Введение в суперанализ

Ф. А. Березин

Введение в суперанализ

МЦНМО

Ф. А. Березин

Введение в суперанализ

Под редакцией Д. А. Лейтеса

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 514.74+517.2/.3
ББК 22.151.5+22.161.1
Б48

Березин Ф. А.
Введение в суперанализ
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
432 с.
ISBN 978-5-4439-2152-5

Теория суперсимметрий — относительно новое направление в математике. Идеи суперсимметрии, появившиеся, чтобы разрешить некоторые
проблемы теоретической физики, долго казавшиеся неразрешимыми по определению, быстро выросли в теорию супермногообразий — богатый сплав
дифференциальной и алгебраической геометрий с собственными глубокими
и недостаточно пока исследованными проблемами.
Незаконченная рукопись погибшего основоположника теории суперсимметрий — Феликса Александровича Березина — еще раз отредактирована
и дополнена результатами, полученными за 30 лет, прошедших с момента ее
написания, или ссылками на соответствующие результаты. Отмечены также
открытые проблемы разного уровня сложности.
В Дополнении публикуются материалы трудов «Семинара по суперсимметриям».
Книга будет полезна как научным работникам, так и преподавателям
и студентам, — как математикам, так и физикам.

Подготовлено на основе книги:
Березин Ф. А. Введение в суперанализ / Издание второе, исправленное и дополненное. Под ред. Д. А. Лейтеса с дополнениями Д. А. Лейтеса,
В. Н. Шандера и И. М. Щепочкиной. — М.: МЦНМО, 2013.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499)-241-74-83
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2152-5

© Березин Ф. А., наследники, 2013
© Лейтес Д. А., 2013
© МЦНМО, 2014

Оглавление

Предисловие редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Предисловие редактора первого издания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15

Введение. Математические основы суперсимметричных теорий поля
27

1.
Линейная алгебра в суперпространствах
55

2.
Анализ на суперобластях
92

3.
Супермногообразия в целом
113

§ 1. Супермногообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
§ 2. Конструкции супермногообразий
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
§ 3. Стратификация супермногообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
§ 4. Ретракция и первое препятствие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
§ 5. Высшие препятствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
§ 6. Примеры неретрагируемых супермногообразий
. . . . . . . . . . . .
132
§ 7. Z+-градуировка и условия простоты супермногообразия . . . . . . .
133

4.
Динамика частицы со спином как пример классической механики
на супермногообразиях
137

§ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
§ 2. Динамика нерелятивистской частицы со спином . . . . . . . . . . . .
141
§ 3. Релятивистский спин и уравнение Дирака
. . . . . . . . . . . . . . .
149
§ 4. Заключительные замечания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
§ 5. Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163

Дополнения. Семинар по суперсимметриям. Том 1 1/2

Д1. Общие сведения: сводка результатов
169

Д2. Супералгебры Ли с матрицей Картана
178

§ 1. Матрицы Картана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
178
§ 2. Графы Дынкина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
§ 3. Таблицы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193

Д3. Векторные супералгебры Ли
214

§ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
214
§ 2. Векторные супералгебры. Стандартная реализация . . . . . . . . . .
235
§ 3. Производящие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237
§ 4. Бездивергентные подалгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240

Оглавление

§ 5. Обобщения продолжений Картана
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241
§ 6. Деформации супералгебры Бюттен
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
244
§ 7. Простые вещественные векторные супералгебры Ли
. . . . . . . . .
245
§ 8. Струнные супералгебры Ли
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251

Д4. Супералгебры Пуассона и Бюттен — аналоги общей линейной
алгебры. Спинорные и осцилляторные представления
265

§ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
265
§ 2. Супералгебра Пуассона po(2n|m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
269
§ 3. Пространство Фока и спинорно-осцилляторные представления . . .
272
§ 4. Спинорно-осцилляторные представления . . . . . . . . . . . . . . . .
274

Д5. Автоморфизмы и вещественные формы (по В. Сергановой)
281

§ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
281
§ 2. Автоморфизмы простых конечномерных супералгебр Ли . . . . . . .
284
§ 3. Вещественные структуры простых конечномерных супералгебр Ли .
292
§ 4. Классификация простых супералгебр петель . . . . . . . . . . . . . .
299
§ 5. Автоморфизмы и вещественные формы струнных супералгебр Ли . .
304
§ 6. Внешние автоморфизмы и вещественные формы супералгебр петель
325
§ 7. Симметрические суперпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
336

