Математическая обработка результатов геодезических измерений

Министерство образования и науки Российской Федерации
 
  
 
 

 
 
 
 
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Москва 2017

Учебное пособие

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ 
ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

А.Б. Беликов,  В.В. Симонян

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

3-е издание (электронное)

УДК 621.311.22
ББК 31.37+38.728
Б43

Рецензенты:
доктор технических наук, профессор В. Н. Баранов,
ФГБОУ ВПО «Государственный университет по землеустройству» (ГУЗ);
кандидат технических наук, профессор И. И. Ранов, НИУМГ СУ

Б43
Беликов, А. Б.

Математическая обработка результатов геодезических измерений 
[Электронный ресурс] : учебное пособие / М-во образования и науки Рос. 
Федерации, Моск. гос. строит. ун-т ; авт.-сост.: А. Б. Беликов, В. В. Симонян. — 
3-е изд. (эл.). — Электрон. текстовые дан. (1 файл pdf : 430 с.). — М. : Издательство МИСИ—МГСУ, 2017. — Систем. требования: Adobe Reader XI либо 
Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10".
ISBN 978-5-7264-1568-0
Рассмотрены основные вопросы теории погрешностей, необходимые при обработке геодезических результатов измерений. Приведены сведения по теории вероятностей и математической статистик, положенные в основу изложения курса.
Рассмотрены варианты обработки результатов традиционных методов измерений, а также GPS-измерений. Приведены общие сведения по методу наименьших 
квадратов. Отдельно рассмотрен вопрос применения метода наименьших квадратов 
к уравниванию геодезических сетей и построению эмпирических формул.
Для аспирантов, обучающихся по направлению 21.06.01 Геология, разведка и 
разработка полезных ископаемых по программе «Геодезия в строительстве».

УДК 621.311.22 
ББК 31.37+38.728

Деривативное электронное издание на основе печатного издания: Математическая обработка результатов геодезических измерений : учебное пособие / М-во образования и науки Рос. 
Федерации, Моск. гос. строит. ун-т ; авт.-сост.: А. Б. Беликов, В. В. Симонян. — 2-е изд. — М. : 
Издательство МИСИ—МГСУ, 2016. — 432 c. — ISBN 978-7264-1255-9.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-7264-1568-0
© НИУ МГСУ, 2015

ПРЕДИСЛОВИЕ

Пособие состоит из 6 разделов. В конце каждого раздела приводятся решения типовых примеров, задачи и вопросы для самоконтроля.
 В основу изложения раздела «Теория погрешностей» положен 
учебник профессора Ю.В. Кемница «Теория ошибок измерений», 
«Недра», Москва, 1967 год. Однако в раздел пришлось внести ряд 
изменений и дополнений.
Раздел «Теория погрешностей» в настоящее время излагается 
на основе дисциплин «Теория вероятностей» и «Математическая 
статистика». Поэтому представляется уместным поместить в начале разделы «Справочные сведения из теории вероятностей» 
(Раздел I) и «Справочные сведения из математической статистики» (Раздел II). Целый ряд понятий, таких как «математическое 
ожидание», «дисперсия», «оценка параметра» и прочие,  связанных с указанными математическими дисциплинами, вводится без 
каких-либо дополнительных пояснений или определений. 
Объединены разделы «Математическая обработка ряда равноточных результатов измерений» и «Математическая обработка ряда 
неравноточных результатов измерений», традиционно помещаемых 
раздельно во всех учебниках по теории погрешностей. При совместном рассмотрении этих разделов равноточные измерения рассматриваются как частный случай неравноточных измерений, и все 
формулы для этого случая легко вытекают из общего случая. 
В предлагаемом учебном пособии свойства случайных погрешностей сформулированы в виде аксиом. Доказательства теорем теории погрешностей результатов геодезических измерений выполнены 
на базе соответствующих положений математической статистики. 
Приведены примеры использования методов теории погрешностей 
и дисперсионного анализа при исследовании геодезических приборов. Уточнены в соответствии с ГОСТами многие определения. Рассмотрены некоторые приемы априорной оценки точности.
Дополнительно введен раздел «Теория погрешностей зависимых результатов измерений» с примерами обработки GPS-измерений и раздел по основополагающим принципам метода наименьших квадратов в применении к уравниванию геодезических сетей 
и составлению эмпирических формул. 

