Геометрия Лобачевского

В. В. Прасолов
Геометрия Лобачевского
МЦНМО

Независимый Московский Университет
Математический колледж
В. В. Прасолов
Геометрия Лобачевского
Электронное издание
МЦНМО
2014

УДК 514ю132
ББК 22.151.2
П70
Прасолов В. В.
Геометрия Лобачевского
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
88 с.
ISBN 978-5-4439-2034-4
Книга написана на основе курса лекций, читавшегося автором студентам первого курса Математического колледжа НМУ в осенних семестрах 1994{95, 1995{96, 1996{97 и 2002{03 учебных годов. Она содержит множество задач, предлагавшихся на семинарских занятиях.
В книгу также включены полные тексты письменных экзаменов по
этим курсам, а также по курсам О. В. Шварцмана (осенние семестры
1997{98 и 2001{02 учебных годов) и В. О. Бугаенко (осенний семестр
2000-01 учебного года). Некоторые из приведенных в книге задач снабжены решениями.
Подготовлено на основе книги: В. В. Прасолов. Геометрия Лобачевского. | 4-е изд., стереотип. | М.: МЦНМО, 2012.
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83
http://www.mccme.ru
ISBN 978-5-4439-2034-4
c
Прасолов В. В., 1995.
c
Бугаенко В. О., дополнение, 1995.
c
МЦНМО, 2014.

Оглавление
1. Сферическая геометрия
4
2. Проективная геометрия
10
3. Модели геометрии Лобачевского
18
4. Гиперболическая элементарная геометрия
27
5. Три типа собственных движений плоскости Лобачевского
36
6. Замощение треугольниками сферы, плоскости и плоскости Лобачевского
44
7. Фундаментальная область модулярной группы
48
8. Теорема Пуанкаре о фундаментальном многоугольнике
52
9. Пространство Лобачевского
57
10. Дополнение. Что такое ориентация?
64
Задачи письменных экзаменов
72
Решения избранных задач
83
Литература
88
3

1. Сферическая геометрия
Слово «геометрия» в переводе с греческого означает «землемерие» или
«измерение земли». При таком толковании этого слова естественно считать, что геометрия занимается изучением свойств прямых на поверхности некоторой планеты.
При этом кривая на поверхности планеты
называется отрезком прямой, если любая другая кривая с теми же началом и концом имеет б
ольшую длину. Кривая называется прямой, или
геодезической, если любая ее достаточно короткая дуга является отрезком прямой.
Замечание 1. Слова прямая и геодезическая | существительные, а не
прилагательные.
Замечание 2. Условие «достаточно короткая» существенно для сферы.
В остальных случаях, которые будут нам интересны (евклидова плоскость и плоскость Лобачевского), это условие можно отбросить.
В наиболее известной модели геометрии рассматривается неограниченная планета, представляющая собой полупространство. В качестве
другой модели геометрии можно взять планету, представляющую собой
шар. Такую геометрию называют сферической. Выясним, как устроены
прямые в сферической геометрии. Назовем большим кругом сечение шара плоскостью, проходящей через его центр. Границу большого круга
назовем большой окружностью. Через любые две точки сферы можно
провести большую окружность. Если точки не диаметрально противоположные, то через них проходит единственная большая окружность.
Теорема 1.1. Пусть A и B | не диаметрально противоположные точки сферы. Тогда на поверхности сферы кратчайшей кривой, соединяющей точки A и B, будет более короткая дуга большой окружности,
проходящей через точки A и B.
Доказательство. Назовем сферической ломаной кривую, составленную
из дуг больших окружностей. Кривую на сфере можно с любой точностью приблизить конечнозвенной сферической ломаной, поэтому достаточно доказать, что дуга AB короче любой другой сферической ломаной, соединяющей точки A и B. Как и в случае евклидовой плоскости,
достаточно рассмотреть двузвенные ломаные. В самом деле, если пару
4

звеньев PQ и QR заменить более коротким PR, то после нескольких таких операций ломаная заменится на одно звено, причем это звено будет
короче исходной ломаной.
Длина дуги AB равна 'R, где R | радиус сферы, ' | угол, под
которым отрезок AB виден из центра сферы. Таким образом, доказательство теоремы сводится к известному неравенству для трехгранных
углов: сумма двух плоских углов трехгранного угла больше его третьего
плоского угла. Значит, сферическими прямыми являются большие окружности.
Расстоянием между двумя точками сферы называют длину более короткого отрезка сферической прямой, проходящей через эти точки. (В
случае, когда точки диаметрально противоположны, можно взять любой из отрезков любой из сферических прямых, проходящих через эти
точки.)
Движением или изометрией сферы называют ее взаимно однозначное
преобразование, не изменяющее расстояний между точками. Примерами
движений сферы служат вращение сферы вокруг оси, проходящей через
ее центр, и симметрия относительно плоскости, проходящей через центр.
Теорема 1.2. а) Любое движение сферы можно представить в виде
композиции не более чем трех симметрий относительно плоскостей,
проходящих через ее центр.
б) Любое движение сферы, сохраняющее ориентацию, является вращением вокруг оси.
Доказательство. а) Точку X называют неподвижной точкой преобразования f, если f(X) = X. Движение сферы, имеющее три неподвижные
точки, не лежащие на одной сферической прямой, тождественно.
Пусть f | движение сферы, A | точка сферы, не являющаяся неподвижной. Рассмотрим симметрию s относительно плоскости ˝ (проходящей через центр сферы), при которой точка A переходит в точку
f(A). Если X | неподвижная точка преобразования f, то (евклидово)
расстояние от точки X до точки A равно расстоянию от точки X = f(X)
до точки f(A). Следовательно, точка X лежит в плоскости ˝, а значит,
преобразование sf имеет неподвижные точки X и A.
Эта конструкция позволяет построить движение s1 : : : skf, где k ≤ 3,
имеющее три неподвижные точки, не лежащие на одной сферической
прямой. Таким образом, s1 : : : skf = id (тождественное преобразование)
и f = s−1
k
: : : s−1
1
= sk : : : s1.
5

