Аффинная и проективная геометрия

Я. П. Понарин

А Ф Ф И Н Н А Я
И П Р О Е К Т И В Н А Я
Г Е О М Е Т Р И Я

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 514.14
ББК 22.151.3
П56

Понарин Я. П.
Аффинная и проективная геометрия
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
287 с.
ISBN 978-5-4439-2032-0

Книга содержит элементарное систематическое изложение двух
классических геометрий как самостоятельных геометрических дисциплин без использования метрических понятий. Она адресуется лицам,
желающим самостоятельно заняться изучением основ высшей геометрии. Основное внимание уделяется аффинным и проективным преобразованиям. На базе проективной геометрии представлены модели
аффинной, евклидовой геометрий, геометрии Минковского и геометрии Лобачевского.
Предполагается, что читатель имеет хорошие знания элементарной
геометрии и определённый уровень общей математической культуры.
Имеется список задач для самостоятельного решения (около 200
задач).
Книга может служить учебным пособием для студентов математических факультетов вузов.

Подготовлено на основе книги: Я. П. Понарин. Аффинная и проективная геометрия. — М.: МЦНМО, 2009.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2032-0
c⃝ МЦНМО, 2014.
c⃝ Понарин Я. П., наследники, 2009.

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12

Часть I. Аффинная геометрия

Глава I. Основы аффинной геометрии на плоскости

§1. Понятие об аффинной геометрии
. . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.1. Аффинная плоскость (17). 1.2. Аксиоматика аффинной
геометрии плоскости (17).
1.3. Аффинная геометрия как
самостоятельная наука (19).
§2. Некоторые аффинные понятия и теоремы
. . . . . . . . . . . .
20
2.1. Равенство отрезков прямой
и параллельных прямых (20).
2.2. Теорема Фалеса (21).
2.3. Сравнение
сонаправленных отрезков. Отношение коллинеарных отрезков (22).
2.4. Аффинная теорема Паппа (23).
2.5. Гомотетичные треугольники (24).
§3. Аффинные операции над векторами . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.1. Сложение и вычитание векторов (25).
3.2. Умножение
вектора на действительное число (25). 3.3. Алгебраические
свойства аффинных операций над векторами (26).
§4. Косое произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.1. Определение и его следствия (27). 4.2. Геометрический
смысл косого произведения (28).
4.3. Следствия (29).
§5. Косое произведение векторов в доказательствах аффинных
теорем планиметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
5.1. Свойство трапеции (30).
5.2. Теорема Гаусса (30).
5.3. Свойство пары аффинно связанных треугольников (31).
5.4. Отношение площадей четырёхугольника и ассоциированного с ним треугольника (32).
§6. Аффинные преобразования плоскости . . . . . . . . . . . . . . .
32
6.1.
Определение
и
примеры
аффинных
преобразований (33).
6.2. Сохранение параллельности прямых при
аффинных преобразованиях (34). 6.3. Теорема Дарбу (34).
§7. Числовые инварианты аффинных преобразований
. . . . . . .
35
7.1. Отношение коллинеарных векторов (35).
7.2. Инва

Оглавление

риантность отношения площадей плоских фигур
(36).
7.3. Аффинные преобразования первого и второго родов (37).
§8. Конструктивное задание и координатные формулы
аффинного преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
8.1. Теорема о задании аффинного преобразования (38).
8.2.
Координатные
формулы
аффинного
преобразования (39).
§9. Неподвижные точки и неизменяемые направления
. . . . . . .
40
9.1. Неподвижные точки (40).
9.2. Неизменяемые направления (41).
§10. Родственные преобразования
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
10.1. Свойства родства (43).
10.2. Представление аффинного преобразования композицией двух родственных (45).
§11. Построение центра аффинного преобразования . . . . . . . . .
46
11.1. Использование композиции двух родственных преобразований (46).
11.2. Другой способ построения центра
аффинного преобразования (46).
§12. Формулы аффинных преобразований некоторых
частных видов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
12.1. Родство (48).
12.2. Сдвиг (49).
12.3. Гомотетия (49).
12.4. Перенос и переносная симметрия (50).
§13. Эквиаффинные преобразования как композиции
косых симметрий
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
13.1. Примеры (51).
13.2. Теоремы о разложении эквиаффинных преобразований (51).
13.3. Критерий эквицентроаффинного преобразования (52).
§14. Группы преобразований и геометрии . . . . . . . . . . . . . . .
53
14.1. Понятие группы преобразований. Примеры
(53).
14.2. Определение геометрии по Клейну (54).
14.3. Аффинно эквивалентные фигуры (54).

