Математическое моделирование и прогнозирование в технических системах

Г. Г. Галустов

А. В. Седов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 

И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ 

В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное 

образовательное учреждение высшего образования 

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Инженерно-технологическая академия

Г. Г. Галустов

А. В. Седов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ

В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Учебное пособие

Ростов-на-Дону – Таганрог

Издательство Южного федерального университета

2016

УДК 519.673(075.8)
ББК 22.19я73

Г168

Печатается по решению редакционно-издательского совета 

Южного федерального университета

Рецензенты:

доктор технических наук, профессор кафедры радиоэлектронных 

систем ДГТУ Марчук В. И;

доктор технических наук, профессор кафедры САПР ИТА ЮФУ 

Лебедев Б. К.

Галустов, Г. Г.

Г168
Математическое моделирование и прогнозирование 

процессов в технических системах : учебное пособие /
Галустов Г. Г., Седов А. В. ; Южный федеральный 
университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог: Издательство 
Южного федерального университета, 2016. – 107 с.

ISBN 978-5-9275-1902-6

В учебном пособии рассмотрена общая классификация математических 

моделей, используемых для краткосрочного и оперативного прогнозирования 
процессов, протекающих в технических системах.

На примерах статистических, детерминированных и комбинированных 

моделей процессов анализируется их применение для краткосрочного и 
оперативного прогнозирования.

Предназначено для студентов, аспирантов и преподавателей Института 

радиотехнических систем и управления, а также может быть использовано 
лицами, 
самостоятельно 
изучающими 
вопросы 
моделирования 
и 

прогнозирования процессов, протекающих в технических системах.

УДК 519.673(075.8)

ББК 22.19я73

ISBN 978-5-9275-1902-6

© Южный федеральный университет, 2016

© Галустов Г. Г., Седов А. В., 2016

ПРЕДИСЛОВИЕ

В 
настоящей
работе
дается 
общая 
классификация 
и 
анализ 

математических моделей, используемых для краткосрочного и оперативного 
прогнозирования параметров процессов. Выделяются три основные группы 
моделей и методов моделирования:

1) статистические (вероятностные);
2) детерминированные (в том числе алгебраические);
3) комбинированные вероятностно-детерминированные.

Подробно анализируются модели временных рядов, составляющие 

основу статистических прогнозирующих математических моделей, в частности: 
AR-, ARMA-, ARIMA-, МА-модели, модели взвешенного скользящего 
среднего, экспоненциального сглаживания Брауна и т.п. Как многофакторные 
рассматриваются: ARX-модели, ARMAX-модели и т.п. В работе показанa на 
реальных данных применимость ARIMA-моделей для прогноза процессов. 
Однако структурную устойчивость данная модель сохраняет, если для 
приведения моделируемого процесса к стационарному виду используются 
разности порядка d<2.

Анализируются прогнозирующие модели процессов, основанные на 

фильтрах 
Калмана 
и 
Винера 
(модель 
Заде–Рагаззини); 
спектральных 

ортогональных разложениях, в том числе Карунена–Лоэва; каноническом 
разложении случайного процесса; многомерной регрессии; теории кластерного 
анализа; теории распознавания образов.

В последние десятилетия наметилась тенденция более широкого 

использования алгебраического (детерминированного) подхода к решению 
проблемы идентификации объектов и процессов. Это связано с тем, что в 
статистической постановке проблемы зачастую отсутствует возможность 
получения представительных выборок или используется операция осреднения 
по множеству реализаций, что в целом ряде случаев приводит к ухудшению 
математической модели, особенно в условиях малых и нестационарных 
выборок.

Основные отличия алгебраического подхода:

1) при моделировании находятся, уточняются и используются не 

статистические характеристики ошибок измерений, а непосредственно сами 
значения ошибок в конкретном эпизоде идентификации;

2) уточнение параметров модели осуществляется непосредственно по 

невязке сигналов на выходе объекта и на выходе текущей модели.

Подробно анализируется применимость детерминированных прогнозных 

моделей: 
полиномиальной, 
конечного 
гармонического 
ряда 
Фурье, 

алгебраических регрессий, спектральных разложений, нейросетевой, нечеткой 
модели и т.п. 

Наибольшее 
распространение 
в 
настоящее 
время 
находят 

комбинированные 
прогнозирующие 
модели 
процессов, 
являющиеся 

комбинацией статистических и детерминированных моделей.

В работе проанализировано 14 вариантов наиболее часто используемых 

комбинированных прогнозирующих математических моделей.

На основе проведенного анализа были определены общие подходы к 

построению оперативных и краткосрочных прогнозных моделей процессов:

1) использование 
трендового 
подхода 
и 
комбинированных 

вероятностно-детерминированных прогнозных моделей;

2) использование эвристики о суточном интервале моделирования;
3) использование функционального подхода при моделировании тренда;
4) учет типов классовпроцессов при моделировании на основе 

применения алгоритмов кластеризации и распознавания;

5) использование эффективных алгоритмов интерполяции, фильтрации 

дискретных сигналов для согласования моделируемых процессов на разных 
уровнях иерархии комбинированных моделей;

6) моделирование нестационарной остаточной составляющей PD(t,d) с 

применением адаптивных одномерных регрессионных моделей с интегральной 
составляющей (ARI, ARIMA, ARIMAX) или моделей экспоненциального 
сглаживания.

