Колебания и волны

Горелик Г.С.

Колебания и

волны

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 534.1/.2/.3, 537.86, 539.3, 532.59
ББК 22.336/213
Г 68

Серия «Физтеховский учебник»

Редакционный Совет

Кудрявцев Н. Н. (председатель)

Белоусов Ю. М.;
Гладун А. Д.;
Кондранин Т. В.;
Петров И. Б.;

Половинкин Е. С.;
Самарский Ю. А.;
Сон Э. Е.;
Холодов А. С.

Го р е л и к Г. С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику
и оптику. — 3-е изд.: под ред. С.М. Рытова. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 656 с. —
ISBN 978-5-9221-0776-1.

Третье издание лучшего учебника по колебательным и волновым процессам,
изучаемым механикой, акустикой, оптикой, радиофизикой, электродинамикой.
В мировой литературе книга выделяется оригинальной трактовкой, данной многим физическим явлениям на языке теории колебаний, и убедительными примерами
единства закономерностей колебаний и волн различной физической природы.
Книга по-прежнему необходима студентам физических, физико-технических,
инженерно-физических и радиотехнических факультетов университетов и специалистам-физикам — теоретикам и экспериментаторам, работающим в радиофизике,
акустике и оптике.
Рекомендовано УМО Московского физико-технического института (государственного университета) в качестве учебного пособия для студентов высших учебных
заведений по направлению подготовки «Прикладные математика и физика».

ISBN 978-5-9221-0776-1
c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к третьему изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Предисловие редактора ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Предисловие автора к первому изданию
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Г л а в а I. Колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
§ 1. Примеры гармонических колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
§ 2. Единый подход к колебаниям различной физической природы . . . . . .
22
§ 3. Разнообразие типов колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
§ 4. Фазовые соотношения между гармоническими колебаниями . . . . . . . .
30

Г л а в а II. Суперпозиция колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
§ 1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
§ 2. Суперпозиция синхронных скалярных гармонических колебаний. . . .
36
§ 3. Суперпозиция двух взаимно перпендикулярных векторов, изменяющихся синусоидально с одинаковой частотой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
§ 4. Электронный осциллоскоп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
§ 5. Суперпозиция гармонических колебании с близкими частотами. . . . .
55
§ 6. Суперпозиция гармонических колебаний с кратными частотами . . . .
60
§ 7. О математическом аппарате учения о колебаниях и волнах . . . . . . . . .
62

Г л а в а III. Линейные колебательные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
§ 1. Колебания маятника, фазовая плоскость .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
§ 2. Незатухающий гармонический осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
§ 3. Затухающий гармонический осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
§ 4. Действие периодических толчков на незатухающий гармонический
осциллятор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
§ 5. Действие периодических толчков на затухающий осциллятор. . . . . . .
93
§ 6. Действие синусоидальной силы на незатухающий гармонический
осциллятор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
§ 7. Действие синусоидальной силы на затухающий осциллятор. . . . . . . . .
107
§ 8. Резонансные кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
§ 9. Параметрический резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118

Г л а в а IV. Нелинейные колебательные системы.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
§ 1. Автоколебания, автоколебательные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
§ 2. Часы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
§ 3. Электронные лампы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
§ 4. Ламповый генератор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
§ 5. Условие самовозбуждения. Регенерация. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
§ 6. Автоколебательные системы, не содержащие гармонических осцилляторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
§ 7. Выпрямление колебаний. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
§ 8. Модуляция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
§ 9. Демодуляция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
§ 10. Комбинационные колебания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160

