Виброакустика тонкостенных конструкций

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 
высшего профессионального образования 
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

А.Л. Попов 

ВИБРОАКУСТИКА  
ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ 

Учебное пособие  

Москва 2017 

2-е издание (электронное)

УДК 539.3 + 534
ББК 22.251
П58

Рецензенты:
профессор, доктор физико-математических наук Н. В. Баничук,
заведующий лабораторией ИПМех РАН;
профессор, доктор технических наук, академик РААСН В. И. Андреев,
заведующий кафедрой сопротивления материалов ФГБОУ ВПО «МГСУ»

П58
Попов, Александр Леонидович.

Виброакустика тонкостенных конструкций [Электронный ресурс] : 
óчебное пособие / А. Л. Попов ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Моск. гос. строит. ун-т. — 2-е изд. (эл.). — Электрон. текстовые 
дан. (1 файл pdf : 73 с.). — М. : Изд-во ÌÈÑÈ—ÌÃÑÓ, 2017. — 
Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; 
экран 10".

ISBN 978-5-7264-1634-2
Изложены основы теории и методов анализа динамического взаимодействия 
тонкостенных упругих элементов типа пластин и оболочек с внутренней и окружающей акустической средой как единой колебательной системы. Рассматриваются закономерности формирования и передачи виброакустических воздействий элементами конструкций и обратного влияния виброзвукоизлучения на 
формы и частоты их колебаний. Значительное внимание уделено вопросам 
снижения шумности и вибраций элементов конструкций.

УДК 539.3 + 534 
ББК 22.251

Деривативное электронное издание на основе печатного издания: Виброакустика 
тонкостенных конструкций : óчебное пособие / А. Л. Попов ; М-во образования 
и науки Рос. Федерации, Моск. гос. строит. ун-т. — М. : Изд-во ÌÈÑÈ—
ÌÃÑÓ, 2014. — 72 с. — ISBN 978-5-7264-0977-1.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных 
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от 
нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-7264-1634-2
© Национальный исследовательский 

Московский государственный 
строительный университет, 2014

ВВЕДЕНИЕ 

Учебное пособие посвящено изложению раздела «Виброакустика 
тонкостенных конструкций» дисциплины «Современные проблемы в 
области прикладной механики». В пособии даются основы теории и 
методов анализа динамического взаимодействия с внутренней и окружающей акустической средой упругих элементов строительных и иных 
конструкций как единой колебательной системы. Рассматриваются закономерности формирования и передачи виброакустических воздействий элементами конструкций и обратного влияния виброзвукоизлучения на формы и частоты их колебаний. Значительное внимание уделено 
вопросам снижения шумности и вибраций элементов конструкций.  

Изложение материала проводится на аналитически решаемых модельных задачах, для которых показано как создается математическая 
модель взаимодействия двух разнородных механических структур: тонкостенной конструкции и акустической среды. Для чего это нужно и где 
может быть применено? В курс теории оболочек и пластин, который читается для студентов механических специальностей, включаются обычно 
статика, динамика и устойчивость тонкостенных элементов конструкций. 
При этом не ставится вопрос, в какой среде происходят, например, колебания оболочки. Конечно, они могут происходить и в вакууме, и тогда 
известные теории адекватно отобразят поведение конструкции. Однако в 
массе технических приложений — вибрации топливных баков, плотин, 
акустических систем в радиотехнике, перекрытий, стен, окон зданий, 
вентиляционных систем, корпусов кораблей и подводных лодок, самолетов и дирижаблей, трубопроводов, оболочек атомных реакторов, волновых передач, даже льда в канале и во многих других случаях (мембранная технология, турбины, гироскопы на жидкостном подвесе и т.д.) — 
уже не обойтись без учета в той или иной степени обратного влияния 
среды на колебания конструкции. А влияние это может быть весьма 
значительным и проявляться в перестройке резонансного спектра системы, искажениях форм колебаний, дополнительном демпфировании и 
других эффектах. Учет такого взаимодействия со средой требует расширения рамок расчетной модели тонкостенной конструкции. 

С другой стороны, вибрации машин, оборудования и корпусных 
элементов конструкций сопровождаются, как правило, интенсивным 
звукоизлучением, которое играет все более возрастающую негативную 
роль в современной жизни. Становятся актуальными вопросы создания 
акустически комфортной технической среды как одного из элементов 
экологического проектирования, например, в защите от транспортного 
шума. В немалой степени это относится к конструкциям авиастроения, 

не говоря уже о гидроакустике и излучателях звука, где этот параметр 
имеет первостепенное значение. 

