Лекции по аналитической геометрии

Лекции
по аналитической 
геометрии

А. П. Веселов, Е. В. Троицкий

ISBN 978-5-4439-1064-2

9 785443 910642 >

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет
Кафедра выcшей геометрии и топологии

А. П. Веселов, Е. В. Троицкий

Лекции
по аналитической геометрии

Допущено УМО по классическому университетскому образованию
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям .. Математика,
.. Механика и математическое моделирование и специальности
.. Фундаментальные математика и механика

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО


ББК .
B

Веселов А. П., Троицкий Е. В.
Лекции по аналитической геометрии.
Учебное пособие.
Электронное издание.
М.: МЦНМО, .
 с.
ISBN ----

Учебное пособие содержит конспект лекций по обязательному
курсу аналитической геометрии, читаемому авторами на протяжении ряда лет для студентов первого курса механико-математического
факультета МГУ.
Основной особенностью данного курса, впервые прочитанного
первым автором, а затем переработанного вторым, является помещение в центр внимания теории конических сечений, что позволило, наряду с обычными аналитическими конструкциями, более явно
представить геометрическую сторону предмета.
Для студентов первого курса.
Предыдущие издания книги выходили в  г. (издательство
МГУ) и в  г. (издательство «Лань).

Подготовлено на основе книги:
Веселов А. П., Троицкий Е. В. Лекции по аналитической геометрии. Учебное
пособие. –– Изд. новое. –– М.: МЦНМО, . ––  с. ––
ISBN ----

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., ,
тел. ()––.
http://www.mccme.ru

ISBN ----
© Веселов А. П., Троицкий Е. В., .
© МЦНМО, .

Содержание

Введение: об истории предмета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

. Элементы векторной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
§1.1. Векторы в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
§1.2. Базисы и координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
§1.3. Деление отрезка в данном отношении . . . . . . . . . . . . . . . .
14
§1.4. Скалярное произведение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
§1.5. Площадь, объем и ориентация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

. Прямые на плоскости
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
§2.1. Прямые как линии первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
§2.2. Прямая на плоскости в прямоугольных координатах . . . . . .
28
§2.3. Угол между прямыми на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29

. Плоскости и прямые в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
§3.1. Плоскости в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
§3.2. Плоскость в прямоугольной системе координат . . . . . . . . . .
35
§3.3. Прямая в пространстве
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
§3.4. Некоторые формулы в прямоугольной системе координат . . .
38

. Замены координат
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
§4.1. Замены аффинных координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
§4.2. Прямоугольные системы координат и ортогональные матрицы 41
§4.3. Углы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
§4.4. SO(3) и кватернионы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
§4.5. Полярные, сферические и цилиндрические координаты . . . .
45

. Конические сечения: эллипс, гипербола и парабола . . . . . . . . . . .
48
§5.1. Геометрические определения эллипса, гиперболы и параболы
48
§5.2. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения
. . . .
49
§5.3. Оптические (фокальные) свойства коник
. . . . . . . . . . . . .
52
§5.4. Аналитические определения коник . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
§5.5. Директориальные свойства коник . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
§5.6. Фокальный параметр. Полярные уравнения коник
. . . . . . .
59

. Общая теория кривых второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
§6.1. Канонические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
§6.2. Инварианты многочлена второй степени . . . . . . . . . . . . . .
67
§6.3. Определение канонического уравнения по инвариантам
. . .
70
§6.4. Распадающиеся кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
§6.5. Теоремы единственности для кривых второго порядка . . . . .
75


Содержание

§6.6. Теорема Паскаля и построение кривой второго порядка по
пяти заданным точкам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
§6.7. Пересечение кривой второго порядка с прямой . . . . . . . . . .
80
§6.8. Нахождение асимптотических направлений . . . . . . . . . . . .
82
§6.9. Диаметры и центры кривых второго порядка . . . . . . . . . . .
83
§6.10. Сопряженные диаметры и направления . . . . . . . . . . . . . .
87
§6.11. Главные диаметры и оси симметрии . . . . . . . . . . . . . . . .
89
§6.12. Вид и расположение кривых второго порядка . . . . . . . . . .
92
§6.13. Касательные к кривым второго порядка . . . . . . . . . . . . . .
95
§6.14. Поляра точки относительно коники
. . . . . . . . . . . . . . . .
96

. Аффинные и изометрические преобразования . . . . . . . . . . . . . . 101
§7.1. Аффинные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
§7.2. Изометрические преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
§7.3. Аффинная и метрическая классификация квадрик . . . . . . . . 109