Типизация основных видов аффинных преобразований
плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55

Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56

Глава II. Линии второго порядка на аффинной плоскости

§15. Эллипс
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
15.1. Аффинное определение и каноническое уравнение эллипса (60).
15.2. Исследование аффинных свойств эллипса
по его каноническому уравнению (61). 15.3. Задание эллипса двумя его сопряжёнными диаметрами (63).
15.4. Пара

Оглавление
5

метрические уравнения эллипса (64).
15.5. Теорема Аполлония (64).
§16. Аффинные автоморфизмы эллипса . . . . . . . . . . . . . . . .
65
16.1. Координатные формулы автоморфизмов эллипса (65).
16.2. Конструктивное представление эллиптического поворота (66). 16.3. Геометрический смысл угла эллиптического
поворота (67).
§17. Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
17.1. Аффинное определение гиперболы и её каноническое
уравнение (68). 17.2. Асимптоты гиперболы. Сопряжённые
гиперболы (70).
17.3. Уравнение гиперболы относительно
её асимптот (71).
17.4. Параметрические уравнения гиперболы (71). 17.5. Построение точек гиперболы (72). 17.6. Гипербола как график дробно-линейной функции (72).
§18. Аффинные автоморфизмы гиперболы. Гиперболический
поворот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
18.1. Справка о гиперболических синусе и косинусе (73).
18.2. Автоморфизмы гиперболы (74).
18.3. Гиперболический поворот (75).
§19. Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
19.1. Аффинное определение и каноническое уравнение параболы (76). 19.2. Диаметры параболы (78). 19.3. Построение точек параболы (78).
§20. Аффинные автоморфизмы параболы . . . . . . . . . . . . . . .
79
20.1. Формулы автоморфизмов параболы (79).
20.2. Параболический поворот (80).
§21. Диаметры и касательные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
21.1. Критерии сопряжённости двух диаметров эллипса и
гиперболы (81).
21.2. Касательные к кривым второго порядка (82).
21.3. Построение касательных (83).
§22. Общее уравнение линий второго порядка . . . . . . . . . . . .
83
22.1. Определения (84).
22.2. Критерий вырожденности
кривой второго порядка (84).
§23. Определение вида невырожденной кривой второго
порядка по её общему уравнению . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
23.1. Аффинная эквивалентность эллипсов, гипербол, парабол (86).
23.2. Признаки эллипса (87).
23.3. Критерий гиперболы (87).
23.4. Признаки параболы (88).
23.5. О мнимых кривых второго порядка (89).
Историческая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89

Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90

Оглавление

Глава III. Аффинные преобразования пространства

§24. Аффинное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
24.1. Аксиоматика аффинной стереометрии (94).
24.2. Параллельные прямые и плоскости (94).
§25. Тройное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
25.1. Определение и свойства тройного произведения (95).
25.2. Геометрический смысл тройного произведения (97).
§26. Аффинные преобразования пространства . . . . . . . . . . . .
98
26.1. Определение и его следствия (98). 26.2. Конструктивное задание аффинного преобразования (98).
26.3. Координатные формулы аффинного преобразования пространства (99).
26.4. Отношение объёмов — аффинный инвариант (100).
§27. Неподвижные точки и неизменяемые направления
аффинного преобразования пространства . . . . . . . . . . . . 101
27.1. Неподвижные точки (101).
27.2. Неизменяемые направления (102).
27.3. Плоскости неизменяемых направлений (103).
§28. Родственные преобразования
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
28.1. Родство пространства (104).
28.2. Частные виды родственных преобразований пространства (105).
28.3. Формулы родственных преобразований (106).
§29. Некоторые специальные виды аффинных преобразований
пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
29.1. Косая осевая симметрия (107).
29.2. Переносная симметрия (107).
29.3. Косой перенос (108).
29.4. Аффинные
повороты (108).
29.5. Параболический сдвиг (109).
§30. Центр аффинного преобразования пространства . . . . . . . . 110
§31. Аффинные автоморфизмы тетраэдра
. . . . . . . . . . . . . . 110

Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Глава IV. Квадрики в аффинном пространстве

