Избранные работы по математической физике

Р. Л. ДОБРУШИН

ИЗБРАННЫЕ
РАБОТЫ
ПО
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКЕ

Под редакцией Р. А. Минлоса, Ю. М. Сухова, С. Б. Шлосмана

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2007

УДК 530.145
ББК 22.311+22.317
Д56

Добрушин Р. Л.
Избранные работы по математической физике
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
718 с.
ISBN 978-5-4439-2153-2

Сборник содержит избранные статьи Роланда Львовича Добрушина (1929—1995) — выдающегося математика, одного из создателей современной математической статистической физики. Эти статьи были опубликованы в основном в зарубежных журналах, которые в настоящее время малодоступны современному читателю. Сборник дополнен комментариями, в
которых прослеживается современное развитие идей, изложенных в публикуемых работах.

Подготовлено на основе книги: Р. Л. Добрушин. Избранные работы
по математической физике / Под ред. Р. А. Минлоса, Ю. М. Сухова и
С. Б. Шлосмана. — М.: МЦНМО, 2007.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2153-2
© Добрушина Г. Б., 2007
© МЦНМО, 2014.

Предисловие

Проходит время — а со смерти Р. Л. Добрушина прошло более 10 лет —
и становится все яснее значительность его личности и его влияния на окружающих его людей, а также значительность всего, что он сделал в науке,
и особенно в математической физике. В разговорах его друзей и коллег
постоянно всплывает его имя, независимо от того, касаются ли они математики, политики или житейских вопросов. Влияние Роланда Львовича
продолжает сказываться на развитии науки и на течении жизни тех из нас,
кто имел счастье близко знать его.
Эта книга — помимо ее чисто научного значения — есть дань нашей
памяти его таланту, его несокрушимой работоспособности и его интеллектуальному обаянию.
Здесь собрано 20 работ Р. Л. Добрушина по математической физике —
те, что представляются нам наиболее яркими из его огромного наследия
в этой области (ей посвящено свыше 100 его публикаций). Помещенные
здесь статьи Роланда Львовича по-прежнему сохраняют свою научную
актуальность. Они интересны также и как вехи в истории становления математической физики (в основном статистической математической физики)
в России и, отчасти, за рубежом.
В комментариях, которыми снабжены помещенные в сборнике статьи,
мы фокусировали внимание как на научной ценности того или иного результата Роланда Львовича, так и на общих рамках, в которых появился
этот результат, подчеркивая его связь с научными веяниями той поры. Следует тут же сказать, что во многие периоды эти веяния исходили от самого Роланда Львовича: так, например, построенная им так называемая
DLR-теория породила огромный поток исследований как у нас в стране,
так и за рубежом; это относится и к его работам по фазовым переходам,
по теории «капли Вульфа» и т. д.
Хотя Р. Л. Добрушина интересовали самые разные вопросы статистической физики, в его научном творчестве просматриваются три основные
линии исследований (сообразно которым и расположены статьи в этой
книге):

• основные свойства гиббсовских полей (вопросы существования,
единственности, убывания корреляций и т. д.);

ОСНОВНЫЕ ДАТЫ НАУЧНОЙ БИОГРАФИИ Р. Л. ДОБРУШИНА

• проблема фазовых переходов (примеры переходов, структура фаз,
случаи отсутствия фазовых переходов и т. д.);

• динамика бесконечных систем (ньютоновская динамика бесконечного
газа, модели гидродинамики и проч.).

Мы надеемся, что те работы Р. Л. Добрушина, которые не попали в данную книгу, также будут когда-нибудь изданы отдельным сборником. Это
относится и к его ранним работам по марковским процессам, и к статьям
по теории информации.
Пользуясь случаем, отметим, что ныне существуют несколько описаний
научной жизни Роланда Львовича (той или иной степени подробности),
опубликованных в различных журналах вскоре после его смерти. Перечень
этих публикаций приводится ниже.
Перевод английских статей Р. Л. Добрушина в этом сборнике на русский язык осуществлен Ю. В. Жуковым, Д. А. Яроцким, Е. А. Печерским
и Е. А. Жижиной. Мы благодарны им за это. Мы хотим также поблагодарить вдову Роланда Львовича Г. Б. Добрушину и Ю. В. Жукова, взявших
на себя весь труд по технической работе над сборником.

