Число Авогадро. Как увидеть атом

ИСТОКИ СОВРЕМЕННОЙ ФИЗИКИ 

Е.З. МЕЙЛИХОВ

ЧИСЛО АВОГАДРО  
КАК УВИДЕТЬ АТОМ

ISBN 978-5-91559-233-8

Íà ïåðâîé ïîëîñå îáëîæêè:
ïîðòðåò À. Àâîãàäðî; àòîìû óãëåðîäà â ðåø¸òêå ãðàôåíà
(èçîáðàæåíèå â ýëåêòðîííîì ìèêðîñêîïå).

Å.Ç. Ìåéëèõîâ
×èñëî Àâîãàäðî. Êàê óâèäåòü àòîì: Ó÷åáíîå ïîñîáèå /
Å.Ç. Ìåéëèõîâ – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì «Èíòåëëåêò», 2017. – 88 ñ.
ISBN 978-5-91559-233-8

Èòàëüÿíñêèé ó÷åíûé Àìàäåî Àâîãàäðî (ñîâðåìåííèê À.Ñ. Ïóøêèíà) áûë ïåðâûì, êòî ïîíÿë, ÷òî êîëè÷åñòâî àòîìîâ (ìîëåêóë)
â îäíîì ãðàìì-àòîìå (ìîëå) âåùåñòâà îäèíàêîâî äëÿ âñåõ âåùåñòâ. Çíàíèå æå ýòîãî ÷èñëà îòêðûâàåò ïóòü ê îöåíêå ðàçìåðîâ
àòîìîâ (ìîëåêóë). Ïðè æèçíè Àâîãàäðî åãî ãèïîòåçà íå ïîëó÷èëà äîëæíîãî ïðèçíàíèÿ. Âîçìîæíî, ýòî ïðîèçîøëî ïîòîìó, ÷òî
ñàì ó÷åíûé íå áûë õèìèêîì-ýêñïåðèìåíòàòîðîì è ïîýòîìó íå
ìîã ñàì äîêàçàòü ñâîå ïðåäïîëîæåíèå.
Áîëåå ñòà ëåò ïîíàäîáèëîñü ó÷åíûì, äëÿ òîãî, ÷òîáû ñ ïðèåìëåìîé òî÷íîñòüþ íàéòè âåëè÷èíó ÷èñëà Àâîãàäðî. Íà÷èíàÿ
ñ êîíöà 19-ãî âåêà áûëî ðàçðàáîòàíî áîëüøîå ÷èñëî íåçàâèñèìûõ ìåòîäîâ åãî îïðåäåëåíèÿ, è ñåãîäíÿ ìû çíàåì, ÷òî îíî
ðàâíî NA   6.02  1023.  ýïîïåå ó÷àñòâîâàëè ñàìûå ñâåòëûå íàó÷íûå óìû – äîñòàòî÷íî íàçâàòü É. Ëîøìèäòà, Äæ. Ìàêñâåëëà,
Æ. Ïåððåíà, À. Ýéíøòåéíà, Ì. Ñìîëóõîâñêîãî.
Îñíîâíàÿ ÷àñòü êíèãè ïîñâÿùåíà ïîäðîáíîìó îáñóæäåíèþ
òåîðåòè÷åñêèõ è ýêñïåðèìåíòàëüíûõ àñïåêòîâ ñëó÷àéíîãî áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ – ôèçè÷åñêîãî ôåíîìåíà, èçó÷åíèå êîòîðîãî êàê ðàç è ïîçâîëèëî äîñòàòî÷íî òî÷íî îïðåäåëèòü ÷èñëî
Àâîãàäðî. Ñàì æå ýòîò ôåíîìåí ïðîÿâëÿåòñÿ â ñàìûõ ðàçíûõ
îáëàñòÿõ íàóêè è òåõíèêè. Äîñòàòî÷íî óïîìÿíóòü, ÷òî èìåííî
îí êëàäåò ïðåäåë ÷óâñòâèòåëüíîñòè äåòåêòîðîâ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ñîâñåì íåäàâíî (2016 ã.) áûëî ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîäòâåðæäåíî ñóùåñòâîâàíèå ãðàâèòàöèîííûõ âîëí. Êðîìå òîãî, â
êíèãå âïåðâûå íà ðóññêîì ÿçûêå ïðèâîäèòñÿ îñíîâíîé òðóä Àâîãàäðî, êîòîðûé, êàê ñìîæåò óáåäèòüñÿ ÷èòàòåëü, ïîðàæàåò ñâîåé àáñîëþòíîé ñîâðåìåííîñòüþ â îòíîøåíèè ñòèëÿ èçëîæåíèÿ è ëîãèêè äîêàçàòåëüñòâ.

