Кристаллофизика

ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

КРИСТАЛЛОФИЗИКА

О. В. Франк-Каменецкая

УДК 539.2(075)
ББК 22.37я73
 
Ф83

Рецензенты:  д-р геол.-минер. наук, проф. А. И. Глазов 
(Нац. минерально-сырьевой ун-т «Го рный»);
д-р физ.-мат. наук, проф. В. К. Рябчук (С.-Петерб. гос. ун-т);
канд. технич. наук, доц. В. А. Парфёнов (С.-Петерб. гос. 
электротехн. ун-т «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина))

Печатается по решению 
Учебно-методической комиссии Института наук о Земле 
Санкт-Петербургского государственного университета

Франк-Каменецкая О. В.
Ф83  
Кристаллофизика: учебное пособие. — СПб.: Изд-во 
С.-Петерб. ун-та, 2016. — 84 с.
ISBN 978-5-288-05673-4

Настоящее пособие знакомит читателя с математическим (тензорным) аппаратом, который используется для изучения меняющихся с направлением (анизотропных) физических свойств кристаллов, 
и его практическим применением. Даются определения тензоров 
разных рангов, выводятся законы их преобразования, обсуждаются возможности геометрической интерпретации тензоров второго 
ранга. Особое внимание уделяется влиянию точечной симметрии 
кристаллов на их свойства, а также практическим вопросам приведения симметричных тензоров второго ранга к главным осям (диагональному виду). Рассматриваются примеры применения тензоров 
первого и второго рангов для описания механических и электрических свойств кристаллов. В пособии много задач и упражнений, часть 
из которых приведена с решениями. 
Пособие предназначено для студентов и аспирантов геологических специальностей, слушающих курсы кристаллографии и кристаллофизики, а также для молодых специалистов, знакомящихся 
с основами кристаллофизики.
ББК 22.37я73 

 
© Санкт-Петербургский
 
 
государственный
ISBN 978-5-288-05673-4 
 
университет, 2016

ВВЕДЕНИЕ

Кристаллофизика — одно из основных направлений современной кристаллографии, изучающее физические свойства кристаллов, их взаимосвязь с симметрией и атомной структурой. 
Цель настоящего учебного пособия — дать читателю представление о математическом (тензорном) аппарате, который используется для описания меняющихся с направлением (анизотропных) 
физических свойств кристаллов. Основная задача — объяснить, 
что такое тензоры, и показать на конкретных примерах, как они 
применяются. 
Наиболее известным и широко используемым во всем мире 
учебным пособием по тензорной кристаллофизике для лиц нефизических специальностей (геологов, химиков, биологов и др.) 
является книга английского кристаллографа Джона Ная Physical 
Properties of Crystals (Oxford: Clarendon Press, 1957), которая неоднократно переиздавалась, в том числе и на русском языке в прекрасном профессиональном переводе Л. А. Шувалова. Эта книга давно 
завоевала широкий круг читателей и стала полезным пособием не 
только для студентов и аспирантов, изучающих физические свойства кристаллов, но и для многих научных работников и инженеров, желающих овладеть применяемыми в кристаллофизике методами исследования. К сожалению, в России книга Дж. Ная давно 
уже стала библиографической редкостью (последнее издание на 
русском языке вышло в 1967 году). Имеющиеся в распоряжении 
российского читателя другие книги, в которых рассматриваются 
вопросы физической (тензорной) кристаллографии (Современная 
кристаллография, 1981; Сиротин и Шаскольская, 1979 и др.), знакомят с основным кругом проблем и законов кристаллофизики, но не 
могут рассматриваться в качестве учебного пособия к университетским курсам по кристаллофизике для студентов и аспирантов 
естественных (нефизических) институтов и факультетов. Не отвечает этому назначению и адресованное студентам физических специальностей учебное пособие А. С. Сонина (2006), которое знакомит читателя с симметрийными аспектами кристаллофизики.

Настоящее пособие продолжает серию учебно-методических 
изданий по кристаллофизике (Франк-Каменецкая и Чернятьева, 
2012), рассчитанных на студентов геологических специальностей. 
В книге обобщен многолетний опыт преподавания, накопленный 
автором при чтении курсов лекций («Кристаллофизика», «Тензорное описание физических свойств кристаллов») на кафедре 
кристаллографии Института наук о Земле Санкт-Петербургского 
государственного университета. Уровень изложения максимально 
прост и достаточно детален — все приводимые уравнения выводятся.
Учебное пособие состоит из двух частей. В первой части излагаются основы тензорного описания физических свойств кристаллов. Даются определения тензоров разных рангов, рассматриваются законы их преобразования. Особое внимание уделяется 
различным указательным поверхностям, используемым для геометрической интерпретации тензоров II ранга. В специальных главах рассматриваются практические вопросы приведения симметричных тензоров II ранга к главным осям (диагональному виду) 
и влияние симметрии кристаллов на их свойства (основные симметрийные постулаты кристаллофизики). Во второй части приводятся примеры описания механических и электрических свойств 
кристаллов с использованием тензоров I и II рангов. В книге много задач и упражнений, часть из которых взята непосредственно 
или с небольшими изменениями из задачников Н. В. Переломовой 
и М. М. Тагиевой(1972, 1982) и из книги Дж. Ная (1967). К части задач даются решения. 
Предлагаемое учебное пособие — это, по сути, хорошо структурированная рабочая тетрадь, содержание которой должно быть 
востребовано студентами и аспирантами геологических специальностей при освоении ими курсов кристаллографии и кристаллофизики, а также молодыми специалистами при знакомстве с основами физической кристаллографии.
Автор выражает глубокую признательность своему учителю 
по кристаллофизике профессору, доктору физ.-мат. наук В. А. Бокову, а также благодарит А. В. Русакова и А. П. Чернятьеву за неоценимую помощь при оформлении работы. 