§32. Определение квадрики. Пересечение квадрики
с плоскостью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
32.1. Определение (114). 32.2. Пара плоскостей как квадрика (114).
32.3. Пересечение квадрики с плоскостью (115).
§33. Цилиндрические квадрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
33.1. Определение и составление уравнения цилиндрической
квадрики (116).
33.2. Канонические уравнения цилиндрических квадрик (118).
33.3. Проекция кривой на коорди

Оглавление
7

натную плоскость (119).
33.4. Плоские сечения цилиндрических квадрик (120).
§34. Конические квадрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
34.1. Определение конической квадрики, составление её
уравнения (121).
34.2. Уравнение конуса второго порядка
с вершиной в начале координат. Каноническое уравнение конуса (122).
34.3. Условие распадения конической
квадрики на пару плоскостей (123).
§35. Кривые второго порядка как конические сечения
. . . . . . . 124
§36. Эллипсоид
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
36.1.
Определение
и
геометрическая
форма
эллипсоида (126).
36.2. Сопряжённые диаметры и диаметральные
плоскости эллипсоида (127).
36.3. Сопряжённые тройки
диаметров и сопряжённые тройки диаметральных плоскостей (129).
§37. Гиперболоиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
37.1. Однополостный гиперболоид (130).
37.2. Двуполостный гиперболоид (133).
§38. Однополостный гиперболоид как линейчатая квадрика . . . . 135
§39. Эллиптический параболоид
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
39.1. Аффинное каноническое уравнение и сечения эллиптического параболоида (141). 39.2. Диаметральные плоскости
и диаметры эллиптического параболоида (143).
§40. Гиперболический параболоид . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
40.1. Сечения и форма гиперболического параболоида (144).
40.2. Диаметральные плоскости и диаметры гиперболического параболоида (146). 40.3. Прямолинейные образующие
гиперболического параболоида (147).
§41. Касательные прямые и касательные плоскости
к квадрикам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
41.1. Касательные прямые (148).
41.2. Касательные плоскости (149).
§42. Аффинная классификация квадрик
. . . . . . . . . . . . . . . 150

Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Часть II. Проективная геометрия

Глава I. Основы геометрии проективной плоскости

§1. Определение проективной плоскости
. . . . . . . . . . . . . . . 156

Оглавление

§2. Классические модели проективной плоскости. Действительная
проективная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2.1. Связка прямых аффинного трёхмерного пространства
как модель проективной плоскости (158). 2.2. Расширенная
аффинная плоскость (158).
2.3. Действительная проективная плоскость (160).
§3. Принцип двойственности для проективной плоскости . . . . . . 161
§4. Проективные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.1. Определение и аффинный смысл проективных координат точки (163).
4.2. Замена проективной системы координат (165).
§5. Уравнения прямой в проективных координатах.
Теорема Дезарга
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.1. Виды уравнений прямой (166).
5.2. Критерий принадлежности трёх прямых одному пучку (167).
5.3. Теорема
Дезарга (167).
5.4. Обратная теорема Дезарга (168).
§6. Двойное отношение четырёх точек прямой . . . . . . . . . . . . 169
6.1. Определение двойного отношения четырёх точек прямой (169). 6.2. Сохранение двойного отношения при замене
проективной системы координат (170). 6.3. Свойства двойного отношения четырёх точек прямой (171).
6.4. Двойное
отношение четырёх коллинеарных точек аффинной плоскости (173).
§7. Двойное отношение и проективные координаты точек
. . . . . 173
7.1. Представление двойного отношения в проективных координатах (173).
7.2. Выражение отношений проективных
координат точки через двойные отношения (174).
§8. Двойное отношение четырёх прямых пучка и его свойства . . . 175
§9. Разделённость пар точек проективной прямой . . . . . . . . . . 178
§10. Гармоническая четвёрка точек
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Глава II. Проективные отображения и преобразования

§11. Проективные отображения прямой на прямую
(пучка на пучок)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
11.1. Перспективные отображения (184).
11.2. Проективное отображение прямой на прямую (пучка на пучок) (185).
11.3. Теорема Паппа (187).
§12. Проективные преобразования прямой
. . . . . . . . . . . . . . 187
§13. Проективные инволюции прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Оглавление
9