ОГЛАВЛЕНИЕ

Г л а в а V. Волны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
§ 1. Предварительные замечания. Волны на поверхности воды . . . . . . . . . .
165
§ 2. Скалярные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
§ 3. Звуковые волны (предварительные сведения) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
§ 4. Векторные волны. Поляризация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
178
§ 5. Стоячие волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
§ 6. Суперпозиция двух шаровых или круговых синусоидальных волн. . .
182
§ 7. Световые волны (предварительные сведения). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
186
§ 8. Волновое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192
§ 9. Дисперсия. Групповая скорость .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194
§ 10. Явление Допплера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
204
Г л а в а VI. Упругие волны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208
§ 1. Продольные волны в твердом теле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208
§ 2. Энергетические соотношения. Вектор Умова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
216
§ 3. Продольные собственные колебания стержней и пластин . . . . . . . . . . .
221
§ 4. Упругие волны в газах и жидкостях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229
§ 5. Излучение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234
§ 6. Поведение продольной волны на границе двух сред .. . . . . . . . . . . . . . . .
238
§ 7. Колебании газовых столбов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
243
§ 8. Поперечные волны на струне. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246
§ 9. Суперпозиция нормальных колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
249
§ 10. Поглощение и дисперсия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
254
§ 11. Нелинейные явления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262
§ 12. Дополнительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
264
Г л а в а VII. Электромагнитные волны .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
265
§ 1. Исторические замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
265
§ 2. Уравнения Максвелла и их физический смысл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
269
§ 3. Электромагнитные волны (теория) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
273
§ 4. Электромагнитные волны (продолжение теории). Энергетические соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282
§ 5. Электромагнитные волны (лекционные эксперименты) . . . . . . . . . . . . . .
285
§ 6. Радиолокация и радиоинтерферометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
294
§ 7. Излучение элементарного вибратора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
300
§ 8. Отражение и преломление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
305
§ 9. Электромагнитные волны в анизотропной среде. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
324
Г л а в а VIII. Сложные излучатели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
334
§ 1. Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
334
§ 2. Излучение полуволнового вибратора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
335
§ 3. Излучение антенны, состоящей из двух параллельных полуволновых
вибраторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
337
§ 4. Антенна в виде одномерной решетки из полуволновых вибраторов. .
341
§ 5. Антенна в виде двумерной решетки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
350
§ 6. Направленное акустическое излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
357
§ 7. Общее исследование акустической волны, излучаемой колеблющейся
пластинкой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
361
§ 8. Поле вблизи двумерной решетки из электрических вибраторов . . . . .
375
§ 9. Механизм отражения, преломления и дисперсии электромагнитных
волн. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
378
§ 10. Механизм двойного преломления и вращения плоскости поляризации 388
§ 11. Рассеяние рентгеновского излучения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
398
§ 12. Дополнительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
400

ОГЛАВЛЕНИЕ
5

Г л а в а IX. Дифракция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
403
§ 1. «Узкий» и «широкий» смысл термина «дифракция» . . . . . . . . . . . . . . . . .
403
§ 2. Принцип Гюйгенса–Френеля: основная идея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
407
§ 3. Дифракция Фраунгофера на периодической структуре (дифракционные решетки) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
408
§ 4. Принцип Гюйгенса–Френеля (продолжение): количественная формулировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
413
§ 5. Простейшие дифракционные задачи с осевой симметрией. . . . . . . . . . .
417
§ 6. Фокусировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
423
§ 7. Дифракция от длинной прямой щели. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
431
§ 8. Неправильности краев экранов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
443
§ 9. Некоторые важные случаи дифракции Фраунгофера . . . . . . . . . . . . . . .
449
§ 10. Прожектор в оптике, акустике и радио. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
454
§ 11. Дифракционная картина вблизи фокуса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
458

Г л а в а X. Статистические явления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
463
§ 1. Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
463
§ 2. Суперпозиция колебаний со случайными фазами . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
466
§ 3. Действие случайных толчков на гармонический осциллятор . . . . . . . .
478
§ 4. Статистические явления в радиоаппаратуре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
488
§ 5. Статистические явления в источниках света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
498
§ 6. Общее исследование суперпозиции хаотически модулированных колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
508
§ 7. Суперпозиция линейно поляризованных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
516
§ 8. Естественный и поляризованный свет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
520
§ 9. Общее рассмотрение суперпозиции электромагнитных волн . . . . . . . .
524
§ 10. Интерференционные и дифракционные явления в случае протяженных источников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
531
§ 11. Вопросы когерентности в случае протяженных источников . . . . . . . .
541
§ 12. Интерференционные и дифракционные опыты с протяженными
источниками (продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
549
§ 13. Молекулярное рассеяние света. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
557

