Математические методы анализа

Министерство образования и науки российской Федерации 

уральский Федеральный университет  
иМени первого президента россии б. н. ельцина

е. а. трофимова 
с. в. плотников 
д. в. гилёв

МатеМатические 
Методы анализа

рекомендовано методическим советом урФу 
в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся 
по программе бакалавриата по направлениям подготовки 
080100 «Экономика», 080200 «Менеджмент»

2-е издание, стереотипное

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
Издательство Уральского университета
2017

удк 517(075.8)
ббк 22.161я73-1
 
т 761

п о д  о б щ е й  р е д а к ц и е й
е. а. трофимовой

р е ц е н з е н т ы
кафедра прикладной математики и технической графики 
уральской государственной архитектурно-художественной академии 
(заведующий кафедрой доктор физико-математических наук,  
профессор с. с. т и т о в);
М. Ю. Х а ч а й, доктор физико-математических наук,
старший научный сотрудник, заведующий отделом  
математического программирования  
института математики и механики им. н. н. красовского уро ран

Трофимова, Е. А.
т 761  
Математические методы анализа  [Электронный ресурс] : 
[учеб. 
пособие] / е.а. трофимова, с.в. плотников, д.в. гилёв ; 
[под общ. ред. е. а. трофимовой] ; М-во образования и науки 
рос. Федерации, урал. федер. ун-т.  — 2-е изд., стер. — М. : 
ФЛИНТА : Изд-во Урал. ун-та, 2017. —  272 с. 

ISBN 978-5-9765-3257-1 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1413-3 (Изд-во Урал. ун-та) 

разделы учебного пособия включают блок теоретического материала 
и задачи, предназначенные как для аудиторных занятий, так и для 
самостоятельной 
работы. 
дается 
экономическая 
интерпретация 
математических понятий.
для студентов, изучающих дисциплины «Математический анализ», 
«теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптималь
ных решений».

удк 517(075.8)
ббк 22.161я73-1

© уральский федеральный университет, 2015
ISBN 978-5-9765-3257-1 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1413-3 (Изд-во Урал. ун-та) 

ОглАвлЕниЕ

предисловие .................................................................................................................6

1. введение в математический анализ .......................................................................8
1.1. Элементы теории множеств и математической логики .................................8
1.2. числовые множества ....................................................................................... 11
2. числовые последовательности .............................................................................14
2.1. предел числовой последовательности ..........................................................15
2.2. бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.................17
2.3. Монотонные последовательности .................................................................20
3. Функции, их основные свойства. преобразования графиков функций ............23
3.1. свойства функций ...........................................................................................24
3.2. преобразования графиков функций ..............................................................26
4. предел функции .....................................................................................................37
4.1. предел функции в точке .................................................................................37
4.2. предел функции в бесконечности .................................................................37
4.3. односторонние пределы .................................................................................38
4.4. бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства ............39
4.5. свойства функций, имеющих предел ............................................................41
4.6. замечательные пределы ..................................................................................44
4.7. сравнение бесконечно малых функций ........................................................47
5. непрерывность функции .......................................................................................49
5.1. непрерывность функции в точке ...................................................................49
5.2. непрерывность функции на множестве ........................................................49
5.3. точки разрыва и их классификация ...............................................................51
6. производная функции ...........................................................................................58
6.1. производная первого порядка ........................................................................59
6.2. производные высших порядков .....................................................................64
7. дифференциал функции ........................................................................................66
7.1. дифференциал и его свойства ........................................................................66
7.2. геометрический смысл дифференциала .......................................................66
7.3. применение дифференциала к приближенным вычислениям ...................67
7.4. дифференциалы высших порядков ...............................................................68