Тем самым виброакустические критерии выходят в первый ряд тре
бований при проектировании новых машин и сооружений. Следует 
также отметить, что специалисты по расчету звуковых полей (акустики) 
используют, как правило, упрощенные модели механических излучателей звука, в недостаточной степени учитывающие упругие свойства 
последних или (что также немаловажно) измененные обратным влиянием акустической среды свойства системы. Это может привести и приводит к большим погрешностям при расчете волновых полей. 
Предметом данного курса является изучение гармонических колебаний тонкостенных упругих пластин и оболочек в контакте с идеальной 
акустической средой. Это могут быть бесконечная и ограниченная пластины, бесконечная и ограниченная цилиндрические оболочки, замкнутые сферические, сфероидальная оболочки и оболочки других форм. 
Акустическая среда (газ, жидкость) может находиться вне или внутри 
оболочки, быть одновременно снаружи и внутри. Оболочки могут также 
обладать конструктивной или физической анизотропией упругих 
свойств, быть неидеально упругими, иметь изолированные подкрепляющие элементы в виде колец, пластин и т.д. Разнообразным может быть и 
спектр динамических нагрузок, среди которых особо выделим сосредоточенные нагружения, являющиеся, с одной стороны, удобной математической идеализацией локальных воздействий, обеспечивающих 
отыскание фундаментальных решений и с их помощью — решений при 
любом распределении нагрузок. С другой стороны, сосредоточенные нагрузки реально моделируют передачу на оболочку сил и моментов от 
присоединяемых к ней трубопроводов и других подкрепляющих элементов с малыми участками контакта между этими элементами и оболочкой. 
Таким образом, широкая сфера применения и потребность правильного решения совместных задач механики и акустики требуют изучения 
динамики тонкостенных элементов конструкций во взаимодействии с 
окружающей или внутренней акустической средой как единой колебательной системы. Данное направление подготовки магистров имеет значительный инновационный потенциал в плане создания перспективных 
методов и аппаратуры оперативной и производительной бесконтактной 
акустической диагностики сплошных и многослойных конструкций, 
анализа их живучести, степени старения, остаточного ресурса, создания 
акустически комфортной производственной и жизненной среды. 
Большая часть материала, представленного в пособии, основана на 
оригинальных результатах, полученных автором. Исключениями являются некоторые части разделов 6 и 7, материал которых содержит известные 
соотношения по одно- и двухкаскадной виброизоляции, преобразованиям вибрационных и акустических волн на стандартных препятствиях. 

1. ПРЕДМЕТ «ВИБРОАКУСТИКА ТОНКОСТЕННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ». ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ
ЗАДАЧ И ОБЗОР МЕТОДОВ ИХ РЕШЕНИЯ 

Предмет «Виброакустика тонкостенных конструкций» посвящен 
изучению теории и методов анализа динамического взаимодействия 
упругих элементов строительных и иных конструкций с акустической 
средой и источниками виброакустического излучения как единой колебательной системы, закономерностей формирования и передачи виброакустического поля элементами конструкций и обратного влияния 
виброзвукоизлучения на формы и частоты их колебаний. Значительное 
внимание в этом разделе дисциплины «Современные проблемы в области прикладной механики» уделено вопросам снижения шумности и 
вибраций элементов конструкций, возможностям идентификации дефектов по искажениям излучаемого конструкцией акустического поля. 
Знание этого предмета позволяет проводить исследования в направлении создания методов и аппаратуры для оперативной и производительной 
бесконтактной акустической диагностики поверхностных и скрытых дефектов в сплошных и многослойных конструкциях, анализа живучести, 
степени старения материалов и конструкций, остаточного ресурса, создания акустически комфортной производственной и жизненной среды.  
Постановка основных задач проводится в рамках модели идеальной, 
т.е. невязкой и потенциальной (отсутствие вихрей) акустической среды. 
Считается, что возмущения в такой среде передаются только посредством сжатия — расширения [5; 9; 12]. 
Возмущение — избыточное давление в среде — подчиняется волновому уравнению 

2
1
0

2

2
c
t





P
P
,    
 (1.1) 

где P  — функция динамичного давления,
( , , , )
x y z t

P
P
; с – скорость 
звука (в металле скорость звука 5 км/с, в воде — 1,5 км/с, в воздухе — 

340 м/с);  — оператор Лапласа, 

2
2
2

2
2
2
x
y
z



 






. 

На рис. 1.1 показан общий случай контакта тонкостенной оболочки 
толщиной h с акустическими средами внутри и снаружи оболочки. 
В ряде литературных источников, например [5; 12], оперируют не 
функцией давления, а потенциалом скорости Ф(x, y, z, t). Скорость движения частиц среды V и функция давления в ней выражается через потенциал по формулам 

   V = grad Ф,   
Ф
ρ
,
t



P
(1.2) 

где  — плотность среды. 