Редакторы

Основные даты научной биографии Р. Л. Добрушина

1945 г. Первая премия на школьной математической олимпиаде в Московском университете.
1947 г. Окончил школу и поступил на механико-математический факультет МГУ. В студенческие годы его учителем был Е. Б. Дынкин, под его
руководством были написаны его первые работы.
1952 г. Окончил университет и был принят в аспирантуру механико-математического факультета. В аспирантуре его научным руководителем стал
А. Н. Колмогоров.
1955 г. Окончание аспирантуры. Защитил кандидатскую диссертацию
по теме «Локальная предельная теорема для марковских цепей». Оставлен
в университете для работы на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета. Начинает заниматься теорией информации.
1956 г. Получил премию Московского математического общества для
молодых ученых за работу «Центральная предельная теорема для неоднородных цепей Маркова». Одновременно с ним эту премию получил также
его друг и бывший одноклассник Ф. И. Карпелевич. Полученную премию
друзья истратили на празднование получения этой премии, которое проходило дома у Добрушиных и в котором принимал участие весь семинар
Е. Б. Дынкина.

ОСНОВНЫЕ ДАТЫ НАУЧНОЙ БИОГРАФИИ Р. Л. ДОБРУШИНА
5

1961 г. Защита докторской диссертации «Теория информации и кодирования».
1962 г. Начинает заниматься математическими основами статистической физики. Открывает (совместно с Р. А. Минлосом) семинар на эту тему
на мехмате МГУ. Семинар со временем стал «четырехголовым» (под руководством Р. Л. Добрушина, В. А. Малышева, Р. А. Минлоса и Я. Г. Синая)
и просуществовал до 1994 г.
1967 г. Переходит на работу в Институт проблем передачи информации АН СССР. Возглавляет лабораторию по теории кодирования. Вместе с М. С. Пинскером открывает в ИППИ общематематический семинар,
который продолжается и поныне.
1966–1990 гг. Становится также профессором Московского физико-технического института.
1970–80-е годы. Участвует в организации и работе многих конференций и школ по теории информации и математической физике как внутри
Советского Союза (Россия, Украина, Литва, Армения, Грузия, Узбекистан), так и в бывших социалистических странах (Чехословакия, Болгария, Венгрия, Польша, ГДР), где у него осталось немало последователей
и учеников.
1982 г. Бостонская академия наук и искусств (США) избирает его своим почетным членом.
1987 г. Впервые получает возможность посетить научную конференцию
в Западной Европе (Италия). С этих пор начинается цепь его многочисленных научных поездок по разным странам Европы, Америки и Азии.
Ряд ведущих университетов в этих странах (Гарвард, Корнелл, Кембридж
и другие) избирают его своим профессором.
1991 г. Приглашается в Московский государственный университет
на должность профессора кафедры теории вероятностей механико-математического факультета. Охотно принимает это приглашение и читает
спецкурс по теории гиббсовских полей.
1992 г. Издана книга «Wulff Construction» (совместно с Р. Котецким
и С. Шлосманом) в издательстве американского математического общества.
1993 г. Избран иностранным членом Американской национальной академии наук.
1994 г. Становится сотрудником Института математики им. Эрвина
Шрёдингера в Вене.
1995 г. Избран членом Европейской академии наук.

Р. Л. ДОБРУШИН — ОДИН ИЗ ОСНОВОПОЛОЖНИКОВ СОВРЕМЕННОЙ...

Р. Л. Добрушин — один из основоположников
современной математической физики

Как уже говорилось в предисловии, вскоре после смерти Р. Л. Добрушина (ноябрь 1995) о нем было написано несколько мемориальных статей
в различных научных журналах, где подробно излагались как факты его
биографии, так и основные темы его математического творчества (см. список этих статей ниже).
Здесь мы воспроизводим в слегка расширенном виде часть большой
статьи о Р. Л. Добрушине из журнала «Проблемы передачи информации»;
эта часть посвящена его работам по математической физике и разбита для
удобства на ряд тематических рубрик. Такое деление, конечно, условно,
поскольку некоторые работы охватывают несколько тем. Ссылки даются
на общий список работ Р. Л. Добрушина, помещенный в конце статьи.

