Курс комплексного анализа

С. М. Натанзон
Курс
комплексного анализа
МЦНМО

С. М. Натанзон
КУРС КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА
Электронное издание
МЦНМО, 2014

УДК 517.53.57
ББК 22.16
Н33
Натанзон С. М.
Курс комплексного анализа
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
48 с.
ISBN 978-5-4439-2030-6
В книге излагаются основные вопросы теории функций комплексного переменного. Начиная с комплексного дифференцирования, автор доводит изложение до весьма сложных разделов теории, включая
недавние достижения в эффективизации теоремы Римана.
Книга основана на записях лекций, которые автор читал в разные годы в Независимом московском университете и в Высшей школе
экономики.
Подготовлено на основе книги: С. М. Натанзон. Курс комплексного
анализа. | М.: МЦНМО, 2012.
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83
http://www.mccme.ru
ISBN 978-5-4439-2030-6
c
Натанзон С. М., 2012
c
МЦНМО, 2014

Введение
Теорема Римана утверждает, что связная односвязная область на
комплексной плоскости D ⊂ C, D = C, переводится биголоморфным
(конформным) преобразованием fD : D → ˜ во внутренность единичного круга ˜ = {z ∈ C | |z| < 1}.
Это одна из важнейших теорем математики. Более того, проблема вычисления отображения fD возникает при решении задач гидромеханики, аэромеханики, теории потенциала, теории фильтрации и др. К этим
задачам сводятся, в свою очередь, различные прикладные проблемы от
проектирования самолетов до поиска и добычи полезных ископаемых,
в частности нефти и газа (см. [1], [2] и цитированную там литературу).
Стандартное доказательство существования нужного конформного
отображения для произвольной области использует базисные теоремы
теории функций комплексного переменного. Эта теорема существования не дает, однако, никаких подходов к вычислению этой функции. До
недавнего времени формульные решения существовали лишь для весьма специальных областей, редко встречающихся в приложениях [2]. Для
конкретных расчетов использовались численные методы со всеми свойственными такому подходу недостатками.
Прогресс пришел с совершенно неожиданной стороны, когда в работах [8]|[12] была открыта связь между теоремой Римана и фундаментальными разделами современной теоретической физики: интегрируемыми системами, матричными моделями и теорией струн [6], [15], [16].
Оказалось, что на множестве всех областей D с гладкой границей существует универсальная функция F, в терминах которой выражается
функция fD : D → ˜. Теория интегрируемых систем позволила найти
([7], [13], [14]) функцию F в виде ряда Тейлора от естественных параметров, характеризующих область D. Это позволяет эффективизировать формулы для вычисления конформных отображений произвольной
области с гладкой границей.
Всем этим вопросам и посвящена настоящая книга. Для ее изучения достаточно стандартных знаний по математическому анализу в
объеме 1|2 курса (см., например, [4]). Книга включает в себя вводный курс комплексного анализа, естественным завершением которого
является классическая теорема существования Римана. Иллюстрируя
значение этой теоремы, мы объясняем ее связь с теорией римановых
поверхностей и аналитическими функциями. Эта часть книги в основном совпадает с курсом [3], который наряду с записью лекций первого
автора содержит задачи и упражнения, составленные Ю. М Бурманом
и С. А. Локтевым.
3

Далее мы переходим к теории гармонических функций. Эта теория тесно связана с комплексным анализом и активно используется в
прикладных задачах. Центральным результатом тут является решение
задачи Дирихле с помощью функции Грина.
Далее, используя функцию Грина, мы, следуя [8]|[12], [14], доказываем теорему о существовании универсальной функции F. В заключительном параграфе приводится алгоритм вычисления коэффициентов
ряда Тейлора для функции F. Доказательство этого алгоритма требует довольно громоздких комбинаторных вычислений и не приводится
в книге. Желающие могут познакомиться с доказательством в работах [13] или [14].
§ 1. Голоморфные функции
1.1. Комплексная производная. Далее под областью мы понимаем
открытое связное подмножество комплексной плоскости. Соответствие
(x; y) ↔ z = x + iy между вещественной плоскостью R2 и комплексной
плоскостью C позволяет рассматривать комплекснозначную функцию
комплексного переменного как:
• отображение области комплексной плоскости D ⊂ C в комплексную плоскость C (обозначение w = f(z));
• отображение области вещественной плоскости D ⊂ R2 в комплексную плоскость C (обозначение w = f(x; y));
• отображение области вещественной плоскости D ⊂ R2 в вещественную плоскость R2 (обозначение (u; v) = f(x; y), u = u(x; y), v =
= v(x; y)).
Далее мы будем часто переходить от одной интерпретации к другой.
Определение 1.1. Пусть f |отображение области комплексной плоскости D ⊂ C в комплексную плоскость C и z0 ∈ D. Если предел
f (z0) = lim
´z→0
f(z0 + ´z) − f(z0)
´z
существует и конечен, то говорят, что
f (z0) есть комплексная производная функции f в точке z0.
Рассмотрим теперь f как отображение области вещественной плоскости в вещественную плоскость. Тогда частная производная функции
f по любому направлению будет также совпадать с f (z0) = f (x0; y0).
Таким образом,
f (z0) = @f
@x(z0) =
= lim
´x→0
(u(x0 + ´x; y0) + iv(x0 + ´x; y0)) − (u(x0; y0) + iv(x0; y0))
´x
=
= @u
@x(z0) + i @v
@x(z0);
4

