Избранные задачи теории динамических систем

Ю. С. Ильяшенко

Избранные задачи теории
динамических систем

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО


УДК .+.
ББК .
И

Ильяшенко Ю. С.
Избранные задачи теории динамических систем
Электронное издание
М.: МЦНМО, 
 с.
ISBN ----

Теория динамических систем делится на две части: многомерные
системы (царство хаоса) и маломерные (царство порядка). К первой,
более обширной области относятся эпиморфизмы в любой размерности, диффеоморфизмы в размерности  и потоки в размерности три
и выше. Ко второй относятся диффеоморфизмы окружности и векторные поля на плоскости, вещественной и комплексной. Предлагаемая
книга посвящена обеим темам.
В теории многомерных систем она посвящена отысканию новых
локально типичных свойств динамических систем, и прежде всего исследованию аттракторов. Во второй части нас интересуют полиномиальные векторные поля на вещественной и комплексной плоскости.
Принятый в этой книге подход основан на связи между случайными
и детерминированными динамическими системами.
Книга может служить введением в предмет. Каждая тема описана
в ней эскизно, зато читатель может войти в курс дела быстрее, чем это
позволяет любая монография.

Подготовлено на основе книги: Ильяшенко Ю. С. Избранные задачи теории
динамических систем. –– М.: МЦНМО, . ––  с.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., ,
тел. ()––.
http://www.mccme.ru

ISBN ----
© Ю. С. Ильяшенко, .
© МЦНМО, .

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Глава 
Летняя школа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Введение к первой главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1. Теорема конечности для предельных циклов . . . . . . . . . .

1.1.1. Обзор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2. Полиномиальное векторное поле. Компактификация
Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3. Разрешение особенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.4. Ненакопление к элементарному полициклу
. . . . . .

1.1.5. Полурегулярные отображения . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.6. Классификационная теорема . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.7. Асимптотика отображения Пуанкаре . . . . . . . . . . .

1.1.8. От теоремы Дюлака до теоремы о ненакоплении . . .

1.2. Локальные и нелокальные бифуркации . . . . . . . . . . . . .

1.2.1. Нормальная форма деформации седлоузла . . . . . . .

1.2.2. Бифуркации двумерных седлоузлов . . . . . . . . . . . .

1.2.3. Бифуркации трехмерных седлоузлов . . . . . . . . . . .

1.2.4. Гомоклинические поверхности седлоузлового цикла

1.2.5. Бифуркация двух гомоклинических поверхностей . .

1.2.6. От Морса––Смейла к Смейлу––Вильямсу . . . . . . . . .

1.3. Релаксационные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2. Теорема Феничеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3. Падение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.4. Срыв. Ренормализация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.5. Осцилляционные быстро-медленные системы. Теорема Феничеля. Нормальная форма . . . . . . . . . . . . .

1.3.6. Нелокальные бифуркации и быстро-медленные системы. Проблемы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4. Добавление: Рекуррентность для действий коммутативных
групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.2. Теорема Биркгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Оглавление

1.4.3. Действия коммутативных групп. Формулировка теоремы Фюрстенберга––Вайса . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.4. Доказательство теоремы Фюрстенберга––Вайса . . . .

1.4.5. Следствия теоремы Фюрстенберга––Вайса
. . . . . . .


Глава 
Летняя школа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Введение ко второй главе
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1. Аттракторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1. Как устроены типичные динамические системы? . . .

2.1.2. Аттракторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.3. Перемежающиеся аттракторы . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. Мини-вселенная динамических систем: косые произведения

2.2.1. Косые произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2. Почему «мини-вселенная»? . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3. Полиномиальные векторные поля: панорама с птичьего полета
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2. Попытка Петровского––Ландиса . . . . . . . . . . . . . .

2.3.3. Облегченные варианты -й проблемы Гильберта . .

2.3.4. Немного истории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4. Проблема Гильберта––Арнольда . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.1. Равномерная оценка числа предельных циклов для
полиномиальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.2. Конечная цикличность полициклов полиномиальных
векторных полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.3. Усиленная проблема Гильберта––Арнольда . . . . . . .

2.5. Теорема о нулях и росте и ее приложения . . . . . . . . . . . .

2.5.1. Теорема о нулях и росте . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.2. Применение теоремы к дифференциальным уравнениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.3. Дифференциальные уравнения в комплексной области 
2.5.4. Уравнение Льенара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6. Квадратичные векторные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.1. Реальная цель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.2. Центры для 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.3. Сингулярные квадратичные векторные поля . . . . . .

