Лекции об уравнениях с частными производными

В. И. Арнольд

Лекции об уравнениях
с частными
производными

МЦНМО

В. И. Арнольд

ЛЕКЦИИ ОБ УРАВНЕНИЯХ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2018

УДК 517.95
ББК 22.161.6
A84

Арнольд В. И.
Лекции об уравнениях с частными производными.
Электронное издание.
М.: МЦНМО, 2018.
181 с.
ISBN 978-5-4439-3174-6

Данный курс был разработан и прочитан выдающимся математиком В. И. Арнольдом в Независимом московском университете. Помимо традиционных вопросов курса уравнений с частными
производными (метод Даламбера, метод Фурье, краевые задачи
и т. д.) автор уделяет большое внимание взаимодействию с другими областями математики: геометрией и топологией многообразий, симплектической и контактной геометрией, комплексным
анализом, вариационным исчислением.
Книга предназначена для студентов и аспирантов математических факультетов университетов и вузов с расширенной программой по математике.

12+

Подготовлено на основе книги:
Арнольд В. И. Лекции об уравнениях с частными производными. —
М.: МЦНМО, 2017. — 182 с. ISBN 978-5-4439-1174-8.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11
тел. (499) 241–08–04
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-3174-6
ffi Арнольд Э. А. (наслед.), 2017
ffi МЦНМО, 2017

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Лекция 1. Общая теория для одного уравнения
первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

Лекция 2. Общая теория для одного уравнения
первого порядка (продолжение) . . . . . . . . . . . . . . .
20

Лекция 3. Принцип Гюйгенса в теории
распространения волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

Лекция 4. Струна (метод Даламбера) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

1. Общее решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

2. Краевые задачи и задача Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

3. Задача Коши для неограниченной струны.
Формула Даламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43

4. Полуограниченная струна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

5. Ограниченная струна (резонанс) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45

6. Метод Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46

Лекция 5. Метод Фурье (для струны) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49

1. Решение задачи в пространстве тригонометрических
многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49

2. Отступление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50

3. Формулы для решения задачи пункта 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .
50

4. Общий случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51

5. Ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51

6. Сходимость рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52

7. Явление Гиббса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53

Лекция 6. Теория колебаний. Вариационный принцип . . . . .
55

Лекция 7. Теория колебаний. Вариационный принцип
(продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66

Лекция 8. Свойства гармонических функций . . . . . . . . . . . . .
82

1. Следствия из теоремы о среднем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85

2. Теорема о среднем в многомерном случае . . . . . . . . . . . . . . .
91

Оглавление

Лекция 9. Фундаментальное решение оператора Лапласа.
Потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94

1. Примеры и свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95

2. Отступление. Принцип суперпозиции . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97

3. Добавление. Оценка потенциала простого слоя . . . . . . . . . . . 109
Лекция 10. Потенциал двойного слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Лекция 11. Сферические функции. Теорема Максвелла.
Теорема об устранимой особенности . . . . . . . . . . 125

Лекция 12. Краевые задачи для уравнения Лапласа.
Теория линейных уравнений и систем . . . . . . . . . 142

1. Внутренняя задача Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2. Внешняя задача Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3. Внутренняя задача Неймана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4. Внешняя задача Неймана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5. Линейные уравнения с частными производными и их
символы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Приложение 1. Топологическое содержание теоремы
Максвелла о мультипольном
представлении сферических функций . . . . . 157

1. Основные пространства и группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
2. Некоторые теоремы вещественной алгебраической
геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3. От алгебраической геометрии к сферическим функциям . . . 162
4. Явные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5. Теорема Максвелла и P2/conj ≈ S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6. История теоремы Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Приложение 2. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
1. Материалы семинаров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
2. Задачи письменного экзамена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Предисловие