f (z0) = @f
@y (z0) =
= lim
´y→0
(u(x0; y0 + ´y) + iv(x0; y0 + ´y)) − (u(x0; y0) + iv(x0; y0))
i´y
=
= −i@u
@y (z0) + @v
@y (z0):
Из равенства этих выражений вытекает
Лемма 1.1. Если функция f имеет комплексную производную в точке z0, то в этой точке выполнены
условия Коши|Римана
(Cauchy|Riemann):
@u
@x(z0) = @v
@y (z0);
@v
@x(z0) = −@u
@y (z0).
Введем теперь важные обозначения:
@
@z ≡ 1
2
@
@x − i @
@y
;
@
@—
z ≡ 1
2
@
@x + i @
@y
:
Другими словами,
@f
@z = @(u + iv)
@z
= @u
@z + i@v
@z = 1
2
@u
@x − i@u
@y
+ i1
2
@v
@x − i@v
@y
=
= 1
2
@u
@x + i @v
@x
+ 1
2
−i@u
@y + @v
@y
;
@f
@—
z = @(u + iv)
@—
z
= @u
@—
z + i@v
@—
z = 1
2
@u
@x + i@u
@y
+ i1
2
@v
@x + i@v
@y
=
= 1
2
@u
@x − @v
@y
+ i1
2
@u
@y + @v
@x
:
Таким образом, доказана
Лемма 1.2. Если функция f имеет комплексную производную в точке z0, то
@f
@—
z (z0) = 0
и
f (z0) = @f
@z (z0):
1.2. Дифференциал комплексной функции.
Лемма 1.3. Если функция C ⊃ D
f
−
→ C имеет комплексную производную в точке z0 = x0 + iy0, то соответствующее отображение
R2 ⊃ D
f
−
→ R2 дифференцируемо в точке (x0; y0) как отображение области вещественной плоскости в R2.
5

Доказательство. Положим
(´z) = f(z0 + ´z) − f(z0)
´z
− f (z0):
Тогда
f(z0 + ´z) − f(z0) = f (z0)´z + (´z)´z =
=
@u
@x + i @v
@x
(´x + i´y) + (´z)´z =
=
@u
@x´x − @v
@x´y
+ i
@v
@x´x + @u
@x´y
+ (´z)´z:
Следовательно,
(u(x0 + ´x; y0 + ´y); v(x0 + ´x; y0 + ´y)) − (u(x0; y0); v(x0; y0)) =
=
´x
´y



@u
@x
@v
@x
− @v
@x
@u
@x


 + o(|´z|):
Теорема 1.1. Функция C ⊃ D
f
−
→ C имеет комплексную производную
в точке z0 = x0 + iy0, если и только если соответствующее отображение R2 ⊃ D
f
−
→ R2 дифференцируемо и удовлетворяет условиям Коши|Римана.
Доказательство. Пусть отображение R2 ⊃ D
f
−
→ R2 дифференцируемо в точке (x0; y0). Тогда
(u(x0 + ´x; y0 + ´y); v(x0 + ´x; y0 + ´y)) − (u(x0; y0); v(x0; y0)) =
=
´x
´y



@u
@x
@v
@x
@u
@y
@v
@y


 + o(|´z|);
где ´z = ´x + i´y.
Поэтому для R2 ⊃ D
f
−
→ C имеем
f(z0 + ´z) − f(z0) =
@u
@x´x + @u
@y ´y
+ i
@v
@x´x + @v
@y ´y
+ o(|´z|) =
= 1
2
@
@x − i @
@y
(u + iv)
(´x + i´y) +
+ 1
2
@
@x + i @
@y
(u + iv)
(´x − i´y) + o(|´z|) =
= @f
@z ´z + @f
@—
z ´—
z + o(|´z|):
6

