Процессы и стратегии восстановления с изменяющимися функциями распределения в теории надежности

Министерство образования и науки Российской Федерации

Сибирский федеральный университет

И. И. Вайнштейн

ПРОЦЕССЫ И СТРАТЕГИИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ

С ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ФУНКЦИЯМИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

Монография

Красноярск

СФУ
2016

УДК 51 – 7
ББК 22.17

В141

Рецензенты: И. П. Олегин, доктор технических наук, профессор
кафедры «Прочность летательных аппаратов» Новосибирского государственного технического университета;

К. В. Сафонов, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой прикладной математики Сибирского государственного
аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева

В141 Вайнштейн, И. И.

Процессы и стратегии восстановления с изменяющимися функциями распределения в теории надежности : монография / И. И. Вайнштейн. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2016. – 192 с.

ISBN 978-5-7638-3506-9

Рассмотрены процессы и стратегии восстановления в теории надежности, задавае
мые случайными величинами с изменяющимися функциями распределения. Основное вни
мание уделено изучению функции восстановления и ее минимизации, задачам нахождения

оптимальных стратегий восстановления по критериям минимума интенсивности затрат и

максимума коэффициента готовности. Приведены интегральные уравнения для функций

восстановления рассматриваемых моделей, их решения для распределений, характерных

в приложении теории надежности (экспоненциального, Эрланга и Вейбулла – Гнеденко),

описано асимптотическое поведение характеристик процесса восстановления. Рассмотрены

условия на параметры функций распределения и на стоимости восстановлений (аварийных

и профилактических), при которых следует проводить стратегии с профилактикой. Пред
ложены численные методы решения рассматриваемых в монографии задач, дано описание

программы, реализующей эти методы.

Предназначена для научных работников, инженеров-практиков, прикладных мате
матиков, занимающихся вопросами оптимального технического обслуживания сложных

систем. Будет полезна преподавателям, студентам и аспирантам при изучении математи
ческой теории надежности.

Электронный вариант издания см.:
http://catalog/sfu-kras/ru
УДК 51 – 7
ББК 22.17

ISBN 978-5-7638-3506-9
c⃝
Сибирский федеральный
университет, 2016

Оглавление

Введение
6

1. Общие сведения
10

1.1. Надежность элемента
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

1.2. Преобразования Лапласа и Лапласа – Стилтьеса . . . . .
13

1.3. Интенсивность отказов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15

1.4. Законы надежности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

1.5. Надежность системы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26

2. Теория восстановления. Модели процессов восстановления
31

2.1. Процесс восстановления. Функция восстановления . . . .
31

2.2.
Простой и общий процессы восстановления
. . . . . . .
33

2.2.1.
Асимптотическое (при t → ∞) поведение некоторых характеристик общего процесса восстановления 40

2.3. Процесс восстановления k-го порядка . . . . . . . . . . .
42

2.3.1.
Функция восстановления процесса k-го порядка
при экспоненциальном распределении наработок .
44

2.4. Периодический процесс восстановления k-го порядка
. .
46

2.5. Процесс восстановления порядка (k1, k2) . . . . . . . . . .
49

2.6. Асимптотическое
поведение
функции
восстановления
процесса порядка (k1, k2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
52

2.7. Предельное распределение числа восстановлений процесса порядка (k1, k2) при t → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . .
58

2.8. Функция восстановления периодического процесса третьего порядка при экспоненциальном распределении наработок
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62

2.9.
Альтернирующие процессы восстановления
. . . . . . .
65

3

2.10. Представление n-кратных сверток функций распределения в виде кратных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72

2.11. Функция восстановления процесса k-го порядка при наработках, распределенных по закону Вейбулла – Гнеденко .
76

2.12. Функция восстановления периодического процесса восстановления k-го порядка при наработках, распределенных
по закону Вейбулла – Гнеденко . . . . . . . . . . . . . . .
78

2.13. Функция восстановления простого процесса при наработках, распределенных по закону Максвелла
. . . . . . . .
86

2.14. Функции восстановления H0(t) и H1(t) альтернирующего
процесса второго порядка при экспоненциальном распределении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88

2.15. Статистическое нахождение функции распределения и ее
параметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91

2.15.1. Метод моментов получения точечных оценок неизвестных параметров смеси двух распределений Эрланга порядка n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95

2.15.2. Метод моментов получения точечных оценок неизвестных параметров смеси двух нормальных распределений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98

3. Стратегии восстановления
104

3.1. Основные стратегии восстановления . . . . . . . . . . . .
104

3.2. Интенсивность затрат. Коэффициент готовности . . . . .
106

3.3. Стратегия Cc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108

3.3.1.
Стратегия Cc при распределении наработок по закону Эрланга порядка n . . . . . . . . . . . . . . .
111