Г л а в а XI. Спектральное разложение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
561
§ 1. Спектр — реально существующая картина и спектр — математическое понятие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
561
§ 2. Спектральное разложение как математическая операция . . . . . . . . . . . .
563
§ 3. Спектральное разложение как физическое явление. Его осуществление колебательным контуром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
573
§ 4. Спектральное разложение как физическое явление (продолжение).
Его осуществление с помощью решетки и призмы . . . . . . . . . . . . . . . . . .
580
§ 5. Избирательность и спектральная разрешающая сила. . . . . . . . . . . . . . . .
591
§ 6. Сплошной спектр. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
601
§ 7. Обсуждение физического смысла спектрального разложения. . . . . . . .
613
§ 8. «Механизм» спектрального разложения. Простейшие случаи . . . . . . .
619
§ 9. Временной ход преобразования обрывка синусоиды спектральным
аппаратом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
626
§ 10. Временной ход преобразования модулированного колебания спектральным аппаратом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
632
§ 11. Ширина спектральных линий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
639
§ 12. Спектральное разложение как метод исследования. Спектры и
микромир . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
644
Д о п о л н е н и е к т р е т ь е м у и з д а н и ю
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
647
Р е к о м е н д у е м а я л и т е р а т у р а
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
649
П р е д м е т н ы й у к а з а т е л ь
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
650

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

Великолепная книга Г. С. Горелика, так много сделавшая в свое время
для подготовки отечественных кадров специалистов-физиков, как экспериментаторов, так и теоретиков, работающих в радиофизике, оптике
и акустике, не переиздавалась почти 50 лет. Эта интересная книга была
по достоинству высоко оценена научно-педагогической общественностью.
Естественным образом вскоре после выхода первого издания встал вопрос
о переиздании этого труда; но, к сожалению, второе издание (1959 г.)
было подготовлено к печати уже после безвременной кончины Габриэля
Семеновича. Автор прекрасно понимал необходимость внесения в текст
книги дополнений, учитывающих бурный прогресс соответствующих отраслей знания, но, увы, не успел это сделать.
Книга Г. С. Горелика «Колебания и волны» имеет подзаголовок «Введение в акустику, радиофизику и оптику». В ней на языке теории колебаний
единым образом рассматриваются колебательные и волновые процессы
в предметных ситуациях, традиционно изучаемых акустикой, радиофизикой, оптикой, механикой, электродинамикой. Это позволяет выработать
более глубокое понимание многих физических явлений, обычно «проходящих» по департаменту этих наук, естественным образом приводит
к осознанию единства материального мира.
Как это часто бывает, оригинальность подхода, глубина и блеск изложения существенно затрудняют модернизацию книги в отсутствие ее автора,
даже если речь идет о чисто формальной замене вакуумных электронных
ламп на полупроводниковые приборы. Это объясняет отсутствие в течение практически полувека переизданий оригинальной и интересной книги,
книги, которая, на самом деле, очень нужна студентам и преподавателям
физических, физико-технических, инженерно-физических и радиотехнических факультетов университетов и политехнических институтов.
Студенты начала XXI века существенно отличаются в массе своей от
своих коллег середины XX века. Они более прагматичны. Но прагматизм
этот в силу их молодости и неопытности, в силу неспособности многих
из них противостоять влиянию того культурного термостата (практически
поголовная компьютеризация, интернет, сотовая телефонизация, вообще —
информатизация), в который они погружены, близорук и бескрыл. Они
плохо воспринимают фундаментальное знание, не признают аналогий, не
хотят видеть общее в частном. Это все было бы очень печально, если бы
не было излечимо.
К счастью, правильно построенное преподавание физики позволяет
справиться с негативными последствиями этой детской болезни еще до
того, как молодой специалист начинает реально работать. Книга Горелика

