«Жесткие» и «мягкие» математические модели

В. И. Арнольд

«Жесткие» и «мягкие»
математические модели

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 51.001.8
А84

Арнольд В. И.
«Жесткие» и «мягкие» математические модели
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
32 с.
ISBN 978-5-4439-2008-5

Эта брошюра представляет собой текст доклада, сделанного академиком В. И. Арнольдом в 1997 году на семинаре при Президентском
совете РФ. В докладе рассказано о применениях теории дифференциальных уравнений в таких науках, как экология, экономика и социология.

Подготовлено на основе книги: В. И. Арнольд. «Жесткие» и «мягкие»
математические модели. | 4-е изд., стереотип. | М.: МЦНМО, 2013.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499) 241 74 83.
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2008-5
c⃝ Арнольд В. И., 2000
c⃝ МЦНМО, 2014

Содержание

1. Модель войны или сражения
4

2. Оптимизация как путь к катастрофе
7

3. Жесткие модели как путь к ошибочным
предсказаниям
15

4. Опасность многоступенчатого управления
17

5. Математические модели перестройки
20

6. Статистика первых цифр степеней двойки
и передел мира
22

7. Математика и математическое образование
в современном мире
26

3

Примером жесткой модели является таблица умножения. Простейший пример мягкой модели | принцип «чем дальше в лес,
тем больше дров». Возможность полезной математической теории мягких моделей открыта относительно недавно. В докладе
на простейших примерах будет показано, как эта теория может
применяться в экономических, экологических и социологических
моделях.

1. Модель войны или сражения

В простейшей модели борьбы двух противников (скажем, двух
армий) | модели Ланкастера | состояние системы описывается
точкой (x; y) положительного квадранта плоскости. Координаты этой точки, x и y | это численности противостоящих армий.
Модель имеет вид
_x = −by;

_y = −ax:

Здесь a | мощность оружия армии x, а b | армии y. Попросту
говоря, предполагается, что каждый солдат армии x убивает за
единицу времени a солдат армии y (и, соответственно, каждый
солдат армии y убивает b солдат армии x). Точка над буквой
здесь и далее означает производную по времени t, то есть скорость изменения обозначенной буквой величины.
Это | жесткая модель, которая допускает точное решение

dx
dy = by

ax;
ax dx = by dy;
ax2 − by2 = const:

Эволюция численностей армий x и y происходит вдоль гиперболы, заданной этим уравнением (рис. 1). По какой именно
гиперболе пойдет война, зависит от начальной точки.
Эти гиперболы разделены прямой √ax =
√

by. Если начальная
точка лежит выше этой прямой (случай 1 на рис. 1), то гипербола выходит на ось y. Это значит, что в ходе войны численность
армии x уменьшается до нуля (за конечное время). Армия y выигрывает, противник уничтожен.

4

x

y

1

2

Рис. 1. Жесткая модель войны

Если начальная точка лежит ниже (случай 2), то выигрывает армия y. В разделяющем эти случаи состоянии (на прямой)
война заканчивается ко всеобщему удовлетворению истреблением обеих армий. Но на это требуется бесконечно большое время:
конфликт продолжает тлеть, когда оба противника уже обессилены.
Вывод модели таков: для борьбы с вдвое более многочисленным противником нужно в четыре раза более мощное оружие, с
втрое более многочисленным | в девять раз и т. д. (на это указывают квадратные корни в уравнении прямой).
Ясно, однако, что наша людоедская модель сильно идеализирована и было бы опасно прямо применять ее к реальной ситуации. Возникнет вопрос | как изменится вывод, если модель
будет несколько иной. Например, коэффициенты a и b могут быть
не строго постоянными, а могут, скажем, зависеть от x и от y.
И точный вид этой зависимости нам может быть неизвестен.
В этом случае речь идет о системе
_x = −b(x; y)y;

_y = −a(x; y)x;

которая уже не решается явно.
Однако в математике разработаны методы, позволяющие сделать выводы общего характера, и не зная точно явного вида
функций a и b. В этой ситуации принято говорить о мягкой модели | модели, поддающейся изменениям (за счет выбора функций a и b в нашем примере).

5

x

y

1

2

Рис. 2. Мягкая модель войны.

Общий вывод в данном случае есть утверждение о структурной устойчивости исходной модели: изменение функций a и b
изменит описывающие ход военных действий кривые на плоскости (x; y) (которые уже не будут гиперболами и разделяющей их
прямой), но это изменение не затрагивает основного качественного вывода.
Вывод этот состоял в том, что положения «x выигрывает» и
«y выигрывает» разделены нейтральной линией «обе армии уничтожают друг друга за бесконечное время».
Математики говорят, что топологический тип системы на
плоскости (x; y) не меняется при изменении функций a и b: оно
приводит лишь к искривлению нейтральной линии (рис. 2).
Этот математический вывод не самоочевиден. Можно представить себе и другую ситуацию, например, изображенную
на рис. 3. Математическая теория структурной устойчивости
утверждает, что эта ситуация не реализуется, во всяком случае
для не слишком патологических функций a и b (скажем, она не
реализуется, если это | положительные в нуле многочлены).
Мы можем сделать вывод о качественной применимости простейшей модели войны для приближенного описания событий в
целом классе моделей, причем для этого даже не нужно знать
точного вида жесткой модели: выводы справедливы для мягкой
модели. На самом деле простейшая модель дает даже полезное
количественное предсказание: наклон разделяющей нейтральной
прямой в нуле определяется формулой √ax =
√

by, где a и b |
значения коэффициентов в нуле.

6

x

y

Рис. 3. Нереализуемая модель войны.