Д6. Инвариантные многочлены на супералгебрах Ли (по А. Н. Сергееву)343

§ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
343
§ 2. Некоторые конструкции с функтором точек
. . . . . . . . . . . . . .
353
§ 3. Предварительные результаты
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
357
§ 4. Инвариантные многочлены на супералгебрах Ли
. . . . . . . . . . .
363
§ 5. Открытые задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
381

Д7. Инвариантные функции на супермногообразиях суперматриц
(В. Шандер)
385

§ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
385
§ 2. О нормальном виде суперматриц
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
389
§ 3. Инвариантные функции на Q(1) и Odd(1) . . . . . . . . . . . . . . . .
394
§ 4. Инвариантные функции на ˜Cn|n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
397
§ 5. Описание инвариантных функций на Q(n) и Odd(n) . . . . . . . . . .
408
§ 6. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
416
§ 7. Заключение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
418

Литература к Дополнениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
419
Литература, добавленная редактором
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
424
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
427

Предисловие редактора

Я не знаю никакой другой математической работы
второй половины ХХ века, которая оказала влияние на развитие теоретической физики, сравнимое
с введением интеграла по антикоммутирующим переменным. Для меня роль грассмановых переменных и их польза в вычислениях сравнима с ролью
мнимых чисел.

К. Ефетов

Время неизменно реализует мои замыслы, но злоупотребляет правом использовать меня в качестве
заложника.

В. Ф. Шварцман, 29.04.1972, из дневника.
За 15 лет до самоубийства

Быть честным хочется. Но меньше, чем богатым.

В. Семенов. Одностишия.

В 1986 году мне пришлось повозиться, редактируя перевод на английский язык первого издания этой книги [Бер∗] и объемистых дополнений,
в [Бер∗] не вошедших, см. [Ber∗]. Если править все как следует, то невычитанную автором рукопись надо в значительной мере переписывать и утроить объем комментариями и дополнениями. Для этого издания я сделал
и то, и другое, продолжив с помощью трудов «Семинара по Суперсимметриям» [SoS∗] работу, начатую А. А. Кирилловым и В. П. Паламодовым.
Книга [Бер∗] заполняла вакуум: никаких учебников по «суперам» н а
р у с с к о м я з ы к е не было. Позже можно было, правда, почитать книги
[ЛПет∗] и [МаКП∗], но первая вышла ничтожным по тому времени тиражом 1000 экз., была распродана за месяц и до эры интернета с его пиратами-просветителями ее было не достать, а вторая сложновата, да и «суперы» в ней —важный, но не основной объект. После сделанной для этого
издания переработки книг [Бер∗] и [Ber∗] получилось внятное введение
в предмет, с полезным справочным материалом; указаны важные открытые
задачи (например, связанные с недавними работами Э. Виттена).
Читатель! Отмечая многочисленные исправления, комментарии и дополнения, помните, что именно Ф. А. Березин задолго до других исследователей догадался о существовании «суперматематики как науки» (а не
набора отдельных суперпримеров). Поэтому именно его заблуждения и поиски особенно поучительны: некоторые из его заблуждений кочуют по