Рис. 1.1. Общий случай контакта упругой оболочки толщиной h  
с акустическими средами внутри (i) и снаружи (е) оболочки: 
0 — плотность;  — коэффициент Пуассона; Е — модуль упругости;  
S — срединная поверхность оболочки; i, 
( )i
P
, е, 
( )
e
P
 — плотности и функции 
динамичного давления внутри и снаружи оболочки, соответственно; 
 з — нормальная компонента заданной гармонической нагрузки 
 
При условии гармоничности колебаний среды функция давления и 
потенциал отличаются на постоянный множитель 

                      

ω
( , , )
( , , , )
Ф( , , )
Ф( , , , )

i t
P x y z
x y z t
e
x y z
x y z t


 




P
, 
1
,
i





            (1.3) 

где  — круговая частота колебаний. 
Подставляя (1.3) в (1.2), получим 

ρωФ
P
i

. 
В дальнейшем будем оперировать только с функцией давления как 
имеющей ясный физический смысл. 
На поверхности оболочки или другого упругого тела ставятся условия безотрывности колебаний (или условия непротекания) 

                           

( )
( )
1
1
ρ
ρ

e
i

e
i
S
S
w
n
n



 



P
P
,                            (1.4) 

где w — функция динамического прогиба оболочки; n — внешняя нормаль к ее срединной поверхности. 

Уравнения колебаний оболочки также являются частью постановки 
задачи. Принимая, что все динамические величины, входящие в них, 

имеют зависимость от времени в виде множителя 
ω
i t
e
 и отбрасывая 
этот множитель, запишем эти уравнения в перемещениях с учетом давления акустической среды снаружи и изнутри оболочки: 

 
 



3
2
2
3
33
3
1

1
1
λ
δ
, 
1,2,3;
e
i
ij
j
i
i
t
i
S
S
j
L U
U
h N U
P
P
F i
Eh
Eh















 (1.5) 

0
0
0

ω
λ
,
ρ
E
c
c


, 




2
2
*
3
2
0,
3
,
δ
  
 1,
3 .
12 1
i
i
h
h
i





 




 

Здесь 
iF  — компоненты внешней нагрузки; 
1
2
3
,
,
U U U  — компонен
ты вектора перемещений оболочки, 
3
U
w

; 
33
,
ijL N  — безмоментные и 

моментные операторы теории оболочек. 
После исключения аналогичной временной компоненты волновые 
уравнения для функций давления в акустических средах типа (1.1) переходят в уравнения Гельмгольца: 

            

 
 
 
 
2
2
ω
ω
0,
0,
,
e
e
i
i
e
e
e
i
e
i
P
k P
P
k P
k
k
c
c








,       (1.6) 

в которых через 
iс , 
ес  обозначены скорости звука в средах внутри и 

снаружи оболочки. 
Преобразуются также и условия непротекания уравнения (1.4): 

                          

 
 

2

0
0

1
1
ω
ρ
ρ

e
i

e
i
n
n

P
P
w
n
n










.                           (1.7)  

Кроме представленных уравнений, в случае неограниченной внешней среды ставится условие Зоммерфельда [12]: 

                   

 

 
lim
0

e
e
e
r
P
r
ik P
r














,     
2
2
2
r
x
y
z



.          (1.8) 

Это условие выделяет волны, расходящиеся от оболочки; здесь оно 

записано для зависимости от времени вида 

ω
i t
e
. 
Для внутренней среды должно выполняться условие регулярности 
функции давления в любой точке среды. 
В общем случае точные решения задач (1.5)...(1.8) получены лишь для 
бесконечных пластин, бесконечной цилиндрической оболочки, замкнутой сферической оболочки и для оболочек и пластин, продолженных 
экранами. Однако в ряде случаев возможны упрощения общей постановки задач. Так, например, если k — мало (k — волновое число среды), 

то вместо уравнения Гельмгольца можно использовать уравнение Лапласа и среду при этом считать несжимаемой. 
Часто реальные условия на поверхности конструкции заменяют идеальными. Например, полагают 
0
S
P

 — условие абсолютно мягкой 

поверхности (свободная поверхность жидкости) либо 
0

S

P
n




 — абсо
лютно жесткая поверхность (экран). Эти условия обладают мажорирующими свойствами к реальным граничным условиям задачи. 
Упрощение на характер звукоизлучения в дальнем поле: какова бы 
ни была сложной излучающая поверхность, на большом удалении от 
нее акустическое давление может быть описано формулой 

                                   

 


φ,θ

e
ik r
e

r
e
P
A
r
 
.                                 (1.9) 

Функция 
(φ, θ)
A
 называется диаграммой направленности излучения 
(φ, θ — сферические координаты). 
Таким образом, излучение любой поверхности на большом расстоянии от источника любой формы подобно излучению точечного источника. Заметим, что для гармонических колебаний выражение (1.9) следует из условия излучения Зоммерфельда. 
При решении сформулированных задач часто используется интеграл 
Кирхгофа (Гельмгольца — Гюйгенса), дающий связь между давлением 
в произвольной точки среды (А) и давлением и его нормальной производной на граничной поверхности: 

B
B

( ),

( , )
( )
1
( )
( , )
( ),
2
0,
.