8. предельный анализ экономических процессов ..................................................73
9. основные теоремы анализа. правило лопиталя. Формула тейлора ................78
9.1. основные теоремы анализа ............................................................................78
9.2. правило лопиталя ...........................................................................................79
9.3. Формула тейлора .............................................................................................81
10. исследование функций и построение графиков ...............................................88
10.1. Экстремумы функции и интервалы монотонности .................................88
10.2. интервалы выпуклости функции. точки перегиба..................................91
10.3. асимптоты графика функции ....................................................................93
10.4. общая схема исследования функции и построения графика .................95
11. неопределенный интеграл ................................................................................102
11.1. основные понятия ....................................................................................102
11.2. Методы интегрирования ..........................................................................103
12. определенный интеграл и его свойства ..........................................................121
12.1. основные свойства определенного интеграла .........................................122
12.2. Методы интегрирования .............................................................................124
12.3. геометрические приложения определенного интеграла .........................125
13. несобственные интегралы ................................................................................132
13.1. несобственные интегралы первого рода  
(по бесконечному промежутку) ..............................................................132
13.2. несобственные интегралы второго рода  
(от неограниченных функций) ................................................................138
14. ряды .....................................................................................................................145
14.1. числовые ряды ..........................................................................................145
14.2. степенные ряды ........................................................................................149
15. Функции нескольких переменных....................................................................157
15.1. предел и непрерывность ..........................................................................159
15.2. дифференциал и частные производные .................................................161
15.3. градиент и производная по направлению ..............................................164
15.4. частные производные высших порядков ...............................................166
15.5. локальные экстремумы функции нескольких переменных ..................169
15.6. теорема о неявной функции ....................................................................170
15.7. выпуклые и вогнутые функции ..............................................................172
15.8. условные экстремумы функции нескольких переменных ....................174
15.9. зависимость экстремумов от параметров ..............................................176
16. Элементы аналитической геометрии ...............................................................183
16.1. векторная алгебра ....................................................................................183
16.2. системы аффинных координат на плоскости и в пространстве ..........186

16.3. уравнения прямой в аффинной плоскости.............................................187
16.4. уравнения плоскостей и прямых в пространстве ..................................189
17. основы линейной алгебры ................................................................................192
17.1. линейная зависимость векторов и метод гаусса ...................................192
17.2. преобразования метода гаусса ................................................................195
17.3. базис и размерность линейного пространства .......................................198
17.4. системы линейных уравнений и метод гаусса ......................................199
17.5. Матричная алгебра ...................................................................................204
17.6. определители и их применение ..............................................................209
17.7. некоторые задачи линейной алгебры .....................................................213
18. основные понятия теории вероятностей .........................................................226
18.1. случайные величины ...............................................................................227
18.2. распределение случайных величин ........................................................241
18.3. центральная предельная теорема и законы больших чисел .................247
19. Математическая статистика ..............................................................................256
19.1. выборочный метод математической статистики ...................................256
19.2. вариационные ряды и их характеристики  ............................................257
19.3. статистическое оценивание неизвестных параметров .........................263

ПРЕДиСлОвиЕ

учебное пособие написано в соответствии с требованиями 
государственных образовательных стандартов третьего поколения 
по экономическим специальностям. оно соответствует программе 
дисциплин «Математика», «теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимальных решений» и включает 
такие разделы, как введение в математический анализ, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление, ряды, функции 
нескольких переменных, основы линейной алгебры, основы теории вероятностей и математической статистики.
при написании пособия авторы руководствовались принципом повышения уровня фундаментальной математической 
подготовки студентов и усиления ее прикладной экономической 
направленности.
при определении основных понятий отдавалось предпочтение 
классическому подходу: например, понятие непрерывности функции вводилось после рассмотрения понятия предела, определенный интеграл определялся как предел интегральной суммы. там, 
где это возможно, раскрывается экономический смысл математических понятий (например, производная, интеграл), рассматриваются приложения высшей математики в экономике (предельный 
анализ, эластичность функции). такие приложения рассчитаны 
на уровень подготовки студентов начальных курсов и не требуют 
дополнительной экономической информации.
каждая глава содержит теоретический материал, даются 
примеры решения задач и задачи для самостоятельной работы. 
Эти задачи могут быть эффективно использованы для аудиторных и домашних работ, а также для самоконтроля по вузовскому 
общему курсу математики.

