Математическое моделирование ударных течений идеального и вязкого теплопроводного газа на основе дискретно-аналитического подхода

Оглавление 

1 

Министерство образования и науки Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
А. Л. Адрианов 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ  МОДЕЛИРОВАНИЕ 
УДАРНЫХ  ТЕЧЕНИЙ  ИДЕАЛЬНОГО  И  ВЯЗКОГО 
ТЕПЛОПРОВОДНОГО  ГАЗА  НА  ОСНОВЕ 
ДИСКРЕТНО-АНАЛИТИЧЕСКОГО  ПОДХОДА 
 
 
Монография 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2016 

Оглавление 

2 

УДК 533.6.011.6.001.573 
ББК 22.253.33 
       А325 
 
 
 
 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
В. К. Андреев, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом дифференциальных уравнений механики Института 
вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск);  
В. М. Ковеня, доктор физико-математических наук, профессор, 
главный научный сотрудник лаборатории математического моделирования федерального бюджетного учреждения науки Института вычислительных технологий  СО РАН (Новосибирск)  
 
 
 
 
 
 
 
Адрианов, А. Л.  
А325           Математическое моделирование ударных течений идеального   
и вязкого теплопроводного газа на основе дискретно-аналитического 
подхода : монография / А. Л. Адрианов. – Красноярск : Сиб. федер. 
ун-т, 2016. – 216 с.  
ISBN 978-5-7638-3365-2  
 
Представлены результаты математического моделирования двумерных 
стационарных сверхзвуковых течений со схематизацией (выделением) скачков 
уплотнения и других газодинамических особенностей. Дискретно-аналитические 
алгоритмы могут использоваться при конструировании и оптимизации устройств, энергетических установок с ударными газодинамическими процессами.  
Предназначена научным и инженерно-техническим работникам, аспирантам и студентам, специализирующимся в области газовой динамики.  
 
 
Электронный вариант издания см.: 
http://catalog.sfu-kras.ru 
УДК 533.6.011.6.001.573  
ББК 22.253.33 
 
ISBN 978-5-7638-3365-2                                                            © Сибирский федеральный  
                                                                                                          университет, 2016 

Оглавление 

3 

 
ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
 
СПИСОК  СОКРАЩЕНИЙ ................................................................................ 5 
 
СПИСОК  ОБОЗНАЧЕНИЙ  ФИЗИЧЕСКИХ  
И  МАТЕМАТИЧЕСКИХ  ВЕЛИЧИН.............................................................. 6  
 
ВВЕДЕНИЕ .......................................................................................................... 9 
 
Г л а в а  1.  ОБОБЩЕННЫЕ  СООТНОШЕНИЯ  НУЛЕВОГО  
                     И  ПЕРВОГО  ПОРЯДКА  НА  КРИВОЛИНЕЙНОМ 
                     СКАЧКЕ УПЛОТНЕНИЯ ........................................................... 19 
1.1. Основные допущения и их обоснование ........................... 20 
1.2. Вывод соотношений ............................................................ 22 
1.3. Матричная форма записи обобщенных  
       дифференциальных соотношений и их анализ ................. 29 
 
Г л а в а  2.  ИСКЛЮЧЕНИЕ  КРАЕВОГО  ЭФФЕКТА  
                     И  МОДЕЛЬНАЯ  КРИВИЗНА   
                     СКАЧКА  УПЛОТНЕНИЯ  В  НЕРАВНОМЕРНОМ   
                     ПОТОКЕ  ИДЕАЛЬНОГО  ГАЗА .............................................. 36 
2.1. Дифференциальные соотношения  
       на криволинейном скачке уплотнения и сохраняемый  
       левый комплекс на слабом разрыве ................................... 37 
2.2. Правый комплекс на скачке уплотнения.  
       Вывод исключающего условия .......................................... 43 
2.3. Модельная задача о взаимодействии скачка  
       уплотнения с тонким вихревым слоем .............................. 46 
2.4. Рефракционная кривизна скачка уплотнения.  
       Усечённая модель течения за скачком .............................. 49 
2.5. Вычислительный алгоритм и результаты  
       математического моделирования ....................................... 50 
 
Г л а в а  3.  ЗАМЫКАНИЕ  ОДС  С  ПОМОЩЬЮ  
                    ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ  СВЯЗИ.............................................. 56 
3.1. Универсальный способ задания краевого эффекта  
       в форме расширенной дифференциальной связи ............. 57 

Оглавление 

4 

3.2. Исключающее условие и его дифференциальное  
       следствие в неравномерном потоке вязкого  
       теплопроводного газа .......................................................... 73 