Теория уравнений с частными производными считалась в середине
XX века вершиной математики — как вследствие трудности и значения решаемых ею задач, так и потому, что она сформировалась позже
большинства математических дисциплин.
Сегодня многие склонны пренебрежительно рассматривать эту
замечательную область математики как старомодное искусство жонглирования неравенствами или как полигон для приложений функционального анализа. Соответствующий курс даже исключён из обязательной программы ряда университетов (например, в Париже).
Более того, такие замечательные учебники, как классический трёхтомник Гурса, были выкинуты библиотекой университета Париж-7
за ненадобностью (и только благодаря моему вмешательству удалось
спасти их, наряду с курсами лекций Клейна, Пикара, Эрмита, Дарбу,
Жордана, ‌).
Причина вырождения важной общематематической теории в бесконечный поток работ «Об одном свойстве одного решения одной
краевой задачи для одного уравнения» состоит, вероятно, в попытке
создать единую всеобъемлющую сверхабстрактную «теорию всего».
Основным источником уравнений с частными производными являются модели сплошных сред математической и теоретической физики. Попытки распространить замечательные достижения математической физики на сходные с её моделями лишь формально системы
приводят к сложным и труднообозримым теориям, подобно тому, как
попытки распространить геометрию поверхностей второго порядка
и алгебру квадратичных форм на объекты более высоких степеней
быстро заводят в дебри алгебраической геометрии с её обескураживающей иерархией сложных вырождений и вычислимыми лишь
принципиально ответами.
В теории уравнений с частными производными положение ещё
хуже: трудности коммутативной алгебраической геометрии соединяются здесь с некоммутативной дифференциальной алгеброй совер

Предисловие

шенно неразделимым образом, и вдобавок возникающие вопросы
топологии и анализа глубоко нетривиальны.
В то же время общефизические принципы и такие общие понятия,
как энергия, вариационный принцип, принцип Гюйгенса, лагранжиан, преобразование Лежандра, гамильтониан, собственные числа
и собственные функции, двойственность «волна-частица», дисперсионные соотношения, фундаментальные решения, прекрасно работают в многочисленных важнейших задачах математической физики.
Их исследование стимулировало развитие больших отделов математики, таких как теория рядов и интегралов Фурье, функциональный
анализ, алгебраическая геометрия, симплектическая и контактная
топология, теория асимптотик интегралов, микролокальный анализ,
теория индекса (псевдо)дифференциальных операторов и т. д.
Знакомство с этими фундаментальными математическими идеями является, на мой взгляд, абсолютно необходимым для каждого
работающего математика. Их исключение из университетского преподавания математики, совершившееся или совершающееся во многих западных университетах под влиянием схоластов-аксиоматизаторов (не знакомых ни с какими приложениями и не желающих знать
ничего, кроме «абстрактной чепухи» алгебраистов), представляется
мне крайне опасным последствием бурбакизации и математики, и её
преподавания. Стремление уничтожить ненужную схоластическую
псевдонауку является естественной и законной реакцией общества
(в том числе научного) на безответственную и самоубийственную
агрессивность «сверхчистых» математиков, воспитанных в духе Харди и Бурбаки.
Автор этого очень короткого курса лекций старался познакомить
с калейдоскопом фундаментальных идей математики и физики студентов-математиков с минимальными познаниями (линейная алгебра и основы анализа, включая обыкновенные дифференциальные
уравнения). Вместо обычного в математических книгах принципа
наибольшей общности автор старался придерживаться принципа минимальной общности, согласно которому каждая идея должна быть
вначале ясно понята в простейшей ситуации и только затем развитый
метод может переноситься на более сложные случаи.
Хотя доказательство общего факта обычно бывает проще, чем доказательство его многочисленных частных случаев, содержание математической теории для обучающегося не больше, чем набор хорошо
и до конца понятых им примеров. Поэтому именно примеры и идеи,