Часть I

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 
КРИСТАЛЛОФИЗИКИ

Глава 1

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1. 
Определения тензоров 0, I и II ранга

Тензоры — математический аппарат, эффективно применяемый 
для описания и количественного исследования анизотропии физических свойств кристаллов. 
Скаляр — величина, не связанная с направлением; описывается числом, инвариантным к выбору начала координат. 
Тензор 0 ранга — это число, определяющее физическую величину и не зависящее от выбора начала координат. Примеры физических свойств, которые описываются тензорами 0 ранга: масса, площадь, температура, плотность, объем.
Вектор — величина, связанная с определенным направлением; 
он задается длиной и направлением. Кроме того, его можно задать 
тремя компонентами — проекциями на координатные оси, которые по абсолютной величине равны длинам составляющих этого 
вектора, направленных вдоль соответствующих координатных 
осей. Знаки компонент определяются направлением соответствующих составляющих. При преобразовании системы координат компоненты вектора изменяются. 
Тензор I ранга — это три числа, определяющие физическую 
величину, каждое из которых связано с одной координатной осью 
(характеризуется одним индексом). Примеры физических свойств, 
которые описываются тензорами I ранга: скорость, ускорение, сила 
тока, напряженность электрического и магнитного полей.
Кристаллофизические системы координат — это правые 
и левые прямоугольные системы координат, выбор осей в которых определяется симметрией кристалла. Если в начале координат расположить человека и вдоль его тела снизу вверх направить 
положительный конец оси X3, то в правой системе координат его 

правой руке соответствует положительный конец 
оси X1, а левой — X2. В левой системе координат оси 
X1 и X2 меняются местами 
(рис. 1).
Правила выбора кристаллофизических осей координат в кристаллах различной симметрии представлены в таблице 1.

Таблица 1. Правила выбора кристаллофизической системы координат

Сингония

Ориентация относительно
кристаллографических осей
Ориентация относительно
элементов симметрии

Х1
Х2
Х3
Х1
Х2
Х3

Триклинная 
в плоскости (001)
[001]
Нет

Моноклинная 

В плоскости (010) 
[010]
[001]

В плоскости 
m

2,2

В плоскости 
m

В плоскости (001)
В плоскости m
2,2

Ромбическая
[100]
[010]
[001]
2,2
2

Тетрагональная
[100]
[010]
[001]

2,2

(если 
есть)

2,2

(если 
есть)

4,4

Тригональная 
и гексагональная
[2110]
[0110]
[0001]

2,2

(если 
есть)

2,2

(если 
есть)

3,3,6,6

Кубическая
[100]
[010]
[001]
4,4,2

Определение тензора II ранга введем на примере тензора электропроводности. Если электрическое поле, заданное вектором E, 
действует на проводящий материал, то величина электрического 
тока в нем определяется законом Ома. 

Рис. 1. Правая (а) и левая (б)
кристаллофизические системы координат

Пусть проводник изотропен. Тогда закон Ома описывается уравнением

J = σE
где J — вектор плотности тока, 
характеризующий ток через единицу поверхности перпендикулярной направлению тока; E — 
вектор 
напряженности 
электрического поля; σ — удельная 
электропроводность (скалярная 
величина). В этом случае векторы J (J1, J2, J3) и E (E1, E2, E3) параллельны друг другу (рис. 2а):

1
1,
J
E
= σ

2
2,
J
E
= σ

3
3.
J
E
= σ

Если проводник анизотропен (представлен некубическим 
кристаллом), векторы J (J1, J2, J3) и E (E1, E2, E3) не параллельны друг 
другу (рис. 2б). В этом случае каждая компонента вектора J зависит 
от всех компонент вектора E следующим образом:

1
11 1
11
2
13
3,
J
E
E
E
=
+
+
σ
σ
σ

2
21 1
22
2
23
3,
J
E
E
E
=
+
+
σ
σ
σ
  
(1)

3
31 1
32
2
33
3.
J
E
E
E
=
+
+
σ
σ
σ

Таким образом, для того чтобы охарактеризовать электропроводность анизотропного тела, надо задать 9 коэффициентов σij, 
каждый из которых характеризуется двумя индексами, т. е. связан 
с двумя координатными осями. Эти коэффициенты являются компонентами тензора электропроводности:

11
12
13

21
22
23

31
32
33

⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦

σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ

.