Авторы выражают большую благодарность всем, кто в той 
или иной форме принял участие в создании настоящего учебного пособия. Прежде всего это заведующий кафедрой геодезии и 
геоинформатики ГУЗа профессор Владимир Николаевич Баранов 
и профессор кафедры геодезии и геоинформатики ГУЗа Михаил 
Исаакович Перский, сделавшие много замечаний и предложений, 
учет которых значительно повлиял на качество пособия.

***

Александр Борисович Беликов был видным ученым в области 
геодезии, землеустройства и кадастров, профессором Государственного университета по землеустройству. 
Имея огромный опыт преподавания таких дисциплин, как теория 
вероятностей, математическая статистика и теория погрешностей 
измерений, А.Б. Беликов решил отразить его в учебном пособии, 
позволяющем в целом лучше освоить материал данных курсов. 
К сожалению, Александр Борисович не успел в полной мере 
это осуществить. Являясь его учеником, я посчитал своим долгом 
продолжить эту работу и подготовить учебное пособие к изданию.

Доц., к.т.н.  В.В.Симонян

Раздел I . СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1.1. Основные понятия

Исходным пунктом построения теории вероятностей как любой 
теоретической науки являются экспериментальные факты, на основе которых формируются соответствующие абстрактные понятия. Чтобы разобраться в таких фактах, введем некоторые термины 
и определения.
Будем называть опытом любую реализацию некоего фиксированного комплекса условий S, который должен строго повторяться 
при повторении одного и того же опыта.
Результаты опыта можно характеризовать качественно и количественно.
Качественная характеристика опыта состоит в регистрации какого-нибудь факта. Любой такой факт называется событием. При 
этом говорят, что «событие появилось (произошло)» или «событие 
не появилось (не произошло)» в результате опыта. Будем обозначать события прописными латинскими буквами A, B, C. 
Два события A и B называют равными (A = B), если осуществление одного из них, неважно, какого, влечет за собой наступле ние 
другого.
События A и B называются несовместными, если осуществление одного из них, неважно, какого, исключает наступление другого. События A и B будут совместными, если осущест вление одного 
из них, неважно какого, не исключает наступление дру гого.
Событие Ā называется противоположным (дополнительным) 
событию A, если его осуществление означает неосуществление 
события A.

Объединением (суммой) событий A и B называется событие 
C, означающее осуществление хотя бы одного из событий A и B. 
С помощью специального знака объединения  можно написать 
C = A  B. Объединяться может и большее число событий, например, объединением событий A1, A2, ..., An будет событие 

1
2
1
... 
.

n

n
i
i
A
A
A
A
A
=
=
=
∪
∪
∪
∪

Совмещением (пересечением, произведением) событий A и B называется событие C, означающее наступление и события A, и события B. С помощью знака совмещения ∩ можно написать C = A 
∩ B. Совмещаться может и большее число событий, например, совмещением событий A1, A2, ..., An будет событие

1
2
1
...
.

n

n
i
i
A
A
A
A
A
=
=
=
∩
∩
∩
∩

Разностью событий A и B называется событие C, означающее, 
что происходит событие A, но не происходит событие B. Это обычно записывают как C = A \ B.
Если при испытании событие A должно наступить обязательно, с неизбежностью, то такое событие называют достоверным. 
В противоположном случае, когда событие A при испытании не 
должно осуществиться, оно называется невозможным.
Событие будет случайным, если при испытании оно может наступить, но может и не наступить. Ясно, что случайное событие 
занимает промежуточное положение между событиями достоверным и невозможным.
Анализируя комплекс условий S, осуществляемый при проведении испытаний, можно выделить так называемое множество Ω элементарных исходов ω. Это множество включает в себя единственно 
возможные и попарно несовместные элементарные исходы. Например, пусть испытание состоит в фиксации числа очков, выпавших на 
грани игральной кости. Здесь множество Ω состоит из 6 единственно 
возможных и несовместимых элементарных исходов, соответствующих граням кости, помеченным в соответствии с цифрами 1, 2, …, 6.
Рассмотрим некоторое случайное событие A, которое при испытании, порождающем множеством элементарных исходов Ω, 