такое построение пособия потребовало сделать изложение 
теоретического материала более кратким, отказаться от громоздких доказательств утверждений.
для усвоения учебного материала каждой главы рекомендуется вначале изучить теорию и рассмотреть примеры решения 
задач, затем решить часть задач для самостоятельной работы.

1. ввЕДЕниЕ  
в МАТЕМАТиЧЕСКиЙ АнАлиЗ

1.1. Элементы теории множеств  
и математической логики

понятие множества относится к основным понятиям математики и в силу этого его нельзя определить через какое-то более 
общее понятие.
объекты, имеющие какой-либо общий признак и рассматриваемые как единое целое, составляют множество; сами объекты по 
отношению к множеству являются элементами множества.
Элементы множества, в свою очередь, также могут быть множествами. например, учащиеся школы № N образуют множество, каждый ученик (ученица) — элемент этого множества. Это 
же множество можно организовать иначе: множество учащихся 
школы № N состоит из классов школы № N, а класс школы № N 
состоит из учеников (учениц) данного класса.
Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами, элементы множеств — малыми латинскими буквами.
Множества могут быть заданы:
 – простым перечислением элементов (элементы заключаются 
в фигурные скобки): 
;
 – указанием общего признака всех элементов: 

в первом примере множество состоит из 3 чисел: 1, 2 и 3; 
во втором примере множество состоит из бесконечного количества 
действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих условию 1 < x < 2.
Множество, не содержащее элементов, называется пустым.

если все элементы множества B являются также элементами 
множества A, то B называется подмножеством множества A.
пустое множество является подмножеством любого множества, любое непустое множество является подмножеством самого 
себя (это так называемые несобственные подмножества).
Множества A и B равны, если одновременно A — подмножество B и B — подмножество A. равные множества состоят из одних 
и тех же элементов.
рассмотрим способы сокращенной записи некоторых утверждений относительно множеств и операций над множествами:

∅
пустое множество;

a ∈ A
читается: «a принадлежит множеству A» («a содержится в множестве A», «множество A содержит a», 
«множество A включает элемент a»);

a ∉ A
«элемент а не принадлежит множеству A»;

A ⊃ B
«B — подмножество множества A» («A содержит B», 
«B содержится в A», «A включает B», «B включается 
в A»);

A ⊂ B
«A — подмножество множества B»;

A = B
«A равно B», «А совпадает с В»;

объединение (сумма) множеств А и В; в объединение входят все элементы, принадлежащие хотя бы 
одному из этих множеств;

пересечение (произведение) множеств А и В; в пересечение входят элементы, каждый из которых принадлежит и множеству А, и множеству B.

рассмотрим способы сокращенной записи некоторых логических операций и стандартных словосочетаний (ниже малыми 

греческими буквами будут обозначаться некоторые высказывания 
(утверждения)):

импликация, логическое следствие; читается: «из 
высказывания α следует высказывание β», «высказывание β является следствием высказывания α»;

эквивалентность, 
равносильность; 
читается: 
«высказывание α равносильно высказыванию β», 
«α эквивалентно β», «α и β равносильны»; означает, 
что 
 и 
, т. е. высказывания α и β либо оба 
верны, либо оба неверны;

отрицание высказывания α;

∨
дизъюнкция, логическое «или»; 
 означает 
«α или β»;

∧
конъюнкция, логическое «и»; 
 означает «α и β»;

∃
квантор существования, 
 — читается: «существует элемент a, принадлежащий множеству A»;

∀
квантор всеобщности, 
 — читается: «для 
каждого элемента a, принадлежащего множеству A».

:
читается: «такой, что», «удовлетворяющий условию», «имеет место».

