Сопротивление материалов : рабочая тетрадь для решения задач : в 2 ч. Ч. 2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное образовательное учреждение 
высшего профессионального образования
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
______________________________________________________________

А.Я. АСТАХОВА

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

В 2 частях

ЧАСТЬ  2

3-е издание (электронное)

Москва 2017

УДК 539.383+539.38+539.412
ББК 30.121
А91

Р е ц е н з е н т ы: 
кандидат технических наук, профессор Г. М. Чентемиров, 
заведующий кафедрой строительной механики и высшей математики ФГБОУ ВПО «МАРХИ»; 
кандидат технических наук А. В. Ильяшенко, доцент кафедры сопротивления материалов; 
Н. М. Атаров, профессор кафедры сопротивления материалов; 
А. Н. Леонтьев, профессор кафедры сопротивления материалов 
(ФГБОУ ВПО «МГСУ»)

А91
Астахова, Августина Яковлевна.

Сопротивление материалов [Электронный ресурс] : рабочая тетрадь для решения задач : в 2 ч. / 
А. Я. Астахова ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Моск. гос. строит. ун-т. — 3-е изд. (эл.). — 
М. : Изд-во МИСИ–МГСУ, 2017. — ISBN 978-5-7264-1719-6.

Ч. 2. — Электрон. текстовые дан. (1 файл pdf : 43 с.). — Систем. требования: Adobe Reader XI 
либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — ISBN 978-5-7264-1722-6  (ч. 2).

Содержатся схемы и тексты задач для самостоятельной работы студентов под руководством преподавателя. Использование данной формы на занятиях целесообразно для облегчения усвоения материала, экономии 
времени в процессе решения задач.
Для студентов, обучающихся по программе бакалавриата по направлению 08.03.01 «Строительство».

УДК 539.383+539.38+539.412 
ББК 30.121

Деривативное электронное издание на основе печатного издания: Сопротивление материалов : рабочая 
тетрадь для решения задач : в 2 ч. / А. Я. Астахова ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Моск. гос. 
строит. ун-т. — 2-е изд., испр. — М. : Изд-во МИСИ–МГСУ, 2014. — ISBN 978-5-7264-0797-5.

Ч. 2. — 40 с. — ISBN 978-5-7264-1722-6  (ч. 2).

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами 
защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты 
компенсации.

ISBN 978-5-7264-1719-6 
ISBN 978-5-7264-1722-6 (ч. 2)
© Национальный исследовательский Московский 
государственный строительный университет, 2014

Изогнутая ось балки 

v — ………………………………..
φ — ……………………………………..

............................................................................ 
............................................................................ 

Гипотезы  
1) Гипотеза плоских сечений: .....................................................................................
....................................................................................................................................... 
....................................................................................................................................... 
2) ....................................................................................................................................
........................................................................................................................................ 
    Правила  знаков       
для   v
для  φ

Жесткие   балки   имеют 

отношение ............................................................................... v     =   ——   ÷   —— 

    Дифференциальное  уравнение  изогнутой  оси  балки  2-го  порядка   
Кривизна балки прямо пропорциональна ................................................................... 
и обратно пропорциональна ..................................................................................... 
1
____


При плоском прямом изгибе ........................... 

...........................................................................

σ =  ——

На основании гипотезы плоских  сечений...............  
...................................................................................... 
γ   = ...............,   γ   =

v
u
x
y




    = ............или  
 ——   =  
 ——  , 

По закону  Гука     σ x  =.....................................
Продифференцируем обе части уравнения .............................................................. 

2

2

x
v




Дифференциальное уравнение 

2

2
v
x


=  
 ——     ;    
 ..................................     изогнутой  оси  балки................ 

Граничные   условия  
Три  типа: 1) .......................................... (...............................................................), 
2) ......................................... (...............................................................),
3) ......................................... (...............................................................).

      Жесткое 
Свободный 
     Шарнирно-  
Шарнирно- 
   защемление 
     край
неподвижная опора          подвижная  опора 
при   x  = ........         при   x  = ...... 
  при   x  = ......       
  при   x  = ...... 
1) ...............
1) ...............
1) ..............
1) .............
2) ...............
2) ...............
2) ..............
2) ..............

При  x = ......    при  x = ......    при  x = ..... 
 при x = .....        
φ
φ

1) .............
1) .............
1) ............
1) .........

2) ...........
2) ............
2) ...........
2) ............

     Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки 4-го порядка. 
    Метод начальных параметров для определения прогибов 
  и  углов  поворота   сечения 

EJ  v ( ....)  =............
 ——  =......... 

EJ  v ( ....)  =.............=.............
   ( ... ) 

EJ  v ( ....)  =.............=............
  ( ... )  
  ——  =......... 

EJ  v ( ....)  =............
 ...................................................... 
     ...................................................... 
При интегрировании следует учитывать, что 
1) начало  координат помещается в крайнюю левую точку балки,
    при составлении выражения изгибающих моментов берутся силы, 
....................................................................................................................... 
2) интегрирование ведется по новой переменной   (x − ... ).
Полное решение неоднородного дифференциального уравнения    ( .... ) 
состоит из суммы……………....................................................................................... 
......................................................................................................................................... 
Интегрируем последовательно однородное уравнение. 