3.3.2.
Стратегия Cc при распределении наработок по закону Вейбулла – Гнеденко . . . . . . . . . . . . . .
113

3.4.
Обобщенная стратегия Cco . . . . . . . . . . . . . . . . .
114

3.4.1.
Стратегия Cco при распределении наработок по
экспоненциальному закону
. . . . . . . . . . . . .
118

3.4.2.
Сравнение стратегий Cco и Cc . . . . . . . . . . . .
120

3.5. Процесс восстановления порядка (k1, k2) с учетом стоимости восстановлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121

3.6. Стратегия Cb при процессе восстановления порядка (k1, k2)128

4

3.6.1.
Стратегия Cb для процесса восстановления k-го порядка при экспоненциальном распределении наработок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131

3.6.2.
Стратегия Cb для простого процесса восстановления при распределении Эрланга
. . . . . . . . . .
133

3.7. Коэффициент готовности стратегии Cc
. . . . . . . . . .
137

3.7.1.
Стратегии Ca, Cb, Cc для простого процесса, образованного смесью двух экспоненциальных распределений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142

3.8. Оптимизация порядка замен по минимуму среднего числа
отказов при процессе восстановления порядка (k1, k2) . .
144

4. Численные методы вычисления сверток функций распределения наработок и функции восстановления процесса
восстановления порядка (k1, k2)
150

4.1. Квадратурные формулы вычисления сверток любого порядка
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151

4.2. Методы приближенного вычисления функции восстановления
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155

Приложения
159

Приложение 1. Квадратурная формула Гаусса вычисления ин
теграла
τ∫

0
¯F(t)dt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159

Приложение 2. Описание программы
. . . . . . . . . . . . . .
162

Приложение 3. Примеры расчетов по программе . . . . . . . .
175

Приложение 4.Точность вычисления функции восстановления
182

Список литературы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184

5

Введение

В настоящее время научно-технические задачи обеспечения высокой надежности работающих систем имеют важное значение. Отказы
(имеющие, как правило, случайный характер) могут приводить к значительным техническим, экономическим, экологическим негативным и
даже катастрофическим последствиям.

Основные характеристики надежности систем или отдельных элементов закладываются при проектировании и производстве. Одной из
возможностей обеспечения необходимых показателей надежности и эффективности работы системы является выбор и проведение оптимальной стратегии восстановления (эксплуатации) с учетом структуры взаимодействия всех ее элементов.

Теория восстановления изучается в теории вероятностей, математической статистике, теории случайных процессов, а также в математической теории надежности. Она излагается в известных учебниках по
теории вероятностей А. А. Боровков [7], Б. В. Гнеденко [29], В. Феллер
[39], где рассматривается процесс восстановления с неизменяющимися
функциями распределения.

В монографии описана теория восстановления с изменяющимися
функциями распределения.

В математической теории надежности при простом процессе восстановления после отказа элемента происходит его полное восстановление – функция распределения наработки элемента до отказа после
каждого восстановления не меняется.

Эта модель хорошо изучена и изложена в монографиях: Б. В. Гнеденко, Ю. К. Беляев, А. Д. Соловьев [30]; Е. Ю. Барзилович, Ю. К.
Беляев, В. А. Каштанов, И. Н. Коваленко, А. Д. Соловьев, И. А. Ушаков [3]; Д. Кокс, В. Смит [32]; Р. Барлоу, Ф. Прошан [4]; Ф. Байхельт,
П. Франкен [2]; Ю. К. Беляев, В. А. Богатырев, В. В. Болотин [35]; W.
Feller [46,47]; W. L. Smith [51,53] и др.

6

Однако в реальных условиях (влияние внешней среды, большая
возможность выбора заменяемых элементов с различной ценой и качеством) в процессе эксплуатации функции распределения или входящие
в них параметры могут меняться.

Имеются модели процесса восстановления, обобщающие простой
процесс, в которых на функции распределения, задающие процесс восстановления, накладываются различные дополнительные условия. Так
в [45,48 – 50,54] рассматриваются модели, в которых после очередного
восстановления дополнительно вводится так называемый виртуальный
возраст элемента – случайная величина, зависящая специальным образом от предшествующей истории процесса восстановления. Например,
после отказа восстановленный элемент лучше чем отказавший, но хуже чем новый, что соответствует случаю гарантийного ремонта. В [42 –
44] изучаются модели, в которых полные восстановления проводятся с
вероятностью p и с вероятностью q минимальные (p + q = 1).

В монографии рассматриваются модели процессов и стратегий восстановления, когда все восстановления полные лишь после определенного числа отказов от начала эксплуатации, а также, когда в соответствии
с регламентом эксплуатации система возвращается в первоначальное
состояние после фиксированного числа восстановлений (необязательно
полных), что приводит к периодически повторяющимся в процессе эксплуатации циклам.