. Поверхности второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
§8.1. Приведение уравнения к каноническому виду
. . . . . . . . . . 112
§8.2. Основные виды поверхностей второго порядка и их геометрические свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
§8.3. Общая теория поверхностей второго порядка . . . . . . . . . . . 127
§8.4. Аффинная и метрическая классификация поверхностей второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
§8.5. Некоторые применения теории поверхностей второго порядка 133

. Элементы проективной геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
§9.1. Пополнение плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
§9.2. Связка как модель проективной плоскости . . . . . . . . . . . . . 137
§9.3. Проективные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
§9.4. Проективно-аффинные преобразования
. . . . . . . . . . . . . . 143
§9.5. Проективная прямая. Двойное отношение и гармонические
четверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
§9.6. Кривые второго порядка на проективной плоскости
. . . . . . 147
§9.7. Поляритет на проективной плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Введение: об истории предмета

Мой тезис состоит в том, что сущность аналитической геометрии состоит в изучении геометрических мест
с помощью их уравнений и что это было известно грекам
и служило основой их исследования конических сечений.
Уильям Кулидж

В классической греческой геометрии, относящейся к периоду
–– лет до н. э., два труда занимают особое место. Первый ––
это знаменитые «Начала» Евклида, систематизировавшие многое
из того, что было известно математикам того времени, включая то,
что мы называем сейчас элементарной геометрией. Второй труд,
принадлежащий Аполлонию из Перги (около –– гг. до н. э.),
по сути ознаменовал начало новой, аналитической геометрии. Речь
идет о «Конических сечениях», трактате из  книг, из которых до
нас дошли только  (известна также реконструкция восьмой книги, предложенная современником И. Ньютона и знаменитым астрономом Э. Галлеем). Любопытно, что интерес греков к коническим
сечениям возник еще в IV веке до н. э. в связи со знаменитой задачей об удвоении куба, которую можно рассматривать как задачу
о нахождении точки пересечения двух парабол: x2 = y и y2 = 2x.
Среди предшественников Аполлония в этом направлении следует
упомянуть ученика Евдокса и современника Платона Менехма, Гиппократа Хиосского и Аристея. В частности, Аристей в работе «О пространственных местах» уже рассматривал три различных типа конических сечений: эллипс, гиперболу и параболу.
Аполлоний начинает с описания этих кривых, используя так называемый метод приложения площадей. Если говорить в современных
терминах, то он выводит их уравнения в системе координат, оси которой –– диаметр кривой и касательная в одной из концевых точек:

y2 = px − p

a x2
(эллипс),

y2 = px
(парабола),

y2 = px + p

a x2
(гипербола).

Знаки в этих уравнениях объясняют терминологию: «эллипс» –– недостаток, «гипербола» –– избыток. В своем фундаментальном труде


Введение: об истории предмета

Аполлоний исследовал основные свойства этих кривых, фокусы, сопряженные диаметры, касательные и заложил начала теории поляр.
Единственное, что отделяло его от современной аналитической
геометрии коник, –– отсутствие удобной системы обозначений, которую принесла в математику значительно позже алгебра, пришедшая с арабского Востока.
Заслуга введения такой системы обозначений (которой мы пользуемся до сих пор!) принадлежит великому Рене Декарту, чья «Геометрия», изданная в  году, по праву считается основополагающей для современной аналитической геометрии. Сама идея использовать алгебру в геометрии высказывалась ранее другим замечательным математиком, современником Декарта, Пьером Ферма,
исходившим из работ александрийских математиков, в частности
Аполлония. Именно Ферма впервые установил, что уравнения первой степени задают прямые, а второй –– конические сечения.
Открытие метода координат дало толчок к развитию всей математики, для которой XVII век стал эпохой расцвета. Создание математического анализа стало одной из важнейших вех, а знаменитые «Математические начала натуральной философии» И. Ньютона,
появившиеся в  году, ознаменовали появление новой области
естествознания –– математической физики.
Что касается геометрии, то образовались три ее новые ветви:
алгебраическая, проективная и дифференциальная геометрия. Мы
остановимся лишь на одной из них: проективной геометрии, имеющей непосредственное отношение к нашему курсу.
Истоки проективной геометрии берут свое начало в теории перспективы в живописи эпохи Возрождения. Один из первых математических трудов в этом направлении был написан французским
архитектором и инженером Жераром Дезаргом в  году. Название его замечательно: «Черновой набросок подхода к явлениям,
происходящим при встрече конуса с плоскостью». Новизна точки
зрения Дезарга состоит в том, что он рассматривает конические
сечения как проекции окружности. Дезарг вводит «бесконечно удаленные точки», гармонические четверки, разрабатывает теорию
поляр и доказывает знаменитую теорему о треугольниках, носящую
теперь его имя.
В том же году юный Блез Паскаль (в возрасте  лет!) пишет
«Опыт о конических сечениях», где он доказывает замечательное
свойство шестиугольника, вписанного в коническое сечение (теоре