Предисловие редактора

текстам до сих пор, а разъяснения (как артефактов типа «правых производных», так и важнейшего понятия — элемента объема), видимо, не всем
доступны. Впрочем, имея эти разъяснения, надо их читать и разбирать
(например, препринты [SoS∗] и даже книга [QFS∗] пока мало помогли)...
После доклада Ю. Весса и Б. Зумино (весна 1974 г.) не понимать важность «суперов» стало затруднительно. А ведь следы «суперов» в «обычной» математике отмечали с работ Грассмана: например, Э. Картан переформулировал теорию дифференциальных уравнений в терминах внешних
форм (т. е. супералгебры Грассмана); а в 1930-х гг. было замечено, что
умножение Уайтхеда в группах гомотопий наделяет прямую сумму этих
групп структурой суперкольца Ли, а пространство когомологий многообразия с коэффициентами в конечных полях Fq — инвариант многообразия,
являющийся множеством Fq-точек некоторой супергруппы Ли.
До Ф. А. Березина никто, однако, не предполагал, что, введя «суперы»,
мы открываем такую картину мира, в которой привычная даже по сегодня
математика составляет лишь «меньшую половину». Оказалось, что супервзгляд упрощает и проясняет многое в этой «меньшей половине».
Соглашаясь редактировать это издание, я думал, что ограничусь косметической правкой и процитирую одного из выдающихся математиков,
интересно, но мутно читавшего лекции на мехмате, когда я там учился,
и на просьбы с л а б ы х студентов пояснить рассказываемое отвечавшего:
«Вы слушайте не то, что я говорю, а то, что я хочу сказать!» К сожалению
(на редактуру ушло немало времени), выяснилось, что я просто не могу
не исправить замеченные неточности и убрать хотя бы часть повторов
и очевидные непосредственные вычисления, а также (тем более) те обозначения и утверждения, про которые Ф. А. говорил мне: «хоть и неверные,
но физикам так привычнее» и «хоть и неверно, но так понятнее».
Прежде всего я имею в виду обозначение элемента объема — одной
из важнейших составных частей в «интеграле Березина». По счастью,
я могу опираться не только на свой вкус, но и на авторитет П. Делиня
(см. [QFS∗]), решительно не понимающего, как можно обозначать одним
символом совершенно разные (на супермногообразиях; на многообразияхто они совпадают) объекты (дифференциальные и интегральные формы),
особенно если они могут встречаться одновременно, как, например, при
вычислении супераналога характера Черна. Хотя в физических текстах до
сих пор «почти все» физики обычно используют противоречивые обозначения, но все-таки это делают не все, а я предпочитаю ориентироваться
на П. Делиня и Э. Виттена (тоже ведь физик, согласитесь), чем на невразумительных «почти всех», и того же желаю и вам, читатель.
Кроме того, странно было бы не прокомментировать важные вопросы,
если ответы на них полностью, или хотя бы частично, получены (причем
некоторые — до 1980 г., летом которого Ф. А. погиб).

Предисловие редактора
7

В 1974 г. я заинтересовал «суперами» И. Н. Бернштейна. Он поверил
в существование ТЕОРИИ супермногообразий, убедившись в мультипликативности березиниана на суперматрицах размера 1|1 × 1|1. В 1976 г. мы
с ним начали писать книгу–учебник «про суперы». Мы написали первые
три главы книги, и я передал копию рукописи Ф. А. Березину для комментариев. Комментариев, однако, не последовало, а занудное, в отличие от
захватывающего процесса решения новых задач, писание нашего учебника
[СоС1◦] притормозили всякие обстоятельства.
В отличие от И.Н.Бернштейна и меня, мурыживших в 1976–80 гг. почти
готовый текст первых трех глав книги [СоС1◦], ср. [ЛПет∗] и [Лусп∗],
а в 1986–2010 гг.—расшифровку четвертой главы книги [ЛПет∗] —труды
[SoS∗], на Западе были оперативно изданы с десяток книг и тьма статей,
посвященных изложению разных (случайных) аспектов теории супермногообразий или суперсимметрий (в основном—супералгебр Ли). Из авторов
изданий, вышедших до [QFS∗], только Б. ДеВитт прислал нам (Ф. А. и мне)
черновик рукописи своей книги [DeW∗]; он, несомненно, хотел и получить
замечания, чтобы правильно расставить исторические приоритеты и не
допустить ошибок (а то, что они в его книге остались, см. [СоС2∗], где
часть из них исправлена,—это по нашей с Ф. А. лени: мы ему не ответили).
Нецитирование работ Ф. А. и моих по суперсимметриям (или, как это
иногда делают и теперь, перечисление их в длинном ряду, среди эпигонских или неверных работ) сильно задевало Ф. А., а ближе к защите
моей кандидатской диссертации стало раздражать и меня. И. Н. Бернштейн
сказал мне на это: «Плюнь, еще что-нибудь придумаешь» и развлек
меня байкой про то, что произошло однажды в конце 1960-х гг., когда
некоторые начальники решили по совокупности причин подвергнуть критике Я. Б. Зельдовича (одного из последних физиков-теоретиков «широкого
профиля»). Чисто политическая критика была уже не в моде, и в газетах
появились разгромные отзывы бывших ученых на учебник Я. Б. Зельдовича
по математическому анализу. Но из-за разгула «брежневской демократии»
были опубликованы и противоположные отзывы кого-то из известных и все
еще работающих ученых. Получалось несолидно. Критика должна была
иметь видимость научной. Нужна была поддержка «генеральной линии»
со стороны авторитетов. И вот на какой-то конференции к гулявшему
по коридору И. М. Гельфанду подошел Некто, чью фамилию я сейчас не
помню, и стал агитировать покритиковать книгу Зельдовича по математике для школьников. Гельфанд энтузиазма не выказывал, и Некто стал
тихонько рассказывать, что «знаете, в таком-то году Зельдович-то украл
такой-то результат у NN...». К смущению Некта, быстро сменившемуся
восторгом от показавшегося близким успеха миссии, Гельфанд стал громко
созывать народ: «послушайте Некта: он такое интересное про Зельдовича
рассказывает». И стал просить повторить на бис. А выслушав еще раз,

