Задачи по топологии

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
В. В. Прасолов
Задачи по топологии
Электронное издание
Москва
Издательство МЦНМО
2016

УДК 515.14
ББК 22.15
П70
Прасолов В. В.
Задачи по топологии
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
38 с.
ISBN 978-5-4439-3009-1
В этой брошюре содержатся задачи к трехсеместровому курсу
топологии, который неоднократно читался для студентов первого и
второго курса НМУ.
В первом семестре обсуждаются топологические пространства,
фундаментальная группа и накрытия, во втором семестре | CW-ком-
плексы, многообразия, гомотопические группы и расслоения, в тре-
тьем | гомологии и когомологии.
Подготовлено на основе книги: В. В. Прасолов. Задачи
по топологии. | 2-е изд., стереотип. | М.: МЦНМО, 2016. |
ISBN 978-5-4439-1009-3.
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499) 241-08-04.
http://www.mccme.ru
ISBN 978-5-4439-3009-1
c
Прасолов В. В., 2016
c
МЦНМО, 2016

ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Общая топология. Фундаментальная группа и накрытия
4
1.1.
Топология Rn. Планарные графы . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.
Топологические пространства . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.
Симплициальные и клеточные комплексы . . . . . . . . .
8
1.4.
Двумерные поверхности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.5.
Гомотопии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.6.
Векторные поля на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.7.
Векторные поля на двумерных поверхностях. Теорема
Уитни|Грауштейна
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.8.
Фундаментальная группа
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.9.
Накрывающие пространства . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2. Гомотопические свойства клеточных комплексов
18
2.1.
Гомотопии. CW-комплексы
. . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.
Общее положение. n-связные пространства . . . . . . . .
19
2.3.
Расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.4.
Точная последовательность расслоения
. . . . . . . . . .
21
2.5.
Гомотопически простые пространства. H-пространства
22
2.6.
Многообразия. Ориентируемость . . . . . . . . . . . . . .
23
2.7.
Вложения и погружения. Теорема Сарда
. . . . . . . . .
24
2.8.
Степень отображения. Индекс пересечения . . . . . . . .
25
2.9.
Векторные поля. Конструкция Понтрягина . . . . . . . .
26
2.10. Теория Морса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3. Гомологии и когомологии
29
3.1.
Гомологии и когомологии с коэффициентами в поле . . .
29
3.2.
Точная последовательность пары . . . . . . . . . . . . . .
30
3.3.
Клеточные гомологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.4.
Универсальные коэффициенты
. . . . . . . . . . . . . . .
32
3.5.
Фундаментальный класс. Двойственность Пуанкаре . . .
32
3.6.
Умножение в когомологиях
. . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.7.
Двойственность Лефшеца и двойственность Александера 34
3.8.
Теорема Кюннета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.9.
Теорема Лефшеца. Теорема Гуревича
. . . . . . . . . . .
36
3.10. Теорема Гуревича. Теория препятствий . . . . . . . . . .
37
Рекомендуемая литература
38
3

ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ.
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА И НАКРЫТИЯ
1.1. Топология Rn. Планарные графы
1. Докажете, что определение непрерывности через открытые множества (
прообраз открытого множества открыт) эквивалентно обычному "- 
определению.
2. Докажите, что линейно связное множество связно.
Пусть A ⊂ Rn | произвольное подмножество. Для произвольной
точки x ∈ Rn величину d(x; A) = inf
a∈A x − aназывают расстоянием от
точки x до множества A.
3. а) Докажите, что функция f(x) = d(x; A) непрерывна для любого
подмножества A ⊂ Rn.
б) Докажите, что если множество A замкнуто, то функция f(x) =
= d(x; A) для всех x ∈ A принимает положительные значения.
Пусть A; B ⊂Rn |произвольные подмножества. Величину d(A; B)=
=
inf
a∈A;b∈B a − bназывают расстоянием между множествами A и B.
4. Пусть A ⊂ Rn | замкнутое подмножество, C ⊂ Rn | компакт-
ное подмножество. Докажите, что существует такая точка c0 ∈ C, что
d(A; C) = d(A; c0), а если множество A тоже компактно, то существует
ещё и такая точка a0 ∈ A, что d(A; C) = d(a0; c0).
Пусть A ⊂ X ⊂ Rn. Точку a ∈ A называют внутренней, если существует 
множество U, открытое в X, для которого a ∈ U ⊂ A. Точку
a ∈ A называют изолированной, если существует множество U, открытое 
в X, для которого U ∩ A = a. Точку x ∈ X называют граничной
точкой A, если для любого множества U, открытого в X, U ∩ A = ∅
и U ∩ (X − A) = ∅. Внутренность множества A | это множество всех
внутренних точек. Замыкание множества A | это объединение множества 
A и всех граничных точек.
5. Докажите, что: а) множество A ⊂ X ⊂ Rn замкнуто в X тогда
и только тогда, когда оно содержит все граничные точки; б) внутренность 
множества A | это наибольшее открытое множество, содержащееся 
в A; в) замыкание A | это наименьшее замкнутое множество,
содержащее A; г) множество всех граничных точек A | это разность
замыкания и внутренности.
4