13.1. Задание и координатные формулы (189).
13.2. Неподвижные
точки
инволюции.
Виды
инволюций
(190).
13.3. Вторая теорема Дезарга (191).
§14. Проективные преобразования плоскости . . . . . . . . . . . . . 192
14.1.
Определение
и
задание
проективных
коллинеаций (192).
14.2. Координатные формулы проективного
преобразования (193).
14.3. Построение образа точки при
коллинеации (194).
§15. Неподвижные точки коллинеации. Гомология . . . . . . . . . . 195
15.1. Неподвижные точки (195). 15.2. Гомология проективной плоскости (196). 15.3. Гомологии расширенной аффинной плоскости (197). 15.4. Гармоническая гомология (198).
§16. Неподвижные прямые коллинеации. Представление
коллинеации композицией гомологий . . . . . . . . . . . . . . . 199
16.1.
Существование
неподвижной
прямой
коллинеации (200).
16.2. Представление коллинеации плоскости
композицией двух гомологий (201).
§17. Проективная геометрия с групповой точки зрения . . . . . . . 202

Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Глава III. Проективная теория линий второго порядка

§18. Проективное определение линии второго порядка
. . . . . . . 207
18.1. Определение и характеристическое свойство линии
второго порядка (207).
18.2. Распадение линии второго
порядка на пару прямых (208).
§19. Основная теорема проективной теории линий
второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
§20. Уравнение линии второго порядка в проективных
координатах
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
§21. Теорема Паскаля и её применение . . . . . . . . . . . . . . . . 212
21.1. Аналитическое доказательство теоремы Паскаля (212).
21.2. Теорема Паскаля для вырожденных шестиугольников (214).
§22. Поляра точки и полюс прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
22.1. Определения поляры и полюса (216).
22.2. Построение поляры (217).
22.3. Построение полюса данной прямой (219).
22.4. Построение касательных к линии второго
порядка (219).
§23. Уравнение поляры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
23.1. Координатный критерий полярной сопряжённости
точек (220).
23.2. Уравнение касательной (221).

Оглавление

§24. Полярное соответствие (поляритет)
. . . . . . . . . . . . . . . 222
24.1. Определение и координатные формулы (222). 24.2. Пучок прямых второго порядка
(223).
24.3. Понятие
о корреляции общего вида (224).
§25. Теорема Брианшона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
25.1. Теорема Брианшона для описанного шестиугольника (224).
25.2. Теорема Брианшона для вырожденных
шестиугольников (225).
25.3. Обратная теорема Брианшона (226).
§26. Проективные связи точек кривой второго порядка
и прямой линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
26.1. Перспективное соответствие (227).
26.2. Проективное
преобразование кривой второго порядка (228).
26.3. Теорема Штаудта (229).
26.4. Критерий инволюции кривой
второго порядка (229).
§27. Проективная классификация линий второго порядка
. . . . . 230

Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Глава IV. Проективные модели аффинной и трёх метрических
геометрий

§28. Проективно-аффинная плоскость. Проективно-аффинные
преобразования
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
§29. Основные понятия проективно-аффинной геометрии
. . . . . 237
29.1. Параллельные прямые
(238).
29.2. Проективноаффинное определение вектора (238).
29.3. Отношение
коллинеарных векторов (240).
§30. Умножение вектора на число . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
30.1. Ассоциативность умножения вектора на число (241).
30.2. Дистрибутивный закон умножения вектора на число (242).
§31. Аффинное истолкование проективных теорем
. . . . . . . . . 242
§32. Линии второго порядка на проективно-аффинной
плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
32.1. Аффинные свойства линий второго порядка
(244).
32.2. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в аффинных координатах (246).
32.3. Аффинная классификация
линий второго порядка (247).
§33. Проективно-евклидова плоскость. Преобразования подобия . . 248
33.1. Формулы преобразования подобия (250).
§34. Длина отрезка и мера угла на проективно-евклидовой
плоскости. Групповой подход к евклидовой геометрии . . . . . 251