≈
.

© 2017, Å.Ç. Ìåéëèõîâ
© 2017, ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-233-8

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Единственный теоретик среди физиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

— Кто Вы, сеньор Авогадро? — Сын юриста! . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13

Что сделал Авогадро? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15

Как измерить число Авогадро? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

Броуновское движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

Экспериментальные исследования броуновского движения . . . . . . . . .
25

Вращательное броуновское движение асимметричных частиц
и макроскопических тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

Теоретические исследования броуновского движения . . . . . . . . . . . .
37

Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70

ВВЕДЕНИЕ

«...Если бы в результате какой-либо мировой
катастрофы все накопленные знания оказались бы уничтоженными и к грядущим поколениям живых существ пришла бы только одна фраза, то какое утверждение, составленное из наименьшего количества слов, принесло
бы наибольшую информацию? Я считаю, что
это — атомная гипотеза: ...все тела состоят из атомов — маленьких телец, находящихся в беспрерывном движении...»

Р. Фейнман. Фейнмановские лекции по физике.
Вып. 1. — М.: Мир, 1965.

В начале 80-х годов прошлого века появился новый профессиональный праздник химиков и физиков — День Моля. Он начинается в 6:02 утра 23 октября и длится до 6:02 вечера того же дня. Согласно американской традиции эта дата записывается в виде 6:02/10/23 и
отсылает нас к так называемому числу Авогадро, равному NA ≈ 6,02·1023
и определяющему число частиц (атомов или молекул) в одном моле
вещества. В связи с этим Американское химическое общество учредило
и способствует проведению Национальной недели химии — той недели,
в которую попадает 23 октября.
Число Авогадро (константа Авогадро, постоянная Авогадро) определяется как количество атомов в 12 граммах чистого изотопа углерода-12
(12C). Обозначается оно обычно как NA, реже L. Значение числа Авогадро, рекомендованное CODATA (рабочая группа по фундаментальным
постоянным) в 2015 г.: NA = 6,02214082(11) · 1023 моль−1. Моль — это
количество вещества, которое содержит NA структурных элементов (т.е.
столько же элементов, сколько атомов содержится в 12 г 12C), причем
структурными элементами обычно являются атомы, молекулы, ионы и
др. По определению атомная единицы массы (а.е.м.) равна 1/12 массы атома 12C. Один моль (граммоль) вещества имеет массу (молярную

Введение
5

массу), которая, будучи выраженной в граммах, численно равна молекулярной массе этого вещества (выраженной в атомных единицах массы). Например: «1 моль натрия имеет массу 22,9898 г и содержит (примерно) 6,02 · 1023 атомов», «1 моль фторида кальция CaF2 имеет массу
(40,08+2 · 18,998) = 78,076 г и содержит (примерно) 6,02·1023 молекул».
В конце 2011 г. на XXIV Генеральной конференции по мерам и весам единогласно принято предложение определить моль в будущей версии Международной системы единиц (СИ) таким образом, чтобы избежать его привязки к определению грамма. Предполагается, что в 2018 г.
моль будет определен непосредственно числом Авогадро, которому будет приписано точное (без погрешности) значение, базирующееся на результатах измерений, рекомендованных CODATA. Пока же число Авогадро является не принимаемой по определению, а измеряемой величиной.
Эта константа названа в честь известного итальянского химика Амедео Авогадро (1776–1856 гг.), который хотя сам этого числа и не знал,
но понимал, что это — очень большая величина. На заре развития атомной теории Авогадро выдвинул гипотезу (1811 г.), согласно которой при
одинаковых температуре и давлении в равных объемах идеальных газов содержится одинаковое число молекул. Позже было показано, что
эта гипотеза есть следствие кинетической теории газов, и сейчас она
известна как закон Авогадро. Его можно сформулировать так: один
моль любого газа при одинаковых температуре и давлении занимает
один и тот же объем, при нормальных условиях равный 22,41383 л (нормальным условиям соответствуют давление P0 = 1 атм и температура
T0 = 273,15 К). Эта величина известна как молярный объем газа.
Первую попытку найти число молекул, занимающих данный объем,
предпринял в 1865 г. Й. Лошмидт. Из его вычислений следовало, что
количество молекул в единице объема воздуха равно 1,8 · 1018 см−3, что,
как оказалось, примерно в 15 раз меньше правильного значения. Через
8 лет Дж. Максвелл привел гораздо более близкую к истине оценку —
1,9 · 1019 см−3. Наконец, в 1908 г., Перрен дает уже приемлемую оценку
NA = 6,8 · 1023 моль−1 числа Авогадро, найденную из экспериментов по
Броуновскому движению.
С тех пор было разработано большое число независимых методов
определения числа Авогадро, и более точные измерения показали, что,
в действительности, в 1 см3 идеального газа при нормальных условиях
содержится (примерно) 2,69 · 1019 молекул. Эта величина называется
числом (или постоянной) Лошмидта. Ей соответствует число Авогадро
NA ≈ 6,02 · 1023.
Число Авогадро — одна из важных физических постоянных, сыгравших большую роль в развитии естественных наук. Но является ли она
«универсальной (фундаментальной) физической постоянной»? Сам этот