ГЛАВА1. ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ 

И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ В СОСТАВЕТЕХНИЧЕСКИХ 

СИСТЕМ

Интенсивное развитие вычислительной техники, теории и практики 

моделирования, прогнозирования процессов по-новому ставит вопросы 
создания интеллектуальных адаптивных программных систем [1,2,3] на базе 
технических комплексов в составе предприятий, организаций и т.п. [1,4,5,6 –
13].

В современных теориях идентификации и систем в связи с развитием 

новых информационных технологий определен новый класс систем –
«интеллектуальные адаптивные системы» [3].

Под этим термином понимают "объединенную информационным 

процессом совокупность технических средств и программного обеспечения, 
работающую во взаимосвязи с человеком или автономно, способную на основе 
сведений и знаний при наличии мотивации синтезировать цель, вырабатывать 
решения о действии и находить рациональные способы достижения 
цели"[3,14].

Необходимым условием работы таких систем является моделирование 

процесса, распознавание и прогнозирование.

На основании сведений о состоянии объекта, окружающей среды и 

собственном 
состоянии 
системы 
при 
наличии 
памяти 
и 
мотивации 

синтезируется цель моделирования (оперативный или краткосрочный контроль, 
дооптимизация, прогнозирование), которая наряду с другими данными 
воспринимается динамической системой распознавания и контроля.

Последняя, с использованием базы данных, производит оценку, на 

основании которой принимается решение о действии и прогнозируется 
результат действия.

На 
основе 
прогнозной 
информации 
действие 
корректируется 

(дооптимизация) и синтезируется алгоритм принятия решения, который 
реализуется после экспертной оценки с помощью компьютерной системы и 
воздействует на объект. Результат действия сравнивается с прогнозом и на 
основе этого корректируется прогнозная модель.

При несоответствии результатов цели действия генерируется аналогично 

новое действие (дооптимизация), устраняющее несоответствие, и так далее.

Структура интеллектуальной системы должна быть инвариантна объекту 

и носить универсальный характер. В отличие от интеллектуальных адаптивных 
систем управления [14], в рассматриваемых адаптивных системах контроля и 
идентификации управляющее воздействие носит простейший характер типа 
«включено – выключено» и при этом отсутствует общепринятый регулятор в 
форме передаточных функций или в ином виде, параметры которого 
изменяются в зависимости от целей и задач управления.

Современный этап в развитии теории идентификации характеризуется 

прагматичным взглядом на имеющуюся в наличии у проектировщика 
априорную 
информацию 
об 
объекте 
контроля 
и 
условиях 
его 

функционирования [3,14 – 16].

Априори 
известная 
математическая 
модель 
сложного 
объекта 

идентификации в большинстве случаев не удовлетворяет современным 
требованиям, предъявляемым к системам контроля, идентификации и 
прогнозирования.

В сложных системах, работающих в разнообразных условиях, как сама 

математическая модель (уравнения объекта управления), так и ее параметры, и 
действующие возмущения (например, их статистические характеристики) не 
только не известны с достаточной точностью, но в ряде случаев их достаточно 
сложно определить экспериментально заранее [3,14 – 16]. К таким объектам 
относятся и объекты электропотребления: энергосистемы, объединения, 
предприятия и т.п.

Таким образом, имеет место априорная неопределенность, преодолением

которой и является применение современных интеллектуальных адаптивных 
систем контроля и идентификации.

В соответствии с вышесказанным можно выделить два основных 

источника априорной неопределенности [17,18]:

1) неизвестность полностью или частично структуры, параметров, 

свойств объекта и внешних возмущений на этапе проектирования системы;

2) существенная изменчивость свойств объекта и внешних возмущений в 

силу сложности объекта и среды функционирования, что исключает 
возможность точного определения режимов работы объекта заранее.

В силу этих неопределенностей система в процессе функционирования 

сама должна восполнять недостающую информацию.

Динамическая система распознавания и контроля состояния представляет 

собой сложный программный комплекс, предназначенный для автоматического 
обеспечения 
принятия 
решения 
при 
оперативном, 
краткосрочном 

моделировании, прогнозировании и контроле сложной системы, работающей, 
как правило, в условиях временных ограничений и недостатка априорной 
информации [14,19].