Оглавление
11

§35. Проективно-аффинная модель псевдоевклидовой
геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
35.1. Абсолют псевдоевклидовой плоскости (255). 35.2. Векторы псевдоевклидовой плоскости (256).
35.3. Угол между
векторами (257).
§36. Проективные преобразования, сохраняющие абсолют
псевдоевклидовой плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
36.1. Псевдоевклидовы подобия (258).
36.2. Псевдоевклидовы движения (259).
§37. Псевдоевклидова элементарная планиметрия . . . . . . . . . . 261
37.1. Сумма углов треугольника (261).
37.2. Площадь треугольника (261).
37.3. Теоремы синусов и косинусов (261).
37.4. Неравенство треугольника (262).
37.5. Окружности
псевдоевклидовой плоскости (262).
§38. Проективная модель плоскости Лобачевского . . . . . . . . . . 264
38.1. Абсолют (264).
38.2. Взаимное расположение двух
прямых гиперболической плоскости (265).
§39. Проективная метрика гиперболической плоскости . . . . . . . 267
39.1. Длина отрезка (267). 39.2. Мера угла (268). 39.3. Основное соотношение геометрии Лобачевского (268).
§40. Движения гиперболической плоскости . . . . . . . . . . . . . . 270
40.1. Определение и общие свойства (270).
40.2. Осевая и
центральная симметрии (270). 40.3. Повороты. Скольжение
вдоль прямой (271).
40.4. Представление произвольного
движения композицией осевых симметрий (272).
§41. Пучки прямых и циклы в гиперболической плоскости . . . . . 273
41.1. Пучки прямых (273).
41.2. Окружность, орицикл,
эквидистанта (274).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

Исторический очерк о проективной геометрии . . . . . . . . . . . . 278

Ответы к некоторым задачам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

Предисловие

Открытая вами книга содержит основы аффинной и проективной
геометрий в систематическом «элементарном» изложении. Даже первоначальное знакомство с «высшими» геометриями предполагает наличие у читателя определённых геометрических знаний и математической
культуры в объёме, скажем, первых двух томов «Элементарной геометрии» [12] этого же автора.
Книга состоит из двух относительно самостоятельных частей (со своей нумерацией параграфов) — аффинной и проективной геометрий. Их
содержание определилось в ходе длительной работы автора в педагогических вузах и творческого общения с коллегами и издателями.
Отдельно по аффинной геометрии мне известны только две книги [8] и [16]. Аффинные свойства фигур встречаются на страницах
геометрических пособий среди материала другого назначения. В книгах [3], [7], [14] имеются главы полностью с аффинным содержанием,
много внимания аффинной геометрии уделено авторами учебников
[4] и [10].
О специальных книгах [8] и [16] надо сказать особо. Книга А. М. Комиссарука содержит глубокое и подробное изложение аффинной геометрии на самостоятельном аксиоматическом фундаменте, без связи
с евклидовой геометрией. Однако она имеет, на наш взгляд, два недостатка: 1) изложение сильно усложняется обилием второстепенного материала, громоздкостью классификации аффинных преобразований и
связанных с ней терминов и обозначений; 2) при доказательстве планиметрических аффинных свойств автор прибегает к использованию
стереометрических фактов.
В книге [16] И. М. Яглома и В. Г. Ашкинузе изложение ведётся на основе евклидовой геометрии, хотя авторы справедливо считают аффинную геометрию самостоятельной наукой. Для начинающего читателя
это вполне приемлемо.
Учебная литература по проективной геометрии насчитывает немало
книг, изданных в основном в 50–60-е годы прошлого века и рассчитанных на различные вкусы и уровни подготовки читателей. Многократно
издавалось учебное пособие [14] Н. Ф. Четверухина. По убеждению его
автора, оно сознательно построено на основе евклидовой геометрии, чем
закрывается сама сущность проективной геометрии как геометрии, не
содержащей метрических понятий. В меньшей мере этим недостатком
страдают и другие книги, кроме книги [3] Г. Б. Гуревича, которая содержит изложение проективной геометрии, независимое от евклидовой.