2.6.4. Квадратичные векторные поля, близкие к центрам,
но далекие от сингулярных . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.5. Резюме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7. Инфинитезимальная проблема Гильберта . . . . . . . . . . . .


Оглавление


2.7.1. Стратегия Петровского и Ландиса . . . . . . . . . . . . .

2.7.2. Комплексификация и критерий Пуанкаре––Понтрягина 
2.7.3. Теорема о точности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7.4. Топологическая часть теоремы о точности . . . . . . .

2.8. Еще об абелевых интегралах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.1. Алгебраическая часть теоремы о точности . . . . . . .

2.8.2. Оценки сверху числа нулей абелевых интегралов . . .

2.8.3. Основной определитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9. Нефубиниевский мир . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.1. Инвариантные многообразия . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.2. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.3. Теорема Феничеля о сохранении инвариантных многообразий
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.4. Теория Хирша––Пью––Шуба . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.5. Возмущение косых произведений . . . . . . . . . . . . .

2.9.6. Кошмар Фубини и его преодоление . . . . . . . . . . . .

2.9.7. Специальная эргодичесекая теорема . . . . . . . . . . .


Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Предисловие

В  году рухнул Железный Занавес. Автор этих строк, дотоле
«невыездной», получил возможность общаться со своими коллегами
в разных странах мира. Начиная с  года примерно половину учебного времени он проводил вне России. С осени  года Юлий Сергеевич Ильяшенко получил полугодовую позицию профессора в Cornell
University, и с тех пор каждый год проводит там осенний семестр. Это
поставило под угрозу само существование семинара Ю. С. Ильяшенко
«Динамические системы».
Чтобы сохранить семинар, при горячей поддержке его участников, Юлий Сергеевич организовал Летние Школы «Динамические системы». Первая школа проходила на Волге в дачном домике родителей
Антона Городецкого и их друзей. Кроме Юлия Сергеевича, в школе
было еще пять участников: сам Антон (сейчас Assistant Professor of the
University of California at Irvine, US), Саша Буфетов (ныне старший научный сотрудник МИ РАН им. В. А. Стеклова и Assistant Professor of the
Rice University, US), Оля Аносова (сейчас к.ф.-м.н., живет в Бристоле,
Англия), Маша Сапрыкина (ныне Assistant Professor of KTH, Sweden)
и Рома Фёдоров (в недавнем времени visiting Assistant Professor of the
Amherst University).
Первая глава предлагаемой брошюры –– записки лекций Юлия
Сергеевича Ильяшенко, сделанные и обработанные Ромой Фёдоровым. Две лекции по эргодической теории прочел Саша Буфетов; они
составили Дополнение к главе 1 предлагаемой книги.
Кроме математических лекций, в школе были гуманитарные, читавшиеся после ужина. Юлий Сергеевич рассказал об Иване Грозном.
Саша Буфетов устроил музыкальный вечер –– первый в длинной серии музыкальных вечеров, ставших традицией последующих летних
школ. Антон Городецкий расказал о некоторых сюжетах, связанных
с психотерапией, а его мама Ольга Дорофеевна, главный детский ортопед Саратова, –– о детишках, которых она лечила. По утрам мы бегали по откосам и расщелинам высокого берега Волги.
Так начались летние школы нашего семинара, ставшие ежегодной традицией. Вторая и третья школы происходили в пансионате Красновидово, следующие четыре –– в санатории-пансионате Ратмино (Дубна). Фантазия участников постепенно раскрепощалась.
В  году третьекурсник Митя Филимонов (сейчас кандидат и доцент МИИТа) предложил абсолютно нереальную идею –– провести