6. (Кусочно-линейная теорема Жордана) Пусть C | замкнутая не-
самопересекающаяся конечнозвенная ломаная на плоскости R2. Докажите, 
что R2 \ C состоит ровно из двух связных областей, причём гра-
ницей каждой из них служит C.
7. Пусть a; b; c; d|точки замкнутой несамопересекающейся ломаной
C, расположенные в указанном порядке. Предположим, что точки a и c
соединены ломаной L1, а точки b и d соединены ломаной L2, причём обе
эти ломаные лежат в одной и той же из двух областей, образованных
ломаной C. Докажите, что ломаные L1 и L2 пересекаются в некоторой
точке.
Граф G | это множество точек, называемых вершинами, причём
некоторые пары рёбер соединены рёбрами.
Количество рёбер, выходящих из вершины графа, называют сте-
пенью вершины. В том случае, когда из любой вершины графа можно
пройти по его рёбрам в любую другую вершину, граф называют связ-
ным. Граф может иметь петли (рёбра, начало и конец которых совпа-
дают) и двойные рёбра (несовпадающие рёбра, имеющие одну и ту же
пару вершин). Попарно различные вершины v1, . . . , vn, соединённые
рёбрами v1v2, v2v3, . . . , vnv1, называют циклом.
Граф G называют планарным, если его можно расположить на плос-
кости так, чтобы его рёбра попарно не пересекались.
Пусть граф Kn состоит из n вершин, попарно соединённых рёбрами,
а граф Kn;m состоит из n + m вершин, разбитых на два подмножества
из n вершин и из m вершин, причём рёбрами соединены все пары вер-
шин из разных множеств.
8. Докажите, что графы K3;3 и K5 непланарные.
9. Пусть G | дерево, т. е. связный граф без циклов. Докажите, что
v(G) = e(G) + 1, где v(G) | число вершин, e(G) | число рёбер графа G.
10. (Формула Эйлера) Пусть G | планарный граф, состоящий из
s компонент связности, среди которых нет изолированных вершин.
Пусть, далее, v | число вершин графа G, а e | число его рёбер. То-
гда для любого вложения графа G в плоскость число граней f одно и
то же, а именно, f = 1 + s − v + e.
11. Докажите, что связный планарный граф (без петель и двойных
рёбер) содержит вершину, степень которой не превосходит 5.
12. Докажите, что вершины любого планарного графа (без петель
и двойных рёбер) можно раскрасить в пять цветов так, что любые две
вершины, соединённые ребром, будут разного цвета.
5

13. а) Пусть G | планарный граф, все грани которого содержат
чётное число рёбер. Докажите, что вершины этого графа можно рас-
красить в два цвета.
б) Пусть 
 | гладкая замкнутая кривая, все самопересечения кото-
рой трансверсальны. Докажите, что 
 разбивает плоскость на области,
которые можно раскрасить в два цвета так, что области, граничащие
по некоторой дуге, будут разного цвета.
14. Выведите из формулы Эйлера для планарных графов формулу
Эйлера, связывающую число вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника.

15. а) Пусть G | планарный граф без изолированных вершин,
vi | число его вершин, из которых выходит i рёбер, fj | число граней, 
ограниченных j рёбрами (с учетом их кратностей). Докажите, что
тогда i
(4 − i)vi + j
(4 − j)fj = 4(1 + s) 8, где s | число компонент
связности графа G.
б) Докажите, что если все грани 4-угольные, то 3v1 + 2v2 + v3 8.
в) Докажите, что если любая грань ограничена циклом, содержащим
не менее n рёбер, то e n(v − 2)
n − 2 .
16. Воспользовавшись задачей 15 в), получите ещё одно доказательство 
непланарности графов K5 и K3;3.
1.2. Топологические пространства
Топологическое пространство | это множество X, в котором выделена 
система подмножеств , обладающая следующими свойствами:
1) пустое множество и всё множество X принадлежат ;
2) пересечение конечного числа элементов  принадлежит ;
3) объединение любого семейства элементов  принадлежит .
Множества, принадлежащие , называют открытыми. Множества,
дополнения которых открыты, называют замкнутыми.
Отображение топологических пространств называют непрерывным,
если прообраз любого открытого множества открыт. Непрерывное ото-
бражение топологических пространств называют гомеоморфизмом, ес-
ли оно взаимно однозначно и обратное отображение тоже непрерывно.
Любое подмножество A топологического пространства X само мож-
но рассматривать как топологическое пространство, если считать, что
множество B ⊂ A открыто в A, если B = B∩ A для некоторого мно-
жества B, открытого в X.
6