§ 1. Фазовые переходы

Фазовые переходы являются одним из самых поразительных явлений
в статистической физике, и их обнаружение, описание и классификация
составляют ее центральную проблему. В общем случае математическая
трактовка этой проблемы очень трудна, и развитая к настоящему времени
теория охватывает лишь некоторый класс моделей.
Первые строгие математические работы по теории фазовых переходов появились в середине 1960-х годов, и одна из них принадлежит
Р. Л. Добрушину [42, 43]. Эта глубокая работа, ставшая впоследствии
широко известной, посвящена доказательству существования фазового перехода I рода в двумерной и трехмерной ферромагнитных моделях Изинга при низких температурах и нулевом магнитном поле. Этот результат
был выведен Р. Л. Добрушиным в рамках малого канонического ансамбля Гиббса, и из-за этого все построение оказалось крайне громоздким.
Несколько раньше появилась работа Р. Гриффитса, которая стала известна Р. Л. Добрушину уже после опубликования его собственной статьи, где
тот же результат был получен с использованием формализма большого
канонического ансамбля. В силу этого, доказательство Гриффитса оказалось значительно проще добрушинского, и, что самое главное, в нем
явно возрождались старые «контурные» идеи Пайерлса. Благодаря этому
дальнейшие исследования фазовых переходов в решетчатых системах были направлены по правильному «контурному» пути. Роланд Львович впоследствии сам признавал, что допущенный им методический просчет — использование малого канонического ансамбля вместо большого — открыл
ему преимущества большого канонического ансамбля и научил его работать с ним. Вскоре после работы Гриффитса появилось несколько работ

Р. Л. ДОБРУШИН — ОДИН ИЗ ОСНОВОПОЛОЖНИКОВ СОВРЕМЕННОЙ...
7

с обобщением его результата на случай дальнодействующих (финитных)
взаимодействий, в частности, результат Р. Л. Добрушина [44] о существовании фазового перехода в системах со смешанным антиферромагнитным
и ферромагнитным взаимодействием, в котором, однако, преобладает последнее. В случае же чистого антиферромагнетика Изинга две различные
фазы существуют при низких температурах в целом диапазоне значений
магнитного поля. Этот результат содержится в работе [49].
В дальнейшем Р. Л. Добрушин не раз обращался к проблеме фазовых
переходов. Укажем, во-первых, работу [73] (с В. М. Герциком), в которой
установлено наличие фазовых переходов для некоторого класса решетчатых систем (с конечным множеством значений спина) с взаимодействием спинов, удаленных не более чем на два шага решетки. Существенным
для этих систем является наличие в них некоторых симметрий, «нарушаемых» при фазовых переходах: имеется несколько гиббсовских распределений («фаз»), каждое из которых уже лишено части симметрий. В этой
работе было введено важное понятие «основного состояния» системы (т. е.
бесконечной конфигурации спинов на решетке с «наименьшей энергией»),
а также явно сформулировано так называемое «условие Пайерлса». В упомянутой работе предполагалось, что у системы имеется конечное число основных состояний, транзитивно переводимых друг в друга действием группы симметрий. Тогда при низких температурах каждое основное состояние
порождает гиббсовское распределение. Эти понятия и концепции оказались ключевыми в более общей теории фазовых переходов, построенной
несколькими годами позже С. А. Пироговым и Я. Г. Синаем.
Другой важный результат Р. Л. Добрушина [62,65] — открытие им специального вида неоднородных фаз (это явление в англоязычной математической литературе обозначается словом «roughening» — огрубление,
отвердение). Такие фазы проявляются, в частности, в трехмерной ферромагнитной модели Изинга при низких температурах и нулевом магнитном поле и состоят из двух однородных (+)- и (−)-фаз, сосуществующих
в пространстве так, что каждая из них заполняет свое полупространство,
а граница между фазами представляет собой «флуктуирующую» плоскость. В случае антиферромагнитного взаимодействия также возникает
«roughening», но уже в целом диапазоне значений магнитного поля. Существует гипотеза, что при повышении температуры T поверхность раздела между однородными частями фазы «флуктуирует» все больше и больше и, наконец, при некотором значении Trough < Tкрит «разбалтывается»
настолько, что «roughening» исчезает (здесь Tкрит — критическое значение температуры, при котором вообще исчезают обе однородные фазы (+)
и (−) и выше которого система однофазна).
В работах [109] (с С. Б. Шлосманом) и [126] (с М. Заградником) было доказано (разными способами) существование фазового перехода для

Р. Л. ДОБРУШИН — ОДИН ИЗ ОСНОВОПОЛОЖНИКОВ СОВРЕМЕННОЙ...