кроме того, далее будут использоваться сокращенные способы 
записи сумм и произведений большого количества элементов:

1
2
1
,

n

j
n

j
a
a
a
a

=
=
+
+
+
∑

1
2
1
.

n

j
n

j
a
a a
a

=
=
⋅
⋅
⋅
∏


покажем на нескольких примерах применение символической 
записи:
1) (
)
(
) (
)
(
)
x
A
B
x
A
x
B
∈
⇔
∈
∨
∈

 — определение 
объединения;

2) (
)
(
) (
)
(
)
A
B
A
B
A
B
=
⇔
⊃
∧
⊂
 — определение равенства 
множеств;

3) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
:
A
B
x
B
x
B
x
A
⊃
⇔ ∀ ∈
∈
⇒
∈
 — определение 
подмножества.

1.2. Числовые множества

числа 1, 2, 3, … называются натуральными и обозначаются 
N = {n} = {1, 2, 3, …, n, …}.
числа Z = {0, 1, – 1, 2, – 2, 3, – 3, …, n, – n…}, n ∈ Z, образуют 
множество целых чисел.

числа вида 
 образуют множество 

рациональных чисел.
если 
, то рациональная дробь называется правильной, 
если 
 — неправильной.

рациональные дроби представляются в виде конечных или 
бесконечных периодических десятичных дробей после деления 
числителя на знаменатель.

п р и м е р

1
2
7
0,333
0,(3),
0,4
0,3999
0,3(9),
0,0707
0,(07).
3
5
99
=
…=
=
=
…=
=
…=

числа, выражающиеся бесконечной непериодической десятичной дробью, составляют множество иррациональных чисел I. 
например,

2
1,41
,
3,14159265359
,
2,71828 18284 59045
e
=
…
π =
…
=
…

рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел 

Между множеством действительных чисел и множеством всех 
точек прямой существует взаимно-однозначное соответствие.

п р и м е р ы  ч и с л о в ы х  м н о ж е с т в

Множество элементов x:

Элемент множества:

отрезок (сегмент):

интервал:

полуинтервал (полусегмент):
(

)

{ }
,
:
,
{ }
,
:
x
a b
a
x
b
x
a b
a
x
b


=
<
≤




=
≤
<





луч:
) (
)
(
(
)

{ }
,
:
,
{ }
,
:
x
a
x
a
x
b
x
b


=
∞
≥




= −∞
≤





окрестность точки c — это произвольный интервал (a, b), 
содержащий точку с.
Эпсилон-окрестность точки с представляет собой множество, 
задаваемое неравенством: 
, т. е. 

Ограниченные множества

Множество X называется ограниченным сверху, если существует такое число М, что 
, при этом М называется 
верхней границей множества X.
Утверждение 1. ограниченное сверху множество имеет бесконечное число верхних границ.
наименьшая из всех верхних границ называется верх ней гранью 
 (от лат. supremum — наивысшее).

п р и м е р

{
}
1, 2, 3, 4, 5 ,
5.
x
−
=

Множество X называется ограниченным снизу, если существует такое число m, что 
, при этом m — нижняя граница X.

Утверждение 2. ограниченное снизу множество имеет бесконечное число нижних границ.
наибольшая из всех нижних границ называется нижней 
 гранью 
 (от лат. infimum — наинизшее).
Множество X называется ограниченным, если существует 
число М > 0 такое, что 
 ограниченное множество 
является одновременно ограниченным и снизу и сверху.
Множество X называется неограниченным, если для любого 
сколь угодно большого числа М > 0 найдется элемент 
, удовлетворяющий неравенству 
.

п р и м е р ы  н е о г р а н и ч е н н ы х  м н о ж е с т в

1) (−∞, ∞) — неограниченное множество,
2) (−∞, 2] — неограниченное снизу множество,
3) [−5, ∞) — неограниченное сверху множество.

з а м е ч а н и е. для того чтобы множество было неограниченным, достаточно, чтобы оно было неограниченным либо сверху, 
либо снизу.