Элементы прикладной математики

Зельдович Я.Б.

Мышкис А.Д.

Элементы прикладной

математики

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 512.6, 517, 519.2
ББК 22.14, 22.16, 22.17
З 50

З е л ьд о в и ч Я. Б., М ы ш к и с А. Д.
Элементы прикладной математики. — 5-е изд., испр. и дополн. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. — 592 с. —
ISBN 978-5-9221-0775-4.

В задачах физики, техники и в практических вычислениях используются численные и графические методы, ряды. В книге содержатся полезные
приемы таких вычислений. В наглядной форме даются основные сведения о
комплексных переменных, линейных дифференциальных уравнениях, векторах
и векторных полях и вариационном исчислении.
Формальные доказательства в большинстве случаев заменены наводящими
соображениями; за счет этого упрощено и облегчено применение математических понятий. Подробно анализируются некоторые физические задачи, в
частности относящиеся к оптике и механике.
Для студентов технических университетов в качестве пособия к изучаемому ими курсу математики.

ISBN 978-5-9221-0775-4

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2008

c⃝ Я. Б. Зельдович, А. Д. Мышкис, 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие  к третьему изданию .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 7
Предисловие  к пятому изданию.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 10

Г л а в а I. Некоторые численные методы .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 11
§ 1. Численное интегрирование.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 12
§ 2. Вычисление сумм при помощи интегралов .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 17
§ 3. Численное решение уравнений .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 25
Ответы и решения.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 34

Г л а в а II. Математическая обработка результатов опыта.  .  .  .  . 36
§ 1. Таблицы и разности.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 36
§ 2. Интегрирование и дифференцирование функций,
заданных таблично .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 41
§ 3. Подбор формул по данным опыта по методу
наименьших квадратов.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 45
§ 4. Графический способ подбора формул .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 51
Ответы и решения.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 58

Г л а в а III. Дополнительные сведения об интегралах и рядах .  .  . 61
§ 1. Несобственные интегралы .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 61
§ 2. Интегрирование быстроменяющихся функций .  .  .  .  .  .  .  . 69
§ 3. Формула Стирлинга .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 77
§ 4. Интегрирование быстроколеблющихся функций .  .  .  .  .  .  . 79
§ 5. Числовые ряды.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 82
§ 6. Интегралы, зависящие от параметра .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 93
Ответы и решения.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 97

Г л а в а IV. Функции нескольких переменных .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 100
§ 1. Частные производные.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 100
§ 2. Геометрический смысл функции двух переменных .  .  .  .  . 107
§ 3. Неявные функции .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 109
§ 4. Радиолампа .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 117
§ 5. Огибающая семейства линий .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 120
§ 6. Ряд Тейлора и задачи на экстремум .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 122
§ 7. Кратные интегралы .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 129
§ 8. Многомерное пространство и число степеней свободы .  .  . 139
Ответы и решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 143

Г л а в а V. Функции комплексного переменного .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 146
§ 1. Простейшие свойства комплексных чисел.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 146
§ 2. Сопряженные комплексные числа.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 149

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 3. Возведение в мнимую степень. Формула Эйлера .  .  .  .  .  . 152
§ 4. Логарифмы и корни .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 156
§ 5. Описание гармонических колебаний с помощью
показательной функции от мнимого аргумента.  .  .  .  .  .  .  . 159
§ 6. Производная функции комплексного переменного .  .  .  .  . 166
§ 7. Гармонические функции .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 168
§ 8. Интеграл от функции комплексного переменного .  .  .  .  .  . 170
§ 9. Вычеты .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 175
Ответы и решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 183

Г л а в а VI. Дельтафункция Дирака.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 187
§ 1. Дельтафункция Дирака δ( )
x .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 187
§ 2. Функция Грина.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 192
§ 3. Функции, связанные с дельтафункцией.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 197
§ 4. Понятие об интеграле Стилтьеса.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 202
Ответы и решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 203

Г л а в а VII. Дифференциальные уравнения.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 205
§ 1. Геометрический смысл дифференциального уравнения
первого порядка .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 205
§ 2. Интегрируемые типы уравнений первого порядка.  .  .  .  .  . 208
§ 3. Линейные однородные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 216
§ 4. Простейшее линейное неоднородное уравнение
второго порядка .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 222
§ 5. Линейные неоднородные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 228
§ 6. Устойчивые и неустойчивые решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 235
Ответы и решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 240

Г л а в а VIII. Дальнейшие сведения о дифференциальных
уравнениях .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 242
§ 1. Особые точки .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 242
§ 2. Системы дифференциальных уравнений .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 244
§ 3. Определители и решение линейных систем
с постоянными коэффициентами .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 247
§ 4. Устойчивость по Ляпунову состояния равновесия .  .  .  .  . 252
§ 5. Построение приближенных формул для решения .  .  .  .  .  . 255
§ 6. Адиабатическое изменение решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 263
§ 7. Численное решение дифференциальных уравнений .  .  .  . 266
§ 8. Краевые задачи .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 275
§ 9. Пограничный слой.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 281
§ 10. Подобие явлений .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 282

ОГЛАВЛЕНИЕ
5

§ 11. Применяйте компьютеры! .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 286
Ответы и решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 293

Г л а в а IX. Векторы.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 296
§ 1. Линейные действия над векторами .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 297
§ 2. Скалярное произведение векторов .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 301
§ 3. Производная от вектора .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 304
§ 4. Движение материальной точки .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 306
§ 5. Понятие о тензорах .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 310
§ 6. Многомерное векторное пространство .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 314
Ответы и решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 318

Г л а в а X. Теория поля .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 321
§ 1. Введение .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 321
§ 2. Скалярное поле и градиент .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 322
§ 3. Потенциальная энергия и cила .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 326
§ 4. Поле скорости и поток .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 332
§ 5. Электростатическое поле, его потенциал и поток .  .  .  .  .  . 335
§ 6. Примеры .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 339
§ 7. Общее векторное поле и его дивергенция .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 348
§ 8. Дивергенция поля скорости и уравнение
неразрывности .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 352
§ 9. Дивергенция электрического поля
и уравнение Пуассона.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 355
§ 10. Вектор площадки и давление .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 358
Ответы и решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 363

