Моделирование прямых и обратных граничных задач для стационарных моделей тепломассопереноса

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО НАУЧНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.Н. КРАСОВСКОГО

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК

А. И. Короткий, Ю. В. Стародубцева

Моделирование прямых
и обратных граничных задач
для стационарных моделей
тепломассопереноса

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
Издательство Уральского университета
2017

2-е издание, стереотипное

УДК 519.6
К 687

Рецензент
В . Г . П и м е н о в, доктор физико-математических наук,
профессор (Уральский федеральный университет имени
первого Президента России Б.Н. Ельцина);
Научный редактор
А . Б . Л о ж н и к о в, кандидат физико-математических наук

Короткий, А. И.
К 687
Моделирование прямых и обратных граничных задач для 
стационарных 
моделей 
тепломассопереноса 
[Электронный 
ресурс]: [монография] /А. И. Короткий, Ю. В. Стародубцева ; 
науч. ред. А. Б. Ложников ; Федеральное агентство научных 
организаций, ИММ УрО РАН; М-во образования и науки Рос. 
Федерации, Урал. федер. ун-т. — 2-е изд., стер. — М. : ФЛИНТА : 
Изд-во Урал. ун-та, 2017 — 168 с.

ISBN 978-5-9765-3138-3 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1606-9 (Изд-во Урал. ун-та)

Книга посвящена исследованию и численному моделированию прямых и обратных граничных задач для стационарных
объектов тепломассопереноса. Описаны вычислительные эксперименты по восстановлению граничных режимов различной
степени гладкости.
Для специалистов в области вычислительной математики
и математического моделирования. Книга также будет полезна студентам старших курсов и аспирантам.

УДК 519.6

c⃝ Короткий А. И.,
Стародубцева Ю. В., 2015

ISBN 978-5-9765-3138-3 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1606-9 (Изд-во Урал. ун-та)

Оглавление

Введение
5

Основные обозначения и соглашения
15

1. Прямые и обратные граничные задачи
для моделей стационарной реакции-конвекциидиффузии
18
1.1. Постановка прямой граничной задачи
. . . . . .
20
1.2. Разрешимость и устойчивость прямой граничной
задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.3. Постановка обратной граничной задачи
. . . . .
37
1.4. Некорректность обратной граничной задачи . . .
45
1.5. Вариационный метод решения обратной задачи .
50
1.6. Метод квазиобращения решения обратной задачи
62
1.7. Метод Ньютона–Канторовича решения обратной
задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
1.8. Метод Ландвебера решения обратной задачи . .
75
1.9. Метод Левенберга-Марквардта решения
обратной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83

2. Прямые и обратные граничные задачи
для моделей стационарной тепловой конвекции
высоковязкой жидкости
90
2.1. Постановка прямой граничной задачи
. . . . . .
92
2.2. Разрешимость и устойчивость прямой граничной
задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
2.3. Постановка обратной граничной задачи
. . . . .
101
2.4. Некорректность обратной граничной задачи . . .
105
2.5. Вариационный метод решения обратной задачи .
106
2.6. Метод квазиобращения решения обратной задачи 121
2.7. Метод Ньютона–Канторовича решения обратной
задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
2.8. Метод Ландвебера решения обратной задачи . .
135

3

2.9. Метод Левенберга-Марквардта решения
обратной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144

Приложение
152

Список литературы
155

Введение

При исследовании физических явлений или объектов эмпирическими методами достаточно часто возникают обстоятельства, при которых отсутствует возможность непосредственного наблюдения и измерения каких-либо характеристик объекта. Выполнение эксперимента может быть сопряжено с техническими и материальными трудностями, представлять угрозу
или просто быть неосуществимым. При этом практически всегда имеется возможность получить какие-либо дополнительные сведения об изучаемом объекте, по которым можно было
бы сделать выводы об искомых характеристиках и свойствах
исследуемого объекта или процесса.
В описанной выше ситуации задача состоит в определении
причины по полученным в результате наблюдений или экспериментов следствиям. Такие задачи относятся к классу обратных задач. В целом под обратной задачей понимается задача,
состоящая в определении параметров модели по имеющимся
результатам наблюдений за состояниями модели. При этом модель может описываться интегральными или дифференциальными уравнениями, операторными уравнениями или другими
соотношениями.
Многие важные прикладные вопросы, касающиеся экологии, геофизики, сейсмологии, диагностики в медицине, компьютерной томографии, неразрушающего контроля и дефектоскопии, георадиолокации, приводят к обратным задачам. Например, в медицинской диагностике возникает обратная задача электрокардиографии, когда требуется восстановить потенциал электрического поля сердца на его внешней поверхности
по данным регистрации потенциала на поверхности грудной
клетки [11,14]. Другим примером является задача электроразведки полезных ископаемых, когда требуется по измерениям
характеристик электромагнитного поля на поверхности Земли
определить электропроводность более глубоких слоев. Стоит

