Обобщенные функции

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
М. C. Агранович
Обобщенные функции
Электронное издание
Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 517.982.4
ББК 22.162
А25
Агранович М. C.
Обобщенные функции
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
125 с.
ISBN 978-5-4439-2004-7
Вводный курс по теории обобщенных функций (распределений),
написанный на основе лекций, прочитанных автором в Независимом
московском университете. Доступен старшекурсникам механико-ма-
тематических и физико-математических факультетов университе-
тов. Рассчитан в первую очередь на тех из них, кто специализируется
по уравнениям в частных производных или уравнениям математиче-
ской физики, но может быть полезен также начинающим математи-
кам других направлений, включая прикладников, а также физикам и
инженерам. В курс включены краткий очерк общей теории уравне-
ний в частных производных с постоянными коэффициентами в Rn и
теорема Шварца о ядре.
Подготовлено на основе книги: М. C. Агранович. Обобщенные функ-
ции. | М.: МЦНМО, 2008.
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499) 241 74 83.
http://www.mccme.ru
ISBN 978-5-4439-2004-7
c
Агранович М. C., 2008
c
МЦНМО, 2014

Содержание
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
§ 1. Основные понятия теории обобщенных функций
. . . . . .
6
§ 2. Свертка обычных и обобщенных функций . . . . . . . . . .
22
§ 3. Другие пространства основных и обобщенных функций . .
30
§ 4. Доказательства теорем о структуре обобщенных функций
43
§ 5. Преобразования Фурье обычных и обобщенных функций .
50
§ 6. Однородные обобщенные функции и их преобразования
Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
§ 7. Некоторые приложения к теории уравнений в частных
производных с постоянными коэффициентами . . . . . . .
76
§ 8. Некоторые топологические свойства пространств основ-
ных и обобщенных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
§ 9. Тeoрема о ядре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
§ 10. Литературные указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3

Предисловие
Эта книжка содержит вводный курс по теории обобщенных функ-
ций. Она написана для начинающих математиков на основе лекций,
которые автор дважды прочитал несколько лет назад в Независимом
московском университете. При подготовке к печати текст был несколь-
ко дополнен, теперь это примерно 20 лекций.
Теория обобщенных функций (или распределений) сложилась в 50-е
годы прошлого века и с тех пор вошла незаменимой составляющей в
математический обиход, без нее математикам уже невозможно обой-
тись. В первую очередь это относится к аналитикам и в особенности к
тем, кто занимается уравнениями в частных производных. Но она часто
нужна и геометрам, а также физикам и инженерам. На Механико-ма-
тематическом факультете МГУ элементы этой теории сообщаются в
курсах уравнений в частных производных (математической физики) и
анализа-III (функционального анализа), но в объеме, явно не достаточ-
ном для активных занятий математикой. С другой стороны, по этой
теории написаны обширные монографии, изучение которых обычно за-
труднительно для начинающих не только из-за объема, но и из-за сжа-
тости изложения.
Автор считал своей целью прочитать в возможно более доступной
форме и записать сравнительно небольшой по объему курс, достаточ-
ный для того, чтобы после его освоения слушатели и читатели могли
свободно ориентироваться в литературе, в которой используются обоб-
щенные функции. В качестве справочника по обобщенным функциям
предлагаемая книжка не годится.
Разумеется, отбор включенных в курс вопросов, очень жесткий при
принятом объеме книжки, сделан в соответствии со вкусами автора. На
этот отбор повлиял, конечно, фактор времени, которое «расставляет
веса» на наиболее заметных достижениях прошедших лет.
Для чтения книжки достаточно владения обязательным материа-
лом первых трех курсов Мех-мата. Ссылки на стандартные учебники
не приводятся, за исключением тех случаев, когда есть опасение, что
нужные утверждения не всегда содержатся в обязательных курсах. Но
без некоторого количества ссылок на факты, не сообщаемые в обяза-
тельных курсах, обойтись было нереально. Список удобных для справок
книг приводится.
В нескольких местах теоремы сообщаются без доказательства, со
ссылками на литературу; соответствующие теоремы или пункты отме-
4

чены звездочкой. Для активизации изучения в текст включены неслож-
ные задачи. § 10 содержит некоторые комментарии к тексту.
Мы излагаем традиционный материал из основ теории обобщенных
функций и их преобразований Фурье и затем разбираем некоторые
приложения этой теории к уравнениям в частных производных с по-
стоянными коэффициентами. В конце книжки доказывается теорема о
ядре Лорана Шварца.
Вслед за этой книжкой автор планирует подготовить к печати еще
две примерно такого же объема: «Пространства Соболева» [1] и «Эл-
липтические псевдодифференциальные операторы» [2]. Они составят
продолжение предлагаемой книжки. Предварительные версии можно
найти на сайте автора http://agranovich.nm.ru.
Автор близко знаком с математиками, читавшими подобные курсы
в Московском университете. К сожалению, уже давно многие из них
живут и работают за рубежом.
Во время чтения лекций детали изложения постоянно обсуждались
со слушателями, и это очень помогло автору при отборе материала
и поиске наиболее понятной формы изложения. В особенности автор
благодарен Полине Вытновой, Николаю Гореву, Василию Новикову и
Михаилу Сурначеву. Борису Авенировичу Амосову автор очень благо-
дарен за ряд редакционных замечаний.
Но улучшение текста | процесс асимптотический, и автор просит
всех читателей, у которых возникнут какие-либо замечания, присылать
их по электронному адресу magran@orc.ru.
Февраль 2008 г.
5