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
7

должна быть тщательно прочитана и изучена каждым студентом-физиком
по ходу прохождения им университетского курса общей физики, желательно на третьем или на четвертом семестре обучения. Внимательный студент
получит при этом не только впечатляющий урок применения индуктивного
метода в физике. Он получит прекрасную возможность изучить такие
обычно трудно усваиваемые темы как «Статистические явления» (глава X)
и «Спектральное разложение» (глава XI).

Н. В. Карлов, член-корреспондент РАН,
ректор МФТИ с 1987 г. по 1997 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Оригинальная и интересная книга Г. С. Горелика «Колебания и волны»
достаточно широко известна и по достоинству оценена нашей научнопедагогической общественностью. Это избавляет меня от необходимости
давать ее характеристику и мотивировать выпуск ее второго издания.
Подготовленное после безвременной смерти Г. С. Горелика, это издание,
конечно, не подверглось той довольно значительной переработке, которую
имел в виду произвести сам автор и о направлении которой можно составить представление по имеющимся в его бумагах наметкам и замечаниям.
Я ограничился несколькими небольшими вставками в основной текст,
заимствованными из тех пояснений к отдельным вопросам общего характера, которые были написаны в 1953 г. самим Г. С. Гореликом (гл. I, § 2;
гл. II, § 7; гл. VIII, § 2; гл. XI, §§ 7 и 10). Кроме того, я сделал несколько
примечаний, которые в известной мере учитывают наметки автора ко
второму изданию книги и отчасти связаны с работами Г. С. Горелика и его
учеников, выполненными после выхода в свет первого издания (вопросы
о разрешающей силе приборов, об измерении дисперсии среды и некоторые
другие). Примечания редактора взяты в квадратные скобки.
С. М. Рытов