Г л а в а XI. Векторное произведение и вращение .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 366
§ 1. Векторное произведение векторов.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 366
§ 2. Некоторые приложения к механике.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 370
§ 3. Движение в поле центральных сил .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 373
§ 4. Вращение твердого тела .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 381
§ 5. Симметрические и антисимметрические тензоры .  .  .  .  .  . 383
§ 6. Истинные векторы и псевдовекторы .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 389
§ 7. Ротор векторного поля .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 391
§ 8. Оператор Гамильтона «набла» .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 397
§ 9. Потенциальные поля .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 400
§ 10. Ротор поля скорости .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 404
§ 11. Магнитное поле и электрический ток .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 406
§ 12. Электромагнитное поле и уравнения Максвелла .  .  .  .  .  . 410
§ 13. Потенциал в многосвязной области .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 414
Ответы и решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 416

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 3. Возведение в мнимую степень. Формула Эйлера .  .  .  .  .  . 152
§ 4. Логарифмы и корни .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 156
§ 5. Описание гармонических колебаний с помощью
показательной функции от мнимого аргумента.  .  .  .  .  .  .  . 159
§ 6. Производная функции комплексного переменного .  .  .  .  . 166
§ 7. Гармонические функции .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 168
§ 8. Интеграл от функции комплексного переменного .  .  .  .  .  . 170
§ 9. Вычеты .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 175
Ответы и решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 183

Г л а в а VI. Дельтафункция Дирака.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 187
§ 1. Дельтафункция Дирака δ( )
x .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 187
§ 2. Функция Грина.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 192
§ 3. Функции, связанные с дельтафункцией.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 197
§ 4. Понятие об интеграле Стилтьеса.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 202
Ответы и решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 203

Г л а в а VII. Дифференциальные уравнения.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 205
§ 1. Геометрический смысл дифференциального уравнения
первого порядка .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 205
§ 2. Интегрируемые типы уравнений первого порядка.  .  .  .  .  . 208
§ 3. Линейные однородные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 216
§ 4. Простейшее линейное неоднородное уравнение
второго порядка .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 222
§ 5. Линейные неоднородные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 228
§ 6. Устойчивые и неустойчивые решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 235
Ответы и решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 240

Г л а в а VIII. Дальнейшие сведения о дифференциальных
уравнениях .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 242
§ 1. Особые точки .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 242
§ 2. Системы дифференциальных уравнений .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 244
§ 3. Определители и решение линейных систем
с постоянными коэффициентами .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 247
§ 4. Устойчивость по Ляпунову состояния равновесия .  .  .  .  . 252
§ 5. Построение приближенных формул для решения .  .  .  .  .  . 255
§ 6. Адиабатическое изменение решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 263
§ 7. Численное решение дифференциальных уравнений .  .  .  . 266
§ 8. Краевые задачи .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 275
§ 9. Пограничный слой.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 281
§ 10. Подобие явлений .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 282

ОГЛАВЛЕНИЕ
5

§ 11. Применяйте компьютеры! .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 286
Ответы и решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 293

Г л а в а IX. Векторы.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 296
§ 1. Линейные действия над векторами .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 297
§ 2. Скалярное произведение векторов .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 301
§ 3. Производная от вектора .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 304
§ 4. Движение материальной точки .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 306
§ 5. Понятие о тензорах .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 310
§ 6. Многомерное векторное пространство .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 314
Ответы и решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 318

Г л а в а X. Теория поля .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 321
§ 1. Введение .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 321
§ 2. Скалярное поле и градиент .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 322
§ 3. Потенциальная энергия и cила .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 326
§ 4. Поле скорости и поток .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 332
§ 5. Электростатическое поле, его потенциал и поток .  .  .  .  .  . 335
§ 6. Примеры .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 339
§ 7. Общее векторное поле и его дивергенция .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 348
§ 8. Дивергенция поля скорости и уравнение
неразрывности .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 352
§ 9. Дивергенция электрического поля
и уравнение Пуассона.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 355
§ 10. Вектор площадки и давление .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 358
Ответы и решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 363

Г л а в а XI. Векторное произведение и вращение .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 366
§ 1. Векторное произведение векторов.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 366
§ 2. Некоторые приложения к механике.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 370
§ 3. Движение в поле центральных сил .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 373
§ 4. Вращение твердого тела .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 381
§ 5. Симметрические и антисимметрические тензоры .  .  .  .  .  . 383
§ 6. Истинные векторы и псевдовекторы .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 389
§ 7. Ротор векторного поля .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 391
§ 8. Оператор Гамильтона «набла» .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 397
§ 9. Потенциальные поля .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 400
§ 10. Ротор поля скорости .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 404
§ 11. Магнитное поле и электрический ток .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 406
§ 12. Электромагнитное поле и уравнения Максвелла .  .  .  .  .  . 410
§ 13. Потенциал в многосвязной области .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 414
Ответы и решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 416

ОГЛАВЛЕНИЕ

Г л а в а XII. Вариационное исчисление .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 421
§ 1. Пример перехода от конечного числа степеней
свободы к бесконечному .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 421
§ 2. Функционал.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 427
§ 3. Необходимое условие экстремума .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 431
§ 4. Уравнение Эйлера .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 433
§ 5. Всегда ли существует решение поставленной задачи? .  .  . 439
§ 6. Варианты основной задачи .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 443
§ 7. Условный экстремум для конечного числа степеней
свободы.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 445
§ 8. Условный экстремум в вариационном исчислении .  .  .  .  . 448
§ 9. Задачи на экстремум с ограничениями .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 456
§ 10. Вариационные принципы. Принцип Ферма в оптике .  .  . 458
§ 11. Принцип наименьшего действия .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 465
§ 12. Прямые методы .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 469
Ответы и решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 473

Г л а в а XIII. Теория вероятностей .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 479
§ 1. Постановка вопроса .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 479
§ 2. Умножение вероятностей .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 482
§ 3. Анализ результатов многих испытаний .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 487
§ 4. Энтропия.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 499
§ 5. Радиоактивный распад. Формула Пуассона.  .  .  .  .  .  .  .  .  . 504
§ 6. Другой вывод распределения Пуассона .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 508
§ 7. Непрерывно распределенные величины .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 510
§ 8. Случай весьма большого числа испытаний .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 515
§ 9. Корреляционная зависимость .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 522
§ 10. О распределении простых чисел .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 527
Ответы и решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 533

Г л а в а XIV. Преобразование Фурье .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 538
§ 1. Введение .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 538
§ 2. Формулы преобразования Фурье .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 542
§ 3. Причинность и дисперсионные соотношения.  .  .  .  .  .  .  .  . 549
§ 4. Свойства преобразования Фурье.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 554
§ 5. Преобразование колокола и принцип неопределенности . 561
§ 6. Спектральный анализ периодической функции .  .  .  .  .  .  . 566
§ 7. Пространство Гильберта .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 570
§ 8. Модуль и фаза спектральной плотности .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 575
Ответы и решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 578