5

отметить исследование процесса распространения загрязнений,
который может происходить в ситуации, в которой источники
загрязняющего вещества расположены в месте, недоступном
для прямых измерений, либо требуется восстановить параметры источника, используя дополнительную информацию о состоянии среды (например, значения концентрации загрязняющего вещества в местах, доступных прямому измерению).
По признаку искомой причинной характеристики можно
выделить четыре основных класса обратных задач [9,26,56].
1.
Коэффициентные задачи — заключаются в нахождении
функций и параметров, составляющих коэффициенты модели.
2.
Эволюционные (ретроспективные) задачи — состоят в восстановлении предыстории состояний некоторого известного состояния модели.
3.
Граничные задачи — заключаются в нахождении функций
и параметров, входящих в граничные условия модели.
4.
Геометрические обратные задачи — заключаются в реконструкции геометрических характеристик некоторого множества, расположенного в области реализации модели.
Наряду с обратными задачами, с точки зрения соотношения причина–следствие, выделяются прямые задачи, в которых
по известным причинам требуется определить следствие.
При формулировке постановок обратных задач предполагаются известными постановки прямых задач. Постановка прямой задачи подразумевает задание набора функций и параметров, определяющих модель (например, задание коэффициентов
и параметров дифференциального уравнения, задание начальных и краевых условий — полностью определяет модель). При
решении прямой задачи этому набору ставится в соответствие
новый объект — состояние модели (решение соответствующей
начально-краевой задачи для дифференциального уравнения).
Предположим, что неизвестны некоторые функции или параметры, определяющие прямую задачу, но при этом можно получить некоторую дополнительную информацию о состояни
6

ях или свойствах модели. Требуется определить (восстановить)
недостающие функции. В этой ситуации имеем дело с обратной
задачей.
Постановки прямых и обратных задач подразумевают предварительное моделирование реального процесса. Под моделированием понимается построение и изучение моделей реальных
объектов, процессов или явлений с целью исследования свойств
этих объектов, процессов или явлений. Моделирование является универсальным методом научного познания и играет важную роль в развитии науки и техники [60,69,93].
Процесс моделирования обычно разделяют на три этапа:
математическая модель — алгоритм — программа. Программирование осуществляется после составления вычислительного алгоритма, который, в свою очередь, разрабатывается после
полной постановки задачи в той или иной форме. Математическая модель может быть представлена в различных формах
(вычислительный алгоритм, компьютерная программа, дифференциальные уравнения, функциональные уравнения).
В математической физике модели обычно задаются с помощью дифференциальных уравнений, дополненных начальнокраевыми условиями. Основной, достаточно широкий класс,
представляют задачи для уравнений в частных производных,
в силу того, что такие уравнения могут описывать достаточно широкий класс процессов. Обычно, при исследовании установившихся (стационарных) процессов различной физической
природы, приходят к уравнениям эллиптического типа.
Исследование краевых задач для эллиптических уравнений
является важной составной частью теории дифференциальных
уравнений в частных производных и имеет многочисленные
приложения в задачах механики сплошных сред (тепломассоперенос, теория упругости), электродинамике и других областях науки и техники.
Теория общих краевых задач для уравнений эллиптического типа представляет собой вполне сложившуюся и достаточно

