно, такая формулировка с последующим подробным обсуждением того,
что такое точка на римановой поверхности, выглядит для современного читателя
довольно наивной, но она имеет и свои преимущества, так как позволяет с самого
начала подойти к основным вопросам теории. Вся структура книги такова, что от
конкретных определений автор переходит к общей теории, а затем возвращается
к конкретным вопросам. Например, в гл. 1 сразу после определения алгебраических иррациональностей (0.20) вводится понятие их рациональной эквивалентности и доказывается инвариантность рода (дефекта) иррациональностей
при рациональных преобразованиях, а в конце этой главы устанавливается, что
«максимальное число неустранимых параметров» для алгебраической иррациональности рода g равно 3g − 3 (говоря современным языком, это число является
размерностью пространства модулей алгебраических кривых рода g) –– и все это
на тринадцати страницах1!
Вернемся к проблеме классификации коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов. Анализ асимптотического поведения алгебраического
уравнения (0.19) «на бесконечности» (при λ → ∞) показывает, что если порядки n и m операторов Ln и Lm взаимно просты, то аффинная кривая (0.19)
компактифицируется одной гладкой точкой, в окрестности которой λ−1/n является
локальной координатой, т. е. бесконечность является n-кратной точкой ветвления
кривой Γ. Следовательно, для общего λ уравнение (0.19) имеет n различных
корней, и для каждой точки Q = (λ, µ) ∈ Γ существует единственный собственный
вектор h(Q) = (h1(Q), . . . , hn(Q)) оператора Lm(λ):

Lm(λ)h(Q) = µh(Q),
(0.21)

нормализованный условием h1(Q) = 1. Остальные компоненты hi этого вектора
являются рациональными функциями переменных λ и µ, т. е. мероморфными
функциями на Γ. Они зависят от выбора точки x0, так что hi = hi (Q, x0). В аффинной части кривой полюсы h совпадают с нулями минора Lij
m, i, j = 1, . . . , n − 1,
на кривой Γ. Если кривая гладкая, то количество полюсов совпадает с ее родом.
Полюсы γ1(x0), . . . , γg (x0) зависят от x0.
Общая собственная функция ψ(x, Q) операторов Ln и Lm определена с точностью до умножения на скаляр, так что ее логарифмическая производная ψxψ−1

определена однозначно. Из определения канонического базиса (0.16) следует, что

ψx (x, Q)ψ−1(x, Q)|x=x0 = h1(Q, x0).
(0.22)

Это доказывает второе утверждение из [1, 2]. Для того чтобы доказать последнее
утверждение, согласно которому коэффициенты многочлена R и дивизор γs (x0)

1Английского оригинала.