Топологическое пространство X называют компактным, если из
любого его покрытия открытыми множествами можно выбрать конеч-
ное подпокрытие.
17. Докажите, что любое замкнутое подмножество компактного
пространства компактно.
18. Введите «естественную» топологию на множестве матриц n × m.
19. Связно ли пространство GL(n), состоящее из невырожденных
матриц?
20. а) Докажите, что пространство SO(3), состоящее из ортогональ-
ных матриц порядка 3 с определителем 1, связно.
б) Докажите, что пространство SO(n) связно.
21. Докажите, что пространство, состоящее из невырожденных ма-
триц с положительным определителем, связно.
22. а) Докажите, что пространство U(n) унитарных матриц связно.
б) Докажите, что пространство SU(n) унитарных матриц с опреде-
лителем 1 связно.
Топологическое пространство X называют хаусдорфовым, если для
любых двух различных точек x; y ∈ X найдутся непересекающиеся от-
крытые множества, содержащие эти точки.
23. Приведите пример нехаусдорфова топологического простран-
ства.
В метрическом пространстве X можно определить топологию сле-
дующим образом: множество A ⊂ X открыто, если любая точка a ∈ A
содержится в A вместе с некоторым открытым шаром с центром a.
24. Докажите, что топология, индуцированная метрикой, является
хаусдорфовой.
25. Докажите, что в хаусдорфовом пространстве X для любых двух
различных точек x и y найдётся окрестность U x, замыкание которой
не содержит y.
26. Пусть C | компактное подмножество хаусдорфова простран-
ства X и x ∈ X \ C. Докажите, что у точки x и у множества C есть
непересекающиеся окрестности.
27. Докажите, что у любых двух непересекающихся компактных
подмножеств A и B хаусдорфова пространства X есть непересекаю-
щиеся окрестности.
28. Пусть f : X → Y | непрерывное взаимно однозначное отобра-
жение компактного пространства X на хаусдорфово пространство Y .
Докажите, что f | гомеоморфизм.
29. Докажите, что Dn=@Dn ≈ Sn.
7

30. Докажите, что пространство S1 × S1 гомеоморфно простран-
ству, которое получается при следующем отождествлении точек сторон
квадрата 0 x; y 1: (x; 0) ∼ (x; 1) и (0; y) ∼ (1; y). (Это пространство
называют тором.)
31. а) Докажите, что {∗} ∗ X ≈ CX (здесь {∗} | одноточечное про-
странство).
б) Докажите, что S0 ∗ X ≈ ˚X.
32. Докажите, что Sp ∗ Sq ≈ Sp+q+1.
33. Приведите пример связного, но не линейно связного простран-
ства.
34. Докажите, что пространство GL(3) состоит из двух связных
компонент.
1.3. Симплициальные и клеточные комплексы
35. Докажите, что следующие топологические пространства гомео-
морфны:
(а) множество прямых в Rn+1, проходящих через начало координат;
(б) множество гиперплоскостей в Rn+1, проходящих через начало
координат;
(в) сфера Sn, в которой отождествлена каждая пара диаметрально
противоположных точек.
(г) шар Dn, в котором отождествлена каждая пара диаметрально
противоположных точек граничной сферы Sn−1 = @Dn.
36. Докажите, что следующие топологические пространства гомео-
морфны:
(а) множество комплексных прямых в Cn+1, проходящих через на-
чало координат;
(б) сфера S2n+1 ⊂ Cn+1, в которой отождествлены точки вида x
для всех  ∈ C, || = 1 (для каждой фиксированной точки x ∈ S2n+1);
(в) шар D2n ⊂ Cn, в котором отождествлены точки граничной сфе-
ры S2n−1 = @D2n вида x для всех  ∈ C, || = 1 (для каждой фиксиро-
ванной точки x ∈ S2n−1).
Пространство из задачи 35 называют вещественным проективным
пространством и обозначают RP n. Пространство из задачи 36 назы-
вают комплексным проективным пространством и обозначают CP n.
37. Докажите, что RP 1 ≈ S1 и CP 1 ≈ S2.
38. Докажите, что прямое произведение окружности на отрезок не
гомеоморфно листу Мёбиуса.
39. Докажите, что CSn ≈ Dn+1 и ˚Sn ≈ Sn+1.
8