7

хорошо разработанную теорию [1,2,49]. Обычно здесь ведутся
исследования для областей с достаточно гладкими границами
и для уравнений с достаточно гладкими коэффициентами [1,2].
Безусловно, имеется большой интерес и к изучению эллиптических задач в областях с негладкими границами и негладкими
коэффициентами [35, 49]. Отметим также, что теория эллиптических краевых задач со смешанными граничными условиями (на двух или более участках границы задаются граничные условия различных типов) оказывается сложнее, в этом
направлении отметим работы [95,116].
При изучении краевых задач математической физики достаточно часто (например, при рассмотрении задач в негладких областях, задач со смешанными граничными условиями,
задач с разрывными коэффициентами) необходимо расширять
классы функций, в которых осуществляется поиск решения. В
этих ситуациях от классических постановок задач переходят к
обобщенным формулировкам, к введению понятия обобщенного решения.
Решение обратных задач может быть сопряжено с рядом
проблем.
1.
Решение может быть неединственным и дополнительных
сведений может быть недостаточно для обеспечения единственности.
2.
Достаточно часто искомая функция или параметр входят
в операторное или функциональное уравнение нелинейным образом.
3.
Исходная информация известна приближенно, т. к. измерительные приборы дают некоторую погрешность.
4.
Может отсутствовать непрерывная зависимость решения
обратной задачи от исходных данных, что приводит к необходимости разработки специальных методов решения обратных
задач.
Если решения обратной задачи не существует (исходные
данные могут противоречить друг другу), или нарушается

8

условие единственности решения (недостаток дополнительных
сведений о решении), или нет непрерывной зависимости решения от исходных данных, тогда задача называется некорректной по Адамару [3]. В обратных задачах, как правило, нарушается условие непрерывной зависимости решения от входных
данных.
Основополагающий вклад в развитие теории и практических методов решения некорректных задач внесли А. Н. Тихонов, В. К. Иванов, М. М. Лаврентьев. Большой вклад в развитие теории обратных и некорректных задач внесли А. Л. Агеев,
Г. В. Алексеев, О. М. Алифанов, Д. С. Аниконов, Ю. Е. Аниконов, В. Я. Арсенин, А. Б. Бакушинский, А. Л. Бухлейм,
В. В. Васин, Ф. П. Васильев, Г. М. Вайникко, В. Б. Гласко,
А. В. Гончарский, А. М. Денисов, С. И. Кабанихин, А. В. Кряжимский, А. С. Леонов, О. А. Лисковец, В. И. Максимов,
Г. И. Марчук, И. В. Мельникова, Л. Д. Менихес, В. А. Морозов,
Ю. С. Осипов, В. В. Пененко, А. И. Прилепко, В. Г. Романов,
В. П. Танана, А. Г. Ягола и многие другие ученые. Достаточно
подробно теория обратных и некорректных задач представлена
в работах [9,23,24,26,48,66,91,101,103,115].
Наиболее широкую область применения теории некорректных задач представляют собой обратные задачи. Разработка
эффективных методов решения обратных задач позволила существенно упростить экспериментальные исследования, повысить точность и достоверность получаемых результатов за счет
определенного усложнения алгоритмов обработки экспериментальных данных. При этом существенная часть работы проводится с использованием мощных вычислительных комплексов,
что позволяет ускорить проведение экспериментальных исследований и открывает широкие возможности для их автоматизации.
В настоящее время обратные задачи находят многочисленные приложения в различных областях науки и техники. Исследованию обратных задач посвящено большое количество

9

статей [4–7,12,16,27–30,62,65,72,96], монографий [9,26,46,47].
Этой тематике посвящено несколько журналов (международный журнал "Journal of Inverse and Ill-Posed Problems",
журнал "Обратные задачи и информационные технологии",
"Inverse Problems in Science and Engineering"), проводятся многочисленные конференции.
Значительный интерес представляет разработка эффективных численных методов решения некорректных и обратных задач, а также создание вычислительных алгоритмов для конкретных прикладных задач, например, геофизических задач
гравитационной, тепловой и динамической реконструкции осадочных бассейнов [109, 111], литосферных плит [104, 108], мантийных плюмов [105-107] и задач по определению физических
характеристик вулканической лавы [110].
Отметим некоторые подходы к решению обратных некорректных задач.
1.
Вариационный метод [4,9,23,26,63,68,91]. Основная идея
базируется на использовании дополнительной информации о
решении. Исходная обратная задача сводится к некоторой равносильной задаче на нахождение минимума подходящего целевого функционала. Для приближенного решения вариационной
задачи используются численные методы, которые применяются в экстремальных задачах. В частности, можно ориентироваться на использование градиентных методов.
2.
Итерационная регуляризация [10, 15, 17, 20, 26]. Этот подход заключается в построении регуляризующих алгоритмов
на основе различных итерационных методов. При этом задача предварительно может быть сведена к соответствующему
операторному уравнению. Многие итерационные методы обладают определенной устойчивостью к погрешностям в исходных
данных задачи. Итерационная регуляризация линейных некорректных задач изучена в настоящее время достаточно полно.
Работ, посвященных нелинейным задачам, существенно меньше. В то же время, как показывают вычислительные экспери
10