Г л а в а  4.  МАТЕМАТИЧЕСКОЕ  МОДЕЛИРОВАНИЕ  
                    УДАРНЫХ  ТЕЧЕНИЙ  ВЯЗКОГО  
                    ТЕПЛОПРОВОДНОГО  ГАЗА  НА  ОСНОВЕ  
                    АСИМПТОТИЧЕСКОЙ  МОДЕЛИ ............................................ 77 
4.1. Вязкая постановка задачи о взаимодействии скачка  
       уплотнения со сдвиговым слоем ........................................ 78 
4.2. Основные допущения и анализ различных подходов ...... 81 
4.3. Применение ОДС. Постановка задачи с явным учётом  
       фактора вязкости-теплопроводности ................................. 83 
4.4. Вычислительный алгоритм для частного случая –  
       интегрирования невязких уравнений. Два способа  
       определения решения на скачке ......................................... 85 
4.5. Вычислительный алгоритм для общего случая –  
       интегрирования вязких уравнений  
       без нормализации системы ................................................. 88 
4.6. Математическое моделирование проникновения  
       скачка уплотнения в сдвиговый слой. Сравнительный  
       анализ результатов по различным моделям ...................... 93 

Г л а в а  5.  МЕТОД ЧИСЛЕННОГО  МОДЕЛИРОВАНИЯ  
                    ДВУМЕРНЫХ  СТАЦИОНАРНЫХ  
                    СВЕРХЗВУКОВЫХ  ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ  ТЕЧЕНИЙ  
                    С  МНОЖЕСТВОМ  РАЗРЫВОВ ............................................. 114 
5.1. Вводная часть ..................................................................... 115 
5.2. Конструкция полной расчётной сетки  
       и комбинаторные операции над множеством  
       её нерегулярных (лагранжевых) узлов ............................ 122 
5.3. Расчёт гладкой части течения ........................................... 126 
5.4. Расчёт течения в окрестностях разрывов  
       с учётом локального определения их формы ................. 127 
5.5. Выбор шага интегрирования ............................................ 140 
5.6. Интерференция, инициирование  
       и фильтрация разрывов. Другие особенности  
       вычислительного алгоритма ............................................. 143 
5.7. Математическое моделирование  
       газодинамических течений  
       с множественными взаимодействиями разрывов ........... 150 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................................... 209

Оглавление 

5 

 
СПИСОК  СОКРАЩЕНИЙ 
 
СУ – скачок уплотнения  
СЛР – слабый разрыв  
ВП – выделяемая поверхность разрыва газодинамических параметров  
КЭ – краевой эффект (за скачком уплотнения)  
Слой – сдвиговый слой  
ПС – пограничный слой  
ТВС – тонкий вихревой слой  
ВТ – вязкость-теплопроводность  
Фактор ВТ – фактор вязкости и механизм теплопроводности  
ДС – дифференциальные соотношения на скачке уплотнения (соотношения 1-го порядка)  
ОДС – обобщенные дифференциальные соотношения на скачке уплотнения (иначе – обобщенные соотношения 1-го порядка)  
РУ – рабочие уравнения (дифференциально-разностные уравнения, 
получающиеся в результате асимптотических преобразований)  
УЭ – уравнения Эйлера  
УНСВТ – уравнения Навье-Стокса вязкого теплопроводного газа  
УПС – уравнения пограничного слоя  
ВМВ – вихревая модель взаимодействия  
УВП – ударно-волновая поляра  
УП – ударная поляра (часть ударно-волновой поляры, исключающая 
ветви волны разрежения)  
МВР – метод выделения разрывов  
МСС – метод сквозного счета (разрывов)  
МХ – метод характеристик  
СХМ – сеточно-характеристический метод 

Список обозначений физических и математических величин 

6 

 
СПИСОК  ОБОЗНАЧЕНИЙ  
ФИЗИЧЕСКИХ  И  МАТЕМАТИЧЕСКИХ  
ВЕЛИЧИН 
 
W– вектор скорости  

p
v
c
c
γ =
 – показатель адиабаты (изэнтропы) 

p , p

∧
 – давления до и за скачком уплотнения (СУ) соответственно  
ρ – плотность  

(
)
1

p
h
γ

γ
ρ
=
⋅
−
 – энтальпия  

M, 
∧
M – числа Маха до и за СУ соответственно  

(
)
arcsin 1
α =
M
M  – угол Маха;  α

∧

M  – аналогичный угол Маха за СУ  

( )
Γ M , 
( )
∧
Γ M  – характеристический комплекс (термин и обозначения 
величин принадлежат В.Н.Ускову) до и за СУ  
Re∞ – число Рейнольдса невозмущенного потока  
(
)