Предисловие
13

В настоящее время резко сократился выпуск учебных пособий по математике для вузов, в особенности по геометрии. При написании этого
пособия я ставил целью изложить доступно в систематическом виде начала аффинной и проективной геометрий на самостоятельной основе,
без привлечения метрических понятий и теорем.
В качестве аксиоматического фундамента аффинной геометрии взяты аффинные аксиомы классической аксиоматики Гильберта евклидовой геометрии. Но они не являются самодовлеющими, не обременяют
изложение, являясь его научной основой. В первой части книги содержится аффинная элементарная геометрия, аффинные преобразования
плоскости и пространства, аффинная теория кривых второго порядка
и квадрик.
Аксиоматика проективной плоскости заимствована из работы [13] и
состоит из четырёх простых аксиом. Используются как синтетический,
так и аналитический методы изложения, которые дополняют друг друга, способствуя доступности доказательств. Введение проективной системы координат значительно облегчено ссылкой на барицентрические
координаты [12, т. 3], являющиеся частным видом проективных.
Отдельная глава IV второй части книги посвящена применениям
проективной геометрии и построению моделей аффинной, евклидовой,
псевдоевклидовой и гиперболической геометрий. Без такого материала невозможно полностью оценить проективные идеи, принадлежащие
к величайшим достижениям математики XIX века. Сравнение двух изложений аффинной геометрии с разных позиций имеет для читателя
большое принципиальное общеобразовательное значение.
Работая над рукописью этой книги, имеющей в основном педагогические цели, я не стремился давать непременно оригинальные доказательства, а считал возможным и целесообразным в допустимой мере использовать литературные источники, указанные в прилагаемом списке,
поскольку неоправданное стремление к оригинальности идёт в ущерб
доступности. В целом же получилось пособие, думаю, не похожее на
имеющиеся. Тому можно было бы привести немало примеров. Скажем, построена оригинальная проективно-аффинная теория векторов.
Проективная модель евклидовой геометрии строится без «абсолютной»
инволюции, а задание мнимых циклических точек с помощью кривой второго порядка, не пересекающей прямую абсолюта («единичной
окружности»), позволяет успешно решать многие конструктивные задачи на проективно-евклидовой плоскости.
Я не представляю себе изучение математики без решения задач.
Упражнения (всего их более 200), подобранные к каждой из восьми
глав книги, позволяют глубже усвоить теоретический материал, полу

Предисловие

чить удовлетворение от их успешного решения. Решать их все совсем
необязательно. Достаточно выбрать из предлагаемых наборов наиболее
интересные для себя. При неудачах необходимо приступать к решению
неоднократно. Почти ко всем задачам вычислительного характера даны авторские ответы. В задачах на доказательство лучше не давать
никаких «указаний», дабы не сбивать решающего с его идеи решения,
поскольку решения автора не всегда оказываются лучшими.
В основном книга предназначена для самостоятельной работы над
ней. Вместе с тем она может служить и учебным пособием для студентов
математических факультетов педагогических университетов по общему
курсу геометрии, а также для спецкурсов и спецсеминаров, для работы
над курсовыми и дипломными темами. Автор будет благодарен за доброжелательную критику.

Я. П. Понарин

Часть I

Аффинная геометрия

Глава I
Основы аффинной геометрии на плоскости

С началами аффинной геометрии плоскости читатель уже знаком по
материалу второй части первого тома «Элементарной геометрии» [12,
§ 22–24]. Желательно повторить его перед началом чтения книги. Здесь
аффинная геометрия излагается в систематическом виде.

§1. Понятие об аффинной геометрии

1.1. Аффинная плоскость как геометрический объект идентична евклидовой плоскости. Однако её геометрическая структура существенно отличается от евклидовой: в аффинной плоскости нет метрики,
т. е. длин отрезков и величин углов, поэтому отсутствуют и все понятия,
связанные с ними, такие как окружность, квадрат, ромб, правильный
треугольник (многоугольник), перпендикулярность прямых, биссектриса угла и др. По этой причине геометрия аффинной плоскости (аффинная геометрия) значительно беднее евклидовой геометрии. Однако, как
мы убедимся в дальнейшем, это вовсе не означает, что аффинная геометрия малосодержательна.
Основными объектами аффинной геометрии являются точка и прямая с основными отношениями между ними «лежать на» (принадлежать) и «лежать между» для трёх точек прямой (порядок точек
на прямой). К аффинной геометрии относятся все другие объекты и
отношения, которые могут быть определены через указанные, как-то:
отрезок, луч, угол, вектор, параллельность, коллинеарность векторов,
линейная зависимость векторов, равенство отрезков одной прямой или
параллельных прямых и др. По своему происхождению аффинная геометрия тесно связана с параллельным проектированием прямой на
прямую и плоскость и его числовыми инвариантами: отношением коллинеарных отрезков (векторов) и отношением площадей плоских фигур.

1.2. Аксиоматика аффинной геометрии плоскости. Аксиоматически
аффинную плоскость можно о п р е д е л и т ь как множество точек и
множество его подмножеств — прямых, связанных отношениями принадлежности и порядка, удовлетворяющих следующим девяти аксиомам системы Гильберта 1, разделённым на четыре группы I–IV.