Введение

термин не определен и обычно ассоциируется с более или менее подробной таблицей числовых значений физических констант, которые следует
использовать при решении задач. В связи с этим фундаментальными
физическими постоянными зачастую считаются те величины, которые
не являются константами природы и обязаны своим существованием
всего лишь выбранной системе единиц (таковы, например, магнитная
и электрическая постоянные вакуума) или условным международным
соглашениям (такова, например, атомная единица массы). В число фундаментальных констант часто включают многие производные величины (например, газовую постоянную R, класический радиус электрона
re = e2/mec2 и т. п.) или, как в случае с молярным объемом, значение некоторого физического параметра, относящегося к специфическим
экспериментальным условиям, которые выбраны лишь из соображений
удобства (давление 1 атм и температура 273,15 К). С этой точки зрения
число Авогадро есть истинно фундаментальная константа.
Истории и развитию методов определения этого числа и посвящена
настоящая книга. Эпопея длилась около 200 лет, и на разных этапах
была связана с многообразными физическими моделями и теориями,
мноие из которых не потеряли актуальности и по сей день. К этой истории приложили руку самые светлые научные умы — достаточно назвать
А. Авогадро, Й. Лошмидта, Дж. Максвелла, Ж. Перрена, А. Эйнштейна, М. Смолуховского. Список можно было бы и продолжить...
Автор должен признаться, что идея книги принадлежит не ему, а
Льву Федоровичу Соловейчику — его однокашнику по Московскому
физико-техническому институту, человеку, который занимался прикладными исследованиями и разработками, но в душе остался физикомромантиком. Это человек, который (один из немногих) продолжает «и в
наш жестокий век» бороться за настоящее «высшее» физическое образование в России, ценит и в меру сил пропагандирует красоту и изящество физических идей. Известно, что из сюжета, который А. Пушкин
подарил Н. Гоголю, возникла гениальная комедия. Конечно, здесь — не
тот случай, но, может быть, и эта книга покажется кому-то полезной.
Автор глубоко признателен А. Д. Калашникову, взявшему на себя
утомительный труд внимательного прочтения рукописи. В результате
был обнаружен целый ряд неточностей, которые, благодаря этому, и
были устранены.
То, что Вы сейчас читаете, это — не «научно-популярный» труд,
хотя и может показаться таковым с первого взгляда. В нем на некотором историческом фоне обсуждается серьезная физика, используется
серьезная математика и обсуждаются довольно сложные научные модели. Фактически, она состоит из двух (не всегда резко разграниченных) частей, рассчитанных на разных читателей — одним она может

Введение
7

показаться интересной с историко-химической точки зрения, а других,
возможно, заинтересует физико-математическая сторона проблемы. Автор же имел в виду любознательного читателя — студента физического
или химического факультета, не чуждого математики и увлеченного
историей науки. Есть ли такие студенты? Точного ответа на этот вопрос
автор не знает, но, исходя из собственного опыта, надеется, что — есть.
Закончим настоящее введение формулировкой и решением задачи,
имеющей отношение к понятию фундаментальных физических постоянных. Можно считать ее шуточной, но, как говорят, «в каждой шутке —
только доля шутки».

Задача

Пристальный взгляд на таблицу универсальных физических констант показывает, что примерно 30% из них имеет первой значащей цифрой единицу (этот результат не зависит от выбора системы единиц!). Почему?

Решение

В отсутствие общей теории всего сущего будем считать универсальные константы случайными величинами x, распределенными в некотором интервале (0, M), где M ≫ 1. Хотя функция распределения f(x)
этих величин неизвестна, ясно, что в этом интервале они распределены неравномерно, т. е. f(x) ̸= const = 1/M. Действительно, если бы это
было так, то вероятность того, что константа попадет в близкий к нулю
интервал [0, a], где a ≪ 1, была бы равна

pa =

a
0

f(x) dx = a

M ≪ 1,

т.е. чрезвычайно мала. Однако реально это не так (см. таблицу, в которой
n ∼ lg x — десятичный порядок соответствующей физической константы).
Из таблицы видно, что число «малых» и «больших» физических констант примерно одинаково. Иными словами, число констант в интервалах 10n–10n+m, 10n+m–10n+2m, 10n+2m–10n+3m, . . . , содержащих одинаковое число декад (n, m — целые числа), примерно одинаково, т. е. не
зависит от n. Это, в частности (при m = 1), означает, что

10n+1
10n
f(x) dx = const .