Предметный указатель .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 582

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

Эта книга является не систематическим учебником, а скорее, книгой для чтения. На простых примерах, взятых из физики, на различных
математических задачах мы старались ввести читателя в круг идей
и методов, широко распространенных сейчас в приложениях математики к физике, технике и некоторым другим областям. Некоторые из
этих идей и методов (такие, как применение дельтафункции, принципа суперпозиции, получение асимптотических выражений и т.д.) еще
недостаточно освещаются в распространенных математических учебниках для нематематиков, так что здесь наша книга может служить дополнением к этим учебникам. Нашей целью было пояснить основные
идеи математических методов и общие закономерности рассматриваемых явлений. Напротив, формальные доказательства, рассмотрение
исключений и усложняющих факторов по возможности опущены. Взамен этого мы в некоторых местах старались входить более подробно
в физическую картину рассматриваемых процессов.
Предполагается, что читатель владеет основами дифференциального и интегрального исчислений для функций одной переменной, включая разложение таких функций в степенны′е ряды, и может применять
эти разделы математики к решению физических задач. Достаточно (но
не необходимо!), например, знакомство с книгой Я.Б. Зельдовича
«Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике», на
которую мы будем иногда ссылаться, обозначая ее буквами ВМ (имеется в виду издание 5, «Наука», 1970). Более того, настоящая книга в какойто
степени
может
рассматриваться
как
продолжение
ВМ.
В немногих местах изложение близко книге А. Д. Мышкиса «Лекции
по высшей математике», издание 4 («Наука», 1973)*. Тем не менее настоящая книга является совершенно самостоятельной, поскольку от
читателя никаких специальных познаний, помимо только что указанных, не потребуется.
Содержание книги ясно из прилагаемого оглавления. Ее не обязательно читать подряд: читатель может знакомиться с интересующими
его разделами независимо от других разделов и только в явно указываемых случаях из этих других разделов потребуются отдельные сведения.

* Вскоре должно выйти 5е, значительно переработанное и дополненное издание
этой книги.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Г л а в а XII. Вариационное исчисление .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 421
§ 1. Пример перехода от конечного числа степеней
свободы к бесконечному .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 421
§ 2. Функционал.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 427
§ 3. Необходимое условие экстремума .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 431
§ 4. Уравнение Эйлера .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 433
§ 5. Всегда ли существует решение поставленной задачи? .  .  . 439
§ 6. Варианты основной задачи .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 443
§ 7. Условный экстремум для конечного числа степеней
свободы.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 445
§ 8. Условный экстремум в вариационном исчислении .  .  .  .  . 448
§ 9. Задачи на экстремум с ограничениями .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 456
§ 10. Вариационные принципы. Принцип Ферма в оптике .  .  . 458
§ 11. Принцип наименьшего действия .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 465
§ 12. Прямые методы .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 469
Ответы и решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 473

Г л а в а XIII. Теория вероятностей .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 479
§ 1. Постановка вопроса .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 479
§ 2. Умножение вероятностей .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 482
§ 3. Анализ результатов многих испытаний .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 487
§ 4. Энтропия.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 499
§ 5. Радиоактивный распад. Формула Пуассона.  .  .  .  .  .  .  .  .  . 504
§ 6. Другой вывод распределения Пуассона .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 508
§ 7. Непрерывно распределенные величины .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 510
§ 8. Случай весьма большого числа испытаний .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 515
§ 9. Корреляционная зависимость .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 522
§ 10. О распределении простых чисел .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 527
Ответы и решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 533

Г л а в а XIV. Преобразование Фурье .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 538
§ 1. Введение .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 538
§ 2. Формулы преобразования Фурье .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 542
§ 3. Причинность и дисперсионные соотношения.  .  .  .  .  .  .  .  . 549
§ 4. Свойства преобразования Фурье.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 554
§ 5. Преобразование колокола и принцип неопределенности . 561
§ 6. Спектральный анализ периодической функции .  .  .  .  .  .  . 566
§ 7. Пространство Гильберта .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 570
§ 8. Модуль и фаза спектральной плотности .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 575
Ответы и решения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 578

Предметный указатель .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 582

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

Эта книга является не систематическим учебником, а скорее, книгой для чтения. На простых примерах, взятых из физики, на различных
математических задачах мы старались ввести читателя в круг идей
и методов, широко распространенных сейчас в приложениях математики к физике, технике и некоторым другим областям. Некоторые из
этих идей и методов (такие, как применение дельтафункции, принципа суперпозиции, получение асимптотических выражений и т.д.) еще
недостаточно освещаются в распространенных математических учебниках для нематематиков, так что здесь наша книга может служить дополнением к этим учебникам. Нашей целью было пояснить основные
идеи математических методов и общие закономерности рассматриваемых явлений. Напротив, формальные доказательства, рассмотрение
исключений и усложняющих факторов по возможности опущены. Взамен этого мы в некоторых местах старались входить более подробно
в физическую картину рассматриваемых процессов.
Предполагается, что читатель владеет основами дифференциального и интегрального исчислений для функций одной переменной, включая разложение таких функций в степенны′е ряды, и может применять
эти разделы математики к решению физических задач. Достаточно (но
не необходимо!), например, знакомство с книгой Я.Б. Зельдовича
«Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике», на
которую мы будем иногда ссылаться, обозначая ее буквами ВМ (имеется в виду издание 5, «Наука», 1970). Более того, настоящая книга в какойто
степени
может
рассматриваться
как
продолжение
ВМ.
В немногих местах изложение близко книге А. Д. Мышкиса «Лекции
по высшей математике», издание 4 («Наука», 1973)*. Тем не менее настоящая книга является совершенно самостоятельной, поскольку от
читателя никаких специальных познаний, помимо только что указанных, не потребуется.
Содержание книги ясно из прилагаемого оглавления. Ее не обязательно читать подряд: читатель может знакомиться с интересующими
его разделами независимо от других разделов и только в явно указываемых случаях из этих других разделов потребуются отдельные сведения.