Предисловие редактора

уже в толпе, сказал: «Очень это некрасиво со стороны Яков Борисыча по
отношению к NN. Это же все равно, что отнять у нищего пятак!..»
Однако мне не верилось, что мне повезет в жизни дать определение,
сравнимое по важности с определением супермногообразия 1). Ф. А. Березину, несомненно, тоже, к тому же его никто байками не утешал, а жизнь
его делалась все сложнее, см. [Восп∗]. Напряжение, сходное с тем, что
сломало Ф. Клейна, не выдержавшего соревнования с А. Пуанкаре, сказалось и на рукописи этой книги. Например, Ф. А. в нескольких местах
пишет о задачах, не решенных и по сей день, как о сделанных, чтобы (как
он мне не раз говорил) получить возможность подумать о них не торопясь.
По разным причинам, говоря о пионерах суперсимметрии, часто называют случайных людей (скажем, Дж. Мартина). Однако видно, что до
доклада Ю. Весса и Б. Зумино, внятно показавших некоторые перспективы
применения «суперов», никто из тех, кого сейчас обычно числят в пионерах
(к примеру, в Wikipedia), не понимал степени важности даже собственных результатов по суперсимметриям; некоторые не понимают этого даже
сейчас: иначе бы всё бросили и занимались бы лишь «суперами». Это
непонимание особенно заметно в предисловиях Х. Миядзавы и Г. Ставраки
к энциклопедии [CoEn∗].
Любопытно, что в настоящее время участники дискуссий «наблюдаема
ли суперсимметрия?» ни единым звуком не намекают, что речь идет только
о физике высоких энергий, в то время как, например, в физике твердого тела положительный ответ известен благодаря работам К. Ефетова,
см., например, [Ef∗] и его работы (в arXiv’e), особенно те, где вроде бы
устанавливается суперсимметричность графена, причем супералгеброй Ли
суперсимметрии является одна из тех супералгебр, что возникают в струнных моделях теории поля.
Если бы не все эти результаты К. Ефетова, разговоры о фантастических
перспективах приложений суперсимметрий в теоретической физике напоминали бы дискуссии биологов и математиков в 1960-х гг. В то время
И. М. Гельфанд стал заниматься математическими методами в биологии
и медицине, и на одной из первых советских конференций на эту тему,
подводя итоги конференции, он сказал, что, как убедительно показала
конференция, теперешние соблазнительные перспективы результатов применения математических методов в биологии и медицине своими успехами

1)Сейчас я думаю, что недооценивал благосклонность фортуны. По-моему, определение
неголономного аналога тензора кривизны тоже очень важно: о применении к уравнениям супергравитации см. [ГрЛе∗, L∗] и ссылки, а о возможных применениях к экономике упомянуто
в книге [Serg∗]. Без этого определения невозможно, как мне представляется, продвинуться
в понимании геометрических структур не только супергравитации, но и гравитации и других
фундаментальных сил. Это понимание начало брезжить в работе Г. Манделя (видимо, погибшего в конце 1930-х гг.), а В. В. Вагнер почти получил ответ, но эти пионеры несколько
опередили время: всем им не хватало некоторых понятий, открытых позже.