Введение

Таблица

Физическая константа
n (в системе СИ)

Постоянная Планка h
−34

Магнетон Бора µB
−24

Постоянная Больцмана k
−23

Заряд электрона e
−19

Гравитационная постоянная G
−11

Постоянная Стефана–Больцмана σ
−8

Постоянная тонкой структуры α
−3

Отношение масс протона и электрона mp/me
+3

Постоянная Ридберга R∞
+7

Скорость света c
+8

Удельный заряд электрона e/me
+11

Отношение Джозефсона 2e/h
+14

Число Авогадро NA
+23

Последнее, как легко проверить, справедливо только, если f(x) ∼ 1/x.
При этом доля p(1) физических констант, начинающихся с цифры 1, в
каждой декаде (а, значит, и во всем интервале 0 < x < M) равна

p(1) =

2
Z

1
f(x) dx

10
Z

1
f(x) dx

=

2
Z

1
(1/x) dx

10
Z

1
(1/x) dx

= lg 2 ≈ 0,3,

что соответствует «эксперименту».
Вообще, доля p(a) физических констант, начинающихся с цифры a
(a = 1, 2, . . . , 8, 9), равна

a+1
Z

a
(1/x) dx

10
Z

1
(1/x) dx

= lg(1 + 1/a)

и составляет p(2) ≈ 0,175, p(3) ≈ 0,125, . . . , p(9) ≈ 0,03. Таким образом,
число физических констант, начинающихся с цифры 9, в десять раз
меньше числа констант, начинающихся с цифры 1.
Примечание. В официальной издании «Фундаментальные физические константы» (ГСССД 1-87. М., 1989) приведена таблица, содержащая 103 числа. Из них 38 имеют первой значащей цифрой единицу.

ЕДИНСТВЕННЫЙ ТЕОРЕТИК
СРЕДИ ФИЗИКОВ

Постоянные Авогадро и Лошмидта, упомянутые во введении, возникли в поисках ответа на вопрос «Как устроено вещество?».
На решение этой фундаментальной проблемы людям понадобилось около двух тысяч лет. Первые две, взаимно исключающие друг друга, идеи
о строении материи возникли еще в глубокой древности: согласно одной
из них вещество непрерывно и состоит из неких «первичных» элементов (в разные времена это были, например, земля, вода, свет и воздух
или же ртуть и сера — носители качеств металличности и горючести,
соответственно). Другая гипотеза — все тела состоят из малых, более
не делимых частиц — атомов, или элементов. Последние Аристотель
определял так: «Элементом называется то основное в составе вещи,
из чего вещь слагается, причем оно не делится дальше.» Правильный
ответ мог быть, конечно, найден только экспериментальным путем, однако соответствующие научные методы и технологии возникли лишь в
конце XVIII века.
Первую научную гипотезу строения материи из «элементов» предложил английский ученый Р. Бойль, который установил (1662 г.) самый
первый газовый закон, связывающий давление газа p и его объем V
простым соотношением pV = const. Он ввел в науку понятие «химического элемента как простого тела, не составленного из других». Однако Бойль не привел никаких разумных научных аргументов в пользу существования элементарных «корпускул» и не представил никаких
соображений относительно причин, заставляющих эти «элементы» соединяться друг с другом.
Ответ на последний вопрос попытался дать И. Ньютон (1704 г.):
«Частицы всех однородных тел, плотно соприкасающихся друг с другом, очень сильно сцепляются... они притягивают одна другую с некоторой силой, которая очень велика при непосредственном соприкосновении..., но не простирается со значительным действием на большие
расстояния.»