* Вскоре должно выйти 5е, значительно переработанное и дополненное издание
этой книги.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Поэтому для удобства в начале отдельных глав и параграфов указываются сведения из предыдущих глав, знакомство с которыми необходимо. Нумерация параграфов и формул производится в каждой главе
самостоятельно, а при ссылках в пределах одной главы ее номер не указывается.
Книга может быть полезна студентам — инженерам, физикам и
представителям других специальностей (в том числе, заочникам), начиная, примерно, с середины второго семестра 1го курса в качестве пособия к изучаемому ими курсу математики. Она пригодна и практику,
если он захочет подробней ознакомиться с тем или иным разделом математики, который может понадобиться ему в его работе.
Несомненно, что разнородный материал трудно читать активно. Целеустремленная проработка обычно подразумевает читателя, перед которым жизнь поставила в данный момент одну определенную задачу. Такой
читатель склонен пропускать все, что не относится к его задаче.
Возникает общий вопрос: целесообразно ли читать подобную книгу
«впрок», не будет ли такое чтение поверхностным, не окажутся ли приведенные в ней советы забытыми вскоре после прочтения?
В ответ на это авторы могут высказать два аргумента.
Вопервых, мы везде старались давать не только практические рецепты, но и те глубокие общие идеи, из которых эти рецепты возникают.
Такие идеи обогащают интеллект читателя, развивают его научный
кругозор, дают возможность поиному взглянуть на окружающий мир
и потому задерживаются гораздо прочнее.
Второй аргумент относится к психологии памяти. Очень часто бывает так, что хотя Вы не можете воспроизвести прочитанное все подряд, в том порядке, в котором материал Вам преподносился, но этот
материал не изгладился из памяти! Отдельные его части могут быть
воспроизведены Вами при ассоциативном воспоминании, например,
когда Вы сталкиваетесь с задачей, требующей того или иного приема.
Даже смутное воспоминание о том, где можно найти этот материал,
и то часто оказывается полезным*. Говоря грубо, имеются вещи, понятия и связи, которые мы вспоминаем лишь тогда, когда это нам очень
нужно. Вспомните, что сказал по аналогичному поводу монах Варлаам:
«Я давно не читывал и худо разбираю, а тут уж разберу, как дело до петли доходит».
Итак, читайте нашу книгу и изучайте ее. Помните любимое высказывание Леонтия Магницкого в его знаменитой «Арифметике»:
«Умствуй и придет!» Но даже если нет возможности изучать ее глубоко,
читайте, как детектив, и, может быть, она поможет Вам найти решение
трудных задач.

* Следуя 3. Фрейду, можно было бы сказать, что забытые теоремы находятся в подсознании, гдето рядом с подавленными импульсами раннего детства.

ПРЕДИСЛОВИЕ
9

Пусть судьба хранит Вас от петли, но не от трудностей.
Только решая трудные задачи, человек полностью раскрывает свой
талант, свои возможности, только в трудных задачах он дает максимальную отдачу.
Мы будем благодарны читателям за любые замечания по содержанию и изложению материала книги. Несомненно, что на отдельных
местах книги сказались различные навыки ее авторов, один из которых
является физиком, а другой — математиком. Порой мы упорно тянули
в разные стороны. Теперь сюда приложит свои усилия еще и читатель,
так что все эти усилия будут складываться*. Подобный случай был
разобран еще в известной басне Крылова, однако мы надеемся, что
у нас результаты будут не столь плачевны.
Авторы выражают свою признательность К. А. Семендяеву, который прочитал рукопись книги и сделал ряд ценных замечаний.
По истечении четырех лет оказалось необходимым новое, третье издание книги. Этот факт авторы рассматривают как одобрение основного замысла — вооружить читателя практически полезными методами и
сведениями, предельно упрощая и облегчая формальные определения
и доказательства.
Вместе с тем, новое издание налагает и новую ответственность. Поэтому книга была подвергнута тщательному пересмотру (в котором
большое участие принял редактор А. А. Овчинников) и добавлены
важные разделы.
В третьем издании значительно переработаны §§ IX.1, IX.2, расширены §§ X.9, XIV.4, XIV.7, добавлены §§ III.4, VIII.10, IX.5, XI.3, XI.5
и XIV.8. При этом были учтены замечания А.Н. Тихонова, которому авторы выражают свою признательность.
В третьей главе подробнее рассмотрено интегрирование быстроколеблющихся функций. В главе VIII добавлен параграф о подобии явлений, в котором с физической и математической сторон рассматриваются
теория размерности, понятие подобия и автомодельности.
В главах IX и XI более подробно и четко даны определения вектора
и тензора,связьэтихпонятий слинейными преобразованиями.Подробно
рассмотрены симметрические и антисимметрические тензоры; в частности, описано введение псевдовектора, эквивалентного антисимметричному тензору в трехмерном пространстве. Добавлена физическая задача
о движении точки в поле центральных сил. Продолжено исследование задач о вращении твердого тела. Эти задачи были и остаются классическими примерами приложения теории обыкновенных дифференциальных
уравнений к физике.
В связи c теорией спектрального разложения рассмотрен вопрос
о фазе Фурьекомпонент; потеря информации при переходах к спек* Сложение сил по векторному закону изложено в гл. IX.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Поэтому для удобства в начале отдельных глав и параграфов указываются сведения из предыдущих глав, знакомство с которыми необходимо. Нумерация параграфов и формул производится в каждой главе
самостоятельно, а при ссылках в пределах одной главы ее номер не указывается.
Книга может быть полезна студентам — инженерам, физикам и
представителям других специальностей (в том числе, заочникам), начиная, примерно, с середины второго семестра 1го курса в качестве пособия к изучаемому ими курсу математики. Она пригодна и практику,
если он захочет подробней ознакомиться с тем или иным разделом математики, который может понадобиться ему в его работе.
Несомненно, что разнородный материал трудно читать активно. Целеустремленная проработка обычно подразумевает читателя, перед которым жизнь поставила в данный момент одну определенную задачу. Такой
читатель склонен пропускать все, что не относится к его задаче.
Возникает общий вопрос: целесообразно ли читать подобную книгу
«впрок», не будет ли такое чтение поверхностным, не окажутся ли приведенные в ней советы забытыми вскоре после прочтения?
В ответ на это авторы могут высказать два аргумента.
Вопервых, мы везде старались давать не только практические рецепты, но и те глубокие общие идеи, из которых эти рецепты возникают.
Такие идеи обогащают интеллект читателя, развивают его научный
кругозор, дают возможность поиному взглянуть на окружающий мир
и потому задерживаются гораздо прочнее.
Второй аргумент относится к психологии памяти. Очень часто бывает так, что хотя Вы не можете воспроизвести прочитанное все подряд, в том порядке, в котором материал Вам преподносился, но этот
материал не изгладился из памяти! Отдельные его части могут быть
воспроизведены Вами при ассоциативном воспоминании, например,
когда Вы сталкиваетесь с задачей, требующей того или иного приема.
Даже смутное воспоминание о том, где можно найти этот материал,
и то часто оказывается полезным*. Говоря грубо, имеются вещи, понятия и связи, которые мы вспоминаем лишь тогда, когда это нам очень
нужно. Вспомните, что сказал по аналогичному поводу монах Варлаам:
«Я давно не читывал и худо разбираю, а тут уж разберу, как дело до петли доходит».
Итак, читайте нашу книгу и изучайте ее. Помните любимое высказывание Леонтия Магницкого в его знаменитой «Арифметике»:
«Умствуй и придет!» Но даже если нет возможности изучать ее глубоко,
читайте, как детектив, и, может быть, она поможет Вам найти решение
трудных задач.