Для таких моделей с изменяющимися функциями распределения
рассмотрены задачи нахождения функции восстановления, оптимизации процессов восстановления по критерию минимума среднего числа
отказов и нахождения оптимальных стратегий по критериям минимума интенсивности эксплуатационных затрат и максимума коэффициента готовности. Представлены аналитические и численные (с описанием
программы) методы решения этих задач.

В первой главе приводятся общие сведения из теории вероятностей
и математической теории надежности.

Во второй главе рассматриваются модели процессов восстановления с изменяющимися функциями распределения: процесс k-го порядка,
периодический процесс k-го порядка и процесс восстановления порядка (k1, k2). Приводится вывод интегральных уравнений для функций
восстановления этих моделей и их интегральных представлений через
функции восстановления более простых моделей. Выводятся формулы

7

асимптотического поведения функции восстановления. Приведено доказательство сходимости распределения числа отказов при t → ∞ к нормальному закону. Приведены примеры нахождения в явном виде функции восстановления для частных случаев рассматриваемых моделей при
экспоненциальном распределении наработок и их смеси путем решения
интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа – Стилтьеса. Выведены формулы разложения n-кратных сверток функций
распределения в степенные ряды специального вида. Для распределений Вейбулла – Гнеденко и Максвелла получены представления функций восстановления в виде таких рядов и приводится доказательство
сходимости ряда для распределения Вейбулла – Гнеденко. Для смеси
двух распределений Эрланга порядка n методом моментов получены
явные формулы точечных оценок, входящих в смесь трех неизвестных
параметров. Для смеси двух нормальных распределений разработан алгоритм численного нахождения методом моментов точечных оценок пяти неизвестных параметров, входящих в смесь. Алгоритм реализуется
с использованием пакета Maple.

В третьей главе рассматриваются стратегии восстановления, связанные с проведением аварийных и профилактических восстановлений
для рассмотренных во второй главе процессов. Рассмотрены задачи нахождения оптимального времени проведения профилактических восстановлений по критерию минимума интенсивности затрат или максимума коэффициента готовности. Для экспоненциального распределения и
распределения Эрланга любого порядка и их смесей приводятся условия, при которых оптимальны стратегии с проведением профилактических восстановлений. Рассмотрена задача нахождения оптимального
порядка замен элементов при процессе восстановления порядка (k1, k2)
по критерию минимума среднего числа отказов и ее решение для распределений: экспоненциального, Эрланга любого порядка, Вейбулла –
Гнеденко, Максвелла, Релея, логарифмически нормального и Гаммараспределения. Рассмотрен процесс восстановления с учетом стоимости
восстановлений.

В четвертой главе приводятся квадратурные формулы численного
вычисления n-кратных сверток функций распределения и численные
методы приближенного нахождения функции восстановления.

В приложении 1 приводится метод Гаусса для приближенного вычисления интеграла с переменным верхним пределом от функций рас
8

пределения.

В приложении 2 описывается программный продукт [22], реализующий численные методы решения основных задач, рассмотренных в
монографии.

В приложении 3 при распределениях наработок по законам Вейбулла – Гнеденко, Эрланга и экспоненциальном рассмотрены примеры
численного решения с помощью программы задач нахождения функции
восстановления, оптимального времени проведения профилактических
восстановлений по критерию минимума интенсивности затрат и оптимального порядка проведения замен по критерию минимума среднего
числа отказов.

В приложении 4 приводятся оценки точности вычисления функции
восстановления с помощью программы на тестовом примере.

Изучаемые в монографии вопросы во многих случаях иллюстрируются примерами.

Монография написана под влиянием монографии Ф. Байхельта и
П. Франкена «Надежность и техническое обслуживание. Математический подход» [2]. Ряд определений, результатов, рисунков и примеров
заимствован из этой работы. Также использованы материалы из учебного пособия «Прикладная математика» [26] автора И. И. Вайнштейна и диссертаций В. И. Вайнштейна «Математическое и программное
обеспечение оптимизации проведения профилактических восстановлений при эксплуатации информационно-вычислительных систем» [11] и
О. О. Шмидт «Обобщенная модель процесса восстановления в теории
надежности использования информационных технологий» [41].

Автор благодарит своих коллег В. И. Вайнштейна, Г. Е. Михальченко и О. О. Шмидт как за совместную, так и за самостоятельную
работу в получении результатов, отраженных в монографии.

9

Глава 1

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1.
Надежность элемента

Наработкой элемента называется время его работы до первого отказа. Отказ – событие, заключающееся в нарушении работоспособности элемента. Работоспособность – состояние элемента,
при котором он способен выполнять заданные функции, сохраняя значения основных параметров в пределах, установленных нормативнотехнической документацией [35]. Так как причины отказов разнообразны (изменение условий эксплуатации, изменение рабочих характеристик, влияние человеческого фактора) и проявляются они неоднозначно, наработка является случайной величиной. Будем обозначать ее
через X (X ≥ 0).