взаимодействия с одним глобальным и одним локальным минимумами (достаточно большой «ширины»). Это многих поразило, так как считалось,
что для взаимодействий с единственным глобальным минимумом фазовый
переход не возникает. Попутно в работе с М. Заградником была разработана модификация теории Пирогова—Синая применительно к системам
с непрерывным спином.
Наконец, следует упомянуть работу [75] (с С. Б. Шлосманом), в которой доказывается, что в двумерных решетчатых системах с непрерывным
спином фазовых переходов нет, а также работу по оценке семиинвариантов
для низкотемпературной модели Изинга [163].

§ 2. Гиббсовские случайные поля
(ДЛР-определение и все об этом)

К концу 1960-х годов после работ Д. Рюэля, Р. А. Минлоса, Я. Г. Синая
стала ясна природа того предельного объекта, который описывает статфизическую систему после совершения термодинамического предельного перехода: это пространство Ω бесконечных конфигураций системы с некоторым распределением вероятностей на Ω, являющимся в некотором смысле
«предельным» для конечных гиббсовских распределений. При этом в некоторых случаях такое предельное распределение единственно, а в других
случаях возникает несколько таких распределений (фаз). Появляется вопрос — каково внутреннее свойство этих распределений, связывающее их
с потенциалом взаимодействия системы?
Отвечая на этот вопрос, Р. Л. Добрушин, а также независимо от него
О. Ланфорд и Д. Рюэль, пришли к общему определению бесконечного
гиббсовского поля (это определение обозначается с тех пор аббревиатурой
ДЛР). Согласно этому определению гиббсовское поле на Ω обладает тем
свойством, что для любого конечного подмножества Λ решетки (или пространства) и любой фиксированной конфигурации

 спинов вне этого подмножества условное распределение вероятностей для конфигураций спи-
нов внутри Λ задается известной гиббсовской формулой, в которой энергия
конфигурации спинов

 в Λ включает энергию взаимодействия

 с

.
Р. Л. Добрушин в большом цикле работ [49, 50, 52, 55, 56] исследовал
это понятие и многие его аспекты (существование гиббсовских полей
при заданном потенциале взаимодействия, критерии единственности такого
поля, свойства убывания корреляций, аналитическую зависимость от параметров и т. д.). Наиболее трудная и глубокая тема в этих исследованиях, занимавшая Р. Л. Добрушина многие годы — нахождение критериев
единственности гиббсовских полей на дискретном множестве (скажем,
на решетке Z

n) для заданного взаимодействия.

Р. Л. ДОБРУШИН — ОДИН ИЗ ОСНОВОПОЛОЖНИКОВ СОВРЕМЕННОЙ...
9

В ранней работе [52] он привел наиболее простой из таких критериев, состоящий в следующем. Рассмотрим условное распределение поля
в некоторой точке x ∈ Z

n при условии, что поле вне этой точки фиксировано. Это распределение зависит, конечно, от значений окружающего точку x
поля. Вводится некоторая характеристика cx (y), x ̸= y, измеряющая степень такой зависимости: cx(y) — максимальное изменение распределения
в x при всевозможных изменениях внешнего поля только в точке y. Тогда,
если sup
x

y
cx (y) < 1, то гиббсовское поле единственно. Указанное условие

хорошо известно, и определяемая им область взаимодействий называется
«областью единственности по Добрушину». Описанное условие легко проверяемо, и в этом его большое достоинство. Конечно, оно не исчерпывает
всех случаев отсутствия фазовых переходов (т. е. единственности гиббсовского поля).
В связи с этим в работе [119] (с С. Б. Шлосманом) была введена целая
серия аналогичных условий, в которых точка x ∈ Z