Предисловие


восьмую школу на Кавказе в альплагере Безенги. Нереальная идея
реализовалась. Просыпаясь, мы видели Безенгийскую стену, ослепительно белую под солнцем, с зубцами пятитысячников над ней.
Мы обсуждали проблемы, бродя по берегу ревущего потока. Кроме
ставших обычными математических и гуманитарных лекций, мы
поднимались в горы и, сидя у хижины «Теплый угол» на высоте  м,
следили, как из ущелья внизу, словно пар из котла, поднимаются пронизанные солнечным светом яркие облака, разрастаются, накрывают
нас светящимся туманом, а потом втягиваются в ущелье наверху,
и снова открывают хребты, то темные и тенистые, то сверкающие
снегом. А наутро мы поднялись на снежный перевал и любовались
нагромождениями и узорами ледопада на открывшемся перед нами
склоне. Спасибо родителям Мити –– Андрею и Ольге Филимоновым,
организовавшим для нас этот поход! Спасибо директору альплагеря Безенги Алию Хусиевичу Анаеву, принявшему нас с истинно кавказским
радушием!
Школу  г. мы снова провели в Ратмино, где нас приняли как
родных. Наш семинар и его летние школы многим обязаны администрации пансионата.
Десятая, юбилейная школа проходила на Соловках, по предложению Алеши Глуцюка и Паши Каледы. Всю непростую бытовую сторону школы организовал Алеша Фишкин.
Соловецкие острова –– одно из средоточий России. Кажется, сам
воздух там заряжен духом прошлого, как воздух после грозы бывает
насыщен озоном. Мало где так ощущается опыт святости, накопленный за почти шесть столетий. И уже неотделимый от него, но не
менее сильный –– опыт мученичества и мучительства, накопленный
за короткие  лет (––) в Соловецком Лагере Особого Назначения. Мы, русские, создали рукотворный ад, подобного которому еще
не было в Европе. Мученики, погибшие там, и мученики, вышедшие
оттуда, передали нам духовный опыт, благодаря которому мы еще не
совсем одичали.
Все это мы чувствовали даже в рабочие дни, а особенно –– в свободные, когда мы странствовали по островам. Паша Каледа организовал для нас поездку на Анзер –– остров тишины и малолюдия. Веками
немногочисленные монахи, люди особо строгого подвига, жили там
в гармонии с природой, рядом со стадами огромных северных оленей.
Незадолго до нашего приезда сильные мира сего резвились, избивая
Анзерских оленей с вертолетов. Помните «Охоту с вертолетов» Высоцкого? Когда мы приплыли на Анзер, оленей там уже не было. Они
ушли зимой по льду на материк.


Предисловие

Занятия наши проходили в школе неподалеку от монастыря. Там
же мы и питались. Летом эта школа служит «странноприимным домом» для всех небогатых людей, которые стекаются на Соловки со
всех концов России. Спасибо директору школы Ирине Викторовне
Совалевой, которая нас всех принимает как родных.
Соловецкий монастырь пытается вернуться к прежней жизни после пережитого поругания. Об этой жизни нам рассказала Марина
Осипенко, экскурсовод и исследователь, физик и историк, автор замечательной книги о Соловках. Ей тоже наш низкий поклон.
Так жизнь нашего семинара вышла далеко за пределы математики. Но вернемся к ней –– нашему главному делу.
Как уже говорилось, лекции первой школы записаны Ромой Фёдоровым; огромное ему спасибо. Ему принадлежит идея написания
этой брошюры, без его энтузиазма она не появилась бы на свет. Большая часть картинок к первой главе нарисовна Ромой; значительная
часть нарисована Александром Ильяшенко и заимствована из книги
Ilyashenko Yu., Weigu L. «Nonlocal bifurcations» (AMS, ).
После этого несколько раз делались попытки записывать лекции
Юлия Сергеевича в режиме реального времени. Несколько раз эти
попытки обрывались где-то посередине. Первая удавшаяся попытка ––
это записки XI летней школы, Ратмино,  год. Черновые записи делал Юра Кудряшов, набирая конспект на компьютере прямо во время
лекции. За каждой лекцией был закреплен ответственный, который
доводил этот конспект до состояния полного и, по возможности, легко
читаемого текста. Координировал эту деятельность Паша Каледа. Он
же нарисовал на компьютере большинство картинок ко второй главе и вместе с Витей Клепцыным окончательно отредактировал весь
текст. Только благодаря его энергии эта книжка была закончена. Приношу сердечную благодарность ему, всем участникам летних школ
и всем участникам семинара «Динамические системы».
При подготовке этих лекций к изданию были сделаны немногочисленные вставки. Они выделены в тексте курсивом.

Ю. Ильяшенко
Мехико  августа  г.

Глава 

Летняя школа 

Введение к первой главе

На летней школе крупными мазками был набросан эскиз, объединяющий разные темы занятий семинара по динамическим системам,
работающего под моим руководством. Проработка всех деталей требует статей и книг; часть из них еще не написана, часть –– указана
в списке литературы.
Аналитические дифференциальные уравнения на плоскости, нелокальные бифуркации и релаксационные колебания –– эти различные,
на первый взгляд, области на самом деле пронизаны связями. Методы, развитые в нелокальной теории бифуркаций, применяются и к
полиномиальным векторным полям, и к системам релаксационных
колебаний. Теория нормальных форм плодотворно используется во
всех трех областях.
Саша Буфетов прочел на летней школе две лекции по эргодической теории. Написанное им добавление находится на стыке этой
теории и теории динамических систем с неклассическим временем.
Связь классических и неклассических динамических систем описана в пункте ... Эта связь заслуживает подробного изучения, которое уже начато, но еще не обсуждалось на летней школе.
Лекции ЛШ- содержат задачи –– легкие и трудные; теоремы ––
с набросками доказательств или совсем без оных, и проблемы –– часть
которых, надеюсь, превратится в теоремы не без участия читателей
этой книги.