Основными задачами, решаемыми в системах контроля, распознавания и 

прогнозирования в рамках интеллектуальных адаптивных систем, являются:


построение адаптивной модели контролируемого объекта (системы) 

на основе сочетания строгих математических методов и моделей, экспертных, 
эвристических моделей, моделей теории искусственного интеллекта и тому 
подобных;


реализация прогноза поведения объекта при различных видах 

воздействий, в том числе и внешних условий, для учета при выработке 
дооптимизирующего воздействия;


распознавание текущего состояния объекта, с целью правильного 

выбора математической модели объекта (из имеющегося множества) для учета 
сложного (неоднородного) характера работы моделируемого объекта [20].

Основными 
предпосылками 
целесообразности 
и 
неизбежности 

использования систем контроля, распознавания и прогнозирования (СКРП) в 
составе интеллектуальных программных адаптивных систем являются [14,15]:

1) Условия функционирования контролируемых параметров процессов, 

характеризуются 
многообразием 
данных, 
состояний 
и 
качественных 

характеристик.

2) Область 
функционирования 
систем, 
как 
правило, 
плохо 

формализуема.

3) Компоненты объектов, требуют для описания своей работы, состава, 

структуры и состояния сложноорганизованных моделей.

4) Данные о текущем состоянии объектов, влияют на процесс выработки 

реакций системы.

Таким образом, можно сделать вывод, что одним из центральных 

устройств интеллектуальных адаптивных систем является СКРП и от его 
построения и работы в определяющей степени зависит работа всей системы.

Именно разработке принципов построения СКРП для групп объектов 

электропотребления необходимо уделять особое внимание.

При разработке СКРП в составе интеллектуальных адаптивных систем 

возникают следующие проблемы:


разработка новых и адаптация известных теорий и методов для 

описания процессов в объектах;


разработка принципов распознавания состояния объекта управления 

(процесса);


разработка 
принципов 
дискретных 
преобразований 
сигналов, 

фильтрации, дискретизации и интерполирования;


определение 
принципов 
алгоритмической, 
информационной 
и 

программной реализации модулей СКРП технических объектов.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 1

1. Галустов Г.Г., Цымбал В.Г., Михалев М.В. Принятие решений в 

условиях неопределенности. – М.: Радио и связь, 2001. – 196 с.

2. Методы классической и современной теории автоматического 

управления: в
3 т. Т.3. Методы современной теории автоматического 

управления / под ред. Н.Д. Егупова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 
2000. – 748 с.

3. Афанасьев В.И., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая 

теория конструирования систем управления. – М.: Высшая школа, 1998. – 574 с.

4. Седов А.В., Надтока И.И. Системы контроля, распознавания и 

прогнозирования электропотребления: модели, методы, алгоритмы и 
средства. – Ростов н/Д: Изд-во Рост. ун-та, 2002. – 320 с.

5. Чураков 
Е.П. 
Оптимальные 
и 
адаптивные 
системы. 
–
М.: 

Энергоатомиздат, 1987. – 255 c.

6. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. – М.: Высшая 

школа, 1989. – 262 с.

7. Попов Э.В., Фоминых И.Б., Кисель Е.Б., Шалот М.Д. Статистические 

и динамические экспертные системы. – М.: Финансы и статистика, 1996. –
330 с. 

8. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее 

инженерные приложения. – М.: Высшая школа, 2000. – 383 с.

9. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. –

М.: Мир, 1974. – 474 с.

10. Надтока И.И., Седов А.В., Холодков В.П. Применение методов 

компонентного анализа для моделирования и классификации графиков 
нагрузки. Изв. вузов. Электромеханика, № 6, 1993, с. 21-29.

11. Галустов Г.Г. Моделирование случайных процессов и оценивание их 

статистических характеристик. – М.: Радио и связь, 1999. – 120 с.

12. Некоторые подходы к краткосрочному прогнозированию суммарных 

нагрузок электроэнергетических систем/ А.С. Апарцин, А.З. Гамм, Р.Н. 
Грушина и др. // Модели и методы исследования операций. – Новосибирск: 
Наука, 1988. – 290 с.

13. Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и 

временные ряды. – М.: Наука, 1976. – 540 с.

14. Галустов 
Г.Г., 
Сидько 
И.В. 
Математическое 
моделирование 

случайных процессов и оценивание их статистических характеристик. –
Таганрог: Изд-во ЮФУ,2013. – 45с.

15. Галустов Г.Г., Ковригин В.М. Нелинейное преобразование случайных 

процессов 
в 
диагностических 
системах.
//
Радиотехника. 
Вып.62.

Радиоэлектронные устройства и системы управления, локации и связи. – М., –
2002.– №2 – с.10 – 14.

16. Галустов 
Г.Г., 
Ковригин 
В.М. 
Оптимизация 
размерности 

признакового пространства при решении задачи многоальтернативного 
параметрического 
распознавания 
случайных 
сигналов. 
// 
Материалы 

Всероссийской конференции «Излучение и рассеяние ЭМВ» ИРЭМВ –
Таганрог, 2001 – с.283.

17. Современные методы идентификации систем/ под ред. П.Эйкоффа–

М.: Мир, 1983. – 400 с.

18. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. – М.: 

Наука, 1991. – 432 с.