Введение: об истории предмета


ма Паскаля о «мистической гексаграмме»), которое тоже естественно отнести к проективной геометрии.
Последовавшее бурное развитие анализа бесконечно малых привело к смещению интереса математиков в сторону математического
анализа, и расцвет проективной геометрии начался лишь в XIX веке.
Офицер наполеоновской армии Жан-Виктор Понселе, находясь
в русском плену, начал свой знаменитый «Трактат о проективных
свойствах фигур», опубликованный в  году. Понселе отталкивался от методов Дезарга. После этого труда проективная геометрия стала рассматриваться как самостоятельная область геометрии.
Работы Мёбиуса, Плюккера и Шаля окончательно сформировали ее
современный облик.

Рис. . Геометрическое древо

На рис.  изображено (очень условно) древо аналитической геометрии. В нашем курсе мы пройдемся по ее стволу, избрав в качестве центрального объекта конические сечения. Элементы алгебраической геометрии появятся лишь эпизодически, дифференциальная и неевклидова геометрия не будут затронуты совсем.
Что касается списка рекомендуемой литературы, то несмотря на
обилие книг по аналитической геометрии, нам было непросто найти учебник, который бы полностью удовлетворял нас. Большое влияние на формирование нашего подхода оказал классический труд
XIX века Джорджа Сальмона «Курс аналитической геометрии двух


Введение: об истории предмета

измерений», но он давно является библиографической редкостью.
Оригинальный взгляд на предмет представлен в книге Дарбу «Принципы аналитической геометрии», но она вряд ли может быть основой стандартного курса. «Наглядная геометрия» Гильберта и КонФоссена –– еще один замечательный источник, который мы настоятельно рекомендуем в качестве дополнения к нашему курсу.
В результате мы предпочли ограничиться в качестве основной
ссылкой на классический учебник П. С. Александрова [] (известный в наше студенческое время как «кирпич»), единственным недостатком которого является его объем. Естественным дополнением
наших лекций являются задачник [] и пособие [], разработанные
на кафедре высшей геометрии и топологии МГУ.
Пользуясь случаем, мы приносим сердечную благодарность всем
сотрудникам кафедры за ценные замечания и поддержку. Мы чрезвычайно признательны также нашей аудитории –– студентам мехмата МГУ, немало способствовавшим улучшению курса.

А. П. Веселов, Е. В. Троицкий
Москва, июль  года

 Дарбу Ж. Г. Принципы аналитической геометрии. ГИТТЛ, ; -е изд. М.: УРСС,
.
 Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.: ОНТИ, ; -е изд. М.:
Наука, .
 Ссылки на задачи в конце глав отвечают этим двум источникам.

. Элементы векторной алгебры

§ .. Векторы в пространстве

В нашем изложении мы будем следовать наглядно-геометрическим представлениям, хотя возможен и аксиоматический подход.
Закрепленный вектор –– направленный отрезок, т. е. упорядо
ченная пара в пространстве точек. Будем обозначать векторы −→
AB,
−→
CD, … Вектор −→
AA называется нулевым и обозначается ⃗0A. Длина век
тора –– расстояние между его концами: |−→
AB|:=ρ(A, B). В частности,
длина вектора равна нулю тогда и только тогда, когда он нулевой.
Закрепленные векторы коллинеарны, если существует прямая, которой они параллельны. Нулевой вектор считается параллельным,
а следовательно, и коллинеарным любому вектору. Закрепленные
векторы компланарны, если существует плоскость, которой они параллельны. Закрепленные векторы равны, если они коллинеарны,
одинаково направлены и равны по длине.

Определение ..
Напомним, что отношением эквивалентности на множестве M называется некоторое множество упорядоченных пар S (т. е. S ⊂ M × M), причем выполнены аксиомы (условие
(m, n)∈ S обычно записывается как m ∼ n):
• m ∼ m (аксиома тождества),
• если m ∼ n, то n ∼ m (аксиома симметричности),
• если m ∼ n и n ∼ k, то m ∼ k (аксиома транзитивности),
для любых m, n, k ∈ M.
В этой ситуации M распадается на непересекающиеся множества, состоящие из всех элементов, эквивалентных одному. Эти множества называются классами эквивалентности. Класс эквивалентности, содержащий m ∈ M, обозначается [m].