1Давид Гильберт (1862–1943) — немецкий математик, классик математики. Его
творчество охватывает всю математику. Он дал полную систему аксиом евклидовой

Глава I. Основы аффинной геометрии на плоскости

I. Аксиомы принадлежности

I1. Для любых двух (различных) точек A и B существует единственная содержащая их прямая.
I2. Каждая прямая содержит по крайней мере две точки.
I3. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной
прямой.

II. Аксиомы порядка

II1. Среди любых трёх (различных) точек одной прямой (и только
среди таких трёх точек) существует одна и только одна точка, лежащая
между двумя другими.
II2. Для любых двух точек A и B существует хотя бы одна такая
точка C, что B лежит между A и C.
II3 (аксиома Паша 2). Пусть A, B, C — три точки, не принадлежащие
одной прямой, и a — прямая, не содержащая ни одну из этих точек
(рис. 1). Если при этом прямая a содержит точку, лежащую между A

A

B

C

a

Рис. 1

A1

B1

C1

A

B

C

Рис. 2

и B, то она содержит либо точку, лежащую между A и C, либо точку,
лежащую между B и C.

III. Аксиомы параллельности

III1 (аксиома Евклида). Для любой точки M, не принадлежащей прямой a, существует единственная такая прямая m, что не существует
точки, принадлежащей одновременно обеим прямым a и m. Прямые a
и m называются взаимно параллельными.
III2 (аффинная аксиома Дезарга). Если прямые AA1 и BB1 параллельны прямой CC1, прямая AB параллельна прямой A1B1 и прямая
BC — прямой B1C1, то прямая AC параллельна прямой A1C1 (рис. 2).

геометрии, в 1900 году сформулировал на международном конгрессе 23 важнейшие
проблемы математики.
2Мориц Паш (1843–1930) — немецкий математик, предшественник Гильберта в
области оснований геометрии. Аксиома II3 взята Гильбертом из книги М. Паша
«Лекции по основаниям геометрии» (1832).

§ 1. Понятие об аффинной геометрии
19

IV. Аксиома непрерывности

Аксиома Дедекинда 3. Пусть все точки, лежащие между точками
A и B, и сами точки A и B разделены на два класса так, что

а) точка A принадлежит первому классу, а точка B — второму;
б) любая точка первого класса, отличная от A (если такие точки
существуют), лежит между A и любой точкой второго класса.

Тогда существует либо такая точка C, принадлежащая первому классу,
что все точки, лежащие между C и B, принадлежат второму классу,
либо такая точка C, принадлежащая второму классу, что все точки,
лежащие между A и C, принадлежат первому классу.
В таком случае о точке C говорят, что она производит дедекиндово
сечение указанного множества точек на два класса.
Из аксиомы Дедекинда можно вывести два фундаментальных предложения — постулат Архимеда и принцип Кантора (о вложенных отрезках).
Постулат Архимеда. Пусть на луче AB дан отрезок CD и взяты точки
A1, A2, A3, . . .
так, что точка A1 лежит между A и A2, точка A2 —
между A1 и A3 и т. д., причём отрезки AA1, A1A2, A2A3, . . .
р а в н ы
отрезку CD. Тогда существует такая точка An луча AB, что B лежит
между A и An (равенство отрезков прямой определено в п. 2.1).
Принцип Кантора 4. Пусть на прямой a дана бесконечная последовательность отрезков A1B1, A2B2, A3B3, . . . , из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего, и при этом не существует отрезка,
лежащего внутри всех отрезков этой последовательности. Тогда на прямой a существует единственная точка C, лежащая внутри всех отрезков
AiBi (i = 1, 2, 3, . . .).
Обратно, из этих двух утверждений можно получить принцип Дедекинда. Однако эти доказательства находятся в стороне от нашего
основного изложения и поэтому не приводятся.

1.3. Аффинная геометрия как самостоятельная наука. Совокупность
всех
утверждений
(теорем),
которые
можно
вывести
из
аксиом изложенной выше аксиоматики, составляет содержание аффинной геометрии на плоскости, которая может быть и евклидовой плос
3Рихард Дедекинд (1831–1916) — немецкий математик, ученик Гаусса и Дирихле в Геттингенском университете. Один из первых дал теоретико-множественное
обоснование теории действительных чисел, сформулировал полную систему аксиом
арифметики, содержащую, в частности, принцип полной математической индукции.
4Георг Кантор (1845–1918) — немецкий математик, творец теории множеств. Родился в Петербурге, окончил Берлинский университет в 1867 г. Развил одну из
теорий иррациональных чисел.