Предисловие
7

а не общие теоремы и аксиомы, составляют основу этой книги. Экзаменационные задачи в конце курса составляют существенную его
часть.
Особое внимание было уделено взаимодействию предмета с другими областями математики: геометрией многообразий, симплектической и контактной геометрией, комплексным анализом, вариационным исчислением, топологией. Автор рассчитывал на любознательного студента, но надеется, что даже профессиональные математики других специальностей смогут познакомиться по этой книжке
с основными и потому простыми идеями математической физики
и теории уравнений с частными производными.
Настоящий курс был прочитан студентам третьего курса Математического колледжа Независимого московского университета в осеннем семестре 1994/95 учебного года, причём лекции 4 и 5 были
прочитаны Ю. С. Ильяшенко, лекция 8 — А. Г. Хованским. Все лекции
были записаны В. М. Имайкиным (составленный им конспект был
затем переработан автором). Автор выражает всем им глубокую благодарность.

Лекция 1

Общая теория для одного
уравнения первого порядка

В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, нет
единой теории уравнений с частными производными. Некоторые
уравнения имеют свои теории, для других теории нет вообще. Это
связано с более сложной геометрией. В случае обыкновенного уравнения на многообразии задано векторное поле, которое локально
интегрируемо (имеет интегральные кривые). В случае уравнения
с частными производными в каждой точке многообразия задано подпространство касательного пространства размерности больше 1. Как
известно, уже поле двумерных плоскостей в трёхмерном пространстве в общем случае не интегрируемо.

Пример. В пространстве с координатами x, y, z рассмотрим поле
плоскостей, заданное уравнением dz = y dx (в каждой точке это одно
линейное уравнение на координаты касательного вектора, задающее
плоскость).

Задача 1. Нарисуйте это поле плоскостей и докажите, что у него
нет интегральной поверхности, т. е. такой поверхности, у которой
в каждой точке касательная плоскость совпадает с плоскостью поля.

Таким образом, интегрируемые поля плоскостей — исключительное явление.
Подмногообразие, касательная плоскость которого в каждой точке принадлежит подпространству поля, называется интегральным
подмногообразием поля касательных подпространств на многообразии. Если удаётся провести интегральное подмногообразие, его размерность обычно не совпадает с размерностью плоскостей поля.
В этой лекции мы рассмотрим случай, в котором есть полная
теория, а именно случай одного уравнения первого порядка. С физической точки зрения этот случай представляет собой двойственность

Лекция 1. Общая теория для уравнения первого порядка
9

описания явлений при помощи волн и при помощи частиц. Поле удовлетворяет некоторому уравнению в частных производных первого
порядка, эволюция частиц описывается системой ОДУ, имеется приём сведения УРЧП к системе ОДУ; тем самым можно свести изучение
распространения волн к изучению эволюции частиц.
Запишем всё в локальной системе координат: x = (x1, ... , x𝑛) —
координаты (независимые переменные), y =u(x) — неизвестная функция координат, сама буква y обозначает координату на оси значений,
частные производные обозначим p,

p𝑖 = ∂u

∂x𝑖 = u𝑥𝑖.

Общее уравнение с частными производными первого порядка имеет
вид
F(x1, ... , x𝑛, y, p1, ... , p𝑛) = 0.

Примеры.

∂u
∂x1 = 0;
(1.1)
∂u

∂x1

2
+
∂u

∂x2

2
= 1
(1.2)

(уравнение эйконала в геометрической оптике);

u𝑡 + uu𝑥 = 0
(1.3)

(уравнение Эйлера).

Рассмотрим выпуклую замкнутую кривую на плоскости с координатами x1, x2. Вне области, ограниченной кривой, рассмотрим функцию u расстояния до этой кривой. Тогда u — гладкая функция.

Теорема 1. Функция u удовлетворяет уравнению (1.2).

Д о к а з а т е л ь с т в о. В уравнении (1.2) написано, что квадрат
градиента функции u равен 1. Напомним геометрический смысл
градиента: это вектор, в направлении которого скорость изменения
функции наибольшая, а его длина равна абсолютной величине этой
скорости. Теперь утверждение теоремы очевидно.