* Следуя 3. Фрейду, можно было бы сказать, что забытые теоремы находятся в подсознании, гдето рядом с подавленными импульсами раннего детства.

ПРЕДИСЛОВИЕ
9

Пусть судьба хранит Вас от петли, но не от трудностей.
Только решая трудные задачи, человек полностью раскрывает свой
талант, свои возможности, только в трудных задачах он дает максимальную отдачу.
Мы будем благодарны читателям за любые замечания по содержанию и изложению материала книги. Несомненно, что на отдельных
местах книги сказались различные навыки ее авторов, один из которых
является физиком, а другой — математиком. Порой мы упорно тянули
в разные стороны. Теперь сюда приложит свои усилия еще и читатель,
так что все эти усилия будут складываться*. Подобный случай был
разобран еще в известной басне Крылова, однако мы надеемся, что
у нас результаты будут не столь плачевны.
Авторы выражают свою признательность К. А. Семендяеву, который прочитал рукопись книги и сделал ряд ценных замечаний.
По истечении четырех лет оказалось необходимым новое, третье издание книги. Этот факт авторы рассматривают как одобрение основного замысла — вооружить читателя практически полезными методами и
сведениями, предельно упрощая и облегчая формальные определения
и доказательства.
Вместе с тем, новое издание налагает и новую ответственность. Поэтому книга была подвергнута тщательному пересмотру (в котором
большое участие принял редактор А. А. Овчинников) и добавлены
важные разделы.
В третьем издании значительно переработаны §§ IX.1, IX.2, расширены §§ X.9, XIV.4, XIV.7, добавлены §§ III.4, VIII.10, IX.5, XI.3, XI.5
и XIV.8. При этом были учтены замечания А.Н. Тихонова, которому авторы выражают свою признательность.
В третьей главе подробнее рассмотрено интегрирование быстроколеблющихся функций. В главе VIII добавлен параграф о подобии явлений, в котором с физической и математической сторон рассматриваются
теория размерности, понятие подобия и автомодельности.
В главах IX и XI более подробно и четко даны определения вектора
и тензора,связьэтихпонятий слинейными преобразованиями.Подробно
рассмотрены симметрические и антисимметрические тензоры; в частности, описано введение псевдовектора, эквивалентного антисимметричному тензору в трехмерном пространстве. Добавлена физическая задача
о движении точки в поле центральных сил. Продолжено исследование задач о вращении твердого тела. Эти задачи были и остаются классическими примерами приложения теории обыкновенных дифференциальных
уравнений к физике.
В связи c теорией спектрального разложения рассмотрен вопрос
о фазе Фурьекомпонент; потеря информации при переходах к спек* Сложение сил по векторному закону изложено в гл. IX.

НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
[Гл. I

свой итерационный метод, причем одни из них могут оказаться быстро
сходящимися и потому наиболее удобными, другие — медленно сходящимися, а третьи — даже вовсе расходящимися.
Приведенное выше решение уравнения (21) можно теперь понять
так: уравнение переписано в равносильной форме

x
x
x
x
x
=
−
−
−
−

3

2
3
1
3
3
,

после чего применен метод итераций, начиная с значения х0 = 2.
В общем виде метод Ньютона для уравнения (18) сводится к тому
(см. (20) и далее), что это уравнение переписывается в равносильной
форме

x
x
f x
f
x
=
−
′
( )
( ),
(28)

после чего применяется метод итераций. Эта форма могла бы показаться несколько искусственной: хотя и легко показать равносильность
уравнений (18) и (28), т.е. из (18) вывести (28) и обратно, но не сразу
видно, чем помогает знаменатель
′
f
x
( ). Однако легко проверить, что
производная от правой части, т.е.

x
f
f
f f
ff
f
ff
f
−
′
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
= −
′ ′ −
′′
′
=
′′
′
1
2
2 ,

обращается в нуль при x
x
=
, где x —решение уравнения (18). Значит
(см. рассуждения, связанные с оценкой (27)), чем ближе последовательные приближения подходят к x, тем быстрее сходится процесс.
Более того, так как при выполнении оценки (27) итерации сходятся не медленнее, чем прогрессия со знаменателем k, то мы получаем, что метод Ньютона сходится быстрее геометрической прогрессии с любым знаменателем!*
Перейдем теперь к описанию метода малого параметра (он же метод возмущений), который, как и метод итераций, представляет собой

* Скорость этой сходимости легко установить на следующем простом типичном примере. Пусть рассматриваются приближения по способу Ньютона к нулевому корню
уравнения x
x
+
=
2
0. Эти приближения связаны друг с другом соотношением

x
x
x
x
x
x
x
x
n
n
n
n

n

n

n
n
+
=
−
+
+
=
+
<
1

2
2
2
1
2
1
2
.

Допустим, что 0 < x0 < 1; тогда мы последовательно получим

x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n

n

1
0
2
2
1
2
0
4
3
2
2
0
8
0
2
<
<
<
<
<
<
,
,
,
,
,
Можно показать, что и в общем случае скорость сходимости метода Ньютона имеет

порядок a
a
n
2
0
1
(
)
<
<
.

§ 3]
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
31

один из наиболее универсальных методов в прикладной математике.
Поясним этот метод на простом примере.
Пусть требуется найти решение трансцендентного уравнения

e
x
x− =
−
+
1
2
α
(29)

при малых α . Заметим для этого, что при α = 0 можно найти простым
подбором решение: x = 1. Поэтому если решение уравнения (29), зависящее от α, искать разложенным в ряд по степеням α,

x
x
a
b
c
=
+
+
+
+
0
2
3
α
α
α
,

то, подставляя α = 0, получим, что x 0 должно равняться 1. Подставим
теперь разложение

x
a
b
c
= +
+
+
+
1
2
3
α
α
α
(30)

в обе части уравнения (29) и воспользуемся известным разложением
показательной функции и в ряд Тейлора; это даст

1
1
2

2
3
2
3
2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
a
b
c
a
b
c
α
α
α
α
α
α
!
(
)
!

+
+
+
+
+
=
−
+
+
+
+
+
(
)
!
(
)
.
a
b
c
a
b
c
α
α
α
α
α
α
α

2
3
3
2
3
3
2
1
Раскрыв скобки и удержания члены до α
3, получим

1
2
6

2
3
2
2
3
3
3
+
+
+
+
+
+
+
=
a
b
c
a
ab
a
α
α
α
α
α
α
= −
−
−
−
+
1
2
3
a
b
c
α
α
α
α
.