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

В этой книге сделана попытка рассмотреть с единой точки зрения
на уровне университетского общего курса физики колебательные и волновые явления, встречающиеся в механике, акустике, оптике, учении
об электромагнитных явлениях. Плодотворность единого подхода ко всевозможным колебательным и волновым явлениям давно ясна физикам
и инженерам. Книга составлена на основе лекций, читавшихся в течение
ряда лет студентам-физикам второго курса Горьковского государственного
университета. Она рассчитана главным образом на студентов физических,
инженерно-физических и радиотехнических факультетов наших университетов и технических высших учебных заведений. Можно надеяться,
что она принесет пользу и инженерам, имеющим дело с колебательными
и волновыми явлениями.
Для чтения книги требуется знание разделов «механика» и «электричество» общего курса физики. В отношении математической подготовки
читателя предполагается, что он владеет векторной алгеброй и аналитической геометрией и умеет вычислять производные и простейшие интегралы.
Всякий раз, когда приходится пользоваться более сложным математическим аппаратом (например, дифференциальными уравнениями), даются
необходимые пояснения, но без претензии на полноту и строгость.
Для того чтобы не увеличивать объема книги, пришлось ограничиться
изложением отдельных фактов лишь в той мере, в какой они необходимы
для понимания целого. Необходимо предупредить поэтому, что книга не
может заменить обычный учебник оптики, акустики или радиотехники.
Сравнительно большое место, занимаемое в книге радиофизическим
материалом, объясняется не только его важностью для техники, но и той
ролью, которую играют радиофизические методы в самых разнообразных
областях современного научного исследования — от ядерной физики до
астрономии, от биологии до геофизики. Знание принципов, на которых
основано действие важнейших типов радиоаппаратуры, приобрело такое же
значение для естествоиспытателя, как понимание устройства микроскопа
или гальванометра.
Автор старался показать, какой драгоценный вклад внесен в учение
о колебаниях и волнах работами А. С. Попова, П. Н. Лебедева, Н. А. Умова,
И. А. Вышнеградского, Н. Е. Жуковского, А. Н. Крылова, Л. И. Мандельштама и других выдающихся русских исследователей. В книге сделана
попытка дать достаточно ясное (хотя по неизбежности неполное) представление о громадной и разнообразной исследовательской работе в области
колебаний и волн, которая проделана в Советском Союзе.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Несколько слов о характере ссылок на литературу. В отличие от руководств, предназначенных для квалифицированного читателя, в данной
книге ссылки на литературу не служат путеводителем по оригинальным
работам и лишь указывают ряд книг и обзорных статей, которые помогут
читателям полнее и глубже разобраться в отдельных вопросах.
Большую помощь в создании книги оказали автору сотрудники кафедры
общей физики ГГУ и отдела радиофизики Физико-технического института ГГУ. Много труда в нее вложили лекционный ассистент Л. П. Думенек,
поставивший ряд описанных в книге демонстраций, В. С. Троицкий, разработавший аппаратуру для демонстрации микрорадиоволн и флуктуационных явлений в радиофизике, Н. М. Забавина и С. И. Боровицкий, выполнившие основную часть чертежной работы.
Представлялось весьма желательным, чтобы в книге были рисунки,
дающие не слишком схематическое представление о некоторых лекционных
экспериментах. Такие рисунки были сделаны с натуры С. Н. Рубиным.
Ряд ценных замечаний высказал при просмотре рукописи С. М. Рытов.
Большую работу по подготовке рукописи к печати проделала Н. К. Кожина.
Всем, кто помогал мне в работе над этой книгой, я выражаю свою
искреннюю признательность.
Несмотря на старания автора и издательства, в книге могут оказаться
(главным образом вследствие большого разнообразия материала) некоторые
ошибки и промахи. Я буду весьма благодарен за указания необходимых или
желательных исправлений.
Г. Горелик

Г Л А В А I
КОЛЕБАНИЯ

§ 1. Примеры гармонических колебаний

1. Колебания маятника. Отклоним рукой, а затем отпустим маятник,
устроенный так, что он может сам рисовать график зависимости своего
отклонения от времени (рис. 1). Этот маятник представляет собою конический сосуд, подвешенный на трех нитях, наполненный песком и имеющий

Рис. 1. Самопишущий маятник

внизу небольшое отверстие, из которого песок высыпается тонкой струйкой. На столе лежит выкрашенная в черный цвет длинная полоса картона.
Заставим эту полосу равномерно скользить по столу в направлении, перпендикулярном к плоскости, в которой движется маятник. Песок сыплется
на картон и прилипает к нему (картон был предварительно слегка смочен).
Поставив затем картон вертикально, мы увидим то, что изображено на
рис. 2. «Автограф» маятника, написанный им песком по картону, есть
синусоида, или, точнее, может рассматриваться с известным приближением

Гл. I. КОЛЕБАНИЯ

как синусоида. При подходящем выборе начала координат эта кривая
описывается уравнением
y = A cos kx,
где A, k — постоянные. Каждая ордината y равна, очевидно, смещению
маятника в определенный момент t, а каждая абсцисса x — смещению

Рис. 2. «Автограф» маятника

картона в тот же момент t. Так как картон движется равномерно (с некоторой постоянной скоростью v), то
x = vt,
и следовательно, зависимость смещения маятника от времени выражается
уравнением
y = A cos ωt,
(1.1)
где
ω = kv.
Явление, описываемое формулой вида (1.1), где A, ω — постоянные, называется гармоническим колебанием.
Функция cos ωt обладает тем свойством, что при любом t
cos ω (t + T) = cos (ωt + ωT) = cos ωt,
если
ωT = 2π,
т. е., если
T = 2π

ω
или
ω = 2π

T .