1
2
Re
ε

−

∞
=
 – обратное число Рейнольдса (квадрат малого пара
метра ε)  
Pr – число Прандтля  

J
p
p
∧
=
, Λ = ln(J) – обычная и логарифмическая интенсивности СУ  
Js , Λs = ln(Js) – звуковая интенсивность СУ и ее логарифм 

(
1
s
J J

∧

=
=
M
) (здесь индекс s – sound – звуковой, термин и обозначения ве
личины принадлежат В. Н. Ускову);  
J∞ – начальная интенсивность падающего на слой СУ; в расчетах, как 
правило, выбирается как 
(
)

100%
%
%
st
t
J
J
∞
=
,  где аргумент 
%
t  – величина 

в % от логарифма Λs = ln(Js) звуковой интенсивности скачка  
χ 
– 
показатель 
направления 
сильного 
или 
слабого 
(или 
характеристики) разрыва  
x, y – продольная и поперечная декартовы (цилиндрические) 
координаты в сдвиговом слое  
δ = 0 (δ = 1) – «переключатель» плоский (осесимметричный)   

Список обозначений физических и математических величин 

7 

τ , τ

∧
 – одна и та же линия тока до и за СУ  
s, n– касательное и нормальное направления к линии тока  

(s, n), ( , )
s n
∧
∧  – локальные системы естественных (собственных)            
координат, связанные с линией тока и нормалью к ней до и за СУ 
соответственно  

s
τ, 
s
n– касательное и нормальное направления к СУ (здесь индекс s – 
shock wave – СУ)  

s
w
τ
≡
 – координата в продольном к СУ направлении (в отличие              
от модуля скорости W обозначена малой w)  

θ  и θ

∧
 – углы наклона линии тока (s) к оси OX декартовой (цилиндрической) системы координат XOY до и за СУ соответственно  

β
θ
θ
∧
=
−
 – угол преломления вектора скорости на СУ  

σ , σ
σ
β
∧
=
−
 – острый угол между вектором скорости Wи косым СУ 

(между sи 
s
τ) и аналогичный ему угол за СУ (между s

∧и 
s
τ); в случае 

слабого разрыва или характеристики σ
χα
=
M

θ
σ
θ
σ
∧
∧
Ω =
+
≡
+
 – угол наклона СУ ( s
τ) к оси OX декартовой (цилиндрической) системы координат XOY  

w
d
K
dw
Ω
=
, 

2

2
w
d
K
dw
Ω
′=
 – продольная кривизна СУ (в отличие от ради
альной кривизны  1/y  в осесимметричном случае (δ = 1)) и производная         
от нее  
Kν  – продольная кривизна СЛР (слабого разрыва)  

(
)
, ,
,
T
W
p h
θ
=
Φ
 – вектор основных газодинамических переменных, 
входящих в ОДС  

(
)
j n
Φ
, 
j
n
∧

∧
⎛
⎞
Φ
⎜
⎟
⎝
⎠
 – нормальные (по отношению к линии тока) произ
водные от соответствующих четырех компонент вектора Φ   

s
p ∧
∧
, 
n
p ∧
∧
, 
ss
p ∧∧
∧
, 
nn
p ∧ ∧
∧
 – первые и вторые производные от давления за 

СУ, вдоль линии тока и по нормали к ней  
A…G – исходные функциональные матрицы (векторы) коэффициентов ОДС  
N – вектор нелинейных слагаемых в ОДС  

Список обозначений физических и математических величин 

8 

(
)
,
1,2
4
1 4
,
,
i j
i
i
i
a
b a
=
=
=
…
A
 – матрица коэффициентов ОДС, преобразо
ванная подстановкой, исключающей нормальную производную от давления 

за СУ 
n
p ∧
∧
 (для удобства, обозначения преобразованных коэффициентов        

и самой матрицы A оставлены прежними)  

m

χ
−
∧
, b, c – «опорный коэффициент» и параметры расширенной диф
ференциальной связи  

,
,
,

T

w
n
n
n
W
K
h
θ
∧
∧
∧
∧
∧
∧
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
X
 – искомый неизвестный вектор производных 

за СУ (его 3-й компонентой вместо 
n
p ∧
∧

 после подстановки стала кривизна 

СУ – Kw)  