Приравнивая в обеих частях коэффициенты при одинаковых степенях α, получим соотношения

a
a
= −
+ 1,

b
a
b
+
= −

2

2
,

c
ab
a
c
+
+
= −

3

6
,

.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

откуда последовательно найдем

a = 1
2,
b = − 1
16,
c = 1
192, . . .

Подставляя эти значения в (30), получаем искомое решение уравнения
(29) в виде ряда

x = +
−
+
+
1
2
16
192

2
3
α
α
α
,
(31)

хорошо сходящегося при небольших α .

НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
[Гл. I

свой итерационный метод, причем одни из них могут оказаться быстро
сходящимися и потому наиболее удобными, другие — медленно сходящимися, а третьи — даже вовсе расходящимися.
Приведенное выше решение уравнения (21) можно теперь понять
так: уравнение переписано в равносильной форме

x
x
x
x
x
=
−
−
−
−

3

2
3
1
3
3
,

после чего применен метод итераций, начиная с значения х0 = 2.
В общем виде метод Ньютона для уравнения (18) сводится к тому
(см. (20) и далее), что это уравнение переписывается в равносильной
форме

x
x
f x
f
x
=
−
′
( )
( ),
(28)

после чего применяется метод итераций. Эта форма могла бы показаться несколько искусственной: хотя и легко показать равносильность
уравнений (18) и (28), т.е. из (18) вывести (28) и обратно, но не сразу
видно, чем помогает знаменатель
′
f
x
( ). Однако легко проверить, что
производная от правой части, т.е.

x
f
f
f f
ff
f
ff
f
−
′
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
= −
′ ′ −
′′
′
=
′′
′
1
2
2 ,

обращается в нуль при x
x
=
, где x —решение уравнения (18). Значит
(см. рассуждения, связанные с оценкой (27)), чем ближе последовательные приближения подходят к x, тем быстрее сходится процесс.
Более того, так как при выполнении оценки (27) итерации сходятся не медленнее, чем прогрессия со знаменателем k, то мы получаем, что метод Ньютона сходится быстрее геометрической прогрессии с любым знаменателем!*
Перейдем теперь к описанию метода малого параметра (он же метод возмущений), который, как и метод итераций, представляет собой

* Скорость этой сходимости легко установить на следующем простом типичном примере. Пусть рассматриваются приближения по способу Ньютона к нулевому корню
уравнения x
x
+
=
2
0. Эти приближения связаны друг с другом соотношением

x
x
x
x
x
x
x
x
n
n
n
n

n

n

n
n
+
=
−
+
+
=
+
<
1

2
2
2
1
2
1
2
.

Допустим, что 0 < x0 < 1; тогда мы последовательно получим

x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n

n

1
0
2
2
1
2
0
4
3
2
2
0
8
0
2
<
<
<
<
<
<
,
,
,
,
,
Можно показать, что и в общем случае скорость сходимости метода Ньютона имеет

порядок a
a
n
2
0
1
(
)
<
<
.

§ 3]
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
31

один из наиболее универсальных методов в прикладной математике.
Поясним этот метод на простом примере.
Пусть требуется найти решение трансцендентного уравнения

e
x
x− =
−
+
1
2
α
(29)

при малых α . Заметим для этого, что при α = 0 можно найти простым
подбором решение: x = 1. Поэтому если решение уравнения (29), зависящее от α, искать разложенным в ряд по степеням α,

x
x
a
b
c
=
+
+
+
+
0
2
3
α
α
α
,

то, подставляя α = 0, получим, что x 0 должно равняться 1. Подставим
теперь разложение

x
a
b
c
= +
+
+
+
1
2
3
α
α
α
(30)

в обе части уравнения (29) и воспользуемся известным разложением
показательной функции и в ряд Тейлора; это даст

1
1
2

2
3
2
3
2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
a
b
c
a
b
c
α
α
α
α
α
α
!
(
)
!

+
+
+
+
+
=
−
+
+
+
+
+
(
)
!
(
)
.
a
b
c
a
b
c
α
α
α
α
α
α
α

2
3
3
2
3
3
2
1
Раскрыв скобки и удержания члены до α
3, получим

1
2
6

2
3
2
2
3
3
3
+
+
+
+
+
+
+
=
a
b
c
a
ab
a
α
α
α
α
α
α
= −
−
−
−
+
1
2
3
a
b
c
α
α
α
α
.

Приравнивая в обеих частях коэффициенты при одинаковых степенях α, получим соотношения

a
a
= −
+ 1,

b
a
b
+
= −

2

2
,

c
ab
a
c
+
+
= −

3

6
,

.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

откуда последовательно найдем

a = 1
2,
b = − 1
16,
c = 1
192, . . .

Подставляя эти значения в (30), получаем искомое решение уравнения
(29) в виде ряда

x = +
−
+
+
1
2
16
192

2
3
α
α
α
,
(31)

хорошо сходящегося при небольших α .

ГЛАВА II
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТА

В практической работе часто бывает так, что зависимость между переменными величинами — скажем х и у получается в результате
опыта, измерений. Обычно в таком случае эта зависимость оказывается заданной при помощи таблицы, в которой для каждого значения х,
при котором проводилось измерение, поставлено соответствующее,
найденное путем измерения значение у. Поэтому мы рассмотрим в
этой главе сначала общие правила действий с таблицами, а затем те новые моменты, которые возникают при обработке результатов опытов.

§ 1. Таблицы и разности

Нам часто приходится рассматривать функции, заданные с помощью таблицы. Это могут быть математические таблицы, например
таблицы логарифмов, синусов, квадратов и т.п. Это могут быть физические таблицы, взятые из какихлибо справочников, например таблицы зависимости температуры кипения той или иной жидкости от
давления и т.п. Наконец, зависимость между переменными величинами может получиться в виде не вполне обработанных результатов опыта, измерений. Во всех этих случаях численные значения зависимой
переменной задаются с помощью таблицы при определенных численных значениях независимой переменной. Функции, заданные таким
образом, могут входить в дальнейшие операции, в частности, может потребоваться эти функции дифференцировать или интегрировать. Могут
понадобиться
значения
функции
при
промежуточных,
не
выписанных в таблице, значениях независимой переменной (задача
интерполяции) или при значениях независимой переменной, лежащих
за пределами таблицы (задача экстраполяции)*.
Мы будем считать для простоты, что независимая переменная х
принимает значения, образующие арифметическую прогрессию,
т.е. x
x
=
0, x
x
x
h
=
=
+
1
0
, x
x
x
h
=
=
+
2
0
2 ,
,
x
x
x
nh
n
=
=
+
0
; эти
значения аргумента будем условно называть целыми, a h — назы* Слова «интерполяция» и «экстраполяция» происходят от латинских корней «интер» — внутри, «экстра» — снаружи, «полюс» — точка.