Пусть
F(t) = P(X ≤ t),
t ≥ 0,
lim
t→0 F(t) = 0
(1.1)

функция распределения случайной величины X. Она определяет
вероятность того, что отказ элемента произойдет до момента t и называется вероятностью отказа.

Функция

F(t) = P(X > t) = 1 − P(X ≤ t) = 1 − F(t)
(1.2)

называется вероятностью безотказной работы (рис. 1.1). Она
определяет вероятность того, что на отрезке [0, t] не наступит отказ
элемента.

10

Рис. 1.1. Характерный график функции F(t)

В дальнейшем предполагается, что у рассматриваемых случайных
величин существует непрерывная на (0, +∞) плотность вероятности
f(t), f(t) = F ′(t).

Чтобы не вводить интеграл Стилтьеса, везде:

t
∫

0
y(x)dG(x) =

t
∫

0
y(x)G′(x)dx.

Пусть у случайной величины X существует математическое ожидание (средняя наработка до отказа) :

E(X) =

∞
∫

0
tf(t)dt.

Имеем

E(X) =

∞
∫

0
tf(t)dt = −

∞
∫

0
td(1 − F(t)) =]

= −

∞
∫

0
tdF(t) = −tF(t)



∞

0

+

∞
∫

0

F(t)dt =

∞
∫

0

F(t)dt.

Здесь учтено, что lim
t→∞ tF(t) = 0. Это следует из неравенства

∞
∫

A

tf(t)dt ≥ A

∞
∫

A

f(t)dt = A(

∞
∫

0
f(t)dt −

A
∫

0
f(t)dt) =

11

= A(1 − F(A)) = AF(A), A > 0

и что

lim
A→∞

∞
∫

A

tf(t)dt = 0.

Последнее следует из существования несобственного интеграла
∞∫

0
tf(t)dt

при определении математического ожидания.

Таким образом,

E(X) =

∞
∫

0

F(t)dt.
(1.3)

Для дискретной случайной величины X, принимающей значения
xi с вероятностью pi = P(X = xi), i = 1, 2, . . . , n:

E(X) =

n
∑

i=1
pixi.

Дисперсия D(X) = E(X − E(X))2 =
∞∫

0
(x − E(X))2dF(x) =

E(X2) − E2(X).

Среднее квадратическое отклонение σ(X) =
√

D(X).

Через (F1 ∗ F2)(t) будем обозначать свертку двух функций распределения случайных величин X1 и X2. В общем случае, когда случайные величины X1 и X2 не обязательно наработки:

(F1 ∗ F2)(t) =

+∞
∫

−∞
F1(t − x)dF2(x) =

+∞
∫

−∞
F2(t − x)dF1(x).

В случае независимых случайных величин X1 и X2, когда для всех t1, t2:

P(X1 ≤ t1, X2 ≤ t2) = P(X1 ≤ t1)P(X2 ≤ t2),

свертка (F1 ∗ F2)(t) задает функцию распределения их суммы.

Если X1 и X2 – случайные наработки, то

(F1 ∗ F1)(t) =

0
∫

−∞
F1(t − x)d0 +

∞
∫

0
F1(t − x)dF2(x) =

12

=

t
∫

0
F1(t − x)dF2(x) +

∞
∫

t
0dF2(x) =

t
∫

0
F1(t − x)dF2(x).

Здесь учтено,что F1(t) = 0 и F2(t) = 0 при t < 0.

Функция распределения суммы n независимых случайных наработок X1, X2, . . . , Xn определяется n-кратной сверткой их функций
распределения, задаваемой соотношением

F (n)(t) = (F (n−1) ∗ Fn)(t), F (1)(t) = F1(t),
(1.4)

Fn(t) – функция распределения наработки Xn.

Если H(t) произвольная функция, такая что H(t) = 0 при t ≤ 0,
а F(t) – функция распределения наработки, то

(H ∗ F)(t) =

t
∫

0
H(t − x)dF(x).

1.2.
Преобразования Лапласа и Лапласа – Стилтьеса

Пусть функция F(t) удовлетворяет условиям:
- F(t) кусочно-непрерывна на полупрямой [0, ∞),
- F(t) = 0 при t ≤ 0,
- для всех t ≥ 0 удовлетворяет неравенству

|F(t)| < Ceat,
C, a − положительные постоянные.

Преобразование Лапласа F(s) функции F(t) определяется по
формуле [34]

F(s) =

∞
∫

0
e−stF(t)dt.
(1.5)

Преобразование Лапласа – Cтилтьеса
F ∗(s) функции F(t)
определяется по формуле [2,29]

F ∗(s) =

∞
∫

0
e−stdF(t).
(1.6)

13