,
j
i
N
N
∧
 – «неравномерности течения» до и за СУ соответственно 
(термин и обозначения величин принадлежат В. Н. Ускову)  
Cj, Aji – коэффициенты при неравномерностях течения Ni (обозначение В. Н. Ускова)  

m

χ
∧

У , 
У
У
arctg(
)
m

χ
χ
α
∧
∧
=
 – коэффициент и угол Ускова  

Δ – малый сдвиг в коэффициенте m

χ
∧

У :  
(
)
У 1
;
0
m
χ
∧

± Δ
Δ >
 

Введение 

9 

Памяти моего Учителя – доктора технических наук,  
профессора  Владимира Николаевича Ускова 
 

 
ВВЕДЕНИЕ1 
 
 
Математическое моделирование ударных течений2 идеального (невязкого), а также вязкого теплопроводного газа при больших числах Рейнольдса на основе новых подходов, объединяющих положительные свойства численных и аналитических методов, имеет очевидную перспективу. 
Правильно сконструированный численно-аналитический метод-симбиоз 
может обладать значительно большей разрешающей способностью и (или) 
эффективностью при расчете газодинамических течений, содержащих 
скачки уплотнения (СУ), сдвиговые слои, а также их взаимодействия, чем 
отдельные представители классов численных и аналитических методов.  
Методы, построенные на основе такого симбиоза, способны дать новые 
сведения о деталях внутреннего устройства сложных двумерных, в частности, стационарных ударных газодинамических течений, выявить как раздельное, так и совместное влияние таких факторов, как неравномерность 
невозмущенного течения перед СУ, краевой эффект за ним, формируемый 

                                           
1 Результаты получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки 
РФ № 9.447.2014/к.  
2 Течения с переходом через фронт ударной волны (скачка уплотнения).  

Введение 

10 

догоняющими его возмущениями, вязкость-теплопроводность (ВТ), на 
исследуемый физический процесс. Под термином краевой эффект (КЭ) 
здесь понимается то, что он несет производный (дифференциальный) 
смысл от общепринятого термина «краевое (граничное) условие» применительно к задней поверхности скачка; КЭ имеет отношение к продолженной 
системе основных законов сохранения; необходимость введения данного 
термина разъясняется в первых двух главах.  
При численном моделировании ударных течений вязкого теплопроводного газа с большими числами Рейнольдса (Re∞), без схематизации СУ 
поверхностью сильного разрыва параметров [1–13], рассчитывая скачок 
сквозным образом, практически невозможно выделить вклад в реализующиеся за ним газодинамические параметры от действия внешних (!)           
(со стороны макротечения по обе стороны СУ вне ударного перехода)             
вязких напряжений и потока тепла [1, 2, 14–18].  
Другими словами, корректно отключить действие внешних фактора 
вязкости и механизма теплопроводности (фактора ВТ) исключительно на 
СУ, выявив при этом роль данного фактора в ударном процессе. Здесь              
и далее по тексту имеются в виду не схемные (численные), а физические 
внешние фактор вязкости и механизм теплопроводности, учет которых             
в контексте самой методики сквозного расчета ударных течений не столь 
принципиален. Среди основных достоинств методов сквозного счета3 
(МСС) необходимо отметить их универсальность, относительную простоту 
конструирования вычислительного алгоритма (его программной реализации) и, как следствие этого, некоторую надежность. Фактическая точность 
(без учета неизбежных аппроксимативных потерь на скачках), получаемая 
при использовании МСС, в большинстве случаев удовлетворяет практике, 
в связи с чем данное направление активно развивается (например, [19–27]).  
Справедливости ради, отметим, что часто хорошая выполнимость 
обычных условий на косом (прямом) СУ означает, что при больших Re∞ 
фактор ВТ на сильном газодинамическом разрыве [1–13] может и вовсе не 
учитываться, поскольку в интегральные формулы схематизированного 
ударного перехода он, если его берут во внимание, входит с малым параметром (см. гл. 1); градиенты величин по обе стороны СУ при этом предполагаются ограниченными. Более того, в частном случае равномерного по 
обе стороны СУ течения вклад фактора ВТ (внешнего!) в параметры ударного перехода будет полностью отсутствовать при любом Re∞ , поскольку 
отсутствуют внешние градиенты величин, а сам скачок при этом является 
плоским.  

                                           
3 Эти методы применительно к расчету течений с разрывами рассмотрены во вводной 
части гл. 5.  