Ю. Ильяшенко
Итака, осень  г.

.. Теорема конечности для предельных циклов

... Обзор

Один из вопросов, поставленных Гильбертом во второй части -й
проблемы, звучит так.
Проблема ... Верно ли, что для любого n существует H(n) такое, что (вещественное) полиномиальное векторное поле степени n
на плоскости имеет не более чем H(n) предельных циклов?
Напомним, что полиномиальным векторным полем на плоскости
называется поле вида

˙x = P(x, y),
˙y = Q(x, y),

где P и Q –– многочлены от двух переменных. Наибольшая из степеней
этих многочленов называется степенью векторного поля.
Предельным циклом называется замкнутая траектория, в окрестности которой нет других замкнутых траекторий.
Дюлак опубликовал доказательство следующей теоремы.
Теорема ... Полиномиальное векторное поле имеет лишь конечное число предельных циклов.
Ю. С. Ильяшенко обнаружил ошибку в доказательстве Дюлака.
Усилиями Экаля (J. Ecalle) [E] и Ю. С. Ильяшенко [I], [И] ошибка была исправлена. Это исправление потребовало привлечения идей
из совсем другой области математики.
В настоящей главе изложены идеи, приводящие к доказательству
теоремы; дан набросок доказательства для случая векторного поля,
у которого все особые точки (включая бесконечно удаленные) являются гиперболическими. Напомним, что особая точка называется
гиперболической, если собственные значения линеаризации поля
в этой точке не лежат на мнимой оси (в частности, не равны нулю).

... Полиномиальное векторное поле.
Компактификация Пуанкаре

Рассмотрим комплексное полиномиальное векторное поле на 2.
Задача ... Докажите, что соответствующее поле направлений
можно продолжить на P2 до поля направлений, гладкого всюду, кроме конечного числа особых точек. В окрестности такой особой точки
это поле направлений задается (в некоторой аффинной карте) полиномиальным векторным полем.
Рассмотрим голоморфное векторное поле на двумерном комплексном многообразии. Пусть M –– одномерное инвариантное подмного

.. Теорема конечности для предельных циклов


образие. Рассмотрим особую точку x ∈ M векторного поля. Характеристическим значением этой особой точки называется отношение
собственных чисел линеаризации, причем собственное число, соответствующее собственному направлению, касательному к инвариантному подмногообразию, ставится в знаменатель.

Задача ...
Докажите, что типичное комплексное полиномиальное векторное поле степени n имеет n + 1 невырожденную бесконечно удаленную особую точку. В неособых точках поле касается бесконечно удаленной прямой, причем сумма характеристических
значений особых точек, лежащих на бесконечно удаленной прямой,
равна единице.

Задача .. (теорема Камачо––Сада). Докажите, что сумма характеристических значений особых точек двумерного голоморфного векторного поля на одномерном инвариантном подмногообразии
равна индексу самопересечения этого подмногообразия.

Заметим, что вещественное полиномиальное векторное поле на
плоскости можно продолжить до поля направлений на P2.

... Разрешение особенностей

Рассмотрим каноническое отображение 2 \ {0} на P1. График
M этого отображения является подмножеством (2 \ {0}) × P1. Он
диффеоморфен 2 \ {0}. Рассмотрим замыкание ¯¯
M этого графика
в 2 × P1 и проекцию π: 2 × P1 → 2. График M диффеоморфно проектируется в 2 \ {0}, а множество L = ¯¯
M \ M проектируется
в нуль. L называется вклеенным дивизором. Множество ¯¯
M является
подмногообразием в 2 × P1, а множество L –– подмногообразием
в ¯¯
M, диффеоморфным P1.
Рассмотрим гладкое поле направлений на 2, для которого начало координат является изолированной особой точкой. Мы можем
рассмотреть индуцированное поле на M. Если это поле не является
плоским в нуле (т. е. его ряд Тейлора в нуле ненулевой), то оно продолжается на L так, что на L оно будет иметь лишь конечное число
особых точек.
Пусть x, y –– координаты в 2. В дополнении к замыканию множества {x = 0} в ¯¯
M мы можем в качестве координат взять x и y/x.
Аналогичным образом можно ввести координаты в дополнении к замыканию множества {y =0}.
Эта конструкция называется σ-процессом или раздутием. Она
позволяет «развалить» сложную особую точку на более простые. Конечно, у нее существует комплексный аналог.