может наступить лишь в случае, когда реализуется какой-либо элементарный исход ω, принадлежащий подмножеству ΩА множества 
Ω(ω ∈ ΩА ⊆ Ω). Например, пусть событие A заключается в выпадении 
на грани игральной кости четного числа очков. Тогда ΩА = {2, 4, 6}, и 
реализация любого из трех элементарных исходов, являющихся элементами этого множества, влечет за собой наступление случайного 
события A. В подобных случаях случайное событие A можно формально отождествить с множеством ΩА, т.е. записать, что А = ΩА .
Если А = Ω, то событие A будет достоверным. Если же А = ∅, где 
∅ — символ пустого множества, то событие A будет невозможным.
Говорят, что случайное событие A влечет за собой наступление 
события B, когда A содержится в B, т.е. А ⊆ В. Например, пусть 
событие A есть выпадение на грани игральной кости 2 очков, а событие B — выпадение на грани не менее 4 очков. Тогда А ⊂ В.

1.2. Частость и вероятность случайного события

Пусть при неизмененном комплексе условий S проведена серия 
из n испытаний и при каждом из них фиксировалось появление 
или не появление случайного события A. Допустим, что случайное 
событие A осуществилось при этом m раз. Тогда говорят, что частота этого события равна A, а частость

(1.1)
( )
.
m
H A
n
=

Пусть при неизменном комплексе условий S осуществлено 
значительное число таких серий испытаний достаточно большой 
длины и при этом оказалось, что частости H(A), вычисленные для 
всех серий испытаний, будут числами, близкими одно к другому. 
Тогда говорят, что случайное событие A обладает устойчивой частостью (или просто устойчивой частотой). Число, около которого колеблется устойчивая частость, называется вероятностью 
случайного события A и обозначается через P(A).
Вероятность численно выражает степень объективной возможности наступления случайного события и является абстрактным 
отражением его устойчивой частоты. Соотношение между H(A) 
и P(A) аналогично соотношению между физическими объектами 

и их математическим образом. Например, между физическими 
точками (прямыми), поставленными или проведенными на доске 
мелом или на бумаге карандашом, и их абстрактными геометрическими образами — математическими точками (прямыми). Как 
операции с абстрактными геометрическими образами отражают 
свойства реального физического пространства, так и операции с 
вероятностями случайных событий должны отражать свойства 
устойчивых частот этих случайных событий. Поэтому H(A) часто 
называют статической вероятностью в отличие от близкой к ней 
величины — математической вероятности P(A).
Из самого определения H(A), задаваемого формулой (1.1), следует, что 0 ≤ H(A) ≤ 1. Поэтому и на P(A) целесообразно наложить 
условие

 
0 ≤ Р(A) ≤ 1.  
(1.2)

Если событие достоверно, то при всех испытаниях оно неизбежно осуществится, и потому согласно (1.1) его частость будет равна 1.
Поэтому полагают

 
Р(Ω) = 1.  
(1.3)

Если случайные события A и B несовместные, то при надлежаще исполненной серии испытаний можно подсчитать, что 
Н(A  B) = Н(A) + Н(B). Потому для несовместных случайных событий A и B принимают, что 

 
Р(A  B) = Р(A) + Р(B). 
 (1.4) 

Наложенные требования (1.2) — (1.4) на вероятности случайных событий можно рассматривать как систему аксиом, лежащих 
в основе теории вероятностей.  
С помощью приведенных аксиом можно доказать следующие 
положения.
1. Вероятность случайного события Ā, противоположного событию A, равна дополнению P(A) до единицы, т.е.