∆φ =  ……………

EJ  v ( ... ) =........                            
(   )

EJ  v ( ... ) =..............=..........................................................................(   )
EJ  v ( ... ) =..............=.........x  +  .........................................................(   )

EJ v ( ... ) =.............. =   с1— +  с 2 ......+    с 3
(   )

EJ v ( ... ) =  с1— +  с 2 — +    с 3.......   +    с 4
(   )

Получили общее.................................................................
Обозначим в начале координат прогиб  v(0)  = v 0 ,

угол  поворота φ (...) = φ 0 ,  изгибающий момент
M(...) = M
, поперечную силу  Q(   ) = Q
.

Величины  .................................. называются ..............................................................
Из соотношений  (....), (....), (....), (....) получаем,  что
c1 =............., с 2 =..............., с 3 =..................., с 4 =..............................................
Запишем полное решение неоднородного дифференциального уравнения   (....)
в виде
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...

Универсальные уравнения для определения прогибов и углов 
   поворота сечений балки 

v(x)  = v 0  + φ 0  ....
    ———          ———          ————  
 ———— 

       ————
————  
∆φ................

φ(x) = φ 0        ———            ———            ————             ———— 

 ————
————  
∆φ

  M (x) = – EJφ′(x),    Q (x)  = –M′(x). 

   Неизвестные величины  в уравнениях прогибов и углов поворота сечений 
определяются из граничных  условий. 

Задача 5.1. Для заданной балки записать уравнения прогибов и углов поворота сечений 
по  методу начальных параметров. 

  При  x = 0   
v 0 = .......,
M 0 = .........,

φ 0 = .......,
Q 0 = ..........
v(x) =    ———       ————         ———— 

φ(x) =   ———       ————         ————

Задача 5.2. Для заданной балки записать уравнения прогибов и углов поворота сечений 
по методу начальных параметров. 

   Граничные 
   условия    при    x = ...................... 
  При  x = 0   
v 0 = .......,
M 0 = .........,

φ 0 = .......,
Q 0 = ..........
v(x)  = φ 0  x       ———           ———— 
φ( x )  = φ 0
 ———           ———— 

Задача 5.3. Для заданной балки записать уравнения прогибов и углов поворота сечений 
по методу начальных параметров. 

Граничные  условия:
1) при  x ....................................
2) при  x .....................................

  При  x = 0   
v 0 = .......,
M 0 = .........,

φ 0 = .......,
Q 0 = ..........
v(x)  =..............

φ(x)  = ......   ———        ———— 

Задача 5.4. Для заданной балки записать уравнения прогибов и углов поворота сечений 
по методу начальных параметров. 

Граничные  условия:
при  x ..............1) ......................

2) ......................

  При  x = 0  
v 0 = .......,
M 0 = .........,

φ 0 = .......,
Q 0 = ..........
v(x) =  ——
   Неизвестными 
 в уравнениях 
φ(x) =  ——
     являются......... 

    Граничные условия   при  x    = ......... 

(x)  =  ——

      Из решения 
     системы уравнений 
(x)  =  ——
    находим .............. 

Вычислив значения  v  и  φ  в характерных сечениях балки, можно построить
эпюры  v(x)  и φ(x),  учитывая следующие зависимости.
В точке, где эпюра  «Q»  меняет знак,   на эпюре  «φ»  будет точка перегиба.
В точке, где на эпюре  моментов     M = 0,    на эпюре     «φ»     будет    точка
экстремума. 
В точке, где на эпюре углов поворота  φ = 0, на эпюре «v» будет экстремум.
В точке, где  эпюра моментов «M» меняет знак, на эпюре  «v»  будет точка
перегиба. 

Задача 5.5. Заданную балку рассчитать методом начальных параметров,……………………. 

……………………………….
………………………………..
………………………………..
………………………………..
Расчет балки с врезанным 
шарниром  начинается ………
………………………………..
………………………………..
Расчет балки  АС.
∑M А
= 0  (        )

………………………………..
R =.................................
∑M В
= 0 
(
  )

R =................................
Эпюра     «Q»
………………………………..
………………………………..
………………………………..
………………………………..
………………………………..
Эпюра     «M»
………………………………..
………………………………..
………………………………..
………………………………..
………………………………..
Расчет  балки ____.
Эпюра     «Q»
………………………………..
………………………………..
………………………………..
Эпюра     «M»
………………………………..
………………………………..
………………………………..

Подбор сечения в форме..........

M

нб
z = ............ кнм, R = ...... МПа, γ C = ...

W

тр
z
——
=   —————
......................... Принимаем   ...............................

W z =.........см3, J z =.............см4.

Определение жесткости балки при изгибе  E = ...................................................... 
EJ z  = ..............................................................................................................................

Запишем универсальные уравнения для определения прогибов и углов поворота 
сечений заданной балки. 
Начальные параметры:    при     x = .............   v 0 = .......,
M 0 = ........................,

φ 0 = .......,
Q 0 = .........................
v(x)  =    ———         ———       …………    ———        ———  
  ——— 

φ(x)  =    ———        ———       …………    ———        ———  
  ——— 

Неизвестную величину ............. определим ................................................................ 

при   x = ............................................ 

........... =  ————  
  ———— 

∆φ  =     —————

Определение прогибов и углов поворота сечений .................................................... 
.............................. 
x  = ................v    =  ————        ———— 

x  = ................v    =  ————        ———— 

x  = ................φ    =  ————       ———— 

φ    =   ...........
  ———— 

x  = ................φ    =  ————       ———— 

x  = ................φ    =  ————       ———— 

Построение  ............................................................................................................... 
Определение наибольшего прогиба в точке, где  φ = .............. при   x = .............

v max   =  ————        ————          ——————           ————— 

v max   =  ———————
φ    =   ———————