То есть принцип «если противников вдвое больше, то надо
иметь в четыре раза более мощное оружие» справедлив на конечном этапе взаимного истребления, в то время как на начальном этапе войны число 4 нужно, быть может, откорректировать
(учитывая вид коэффициентов a и b). Для этой корректировки
в математике мягких моделей тоже разработаны эффективные
методы (несмотря на то, что явная формула для решения уравнений модели не только неизвестна, но и | это строго доказано |
не существует вовсе).
Можно думать, что описанная модель отчасти объясняет как
неудачи Наполеона и Гитлера, так и успех Батыя и надежды мусульманских фундаменталистов.

2. Оптимизация как путь к катастрофе

Простейшая модель роста _x = kx предложена Мальтусом (для
роста населения Земли). Она ведет, как хорошо известно, к экспоненциальному (т. е. очень быстрому) росту населения x с течением времени. Эта жесткая модель применима (разумеется, с оговорками), например, к развитию науки в 1700 { 1950 годах (измеряемому, скажем, числом научных статей) (рис. 4). Продолжение
экспоненциального роста науки в следующий век быстро привело
бы к исчерпанию бумаги и чернил, причем число ученых должно
было бы достичь половины населения земного шара.
Ясно, что общество (во всех странах) не может этого допу
7

1800
1900
2000
t

ln x

x ∼ ekt
ÄÁ×ÌÅÎÉÅ

Рис. 4. Рост науки.

стить, и следовательно развитие науки должно быть подавлено
(что мы и наблюдаем во многих странах; в России реформирование академической науки происходит как раз сейчас).
Аналогичные явления насыщения происходят в любой популяции (и, вероятно, вскоре произойдут с человечеством в целом): когда население становится слишком большим, мальтусовская жесткая модель с постоянным коэффициентом роста k перестает быть применимой. Естественно, при слишком больших x
конкуренция за ресурсы (пищу, гранты и т. д.) приводит к уменьшению k, и жесткая модель Мальтуса должна быть заменена мягкой моделью
_x = k(x)x

с зависящим от населения коэффициентом размножения. Простейшим примером является выбор k(x) = a − bx, что приводит
к так называемой логистической модели (рис. 5):

_x = ax − bx2;
например,
_x = x − x2:

Выбором системы единиц x и t можно превратить коэффициенты a и b в 1. Подчеркну, однако, что выводы, которые будут

8

A

B

x

k(x)x
A

B

x

A

B

x

t

Экспоненциальная

кривая

Рис. 5. Логистическая модель.

сделаны ниже, остаются (с точностью до числовых значений констант) справедливыми и при любых значениях коэффициентов a
и b и даже для широкого класса моделей с различными (убывающими с x) функциями k(x). Иными словами, дальнейшие выводы
относятся ко всей мягкой модели, а не к специальной жесткой
логистической модели.
На рис. 5 слева изображен график функции k(x)x, положительной между точками A и B. В центре изображено векторное
поле1 на изображающей всевозможные состояния системы оси x.
Оно указывает скорость эволюции состояния. В точках A и B
скорость равна нулю: это стационарные состояния. Между A и B
скорость положительна (население растет), а за точкой B | отрицательна (население убывает). Справа изображена результирующая зависимость населения от времени при разных начальных
условиях.
Модель предсказывает, что с течением времени устанавливается стационарный режим B, который устойчив: большее население уменьшается, меньшее | увеличивается.
Логистическая модель удовлетворительно описывает многочисленные явления насыщения. Вблизи A, когда население мало,

1Именно, в каждой точке, изображающей состояния, приложен вектор скорости изменения этого состояния, т. е. _x. См., например [10], с. 32.

9

она очень близка к мальтузианской модели. Но при достаточно больших x (порядка 1=2 при нашем выборе коэффициентов)
наблюдается резкое отличие от мальтузианского роста (обозначенного на рис. 5 пунктиром): вместо ухода x на бесконечность
население приближается к стационарному значению B. Население Земли сейчас приближается к 6 миллиардам. Стационарное
значение (по разным оценкам) 16 { 20 миллиардов человек.
Логистическая модель является обычной в экологии. Можно
себе представить, например, что x | это количество рыб в озере
или в мировом океане. Посмотрим теперь, как скажется на судьбе
этих рыб рыболовство с интенсивностью c:

_x = x − x2 − c:

Вычисления показывают, что ответ резко меняется при некотором критическом значении квоты вылова, c. Для нашей жесткой
модели это критическое значение есть c = 1=4, но аналогичные
явления имеют место и для мягкой модели

_x = x − k(x)x − c

(критическое значение с в этом случае максимум функции k(x)x).
Ход эволюции числа рыб x с течением времени t изображен
на рис. 6. Если квота c мала, то изменения (по сравнению со
свободной популяцией, для которой c = 0) состоят в следующем.
Система имеет два равновесных состояния, A и B. Состояние B устойчиво: популяция в этом случае несколько меньше,
чем необлавливаемая, но она восстанавливается при малых отклонениях x от равновесного значения B.
Состояние A неустойчиво: если вследствие каких-либо причин
(скажем, браконьерства или мора) размер популяции упадет хоть
немного ниже уровня A, то в дальнейшем популяция (хотя и медленно, если отличие от A невелико) будет уничтожена полностью
за конечное время.
По моему мнению, состояние науки в России в настоящее время описывается примерно точкой A: оно еще стационарно, но, как
говорят физики, квазистационарно в том смысле, что небольшое

10

x

k(x)x

(Á)

A

B

A

B

x

c < 1=4

A

B

x

t

x

k(x)x

(Â)

x
x

t

c > 1=4

x

k(x)x

(×)

x

A
B
c = 1=4

x

t

Рис. 6. Недолов (а), перелов (б), и оптимизация (в) рыболовства.

11