Обратные задачи монодромии в аналитической теории дифференциальных уравнений
Покупка
Тематика:
Основы высшей математики
Автор:
Болибрух А. А.
Год издания: 2018
Кол-во страниц: 220
Дополнительно
В лекциях начала аналитической теории дифференциальных уравнений
излагаются с точки зрения расслоений с мероморфными связностями на
римановой сфере. Этот подход позволяет добиться значительного прогресса
в решении таких знаменитых старых задач, как проблема Римана--Гиль-
берта и задача о биркгофовой стандартной форме, а также в исследовании
изомонодромных деформаций фуксовых систем.
Лекции, начинающиеся с основ теории и требующие от читателя зна-
комства лишь со стандартными курсами обыкновенных дифференциальных
уравнений и комплексного анализа, выводят его на передний край этой
бурно развивающейся в последнее время области математики, имеющей
важные приложения к задачам математической физики.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
А. А. Болибрух Обратные задачи монодромии в аналитической теории дифференциальных уравнений МЦНМО
А.А. Болибрух Обратные задачи монодромии в аналитической теории дифференциальных уравнений Электронное издание Москва Издательство МЦНМО 2018
УДК 517.927.7 ББК 22.161.6 Б79 Болибрух А. А. Обратные задачи монодромии в аналитической теории дифференциальных уравнений / Под ред. Д. В. Аносова, В. П. Лексина Электронное издание. М.: МЦНМО, 2018. 220 с. ISBN 978-5-4439-2640-7 В лекциях начала аналитической теории дифференциальных уравнений излагаются с точки зрения расслоений с мероморфными связностями на римановой сфере. Этот подход позволяет добиться значительного прогресса в решении таких знаменитых старых задач, как проблема Римана––Гильберта и задача о биркгофовой стандартной форме, а также в исследовании изомонодромных деформаций фуксовых систем. Лекции, начинающиеся с основ теории и требующие от читателя знакомства лишь со стандартными курсами обыкновенных дифференциальных уравнений и комплексного анализа, выводят его на передний край этой бурно развивающейся в последнее время области математики, имеющей важные приложения к задачам математической физики. Подготовлено на основе книги: Болибрух А. А. Обратные задачи монодромии в аналитической теории дифференциальных уравнений / Под ред. Д.В.Аносова, В.П.Лексина. –– М.: МЦНМО, 2009.–– 220 с. –– ISBN 978-5-94057-510-8 Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11, тел. (499)241-08-04. http://www.mccme.ru ISBN 978-5-4439-2640-7 © Наследники, 2018. © МЦНМО, 2018.
Предисловие С именем А. А. Болибруха (1950––2003) связаны самые существенные достижения последнего времени в теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной области, в значительной степени изменившие облик этой теории1. (Достаточно упомянуть о его результатах по 21-й проблеме Гильберта, где –– редкий случай –– ответ оказался противоположным ожиданиям самого Гильберта.) Настоящая книга содержит значительную часть результатов этой теории –– как давно успевших стать классическими, так и новых. Конечно, книга такого объема, которая начинается «с самого начала» и изложение в которой является довольно подробным, не может быть исчерпывающей. Но так как она написана с современных позиций, это не создаст дополнительных трудностей читателю, желающему познакомиться с иными результатами в этой области по другим источникам. Книга состоит из двух частей. Первая часть –– это переиздание книги А.А.Болибруха «Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения» (М.: МЦНМО, 2000), которая является авторской обработкой читавшегося им спецкурса (см. введение к этой части). Продолжением последнего был спецкурс об изомонодромных деформациях2. А. А. Болибрух намеревался издать текст этого спецкурса как продолжение предыдущей книги. Однако он заболел и умер, не оставив соответствующих письменных материалов. Вторая часть настоящей книги основана, в первую очередь, на статьях А.А.Болибруха и записях второго спецкурса, сделанных в основном его учениками И.В.Вьюгиным, Р.Р.Гонцовым, В. А. Побережным. Обработка этих записей проведена ими под нашей редакцией. При написании лекции 18 использован собственный черновик доклада А. А. Болибруха. Приложение 4 –– это краткая сводка сведений о некоторых топологических понятиях и фактах, фигурирующих во второй части лекций. Оно предназначено для начальной ориентировки читателя, впервые сталкивающегося с этими вещами. (Если же он захочет познакомиться с ними детальнее, ему, конечно, придется обратиться к соответствующим учебникам. Приложение 4, по крайней мере, подскажет ему, какие понятия в первую очередь нужно изучить в связи с нашей основной темой.) Д.В.Аносов, В.П.Лексин 1 Жизни и деятельности А.А.Болибруха посвящена наша статья [2], см. с.195 наст. изд. 2 В указанном введении А.А.Болибрух в качестве одной из трех основных целей первого спецкурса назвал подготовку слушателей ко второму спецкурсу.