Предисловие редактора
9

и проблемами напоминают ему совокупление слепых в крапиве. (Под крапивой в нашем контексте я имею в виду суперколлайдер.)
Путеводитель по литературе. За 30 лет, прошедших после смерти
Ф. А. Березина, кое-что прояснилось из того, что было неясно, когда он
по-своему излагал то, о чем написали И. Н. Бернштейн и я. В Дополнениях
приводятся некоторые из результатов, полученных участниками семинара
«SoS», которым я руководил в 1976–1986 г. в Москве, в 1987–1999 г.
в Стокгольме и в 2004–2006 г. в Лейпциге. Даны ссылки и на другие
работы, развивающие пионерские наблюдения Ф. А. Березина, см. также
часть «О науке» в книге [Восп∗].
Значительный объем книги [Ber∗] (все ссылки мы приводим по наиболее доступным изданиям) составили слегка отредактированные препринты
ИТЭФ’а 1977 г., содержащие описание операторов Лапласа—Казимира
и их применения к описанию неприводимых представлений простых конечномерных супералгебр Ли над C и их близких «родственниц», таких как gl
по отношению к sl. С помощью операторов Лапласа—Казимира на супергруппах Ли Ф. А. Березин одним из первых описал условия «типичности»
конечномерных представлений (на примере унитарной супергруппы).
Однако работы В. Каца, описавшего типические представления для
всех конечномерных супералгебр Ли с неразложимой матрицей Картана,
наглядно показали, что алгебраическая техника более адекватна задаче; подход В. Каца вразумительнее изложен и обобщен А. Н. Сергеевым,
см. гл. Д 4, а дальнейшие улучшения см. в [SV◦].
Немного раньше этих результатов Ф. А. Березина в связи с формулой
Стокса, см. [БрЛ1], простеньким методом (индуцируем и ограничиваем) были описаны неприводимые непрерывные представления супералгебры Ли vect(m|n) полиномиальных векторных полей, рассматриваемые
с естественной топологией (позднейший обзор на эту тему — [GLS2∗]);
тем же методом, см. [BL1◦], были описаны все, включая атипические,
неприводимые конечномерные представления супералгебр Ли серий gl(1|n)
и osp(2|2n) («формула Бернштейна—Лейтеса для характеров»). В обзоре
[Лобз◦] перечислены ответы (описание неприводимых представлений со
старшим весом), полученные к 1984 г. участниками семинара «SoS» для
разных серий простых супералгебр Ли.
И. Пенков и В. Серганова, см. [Pen1◦, Pen2◦, PS1◦, PS2◦, PS3◦], разобрали сложный случай атипических конечномерных неприводимых представлений разных типов простых супералгебр Ли (как с матрицей Картана,
так и серий pe и spe); их результаты (для конечномерных супералгебр Ли
с неразложимой матрицей Картана) суммированы в докладе В. Сергановой
на Международном конгрессе математиков в Берлине, 1998 г.
Наилучший на сегодня метод доказательства формулы Пенкова—Сергановой для характеров атипических представлений — это, видимо, подход

Предисловие редактора

Дж. Брандана; см. [Br1∗, Br2∗]. Другие результаты теории представлений
упомянуты в подстрочных примечаниях и Дополнении.
Книга [Ber∗] завершалась статьей В. И. Огиевецкого о супергравитации. Через несколько лет после смерти Виктора Исааковича его соавторы подвели итог совместной работы в книге [GIOS∗], где рассмотрены
N-расширенные супермногообразия Минковского с N < 4. В их подходе
совершенно неясно, что делать, если N ⩾ 4. См. также [ГИФ◦].
На мой взгляд, самое главное, что удалось сделать в этом направлении
за время, прошедшее со смерти Ф. А. Березина, — это понять (по крайней
мере одну) математическую причину затруднений при попытке выписать
уравнения супергравитации и предложить подход к их написанию для
любого N. А именно, если предположить, что уравнения супергравитации (чем бы она ни была) — условия на аналог тензора кривизны для
суперпространства Минковского, то приходится признать, что при таком
подходе мы затрудняемся выписать какое бы то ни было условие не из-за
нечетных координат, а потому, что все СУПЕРпространства Минковского
неголономны (т. е. оснащены неинтегрируемым распределением), а что
такое неголономный аналог тензора Римана, никто до работ [ГрЛе∗, L∗]
не знал 1) даже на многообразиях, см. в [Serg∗] дополнение к переводу интереснейшей книги [Спр∗] — написанный А. М. Вершиком обзор
математических результатов, описывающих неголономные многообразия.
Хотя я уверен, что существует несколько совершенно разных суперизаций уравнений Эйнштейна, определение неголономного тензора кривизны
интересно множеством видимых приложений независимо от «супер» проблем. Этой теме должен быть посвящен специальный том трудов семинара
«SoS»: она слишком обширна.
А вот то, что можно изложить кратко, и что тоже небезынтересно, —
так это выводы из сделанного в 1996 г. наблюдения И. Н. Бернштейна
о том, что многообразия и супермногообразия, которые обычно 2) изучают математики, — либо вещественные, либо комплексно-аналитические,
в то время как супермногообразия, открытые физиками, принадлежат
к «третьему» типу—«вещественно-комплексных» супермногообразий; см.
[BGLS∗]. И. Н. Бернштейн заметил, что суперпространства Минковского, введенные в пионерских работах физиков, — как раз такие объекты,
а не вещественные и не комплексные. Физики ввели вещественно-ком
1)Как часто бывает, если поискать в литературе, то выясняется, что кое-кто знал. Вернее,
думал, что знает, но привычка всегда, даже когда в этом нет нужды, записывать тензоры
и связности в координатах (к которой до сих пор тяготеют многие физики и которой, имея
в виду физиков, придерживался и Ф. А. Березин, в том числе и в рукописи этой книги)
затруднила как поиск ошибки, так и возможность выделить правильную часть этих работ,
см. [ГрЛе∗, L∗], где дано и определение неголономного тензора Римана, и обзор литературы.
2)Последние лет 40 изучают также p-адические многообразия, см., например, [CaOs∗].