Промежуток времени T называется периодом гармонического колебания; это — продолжительность полного колебания, после которого все
движение в точности повторяется. Величина

ν = 1

T = ω

2π

§ 1. ПРИМЕРЫ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
13

называется частотой гармонического колебания; это — число полных
колебаний за единицу времени. Величина ω называется круговой частотой.
Это — число полных колебаний, происходящих в течение 2π единиц времени. Если время измеряется в секундах, то частота есть число полных колебаний в секунду. Единицей частоты является при этом частота колебания,
период которого равен 1 с. Для этой единицы частоты приняты названия
герц и цикл 1. Маятник, изображенный на рис. 1, при длине нити в 1 м
имеет период, равный приблизительно 2 с, т. е. частоту около 0,5 герца.
Периоду 10−3 с соответствует частота 1 килогерц (или 1 килоцикл),
периоду 10−6 с — частота 1 мегагерц (или 1 мегацикл). С частотами такого
порядка (и еще гораздо большими) нам постоянно придется встречаться
в дальнейшем.
Величина
A
называется
амплитудой
гармонического
колебания.
Амплитуда
равна
наибольшему
значению,
принимаемому
величиной,
меняющейся со временем по закону, представляемому формулой (1.1).
2. Колебания камертона. Заставим звучать камертон, к одной из
ножек которого прикреплено легкое зеркальце (рис. 3). Затемнив аудиторию, направим на зеркальце тонкий пучок белого света от электрической

Рис. 3. Вертикальное размытие зайчика при звучании камертона

дуги. Свет отражается от зеркальца, затем от другого (неподвижного)
зеркала и попадает на экран. На экране образуется «зайчик», имеющий
вид тонкой вертикальной черточки, более яркой на концах, чем в середине.
Если мы придержим пальцем камертон так, чтобы он перестал звучать, черточка превратится в круглое пятнышко. Вертикальная черточка получается,
очевидно, вследствие того, что ножка камертона и вместе с нею зеркальце
быстро колеблются. При этом меняются угол падения и угол отражения
света и луч, отбрасываемый от зеркальца, колеблется в вертикальной
плоскости. Если зритель, фиксируя свой взгляд на вертикальной черточке,

1 Правильнее говорить «цикл в секунду».

Гл. I. КОЛЕБАНИЯ

быстро повернет голову, он увидит яркую белую синусоиду на темном
фоне. Максимумы и минимумы будут тем сильнее раздвинуты, чем быстрее
поворачивать голову. Ясно в чем тут дело: сетчатка глаза, на которой
получается изображение зайчика, находящегося на экране, играет ту же
роль, что картон в опыте с маятником; зайчик изменяет свое положение,
как и маятник, по синусоидальному закону. Отсюда легко заключить, что
и смещение ножки камертона меняется со временем по такому же закону.
Это можно показать гораздо лучше, если заменить неподвижное зеркало многогранным зеркалом, вращающимся вокруг вертикальной оси. Тогда
при остановленном камертоне зайчик многократно пробегает слева направо
горизонтальную линию, и если движение — достаточно быстрое, глаз видит
уже не отдельные положения зайчика, а сплошную горизонтальную линию.

Рис. 4. То же, что и на рис. 3, но с добавлением горизонтальной развертки

Если теперь отпустить камертон так, чтобы он снова зазвучал, эта линия
превратится в синусоиду (рис. 4).
Итак, камертон также колеблется по закону (1.1), но здесь круговая
частота ω и частота ν = ω/2π гораздо больше, чем у маятника. Камертон,

Рис. 5. Клавиатура фортепиано

дающий тон ля первой октавы,
колеблется с частотой 440 герц.
Октава (рис. 5) соответствует отношению частот 2 : 1, терция —
отношению частот 5 : 4.
3. Колебания электрических
величин 1. Проделаем опыт, наглядно показывающий, по какому
закону меняется со временем напряжение в городской сети.

1 Можно говорить о колебаниях физической системы (колебания маятника)
и о колебаниях физической величины (колебания смещения, скорости, силы тока).