§ 1. Основные понятия теории обобщенных функций
1.1. Определение обобщенной функции (распределения). Рассмот-
рим пространство D = D(Rn) = C∞
0 (Rn) финитных бесконечно гладких
комплекснозначных функций. Это основные функции (позднее мы вве-
дем и другие пространства основных функций). Это пространство ли-
нейно. В нем можно ввести топологию (т. е. указать систему окрестно-
стей нуля, cм. книгу Лорана Шварца [12]), но мы, следуя И. М. Гельфан-
ду и Г. Е. Шилову [5], ограничимся определением сходимости: 'j → ' в
этом пространстве, если существует такое a > 0, что все эти функции
равны нулю при |x| a и @'j(x) → @'(x) равномерно при любом .
Здесь и дальше
 = (1; : : : ; n);
|| = 1 + : : : + n;
@ = @1
1 : : : @n
n ;
@j = @=@xj:
Пример. Функция
'(x) =
exp[(x − a)−1(x − b)−1]
на (a; b);
0
вне (a; b)
(1.1.1)
принадлежит D(R). Действительно, нужно только проверить ее беско-
нечную гладкость в точках a и b; это несложно.
Задача 1. Проведите эту проверку.
Задача 2. Проверьте полноту пространства D относительно введен-
ной выше сходимости (т. е. проверьте, что фундаментальная последо-
вательность в D имеет там предел).
Основные функции мы будем обычно обозначать строчными греческими 
буквами ',  ,  и т. д.
Обобщенная функция (или распределение) f (над D)|это линейный
непрерывный функционал f; 'над D. Здесь имеется в виду непрерывность 
относительно введенной выше сходимости.
Две обобщенные функции f и g равны, если равны их значения на
любой основной функции.
Термин «распределение» ввел Лоран Шварц, термин «обобщенная
функция» | И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов.
Примеры. 1. Дельта-функция (x − x0):
(x − x0); '(x)= '(x0):
(1.1.2)
Это определение придает точный смысл известному физическому «определению» 
дельта-функции: это такая «функция», равная 0 вне x0 и
6

бесконечности в x0, что
Z
(x − x0)h(x) dx = h(x0) для любой непрерывной 
функции h(x).
2. Функционал типа функции, или регулярная обобщенная функция.
Пусть f(x) | локально интегрируемая функция на M. Полагаем1
f; '=
f(x)'(x) dx;
' ∈ D:
(1.1.3)
Совокупность всех обобщенных функций над D обозначается через 
D= D(Rn). Это линейное пространство с определением линейных
операций
f + 

g; '= f; '+ 

g; ';
' ∈ D:
(1.1.4)
Очевидно, что правая часть | обобщенная функция.
1.2. Дифференцирование
обобщенной
функции.
Сначала
пусть
f(x) ∈ C1(Rn). Тогда для любой основной функции '
@jf(x) · '(x) dx = −
f(x)@j'(x) dx
(мы проинтегрировали по частям). Принимая эту формулу за образец,
полагаем для любой обобщенной функции f
@jf; '= −f; @j';
' ∈ D:
(1.2.1)
Очевидно, что это обобщенная функция.
Мы видим, что все обобщенные функции дифференцируемы и, значит, 
бесконечно дифференцируемы. При этом
@f; '= (−1)||f; @'(1.2.2)
для любого .
Проиллюстрируем это определение в следующих замечаниях и примерах.

Замечание 1.2.1. Пусть для простоты n = 2. Согласно известной теореме 
из анализа
@1@2f(x1; x2) = @2@1f(x1; x2);
если эти частные производные непрерывны в рассматриваемой точке.
Для обобщенных функций всегда
@1@2f = @2@1f:
(1.2.3)
1Здесь и дальше подразумевается, что интеграл без указания множества, по
которому производится интегрирование, берется по всему пространству Rn.
7

Действительно,
@1@2f; '= f; @2@1'= f; @1@2'= @2@1f; ':
Мы видим, что для обобщенных функций f порядок дифференцирования 
в @f безразличен.
Замечание 1.2.2. Пусть f(x) | кусочно-гладкая функция на прямой
для простоты с единственной точкой разрыва x0 1-го рода. Более точно, 
пусть эта функция становится функцией класса C1 на (−∞; x0],
если положить f(x0) = f(x0 − 0), и функцией класса C1 на [x0; ∞), ес-
ли положить f(x0) = f(x0 + 0), а эти односторонние пределы различны.
Тогда ее производная в смысле обобщенных функций|функционал типа 
функции f (x) плюс h(x − x0), где h | скачок f(x0 + 0) − f(x0 − 0).
Это проверяется интегрированием по частям:
−
x0
−∞
f(x)'(x) dx −
+∞
x0
f(x)'(x) dx =
=
x0
−∞
f (x)'(x) dx +
+∞
x0
f (x)'(x) dx + h'(x0):
Этот результат легко обобщается на случай, когда у f(x) на каждом
конечном интервале есть конечное число точек разрыва 1-го рода и,
кроме того, конечное число точек, в которых разрыва нет, но левая
производная не равна правой.
Примеры. 1. Производная в смысле обобщенных функций от функции 
Хевисайда (x), равной 0 при x < 0 и 1 при x > 0, равна (x). Значение 
этой функции в точке x = 0 не играет роли, можно принять его
равным 0 или 1.
2. Производные дельта-функции вычисляются очевидным образом:
@(x − x0); '= (−1)||@'(x0):
(1.2.4)
1.3. Умножение на бесконечно гладкую функцию. Пусть f ∈ Dи
a ∈ C∞(Rn). Если f | регулярная обобщенная функция, то и af | регулярная 
обобщенная функция и имеет место формула
af; '= f; a';
' ∈ D:
(1.3.1)
В общем случае мы принимаем эту формулу за определение произведения 
af. Очевидно, что получается обобщенная функция.
Из сказанного видно, что не только в D, но и в Dдействуют ли-
нейные дифференциальные операторы с бесконечно гладкими коэффи-
8