менты, итерационные алгоритмы решения нелинейных некорректных задач, построенные формально по той же схеме, что и
для линейных задач, оказываются вполне работоспособными.
3.
Возмущение задачи [26, 48, 52, 56]. Основная идея состоит
в возмущении исходного уравнения и использовании дополнительных условий. Возмущение проводится так, чтобы новая задача становилась корректной. Параметров возмущения (регуляризации) может быть несколько.
Одним из важных классов обратных задач являются обратные задачи теплообмена и переноса вещества. В данной книге
рассматриваются обратные граничные задачи для модели стационарной реакции-конвекции-диффузии и модели стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости.
Модели типа "реакция-конвекция-диффузия" применяются в различных областях науки и техники. Например, при моделировании переноса кислорода в кровеносной системе, при
описании процессов распространения загрязняющих веществ в
водоемах и атмосфере, при описании диффузии электрически
заряженных примесей в твердом теле [57,58,67,68].
Широко распространена в науке и технике модель тепловой конвекции высоковязкой жидкости. Такая модель используется, например, при исследовании геофизических процессов
в земных недрах [105-107] и процессов изготовления стекла в
плавильных печах [102].
Для рассматриваемых моделей наиболее часто рассматривают обратные коэффициентные задачи. В работах Г. В. Алексеева, Д. А. Терешко, О. В. Соболевой, И. С. Вахитова [4–8]
исследуются обратные коэффициентные задачи для моделей
реакции-конвекции-диффузии и моделей тепловой конвекции
вязкой жидкости с регулярными граничными условиями, обратная задача сводится к решению соответствующей экстремальной задачи. В работе О. В. Соболевой [72] теоретически и
численно исследуются обратные коэффициентные задачи для
моделей реакции-конвекции-диффузии и классической модели

11

конвекции вещества в приближении Обербека–Буссинеска, обратные задачи также сводятся к решению соответствующих
экстремальных задач. В работе А. В. Пененко [62] рассматривается обратная коэффициентная задача теплопроводности,
которая сводится к решению соответствующей вариационной
задачи.
Реже исследуются обратные граничные задачи для моделей
тепловой конвекции. В работах А. И. Короткого и Д. А. Ковтунова [32, 33, 36, 39] теоретически и численно исследовались
прямые и обратные граничные задачи для моделей стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости со смешанными граничными условиями. В этих работах доказано существование и единственность слабого решения прямой задачи,
устойчивость решения прямой задачи по отношению к входным данным и неустойчивость обратной задачи. Для решения
обратной граничной задачи применялись вариационный метод
и метод квазиобращения.
Целью данной книги являются теоретический и численный
анализ прямой и обратной граничных задач для стационарных
моделей тепломассопереноса. Рассмотрены две модели: модель
стационарной реакции-конвекции-диффузии и модель стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости. Для соответствующих обратных граничных задач разработаны методы
численного решения и приведены результаты вычислительных
экспериментов. Основные результаты, представленные в данной книге, опубликованы в работах [40,42–45,73–89].
Прямая граничная задача состоит в нахождении решения
соответствующей краевой задачи при известных данных на
границе области протекания процесса. Обратная граничная задача состоит в нахождении подходящего следа от решения соответствующей краевой задачи на некоторой части границы области протекания процесса при известных данных и некоторых
дополнительных граничных условиях на другой части границы области протекания процесса. Особенность прямой задачи

12