§ 1]
ТАБЛИЦЫ И РАЗНОСТИ
37

вать шагом, таблицы. Соответствующие значения функции, помещенные в таблице, обозначим через y
y x
0
0
=
(
), y
y x
y
y x
n
n
1
1
=
=
(
),
,
(
)
.
Приращения переменной х все одинаковые и равны h. Приращения переменной y, вообще говоря, различные. Они называются первыми
разностями (более подробно разностями первого порядка) и обозначаются через

δ
δ
δ
δ
y
y
y
y
y
y
y
y
y
yn
1 2
1
0
1 1 2
2
1
2 1 2
3
2
1 2
/
/
/
/
,
,
,
,
=
−
=
−
=
−
=
+
+
−
y
y
n
n
−
−1,

так как их естественно сопоставлять полуцелым значениям х, т.е. серединам между соседними «целыми» значениями аргумента:

x
x
h
x
x
h
x
x
n
h
n
1 2
0
1 1 2
0
1 2
0
2
3
2
1
2
/
/
/
,
,
,
(
/ ) *.
=
+
=
+
=
+
−
+
−
/
/
От этих разностей можно опять брать разности, в результате чего получатся вторые разности, определенные вновь для «целых» значений х:

δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
2
2
2
y
y
y
y
y
y
yn
1
1 1 2
1 2
2
2 1 2
1 1 2
1
=
−
=
−
=
+
+
+
−
/
/
/
/
,
,
,
y
y
n
n
−
−
−
1 2
3 2
/
/
δ

(двойка сверху здесь означает порядок разности, а не показатель степени) и т.д.
Приведем в качестве примера отрывок из таблицы десятичных логарифмов с вычисленными разностями, которые умножены на 10
5.

Т а б л и ц а 1

k
0
1/2
1
3/2
2
5/2
3
7/2

xk
yk
10
5δyk
10
5δ
2yk
10
5δ
3yk

10,0

1,00000

10,05

432

10,1

1,00432

–4

10,15

428

0

10,2

1,00860

–4

10,25

424

–1

10,3

1,01284

–5

10,35

419

2

Продолжение табл.  1

k
4
9/2
5
11/2
6
13/2
7

xk
yk
10
5δyk
10
5δ
2yk
10
5δ
3yk

10,4

1,01703

–3

10,45

416

–1

10,5

1,02119

–4

10,55

412

–1

10,6

1,02531

–5

10,65

407

10,7

1,02938

* Иногда разность y
y
k
k
+ −
1
сопоставляется не значению x
x k
=
+ 1 2
/ , а значению
x
x k
=
. Тогда она обычно обозначается Δ y k, т.е. Δ
Δ
y
y
y
y
k
x
x
k
k
k
=
=
−
=
+ 1
. При таком

обозначении, как у нас, т.е. y
y
y
y
k
k
k
x
x k
+
+
=
−
=
=
+
1
1 2
1 2
δ
δ
/
/ , разности называются центральными.

ГЛАВА II
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТА

В практической работе часто бывает так, что зависимость между переменными величинами — скажем х и у получается в результате
опыта, измерений. Обычно в таком случае эта зависимость оказывается заданной при помощи таблицы, в которой для каждого значения х,
при котором проводилось измерение, поставлено соответствующее,
найденное путем измерения значение у. Поэтому мы рассмотрим в
этой главе сначала общие правила действий с таблицами, а затем те новые моменты, которые возникают при обработке результатов опытов.

§ 1. Таблицы и разности

Нам часто приходится рассматривать функции, заданные с помощью таблицы. Это могут быть математические таблицы, например
таблицы логарифмов, синусов, квадратов и т.п. Это могут быть физические таблицы, взятые из какихлибо справочников, например таблицы зависимости температуры кипения той или иной жидкости от
давления и т.п. Наконец, зависимость между переменными величинами может получиться в виде не вполне обработанных результатов опыта, измерений. Во всех этих случаях численные значения зависимой
переменной задаются с помощью таблицы при определенных численных значениях независимой переменной. Функции, заданные таким
образом, могут входить в дальнейшие операции, в частности, может потребоваться эти функции дифференцировать или интегрировать. Могут
понадобиться
значения
функции
при
промежуточных,
не
выписанных в таблице, значениях независимой переменной (задача
интерполяции) или при значениях независимой переменной, лежащих
за пределами таблицы (задача экстраполяции)*.
Мы будем считать для простоты, что независимая переменная х
принимает значения, образующие арифметическую прогрессию,
т.е. x
x
=
0, x
x
x
h
=
=
+
1
0
, x
x
x
h
=
=
+
2
0
2 ,
,
x
x
x
nh
n
=
=
+
0
; эти
значения аргумента будем условно называть целыми, a h — назы* Слова «интерполяция» и «экстраполяция» происходят от латинских корней «интер» — внутри, «экстра» — снаружи, «полюс» — точка.

§ 1]
ТАБЛИЦЫ И РАЗНОСТИ
37

вать шагом, таблицы. Соответствующие значения функции, помещенные в таблице, обозначим через y
y x
0
0
=
(
), y
y x
y
y x
n
n
1
1
=
=
(
),
,
(
)
.
Приращения переменной х все одинаковые и равны h. Приращения переменной y, вообще говоря, различные. Они называются первыми
разностями (более подробно разностями первого порядка) и обозначаются через

δ
δ
δ
δ
y
y
y
y
y
y
y
y
y
yn
1 2
1
0
1 1 2
2
1
2 1 2
3
2
1 2
/
/
/
/
,
,
,
,
=
−
=
−
=
−
=
+
+
−
y
y
n
n
−
−1,

так как их естественно сопоставлять полуцелым значениям х, т.е. серединам между соседними «целыми» значениями аргумента:

x
x
h
x
x
h
x
x
n
h
n
1 2
0
1 1 2
0
1 2
0
2
3
2
1
2
/
/
/
,
,
,
(
/ ) *.
=
+
=
+
=
+
−
+
−
/
/
От этих разностей можно опять брать разности, в результате чего получатся вторые разности, определенные вновь для «целых» значений х:

δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
2
2
2
y
y
y
y
y
y
yn
1
1 1 2
1 2
2
2 1 2
1 1 2
1
=
−
=
−
=
+
+
+
−
/
/
/
/
,
,
,
y
y
n
n
−
−
−
1 2
3 2
/
/
δ

(двойка сверху здесь означает порядок разности, а не показатель степени) и т.д.
Приведем в качестве примера отрывок из таблицы десятичных логарифмов с вычисленными разностями, которые умножены на 10
5.