Предисловие редактора
11

плексные СУПЕРмногообразия; однако вещественно-комплексные многообразия тоже существуют, например, проективизации кокасательных
расслоений над римановыми многообразиями (но локальные инварианты
вроде тензора Римана математики пока не изучали).

Об обозначениях. Очевидно, что принятое определение («левой») частной производной
по нечетной переменной можно изменить на знаковый множитель, считая ее «действующей
на функцию справа», см. определение на с. 105. Вводя такие «правые производные», можно
иногда не писать знаки, зависящие от четности того, что мы дифференцируем. Этот выигрыш
сомнителен: если считать, что дифференцирования действуют на функции слева и являются
элементами левого модуля над кольцом функций, не требуется гадать, как интерпретировать
выражение fD, где f — функция, а D — дифференцирование, когда стрелочка над D потерялась, как это часто случается. Кроме того, при знакомстве с суперанализом, содержащим
«правые производные», математика ошарашивает: «почему на 0|q-мерном супермногообразии частных производных 2q штук, в то время как размерность касательного пространства
по Зарисскому равна 0|q?» Итак, никаких «правых производных» на самом деле нет, a есть
только левые, но «правые производные» позволяют уменьшить число знаков в рукописях.
Впрочем, сложный счет все равно все поручают компьютеру, а программисту не нужно
возиться с фантомными сущностями.
Как правило, латинские буквы обозначают что-то четное, а греческие — что-то нечетное.
Двухэлементное поле математики обозначают, как правило, символами F2, или Z/2, или Z/2Z,
а символом Z2 обозначают кольцо целых 2-адических чисел. Пусть diagk(a1, . . . , ak) —
блочно-диагональная матрица из k блоков по главной диагонали, а antidiagk(a1, . . . , ak) —
блочно-диагональная матрица из k блоков по побочной диагонали, нумеруемых в обоих
случаях сверху вниз; Z+ — множество неотрицательных целых чисел.
Символ {ei} обозначает множество всех элементов ei, а не одноэлементное множество.
Многие обозначения и понятия перечислены в предметном указателе.
Ссылка на пример 1.3 отправляет к примеру 3 пункта 1 того же параграфа или главы.

Сильно сокращает текст и облегчает понимание формул линейной алгебры в суперпространствах сформулированное в самом начале Правило
Знаков, в котором переставляемые элементы должны быть соседями:

Если что-то четности p движется мимо чего-то четности q,
то появляется множитель (−1)pq.
При этом формулы, определенные (казалось бы) только на однородных
элементах, нужно понимать автоматически продолженными
на неоднородные элементы по линейности.

Спасибо Ф. А. Березину, поставившему мне в 1971 г. задачу «определить аналоги того,
что после Весса и Зумино называют супергруппой, суперсхемой и супермногообразием»,
спасибо И. Н. Бернштейну, а также Ю. И. Манину и А. Л. Онищику, учивших математике
меня и участников семинара «SoS». Я благодарю И. М. Щепочкину за огромную помощь,
Е. Г. Карпель и В. П. Павлова — за моральную поддержку, а РФФИ — за грант на публикацию
книги. За большую TEX-ническую помощь, а также советы при редактировании спасибо
В. В. Молоткову и О. Широковой. За разнообразную помощь спасибо Ю. Н. Торхову — главному редактору издательства МЦНМО. А еще большое спасибо П. Я. Грозману и А. Лебедеву.

Сноски (и комментарии, внесенные в текст) редакторов первого и второго изданий помечены соответствующими инициалами.