40. Докажите, что сфера S2 является CW-комплексом.
41. Докажите, что тор T 2 является CW-комплексом.
42. Докажите, что сфера Sn является CW-комплексом.
43. Докажите, что вещественное проективное пространство RP n
является CW-комплексом.
44. Докажите, что комплексное проективное пространство CP n
является CW-комплексом.
45. Докажите, что любой конечный симплициальный комплекс раз-
мерности n вкладывается в R2n+1.
46. Докажите, что Rn \ Rk ≈ Sn−k−1 × Rk+1.
47. Докажите, что Sn+m−1 \ Sn−1 ≈ Rn × Sm−1. (Предполагается,
что сфера Sn−1 расположена в Sn+m−1 стандартно.)
48. Пусть Sp ∨ Sq = (Sp × {∗}) ∪ ({∗} × Sq) ⊂ Sp × Sq. Докажите,
что Sp × Sq=Sp ∨ Sq ≈ Sp+q.
49. Взяты два экземпляра полнотория S1 × D2 и их границы склеены 
а) по тождественному гомеоморфизму; б) по гомеоморфизму границ, 
переводящему меридиан в параллель. Докажите, что в случае а)
получается S1 × S2, а в случае б) получается S3.
50. Рассмотрим фактор пространства M2(C) по следующему отношению 
эквивалентности: A ∼ BAB−1 для произвольной невырожденной
матрицы B. Хаусдорфово ли полученное пространство?
51. а) Докажите, что CW-комплекс связен тогда и только тогда,
когда связен его 1-мерный остов.
б) Докажите, что CW-комплекс связен тогда и только тогда, когда
он линейно связен.
52. Постройте расслоение S3 → S2 со слоем S1.
1.4. Двумерные поверхности
53. Докажите, что если из проективной плоскости вырезать диск
D2, то в результате получится лист Мёбиуса.
Пусть M1#M2 | двумерная поверхность, которая получается из
двумерных поверхностей M1 и M2 следующей операцией: из M1 и из
M2 вырезается по диску D2 и соответствующие точки их краёв склеиваются. 
Эту операцию называют связной суммой. Связную сумму n
торов T 2 будем для краткости обозначать nT 2, а связную сумму m
проективных плоскостей P 2 будем обозначать mP 2 (обозначения nT 2
и mP 2 не стандартные).
54. Докажите, что если поверхность M1 неориентируема, то поверхность 
M1#M2 тоже неориентируема.
9

55. Докажите, что S2#2P 2 ≈ K2, т. е. сфера S2, из которой вырезаны 
два диска и вместо них вклеены два листа Мёбиуса, гомеоморфна
бутылке Клейна.
56. Докажите, что T 2#P 2 ≈ P 2#P 2#P 2.
Пусть M 2 | триангулированная замкнутая двумерная поверхность;
v | число вершин триангуляции, e | число рёбер, f | число граней. 
Эйлеровой характеристикой поверхности M 2 называют число
(M 2) = v − e + f.
57. Докажите, что (M1#M2) = (M1) + (M2) − 2.
58. Докажите, что (mT 2) = 2 − 2m и (nP 2) = 2 − n.
59. Докажите, что замкнутая ориентируемая двумерная поверхность 
не может быть гомеоморфна замкнутой неориентируемой дву-
мерной поверхности.
60. Докажите, что эйлеровы характеристики двух гомеоморфных
замкнутых двумерных поверхностей одинаковы. (Указание. Рассмотрите 
две триангуляции одной и той же поверхности и пошевелите
одну из них так, чтобы рёбра этих двух триангуляций пересекались
трансверсально.)
61. Какой двумерной поверхности гомеоморфно факторпростран-
ство S1 ×S1 по следующему отношению эквивалентности: (x; y)∼(y; x)?
62. Можно ли граф K3;3 вложить в лист Мёбиуса?
63. Можно ли граф K5 вложить в тор?
64. Докажите, что поверхности nT 2 и mP 2 можно получить из
4n-угольника и 2m-угольника, отождествляя их стороны соответствующим 
образом.
65. а) Докажите, что на поверхности nP 2 существует замкнутая
кривая 
, после разрезания вдоль которой поверхность становится ориентируемой.

б) Докажите, что если n чётно, то окрестность кривой 
 гомео-
морфна цилиндру, а если n нечётно | то листу Мёбиуса.
66. Предположим, что на сфере с g ручками M 2 можно расположить
p несамопересекающихся замкнутых кривых C1; : : : ; Cp так, чтобы они
попарно не пересекались и не разбивали M 2 (т. е. чтобы множество
M 2 \ (C1 ∪ : : : ∪ Cp) было связно), но любые p + 1 такие кривые разбивают 
M 2 на части. Докажите, что p = g.
67. Докажите, что на замкнутой неориентируемой поверхности nP 2
можно расположить n попарно не пересекающихся листов Мёбиуса, но
нельзя расположить n + 1 попарно непересекающихся листов Мёбиуса.
68. Докажите, что граф K6 можно расположить на проективной
плоскости P 2, а графы K7 и K4;4 можно расположить на торе.
10