Введение 

11 

Если выполнена схематизация СУ, то очевидно, что в общем случае 
неравномерного макротечения вне его криволинейной поверхности влияние фактора ВТ на параметры ударного перехода [12] должно корректно 
учитываться математической моделью уже при средних (~ 103) Re∞, вследствие чего возникает необходимость в использовании обобщенных условий4 на таком СУ [1, 2, 14–18]. Но даже и при схематизации СУ в рамках 
краевой постановки задачи (!) не представляется возможным проварьировать в широком диапазоне всевозможными КЭ, выявив их степень влияния 
на форму самого скачка, распределение параметров и их производных 
вдоль его задней поверхности, действие фактора ВТ [15–18]. Кроме того, 
численные методы решения систем уравнений Эйлера (УЭ) и НавьеСтокса вязкого теплопроводного газа5 (УНСВТ), ограниченный обзор       
и анализ которых содержатся в главах 4, 5, интегрированные в тот или 
иной коммерческий программный продукт, все еще требуют значительных 
вычислительных ресурсов, с чем, несмотря на появление суперЭВМ с петафлопной производительностью, нельзя не считаться.  
Проблемы, возникающие при численном моделировании ударных 
течений невязкого, а также вязкого теплопроводного газа, оказываются 
преодолимыми при использовании численно-аналитических методов             
и, в частности, дискретно-аналитического подхода [18]. Преимущества 
таких методов и соответствующих им подходов к решению задач сверхзвуковой аэрогазодинамики имеют немаловажное практическое значение: 
организация новых и оптимизация существующих рабочих физических 
процессов в энергетических установках, их выходных характеристик и, как 
следствие, сокращение сроков разработки и проектирования изделий для 
аэрокосмической промышленности.  
Уточним, что в настоящей монографии понимается под составным 
термином численно-аналитический метод (равно как и разностноаналитический метод, дискретно-аналитический подход). В общем случае 
под этим не следует понимать какой-либо метод, сконструированный        
на основе прямого (независимого) объединения численного (дискретного) 
и аналитического аппаратов, позволяющий построить некоторое «суммарное решение» той или иной задачи.  

                                           
4 С учетом фактора ВТ; см. гл. 1, 4.  
5 Другое, возможно более правильное, название этих уравнений – уравнения сжимаемого вязкого теплопроводного газа, без упоминания в названии авторов (Анри Навье, 
Джордж Стокс) более простых уравнений, описывающих динамику вязкого несжимаемого газа. Однако в современной научной литературе также распространен и приведенный термин.  

Введение 

12 

Однако в некоторых случаях аналитическое (в расширенном смысле6 [28, 29]) решение для ударного процесса строится именно путем «погружения» его в другое решение-источник, которое может определяться 
аналитическими зависимостями либо иметь численное происхождение – 
поле газодинамических величин, полученное из предварительного расчета 
и затабулированное с помощью гладких интерполянтов [31].  
Возможность получения аналитических решений в классическом 
смысле этого слова обычно сопряжена с упрощающими постановку задачи 
предположениями, рассмотрением отдельных частных случаев и т. п.       
Таким методам посвящена обширная литература, поскольку в докомпьютерную эпоху и даже при появлении первых относительно малопроизводительных ЭВМ массового использования эти методы и физический эксперимент являлись  основными инструментами в исследованиях сложных            
аэрогазодинамических процессов.  
Эти методы используются и совершенствуются по сегодняшний 
день, поскольку оказались работоспособными при математическом описании отдельных высокоградиентных ударных и безударных газодинамических процессов (например7, [1–13, 30]).  
В отличие от этого в проводимых исследованиях делаются лишь некоторые минимальные допущения, позволяющие как максимум осуществить редукцию краевой постановки задачи для рассчитываемого ударного 
течения в рамках УЭ или УНСВТ к задаче Коши для нелинейной системы 
ОДУ, которая затем решается уже численно.  
Окончательные рабочие уравнения этой системы получаются путем 
сложных математических выкладок с применением средств компьютерной 
алгебры8 [32, 33]: они являются точными лишь в газодинамическом отношении, а при учете фактора ВТ  приближенными асимптотическими уравнениями, содержащими к тому же элементы разностных аппроксимаций.  
К сожалению, такая система ОДУ не может быть приведена к нормальному виду и требует для своего численного интегрирования разработки нестандартных подходов [15, 18]. В любом случае об аналитических или 
точных решениях здесь можно говорить лишь в расширенном смысле [28, 29].  
Итак, под численно-аналитическим методом понимается методсимбиоз, сконструированный путем синтеза аппарата разностных схем        
и аналитического аппарата, применяемого локально (дискретно) на особенностях. При этом СУ представляются либо выделенными, либо схематизированными гладкой криволинейной поверхностью сильного газодинамического разрыва в зависимости от используемой математической модели 
                                           
6 Исходная краевая задача может быть сведена к соответствующей задаче для системы ОДУ.  
7 См. также ссылки на литературу к гл. 4, 5.  
8 Применялась система символьных преобразований на ЭВМ REDUCE.