б) Симметрия относительно плоскости, проходящей через центр сферы, изменяет ориентацию сферы. Поэтому композиция нечетного количества симметрий изменяет ориентацию, а композиция четного количества симметрий сохраняет ориентацию. А так как любое движение
сферы можно представить в виде s1, s1s2 или s1s2s3, то любое движение
сферы, сохраняющее ориентацию, можно представить в виде s1s2.
Легко проверить, что композиция двух симметрий относительно плоскостей, пересекающихся по прямой l под углом ', является поворотом
на угол 2' вокруг оси l. Сферическая геометрия обладает очень важным свойством: любую
точку A можно движением перевести в любую точку B, переведя при
этом любую прямую, проходящую через точку A, в любую прямую, проходящую через точку B. Из этого, в частности, следует, что в формулировках теорем сферической геометрии не нужно указывать, о какой
именно точке или прямой идет речь. А если бы мы попытались строить
геометрию для планеты несимметричной формы, то для каждой точки
пришлось бы формулировать отдельную теорему.
Понятие изометрии можно определить не только для отображений
множества на себя, но и для отображений одного множества на другое.
Ясно, что сфера и плоскость не изометричны, т. е. не существует изометрии сферы на плоскость. В самом деле, расстояние между точками
сферы ограничены, а расстояние между точками плоскости неограничены.
Более содержателен вопрос о том, изометрична ли область на сфере
некоторой области на плоскости. Иными словами, можно ли нарисовать
на плоскости карту некоторой области на сфере так, чтобы расстояние
между любой парой точек сферы равнялось расстоянию между парой
соответствующих точек плоскости.
Теорема 1.3. Область на сфере не может быть изометрична области
на плоскости.
Доказательство. Назовем сферической окружностью множество точек сферы, удаленных от некоторой точки сферы (центра окружности)
на данное расстояние r (радиус окружности). Если отрезок OX виден
из центра сферы под углом , то сферическая окружность с центром
O, проходящая через точку X, имеет сферический радиус R, а евклидов радиус этой окружности равен R sin . Таким образом, сферическая
6

окружность радиуса r = R имеет длину
2R sin  = 2R sin(r=R) < 2R(r=R) = 2r:
Любая область на сфере содержит сферическую окружность достаточно малого радиуса r. Длина этой сферической окружности меньше
длины евклидовой окружности радиуса r.
Но при изометрии окружность радиуса r должна перейти в окружность того же радиуса, причем
длина ее останется прежней. Замечание. Чтобы не рассматривать длину окружности, можно рассмотреть длину стороны правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса r.
Для сферической геометрии можно определить полярное соответствие, при котором каждой большой окружности S сопоставляется пара концов диаметра сферы, перпендикулярного S, а каждой паре диаметрально противоположных точек A и B сопоставляется большая окружность, лежащая в плоскости, перпендикулярной AB. Будем говорить,
что большой окружности сопоставляются ее полюса, а паре диаметрально противоположных точек сопоставляется их поляра. Легко проверить,
что если две большие окружности S1 и S2 пересекаются в точках A1 и
A2, та поляра точек A1 и A2 совпадает с большой окружностью, проходящей через полюса больших окружностей S1 и S2. Таким образом,
полярное преобразование переводит точки в прямые, а прямые в точки,
причем утверждение «прямые l и m пересекаются в точке A» переходит
в утверждение «точки l⊥ и m⊥ лежат на прямой A⊥».
Сферическому треугольнику ABC можно сопоставить полярный ему
треугольник ABCследующим образом: A| тот из полюсов сферической прямой BC, который лежит вместе с точкой A по одну сторону от
этой прямой; точки Bи Cопределяются аналогично. Легко проверить
следующие свойства полярного треугольника:
1) если треугольник ABCполярен треугольнику ABC, то треугольник ABC полярен треугольнику ABC;
2) если ; 

 и 
 | углы треугольника ABC, aR, bR и cR | длины
его сторон (R | радиус сферы), то  −a,  −b и  −c | углы полярного
треугольника ABC, ( −)R, ( −

)R и ( −
)R | длины его сторон.
Для доказательства свойства 1) рассмотрим центр O сферы. Так как
OA⊥ OC и OB⊥ OC, то OC ⊥ OAB.
7

Свойство 2) следует из того, что внутренние нормали к двугранному
углу величиной  образуют между собой угол  − .
В сферической геометрии, в отличие от евклидовой, треугольники с
соответственно равными углами обязательно равны. В самом деле, из
равенства углов двух треугольников следует равенство сторон их полярных треугольников.
Таким образом, в сферической геометрии можно вычислить площадь
треугольника, зная его углы.
Теорема 1.4. Площадь сферического треугольника ABC с углами ,