 
Р(Ā) = 1 – Р(A).  
(1.5)

2. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.

 
Р(∅) = 0.  
(1.6)

3. Вероятность разности событий A и B равна

 
Р(A \ B) = Р(A) – Р(А ∩ B).  
(1.7)

4. Если случайные события A1, A2, ..., An попарно несовместны, то

(1.8)

1
1
(
)
(
).

n
n

i
i
i
i
P
A
P A
=
=
= ∑
∪

5. Если случайные события A и B совместны, то

 
Р(A  B)  = Р(A) + Р(B) – Р(А ∩ B).  
(1.9)

1.3. Классическое определение вероятности

Пусть при данном комплексе условий конечное множество Ω состоит из n равновероятных элементарных исходов ω. Далее положим, что 
случайное событие A наступает тогда, когда из всех n элементарных исходов реализуется любой из m элементарных исходов, принадлежащих 
множеству ΩА ⊂ Ω. Элементы множества ΩА называют элементарными 
исходами, благоприятствующими наступлению события A. Тогда вероятность наступления события A определится как отношение

(1.10)
( )
,
m
P A
n
=

т.е. будет равна отношению числа благоприятствующих эле мен тарных ис ходов к общему числу единственно воз мож ных равновероятных элементарных исходов.
Например, событие A есть выпадение четной цифры при бросании игральной кости. Если кость представляет собой правильный куб с изотропным распределением массы в его теле, то существует уверенность, что при ее бросании может с одинаковой 
возможностью выпасть любая из цифр от 1 до 6. Тогда полагаем 
Ω = {1, 2, ..., 6}, n = 6, ΩА = {2, 4, 6}, m = 3, и поэтому Р(A)  = 1/2. 
Так определялась вероятность случайного события с момента 
возникновения теории вероятности как науки. В дальнейшем оказалось, что такое определение вероятности недостаточно общее, 
и потому формула (1.10) не всегда применима. Действительно, 
решающим этапом в применении этой формулы является анализ 
комплекса условий, приводящий к выделению множеств Ω и ΩА. 

Однако этот анализ не всегда приводит к желаемым результатам. 
В примере с игральной костью такое выделение множеств Ω и ΩА 
не удастся провести, если распределение масс в ее теле не будет 
изотропно и центр тяжести кости будет смещен относительно геометрического центра. Несмотря на это, классическое определение 
вероятности при решении практических задач часто позволяет получать приемлемые результаты.

1.4. Связь между случайными событиями. 
Условная вероятность

Случайные события A и B называются независимыми, если осуществление одного из них никак не повлияет на то, что появится 
или нет второе; в противном случае они будут зависимыми. 
Пусть P(A) и P(B) — вероятности осуществления случайных 
событий A и B, посчитанные еще до испытания; их называют безусловными. Если события A и B зависимы и, например, событие 
A уже произошло, то вероятность наступления события B уже изменится; обозначим ее через P(B/A). Эту вероятность называют 
условной, и обозначение P(B/A) читают так: вероятность события 
B, рассчитанная при условии, что событие A произошло.
Проводя испытания над зависимыми случайными событиями и 
вычисляя частости их появления, можно установить закономерности, которые в абстрактной форме найдут отражение в виде формул:

(1.11)

которые и определяют условные вероятности зависимых случайных событий.
Из (1.11) вытекает правило подсчета вероятности совмещения 
двух зависимых случайных событий:

 
Р(A ∩ B)  = Р(A) Р(B/А) = Р(B) Р(А/В). 
(1.12)

Для того чтобы два события A и B были независимы, необходимо и достаточно, чтобы вероятность их совмещения была произведением их безусловных вероятностей, т.е.

 
Р(A ∩ B)  = Р(A) Р(B). 
(1.13)