Задача 2. а) Докажите, что любое решение уравнения (1.2) локально является суммой расстояния до некоторой кривой и константы.
б) Поймите, где тут двойственность описания при помощи волн
и частиц (в случае затруднений ср. ниже с. 23, рис. 2.2).

Лекция 1. Общая теория для уравнения первого порядка

x

u(t, x)

Рис. 1.1. Частица на прямой

Рассмотрим поле u(t, x) скоростей свободно двигающихся по прямой частиц (см. рис. 1.1). Закон свободного движения частицы имеет
вид
x = ϕ(t) = x0 + vt,

где v — скорость частицы. Функция ϕ удовлетворяет уравнению Ньютона d2ϕ/dt2 = 0. Дадим теперь описание движения через поле u
скоростей: по определению dϕ/dt =u(t, (ϕ(t)). Дифференцируем по t
и получаем уравнение Эйлера:

d2ϕ
dt2 = u𝑡 + u𝑥u = 0.

Обратно, из уравнения Эйлера можно вывести уравнение Ньютона, т. е. эти описания движения при помощи уравнения Эйлера
для поля и при помощи уравнения Ньютона для частиц эквивалентны. Мы и в общем случае построим процедуру, позволяющую свести
уравнения для волн к уравнениям эволюции частиц. Но сначала рассмотрим более простые примеры линейных уравнений.
1. Пусть v = v(x) — векторное поле на многообразии или в области евклидова пространства. Рассмотрим уравнение L𝑣(u) = 0, где
оператор L𝑣 обозначает производную по направлению векторного
поля (производную Ли).
В координатах это уравнение имеет вид

v1
∂u
∂x1 + ... + v𝑛
∂u
∂x𝑛 = 0;

оно называется линейным однородным уравнением в частных производных первого порядка.
Чтобы функция u была его решением, необходимо и достаточно, чтобы она была постоянна вдоль фазовых кривых поля v. Таким
образом, решения нашего уравнения — первые интегралы поля.
Например, рассмотрим поле

v =

𝑛
𝑖=1
x𝑖
∂
∂x𝑖 ,

см. рис. 1.2. Решим уравнение L𝑣(u) = 0 для этого поля v. Фазовые
кривые — лучи x = e𝑡x0, выходящие из начала координат. Решение

Лекция 1. Общая теория для уравнения первого порядка
11

должно быть постоянно на каждом таком луче.

Рис. 1.2. Эйлерово поле

Если наложить условие непрерывности в начале координат, то получим, что решения —
константы и только они. Константы образуют
одномерное линейное пространство (решения линейного уравнения должны образовывать линейное пространство).
В отличие от этого примера, в общем случае решения линейного УРЧП образуют бесконечномерное линейное
пространство. Например, для уравнения ∂u/∂x1 = 0 пространство
решений совпадает с пространством функций от n − 1 переменной:
u = ϕ(x2, ... , x𝑛).
Оказывается, то же самое верно для уравнения общего положения в окрестности регулярной точки.

Задача Коши. Пусть Γ 𝑛−1 — гладкая гиперповерхность в x-пространстве. Задачей Коши называется следующая задача: найти решение уравнения L𝑣(u)= 0, совпадающее на гиперповерхности с заданной
функцией (см. рис. 1.3).

v
Lv(u) = 0

u|Γ n−1 = u0

Γ n−1

Рис. 1.3. Задача Коши

Точка гиперповерхности называется нехарактеристической, если
поле v в ней трансверсально поверхности.

Теорема 2. Задача Коши однозначно разрешима в окрестности
каждой нехарактеристической точки.

Д о к а з а т е л ь с т в о. При помощи гладкой замены переменных
выпрямим векторное поле, а Γ превратим в гиперплоскость x1 = 0. Тогда в малой окрестности нехарактеристической точки получим задачу
∂u
∂x1 = 0,
u|0, 𝑥2,..., 𝑥𝑛 = u0(x2, ... , x𝑛),

которая решается однозначно.