Если отображение f удовлетворяет условиям Коши|Римана, то согласно вычислениям из предыдущего раздела @f
@—
z = 0, и, следовательно,
f(z0 + ´z) − f(z0) = @f
@z ´z + o(|´z|);
т. е. функция f имеет комплексную производную в точке z0.
Обратное утверждение следует из лемм 1.1 и 1.3.
Теорема 1.2. Пусть функции C ⊃ D
f;g
−
−
→ C имеют комплексные производные в точке z0. Тогда функции f ± g; f · g и f
g (если g(z0) = 0)
тоже имеют комплексные производные в точке z0, причем
(f ± g)(z0) = f (z0) ± g(z0);
(fg)(z0) = f (z0)g(z0) + f(z0)g(z0);
f
g
(z0) = f(z0)g(z0) − f(z0)g(z0)
g2(z0)
:
Теорема 1.3. Пусть C ⊃ D
f
−
→ V
g
−
→ C, V ⊂ C, причем функция f имеет комплексную производную в точке z0, а g | в точке f(z0). Тогда
функция (z) = g(f(z)) имеет комплексную производную в точке z0 и
(z0) = g(f(z0))f (z0).
Задача 1.1. Докажите теоремы 1.2 и 1.3. Эти доказательства дословно повторяют доказательства соответствующих теорем вещественного
анализа.
1.3. Голоморфность.
Определение 1.2. Говорят, что функция D
f
−
→ C голоморфна в области D ⊂ C, если она имеет комплексную производную в каждой точке z ∈ D. Говорят, что функция f голоморфна в точке z0, если она
голоморфна в некоторой окрестности V z0 точки z0.
Приведем примеры голоморфных функций.
1. f(z) = const, f (z) = 0.
2. f(z) = az, где a = 0. Если a = rei, то f поворачивает плоскость C
на угол  вокруг точки 0 и растягивает плоскость в r раз.
3. f(z) = zn. Функция f увеличивает угол между лучами, выходящими из точки 0, в n раз.
Задача 1.2. Если f (z) = 0 на всей на области D ⊂ C, то f = const
на D.
Если f (z0) = 0, то в малой окрестности точки z0 функция f действует почти так же, как в примере 2:
Задача 1.3. Пусть f (z0) = 0. Докажите, что функция f сохраняет
величину угла между кривыми, пересекающимися в z0.
7

Определение 1.3. Отображения, сохраняющие величину угла, называются конформными.
Как и в вещественном случае, можно рассматривать последовательности и ряды комплексных функций f(z) =
∞
n=0
fn(z). Все определения и
теоремы дословно переносятся на комплексный случай, если вместо интервала {x ∈ R | |x − x0| < r} рассматривать диск {z ∈ C | |z − z0| < r}.
Задача 1.4. Докажите, что если ряд
∞
n=0
an(z) сходится равномерно в области D ⊂ C, а ряд f(z) =
∞
n=0
an(z) сходится хотя бы в одной
точке этой области, то ряд f(z) сходится равномерно в области D и
f (z) =
∞
n=0
an(z).
Нас будут интересовать в основном степенные ряды
f(z) =
∞
n=0
cn(z − z0)n;
cn ∈ C:
Задача 1.5. Пусть
1
R = lim
n→∞
n
|cn|. Тогда степенной ряд f(z) абсолютно сходится на D = {z ∈ C | |z − z0| < R} и расходится на ~
D =
= {z ∈ C | |z − z0| > R}. На любом компакте K ⊂ D ряд f(z) сходится
равномерно.
Положим
ez = exp z =
∞
n=0
zn
n! ;
cos z =
∞
k=0
(−1)k z2k
(2k)! = 1
2(eiz + e−iz);
sin z =
∞
k=0
(−1)k
z2k+1
(2k + 1)! = 1
2i(eiz − e−iz):
Задача 1.6. Докажите, что функции ez; cos z; sin z существуют и голоморфны на всей плоскости C. Найдите для каждой из функций такую
область D, что f(D) = C.
1.4. Комплексное интегрирование. Под кривой (или путем) мы будем понимать ориентированный образ кусочно гладкого инъективного
отображения отрезка [; 

] в плоскость C. Замкнутая кривая называется контуром. Поворот против часовой стрелки задает ориентацию
8