S

P A A
V

G A B
P B
P B
G A B dS
P A A
S
n
n
A
V























                (1.10) 

Здесь 
B
n  — нормаль, внешняя по отношению к среде; G(A,B) — 
фундаментальное решение уравнения Гельмгольца; 



2
δ( )
k
G
A
 

, 

где δ( )
A  — дельта-функция. 
Для трехмерного пространства 

,
4π

ikR
e
G
R
AB
R


. 

Для двумерного пространства 

(1)
0 (
)
4
i
G
H
kR
 
, 

где 
(1)
0
H
 — функция Ханкеля первого рода нулевого порядка. 
В одномерном случае 

,
2

ikR

A
B
e
G
R
x
x
ik



. 

С помощью интеграла Кирхгофа исходная задача в случае идеализированных граничных условий сводится к граничному интегральному 
уравнению, а для условия с упругой поверхностью — к интегродифференциальному уравнению. 
Для решения исходной задачи часто применяют численные методы 
— метод конечных элементов, метод сеток и метод прогонки. Ограничения, связанные с использованием этих методов, состоят в том, что 
плохо отображаются сосредоточенные нагрузки, бесконечные области. 
Для замкнутой сферической оболочки и пластины конечных размеров применяются методы разложения по собственным формам колебаний этих объектов в вакууме. Здесь также имеются ограничения: на 
низких частотах метод собственных форм дает хорошие результаты, а 
на высоких частотах и при значительной изменяемости решения для 
обеспечения сходимости требуется учитывать большое число членов 
рядов, которые становятся плохо сходящимися. 
Методы, основанные на интеграле Кирхгофа, объединены под общим названием метода граничных интегральных уравнений (ГИУ). Их 
тоже можно отнести к точным. К точным методам относятся также 
применения интегральных преобразований Фурье, Ханкеля и других в 
зависимости от типа нагружения и формы объекта. 
При использовании приближенных методов делается допущение о 
характере взаимодействия оболочки со средой, например о замене среды некоторой присоединенной массой, при использовании асимптотических — задается или отыскивается малый или большой параметр; 
уравнения раскладываются по нему и далее решается рекуррентная система более простых уравнений.  
 
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К РАЗДЕЛУ 
 
1.1. Как будет выглядеть условие излучения звука для зависимости 
от времени с положительным знаком в показателе экспоненты? 
1.2. Изобразить диаграмму направленности излучения при А=cos 4θ. 
1.3. Поставить краевую задачу для стоящего на жестком основании и наполненного идеальной жидкостью открытого сверху прямоугольного сосуда с упругими стенками. 

2. ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ АКУСТОУПРУГОСТИ.  
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИЗГИБНЫХ ВОЛН В БЕСКОНЕЧНОЙ  
УПРУГОЙ ПЛАСТИНЕ И ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН  
В АКУСТИЧЕСКОЙ СРЕДЕ 
 
К числу простейших задач динамики тонкостенных конструкций, 
взаимодействующих с акустической средой, относят задачи, связанные 
с колебаниями бесконечной упругой пластины постоянной толщины на 
акустическом полупространстве.

Рассмотрим находящуюся в одностороннем контакте с акустической 
средой бесконечную пластину с постоянной толщиной h (рис. 2.1). 

 
Рис. 2.1. Плоская изгибная волна,  
бегущая по пластине на акустическом полупространстве 
 
Зададим декартовую систему координат так, чтобы оси x, y лежали в 
срединной плоскости пластины, а ось  z   была направлена вглубь среды. 
Допустим, что по пластине в положительном направлении оси х распространяется плоская изгибная волна, фронт которой параллелен оси у. 
В такой постановке задача двумерная; решение ее зависит только от х и z. 
Постановка задачи для волнового уравнения в двумерном случае 
имеет вид 

2
2
2
2

0
4
2

3

2

0

1
0;

D
0
0 
уравнение колебаний пластины

сучетомдавления среды на ее поверхности,

 
 цилиндрическая жесткость пластины,
12(1
)

 
условие н

—  

—

—  

z

x
z
c
t
W
W
h
x
t
x
t

h
D
E

W
z





















 






 


 


P
P
P

P

P

( , , )

(2.1)

епротекания.