ЧАСТЬ I Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения
Введение Настоящее издание является обработкой семестрового спецкурса с тем же названием, который читался мною в разные годы в Московском физико-техническом институте, в университетах городов Ниццы и Страсбурга, а также в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова. Чтение этого спецкурса преследовало следующие цели: –– познакомить студентов-физиков и аналитиков с понятиями расслоения и связности и показать, как эти понятия эффективно используются в аналитической теории дифференциальных уравнений; –– рассказать о некоторых старых задачах аналитической теории дифференциальных уравнений (проблема Римана––Гильберта, задача о биркгофовой стандартной форме), продвижение в исследовании которых в самое последнее время было связано с применением простейших алгебро-геометрических методов; –– подготовить слушателей к спецкурсу об изомонодромных деформациях, который обычно читался в следующем после чтения настоящего спецкурса семестре. Аналитическая теория линейных дифференциальных уравнений была в основном создана трудами математиков XIX столетия, и к концу первой четверти XX века основные задачи этой теории, такие как проблема Римана––Гильберта или задача о биркгофовой стандартной форме, считались решенными положительно. В каком-то смысле эта математическая дисциплина оказалась на некоторое время на периферии развития математики. Однако после открытия в начале 1970-х годов метода изомонодромных деформаций аналитическая теория дифференциальных уравнений получила новый мощный импульс к своему развитию. Оказалось, что многие знаменитые нелинейные уравнения математической физики могут быть проинтерпретированы как уравнения изомонодромных деформаций систем линейных дифференциальных уравнений. При этом важную информацию о поведении решений этих уравнений можно получить, исследуя соответствующие изомонодромные деформации линейных систем и, в частности, фуксовых систем дифференциальных уравнений. Но чтобы построить изомонодромное семейство, надо вначале решить обратную задачу теории монодромии –– задачу Римана––Гильберта. Так эта проблема вновь оказалась в центре внимания многих математиков. В начале 1980-х годов выяснилось, что в доказательстве положительной разрешимости
Введение этой проблемы имеются пробелы и она нуждается в дальнейшем исследовании. Изучению этой задачи и посвящен, в основном, настоящий спецкурс. С точки зрения алгебраической геометрии, система линейных дифференциальных уравнений –– это связность в тривиальном расслоении (при выбранной тривиализации расслоения). Такой подход позволяет применить к исследованию проблемы Римана––Гильберта некоторые простейшие алгебро-геометрические методы, которые оказываются чрезвычайно эффективными. Например, исходную задачу о построении системы фуксовых дифференциальных уравнений с заданной монодромией и особыми точками (в чем и состоит проблема Римана––Гильберта) удается разбить на две независимые части: построение на расширенной комплексной плоскости расслоения с логарифмической связностью, имеющей заданную монодромию, и исследование вопроса о голоморфной тривиальности построенного расслоения. Именно на этом пути удалось найти контрпример к этой проблеме и сформулировать достаточные условия ее положительной разрешимости. Конечно, расширенная комплексная плоскость (сфера Римана) –– не самый сложный с точки зрения алгебраической геометрии объект и все результаты по проблеме Римана––Гильберта (как и соответствующие доказательства) могут быть изложены в рамках методов комплексного анализа и аналитической теории дифференциальных уравнений, без использования понятий расслоения, связности и т. д., но при этом теряется понимание сути происходящего и становятся неясными мотивировки вводимых определений и методов доказательств. С другой стороны, попытки исключить уравнения из рассмотрения и говорить лишь о связностях и локальных системах приводят к потере связи с приложениями. Поэтому я старался при чтении спецкурса постоянно подчеркивать эту связь и часто давал формулировки соответствующих результатов одновременно в терминах связностей и систем уравнений. В первых трех лекциях спецкурса вводятся понятия голоморфного расслоения (главного и векторного) и связности. Эти лекции (как и спецкурс в целом) не претендуют на систематическое введение в теорию векторных расслоений. Мы ограничиваемся здесь лишь основными понятиями и необходимыми для дальнейшего примерами. Следующие три лекции посвящены локальной теории систем дифференциальных уравнений с регулярными особыми точками. Здесь представлена, в частности, теория нормирований Левеля, которая отсутствует в стандартной учебной литературе по аналитической теории дифференциальных уравнений.
Введение 9 Системы с регулярными особыми точками на всей расширенной комплексной плоскости рассматриваются в лекции 7, а в лекции 8 рассказывается о постановке проблемы Римана––Гильберта и о методе исследования этой проблемы. В лекции 9 приводится элементарное (использующее лишь простейшие факты из одномерного комплексного анализа) доказательство теоремы Биркгофа––Гротендика о том, что всякое голоморфное векторное расслоение на расширенной комплексной плоскости эквивалентно сумме одномерных расслоений. Основные результаты по проблеме Римана––Гильберта представлены в лекциях 10 и 11, первая часть лекции 12 посвящена задаче о биркгофовой стандартной форме, а во второй ее части приводится список известных результатов, формулируются некоторые нерешенные задачи, а также указывается список литературы «для дальнейшего чтения»1. Подготовка и издание этого спецкурса были бы невозможны без поддержки и участия кафедры высшей математики МФТИ, кафедры дифференциальных уравнений мехмата МГУ, моих коллег из отделений математики университетов Ниццы и Страсбурга, которым я благодарен за поддержку и помощь. Я также благодарен сотрудникам Московского центра непрерывного математического образования за организацию публикации спецкурса. 1 В настоящем издании общий список литературы приводится в конце книги. –– Прим. ред.