Т а б л и ц а 1

k
0
1/2
1
3/2
2
5/2
3
7/2

xk
yk
10
5δyk
10
5δ
2yk
10
5δ
3yk

10,0

1,00000

10,05

432

10,1

1,00432

–4

10,15

428

0

10,2

1,00860

–4

10,25

424

–1

10,3

1,01284

–5

10,35

419

2

Продолжение табл.  1

k
4
9/2
5
11/2
6
13/2
7

xk
yk
10
5δyk
10
5δ
2yk
10
5δ
3yk

10,4

1,01703

–3

10,45

416

–1

10,5

1,02119

–4

10,55

412

–1

10,6

1,02531

–5

10,65

407

10,7

1,02938

* Иногда разность y
y
k
k
+ −
1
сопоставляется не значению x
x k
=
+ 1 2
/ , а значению
x
x k
=
. Тогда она обычно обозначается Δ y k, т.е. Δ
Δ
y
y
y
y
k
x
x
k
k
k
=
=
−
=
+ 1
. При таком

обозначении, как у нас, т.е. y
y
y
y
k
k
k
x
x k
+
+
=
−
=
=
+
1
1 2
1 2
δ
δ
/
/ , разности называются центральными.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТА
[Гл. II

Малость вторых разностей по сравнению с первыми и их почти постоянство (третьи разности имеют уже порядок ошибок округления)
в приведенном примере указывают на плавность хода изменения
функции, на отсутствие случайных «выпадов» из этого хода. Такая закономерность может проявляться в разностях более высокого порядка
и всегда свидетельствует о «правильности» хода изменения функции (ср.
упражнение 2). Конечно, если шаг не
мал, а также вблизи точек разрыва
и т.п., разности могут и не быть малыми, но обычно в них проявляется
та или иная закономерность.
Разности широко применяются
при интерполяции. Пусть требуется
найти значение у при некотором
значении х,
заключенном
между
табличными значениями x k и x k+1.
Самый простой способ — линейная
интерполяция — состоит в приближенной замене изучаемой функции на линейную функцию, причем
так, чтобы обе функции совпадали при x
x k
=
и при x
x k
=
+1 (рис. 4);
геометрически это означает замену дуги AB неизвестного нам графика, показанного на рис. 4 штрихами, на хорду АВ, соединяющую две
его известные точки А и В. Обозначим x
x
s
k
−
= . Так как линейная
функция выражается уравнением первой степени, то искомое значение у зависит от s по формуле

y
a
bs
=
+
,
(1)

где a и b — некоторые коэффициенты. Из условий при x k и x k+1
получаем y
a
k =
, y
a
bh
k+ =
+
1
, откуда

δy
y
y
bh
k
k
k
+
+
=
−
=
1 2
1
/
.

Выражая отсюда а и b и подставляя в (1), получаем окончательно
формулу для линейной интерполяции

y
y
y
s
h
k
k
=
+
+
δ
1 2
/
.
(2)

(Выведите эту формулу из подобия треугольников на рис. 4.) Формулой (2) можно пользоваться, если изучаемая функция на интервале от
хk до xk
+
1 мало отличается от линейной, т.е. если h достаточно
мало´*. При k = 0 и s < 0 формула (2) осуществляет линейную экстраh

yk
yk+1
yk+2

A

B
y

0
xk–1
xk x xk+1

2 xk+1
xk+2

x
yk–1

δyk+1

2

s

Рис. 4.

* Из более точной формулы (4) нетрудно вывести, что при малом h ошибка при линейной интерполяции имеет порядок h2, так как такой порядок имеют вторые разности.

§ 1]
ТАБЛИЦЫ И РАЗНОСТИ
39

поляцию рассматриваемой функции в сторону x
x
<
0, а при k
n
=
−1
и s
h
>
— в сторону х > хп. Конечно, при экстраполяции нельзя далеко
уходить от табличных значений х, так как принятый нами линейный
закон изменения функции оправдывается лишь на малом интервале
изменения х.
Формулу линейной интерполяции (2), как и последующие формулы, можно переписать в виде, не содержащем разностей. Подставляя
в (2) выражение δy
y
y
k
k
k
+
+
=
−
1 2
1
/
, получим равносильную формулу

y
y
y
y
h
s
s
h
y
s
h y
k
k
k
k
k
=
+
−
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
+
+
1
1
1
.

Хорошо видно, что при изменении s от 0 до h коэффициент при уk
меняется от 1 до 0, а коэффициент при y k+1 — от 0 до 1; таким образом,
при s = 0 получается у = уk, а при s = h получается у = уk+1.
Бо´льшую точность дает квадратичная интерполяция, при которой
изучаемая функция приближенно заменяется на квадратичную функцию, причем так, чтобы обе функции совпадали при x
x k
=
, x k+1 и
x k+2 (это в других обозначениях было проделано в § I.1 при выводе
формулы Симпсона). Указанную квадратичную функцию удобно искать в виде

y
a
bs
cs s
h
=
+
+
−
(
).
(3)

Согласно условию

y
a
k = ,
y
a
bh
k + =
+
1
,
y
a
b
h
c
h
k +
=
+
⋅
+
⋅
2
2
2
2
,

откуда

δy
y
y
bh
k
k
k
+
+
=
−
=
1
2
1
,
δy
y
y
сh
bh
k
k
k
+
+
+
=
−
=
+
3
2
2
1
2
2
,

δ
δ
δ
2 y
y
y
сh
k
k
k
+
+
+
=
−
=
1
3
2
1
2

2
2
.

Выражая отсюдa а, b, с и подставляя в (3), получаем формулу Ньютона для квадратичной интерполяции

y
y
y
s
h
y
s
h
s
h
k
k

k
=
+
+
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+

+
δ
δ2

1
2

1
2
1 .
(4)

Как и выше, эту формулу можно использовать также для экстраполяции. Формула (4) не совсем симметрична: в ней использованы значения уk, y k+1 и y k+2 , тогда как х расположен между xk и хk+1. Если
обратить направление оси х и подобным же образом использовать
значения y k+1, уk и y k−1, то взамен (4) мы получим формулу

y
y
y
h
s
h
y
h
s
h
h
s
h
k
k

k
=
+ −
⎛

⎝
⎜⎜
⎞

⎠
⎟⎟
−
+
−
−
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
+
1
1
2

2

2
1
δ
δ
,
(5)