n заменяется каким-либо фиксированным (с точностью до сдвигов вдоль решетки Z

n) конечным
множеством V . Каждое такое условие влечет единственность гиббсовского
поля, а все они в совокупности (при всевозможных V) в некотором смысле
исчерпывают все случаи единственности поля. Эти условия также достаточно конструктивны. Так, например, в работе [121], написанной совместно
с С. Б. Шлосманом и И. Колафой, было установлено некоторое нетривиальное свойство критической кривой для двумерного антиферромагнетика
Изинга с помощью явной компьютерной проверки одного из указанных
условий (для случая, когда V ⊂ Z2 является прямоугольником 3 × 4).
Вопросам единственности гиббсовских полей посвящена также работа
Р. Л. Добрушина и Е. А. Печерского [107]. В ней, в частности, содержится красивый результат о том, что для короткодействующих потенциалов
корреляции соответствующего гиббсовского поля убывают либо экспоненциально (относительно расстояния между точками), либо степенным образом (∼ r−d при каком-то d > 0), а промежуточных режимов не бывает.
Эта работа имела громкий резонанс. Продумывание ее результатов вдохновило исследования Б. Саймона, в которых было найдено так называемое
неравенство Саймона — сильный технический инструмент в современных
работах.
Многими авторами было подмечено, что в тех случаях, в которых удается установить единственность гиббсовского поля, оно обладает еще целым
рядом «хороших» свойств: у него быстро убывают корреляции, его характеристики аналитически зависят от потенциала и т. д. В работе [120]
Р. Л. Добрушин и С. Б. Шлосман облекли это наблюдение в небольшую
изящную теорию с помощью введенного ими понятия «вполне аналитического гиббсовского поля». Это понятие было сформулировано авторами

Р. Л. ДОБРУШИН — ОДИН ИЗ ОСНОВОПОЛОЖНИКОВ СОВРЕМЕННОЙ...

двенадцатью эквивалентными способами (в работах их последователей
число формулировок увеличилось до двадцати), каждый из которых подчеркивает одно из свойств полей этого класса (которое, таким образом,
влечет за собой и остальные свойства). Класс «вполне аналитических полей» сейчас стал очень популярным, и вся эта теория используется многими авторами.
Следует особо отметить работы Р. Л. Добрушина [66, 71, 72] по одномерным системам, для которых он в широких предположениях доказал
единственность гиббсовских полей и аналитическую зависимость их характеристик от потенциала. Индуктивный метод доказательства, примененный
Р. Л. Добрушиным в этих работах, довольно труден. В свое время при попытках разобрать это доказательство М. Кассандро и Е. Оливьери придумали другой альтернативный метод изучения одномерных систем, ставший
ныне также широко распространенным.
Отметим также работу Р. Л. Добрушина и Л. А. Бассалыго [127], где
очень элементарно и в широких предположениях была доказана единственность гиббсовского поля со случайным потенциалом. Этот результат значительно обобщил прежний результат И. Фрелиха и И. Имбри, где
предполагалось, что взаимодействие принимает большие значения лишь
с малыми вероятностями.
Далее следует указать большой обзор по различным методам кластерных разложений [165].
В заключение упомянем еще одну тему из общей теории гиббсовских
полей — так называемую проблему негиббсовских (non-Gibbsian) состояний, которая очень занимала Р. Л. Добрушина в последний год его
жизни. Речь идет о случайных полях, которые формально не являются гиббсовскими (например, из-за очень медленного убывания потенциала взаимодействия), но которые в некотором определенном смысле могут
быть включены в общую схему ДЛР-теории. Этой теме посвящены две
статьи Р. Л. Добрушина, дописанные С. Б. Шлосманом и опубликованные
позже [168,171].

§ 3. Марковские процессы с локальным
взаимодействием

В конце 1960-х — начале 1970-х годов Р. Л. Добрушин под влиянием работ группы И. И. Пятецкого-Шапиро в Московском университете
(О. Н. Ставская,
Н. Б. Васильев,
Л. Н. Васерштейн,
А. Л. Тоом,
А. М. Леонтович и др.), в которых изучались некоторые модели биологического роста, ввел общее понятие марковского процесса с локальным взаимодействием [53,58,59]. Это процесс с бесконечным числом компонент,