Рис. 2. Взаимное расположение векторов плотности тока J и напряженности 
электрического поля Е в изотропном 
(а) и анизотропном (б) проводниках

Тензор 
электропроводности — это пример тензора 
II ранга. Ранг тензора равен 
числу индексов, характеризующих каждую из его компонент. 
Рассмотрим 
частный 
случай. Пусть вектор поля Е 
приложен вдоль оси Х1, т. е. 
характеризуется 
компонентами (Е1, 0, 0). Тогда согласно 
уравнению (1) 

1
11 1,
J
E
= σ

2
21 1,
J
E
= σ

3
31 1.
J
E
= σ

Таким образом, убеждаемся, что и в этом случае вектор плотности тока не параллелен вектору напряженности электрического 
поля (рис. 3).
Дадим определение тензора II ранга в общем случае.
Если свойство S связывает два вектора А (А1, А2, А3) и В (В1, В2, 
В3) таким образом, что 

1
11 1
12
2
13
3,
A
S B
S B
S B
=
+
+

2
21 1
22
2
23
3,
A
S B
S B
S B
=
+
+
 
 (1ʹ)

3
31 1
32
2
33
3,
A
S B
S B
S B
=
+
+

где Sij — константы, то говорят, что компоненты Sij образуют 
тензор II ранга:

11
12
13

21
22
23

31
32
33

.
S
S
S
S
S
S
S
S
S

⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦

Примеры физических свойств кристаллов, описываемых тензорами II ранга, представлены в таблице 2.
В дальнейшем будем использовать сокращенную запись тензорных соотношений (правило суммирования по Эйнштейну).

Рис. 3. Составляющие вектора J при 
условии приложения поля Е вдоль оси Х1

Таблица 2. Примеры физических свойств кристаллов, описываемых 
тензорами II ранга

Заданный вектор В
Индуцированный 
вектор А
Физическое свойство S

Напряженность электрического поля
Плотность электрического тока
Удельная электропроводность

— ʹʹ —
Диэлектрическая поляризация
Диэлектрическая 
восприимчивость

— ʹʹ —
Электрическая индукция
Диэлектрическая 
проницаемость

Градиент температуры
Плотность теплового 
потока
Коэффициенты теплопроводности

Напряженность магнитного поля
Магнитная индукция
Магнитная проницаемость

Систему (1ʹ) можно записать в виде

(
)

èëè

1
1

2
2

3
3

,

,

,

,
1
3 .

j
j

j
j

j
j

i
ij
j

A
S B

A
S B

A
S B

A
S B i j

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=
= ÷

Опускаем значок суммирования (суммируем по повторяющемуся индексу) и получаем сокращенную запись уравнения (1):

  
(
)
,
1
3 .
i
ij
j
A
S B
i j
=
= ÷
 
(1ʹʹ)

В матричной форме это уравнение имеет вид

  
A = SB, 
(1ʹʹʹ)

где A, S и B — матрицы (3×1), (3×3) и (3×1) соответственно:

11
12
13
1
1

2
21
22
23
2

3
31
32
33
3

,
,
.
A
S
S
S
B
A
A
S
S
S
S
B
B
A
S
S
S
B

⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
=
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠

1.2. 
Преобразования тензоров 

1.2.1. Ортогональные преобразования системы координат
Ортогональные преобразования системы координат (преобразования, при которых прямоугольная система координат остается 
прямоугольной, вращаясь вокруг начала координат) будем 
задавать с помощью направляющих косинусов aij (рис. 4). 
Если 
1
2
3
X X X
 — исходная система координат, а 

1
2
3
X X X
′ ′
′  — cистема координат после преобразования, то 

(
)
cos
^
ij
i
j
a
X
X
=
′
 — косинус 
угла между осями i и j в новой 
и старой системах координат 
соответственно. 
Матрица направляющих косинусов этого преобразования имеет вид:

Старые оси

Новые оси

    

1
2
3

1
11
12
13

2
21
22
23

3
31
32
33

X
X
X

X
a
a
a

X
a
a
a

X
a
a
a

′

′

′
 

1.2.2. Преобразования компонент вектора
Пусть в результате ортогонального преобразования системы координат вектор А (А1, А2, А3) переходит в вектор 
′
A (
1
2
3
,
,
A A A
′
′
′ ). 
Проектируем составляющие исходного вектора А1, А2, А3 на 
оси 
1
2
3
,
,
X X
X
′
′
′ . Тогда компоненты вектора А в новой системе координат имеют вид (рис. 5) 

(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
2
1
2
3
1
3
cos
^
cos
^
cos
^
,
A
A
X
X
A
X
X
A
X
X
=
+
+
′
′
′
′

(
)
(
)
(
)
2
1
2
1
2
2
2
3
2
3
cos
^
cos
^
cos
^
,
A
A
X
X
A
X
X
A
X
X
=
+
+
′
′
′
′
 
(2)

(
)
(
)
(
)
3
1
3
1
2
3
2
3
3
3
cos
^
cos
^
cos
^
A
A
X
X
A
X
X
A
X
X
=
+
+
′
′
′
′
.

Рис. 4. Пример ортогонального 
преобразования системы координат