Лемма .. Равенство является отношением эквивалентности
на множестве закрепленных векторов.

Доказательство очевидно.

Определение .. Вектором (или свободным вектором) называется соответствующий класс эквивалентности.


. Элементы векторной алгебры

Будем обозначать векторы через −→
AB, −→
CD, … (хотя правильнее

[−→
AB],[−→
CD],…) или ⃗a,⃗b,…, а вещественные числа –– через α, β, λ, µ, …

Понятия коллинеарности и компланарности переносятся на (свободные) векторы.
Линейные операции над векторами определяются следующим образом.
. Сложение по правилу треугольника:

⃗a +⃗b

⃗a
⃗b

⃗a

⃗b = λ⃗a
. Умножение вектора ⃗a на вещественное число λ по
следующим правилам:
) ⃗b=λ⃗a коллинеарен ⃗a;
) |⃗b|=|λ|·|⃗a|;
) ⃗b сонаправлен с ⃗a, если λ > 0, и противонаправлен, если λ<0.

Эти операции корректно определены на множестве (свободных)
векторов.
Свойства линейных операций над векторами:
1) ⃗a+⃗b=⃗b+⃗a (коммутативность сложения = правило параллелограмма);
2) ⃗a +(⃗b +⃗c)=(⃗a +⃗b)+⃗c (ассоциативность сложения = правило
четырехугольника);
3) ⃗a+⃗0=⃗a (существование нулевого вектора ⃗0=[⃗0A]);
4) ⃗a+(−1)·⃗a=⃗0 (существование обратного);
5) (αβ)⃗a=α(β⃗a) (ассоциативность);
6) (α+β)⃗a=α⃗a+β⃗a

7) α(⃗a+⃗b)=α⃗a+α⃗b

(дистрибутивность);

8) 1·⃗a=⃗a
(единица).

Определение .. Множество с операцией сложения и операцией умножения на числа, удовлетворяющими этим свойствам, называется линейным пространством.

Заметим, что можно рассматривать эти свойства как аксиомы
и тогда все основные утверждения про операции над геометрическими векторами могут быть выведены из этих аксиом без привле

.. Базисы и координаты


чения конкретного описания операций (но, например, это не относится к длинам и т. п.). В этом смысле аксиомы образуют полную
систему. Более того, она излишне полна (подумайте, что можно выбросить).

§ .. Базисы и координаты

Определение .. Линейной комбинацией векторов ⃗a1,…,⃗an с коэффициентами α1, …, αn ∈называется вектор (точнее, выражение
вида) α1⃗a1 +…+αn⃗an. Если все αi равны нулю, то линейная комбинация называется тривиальной, а в противном случае –– нетривиальной.

Определение .. Векторы ⃗a1, …, ⃗an линейно зависимы, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю, т.е.
найдутся такие числа α1, …, αn, не все равные нулю, что α1⃗a1 + …
… + αn⃗an =⃗0. В противном случае, т. е. если из равенства α1⃗a1 + …
… + αn⃗an =⃗0 всегда следует, что α1 = α2 = … = αn =⃗0, векторы линейно независимы.

Лемма .. Система векторов линейно зависима тогда и только
тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных.

Доказательство. Н. Пусть имеется нетривиальная
линейная комбинация векторов, равная нулю: α1⃗a1 + … + αn⃗an =⃗0.
Один из коэффициентов, скажем αi, не равен нулю. Тогда

⃗ai =
−α1

αi

·⃗a1 +…+
−
αi−1
αi

·⃗ai−1 +
−
αi+1
αi

·⃗ai+1 +…

…+
−αn

αi

·⃗an.

Д. Пусть

⃗ai = β1⃗a1 +…+βi−1⃗ai−1 +βi+1⃗ai+1 +…+βn⃗an.

Тогда

(−1)⃗ai +β1⃗a1 +…+βi−1⃗ai−1 +βi+1⃗ai+1 +…+βn⃗an = ⃗0

–– нетривиальная (первый коэффициент –– ненулевой) линейная комбинация, равная нулю.

Лемма ..
Пусть ⃗a1, …, ⃗ak –– линейно зависимая система векторов. Тогда ⃗a1, …, ⃗ak, ⃗ak+1, …, ⃗an –– линейно зависимая система, каковы бы ни были векторы ⃗ak+1, …, ⃗an.