Единственный теоретик среди физиков

Первую классификацию «элементов» дал А. Лавуазье в своем знаменитом «Элементарном курсе химии» (1789 г.). Он разделил все элементы на «простые» (кислород, азот, водород), «простые неметаллические»
(например, сера, фосфор, углерод) и «простые металлические» (всего
15 элементов, среди которых железо, золото, платина, медь и т. д.) Однако к «простым элементам» он еще относил свет и теплород. Именно
А. Лавуазье установил, что воздух (считавшийся ранее одним из «первичных» элементов) вовсе не является простым телом, а представляет
собой смесь газов. «Стремление считать все тела состоящими из трех
или четырех элементов — это заблуждение, перешедшее к нам от греческих философов», — писал он.
Но истинным основателем химической атомистики стал Джон Дальтон1, который открыл и сформулировал замечательный закон кратных
отношений чисел атомов (1805–1808 гг.), согласно которому атомы соединяются друг с другом в простых числовых отношениях или, иными
словами, атомный состав сложных веществ представляется отношениями небольших целых чисел: 1 : 1, 1 : 2 и т. п. Это позволило Дальтону определить относительные (по отношению к водороду) атомные и
молекулярные массы веществ. (В настоящее время относительной молекулярной или атомной массой вещества называют отношение массы
молекулы или атома данного вещества к 1/12 массы атома углерода 12C.)
Дальтон составил первую таблицу относительных атомных масс
элементов. Он, однако, еще ошибочно считал все газы одноатомными, и полагал, например, что вода имеет химическую формулу ОН,
а аммиак — NH. В 1808 г. в своей знаменитой книге «Новая система
химической философии» Дальтон писал: «Попытка оценить число частиц в атмосфере несколько напоминает попытку оценить число звезд
во Вселенной; эта мысль подавляет нас. Но если мы сузим вопрос,
взяв данный объем какого-либо тела, то мы убеждаемся, что как бы
глубоко не было произведено разделение, число частиц должно быть
конечным». Это очень важная постановка вопроса, стоящего на повестке дня — каково же число атомов в заданном объеме?
В том же 1808 г. М. Гей-Люссак экспериментально открывает закон
простых объемных отношений. По этому закону объемы участвующих
в реакции газов и продуктов их реакции находятся в простых кратных

1Дальтон известен как автор многих замечательных открытий в области
химии и физики (и в частности, как первооткрыватель явления неразличения глазом определенной части светового спектра — «дальтонизма», которым
он сам страдал). На стене дома, в котором он родился (английский городок
Иглсфилд, графство Кумберленд) висит мемориальная доска: «Джон Дальтон
(1776–1844 гг.), открывший атомную теорию».

Единственный теоретик среди физиков
11

отношениях. Так, соединение 2 л водорода и 1 л кислорода дает 2 л водяных паров. Экспериментальный, надежно установленный закон ГейЛюссака не следовал из атомистической теории Дальтона, что привело
к «разброду и шатаниям» среди ученых того времени.
Выход из этого неопределенного положения был указан итальянским ученым Амедео Авогадро, который «примирил» обе теории. В 1811 г.
он ввел в науку совершенно новое понятие молекулы как соединения
атомов. Это было очень смелое предложение! Еще сомнительна сама
гипотеза существования атомов, а Авогадро формулирует идею о молекулярном строении вещества. Он, в частности, говорит: «Необходимо
...принять, что имеются ...очень простые соотношения между объемами газообразных веществ и числом молекул, из которых они состоят.
Гипотеза, которая в этом отношении напрашивается в первую очередь
и кажется единственно приемлемой, состоит в том, что число молекул
всегда одно и то же в одинаковых объемах любых газов или всегда
пропорционально объемам» (разумеется, при одинаковых параметрах —
давлении и температуре). Эта гипотеза естественным образом объясняла результаты Гей-Люссака: содержащееся в 2 л водорода число частиц
в соединении с частицами, содержащимися в 1 л кислорода, дает 2 л
молекул водяных паров с формулой H2O.
Основным и важнейшим следствием гипотезы Авогадро является
закон, согласно которому равные объемы любых газов при одинаковых температуре и давлении содержат одинаковое число молекул.
Этот вывод прямо свидетельствует о дискретном строении вещества.
Авогадро впервые указывает, что число молекул в ограниченном объеме
конечно. С этого момента одной из первоочередных задач экспериментальной физики XIX в. стало измерение этого числа. При жизни Авогадро его гипотеза не получила должного признания. Возможно, это
произошло потому, что сам ученый не был химиком-экспериментатором и поэтому не мог сам доказать свое предположение. По замечанию
М. Планка, «он был в то время единственным теоретиком среди физиков». Признание заслуг пришло к Авогадро только на I Международном
конгрессе химиков в 1860 г., спустя 4 года после его смерти.
Идеи Авогадро позволили ввести понятие моля2, который сегодня
определяется как количество вещества, содержащее столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в 12 г углерода-12 (чуть
менее точно — в 1 г атомарного водорода). Этими структурными элементами могут быть атомы, молекулы, ионы, электроны и другие частицы.
Например, масса 1 моля лития (относительная атомная масса 7) равна

2Термин предложен В. Оствальдом в 1902 г.