Логика с операторами истинности и ложности

Russian Academy of Sciences 
Institute ofPhilosophy 

S.A.Pavlov 

LOGIC 

WITH TRUTH & FALSEHOOD 
OPERATORS 

Moscow 

2004 

Российская Академия Наук 

ИНСТИ1уr философии 

С.А.ПАВЛОВ 

ЛОГИКА С ОПЕРАТОРАМИ 

ИСТИННОСТИ И ЛОЖНОСТИ 

Москва 
2004 

УДК 161.12+ 164 

ББК87.4 

П-12 

П-12 

в авторской редакции 

Рецензенты: 

доктор филос. наук НА.Герасимова. 

доктор филос. наук Ю.В.Ивлев 

Павлов С.А. Логика с операторами истинности и 

ложности. М., 2004. - 143 с. 

Монография 
посвящена 
одному 
из 
важнейших 
аспектов 

современных исследований теории истины логике с операторами и 

предикатами истинности и ложности. Рассмотрены содержательные, 

семантические и философские предпосылки построенной логики. 

Особенность развиваемого в монографии подхода заключается во 

введении 
этих 
операторов 
как 
исходных 
непосредственно 
в 

объектный язык логики, а их свойства задаются аксиоматически. Тем 

самым реализован 
подход, 
альтернативный подходу Тарскоro. 

IIостроенная логика позволяет корректно оперировать не только с 

двухзначным высказываниями, но и с высказываниями, содержащими противоречивую и неполную информацию. 

IIроведены сопоставления и установлены взаимосоотношения 

полученной логики и ее подлогик с такими логиками как логики 

Белнапа и фон Вригта, трехзначные логики Клини, Лукасевича, 

Бочвара, паранепротиворечивые логики Асенхо, IIриста, Д'Отгавиано-да Косты. 

Монография представляет интерес для специалистов в области 

логики и ее приложений в философии. 

ISBN 5-9540-0002-6 

© С.А.Павлов, 2004 

© ИФРАН, 2004 

СОДЕРЖАНИЕ 

Введен не ............................................................................................... 7 
1. Обогащение классической сентеициальиой логики опера
торами истинности и ложности ....................................................... 12 
1.1. ПОНЯТИJJ. истинности и ложности .......................... ................... 12 
1.2. Классическая логика и ее интерпретация ................................. 15 
1.3. Основные содержательные положенИJJ. логики с опера
торами истинности и ложности .................. ....................... .............. 17 
1.4. Формулировка классической сентенциальной логики с 

операторами истинности и ложности FL2 .............. ................. ....... 18 
1.5. Аксиоматическая теОРИJJ. истины для классической сен
тенциальной логики .......................................................................... 24 
1.6. Семантические и несемантические формулировки зако
нов противоречИJJ. и исключенного третьего .................. ................ 26 
2. Обобщение классической логики на область предложений, 

не ивлиющихси двузначными ...................... .................................... 29 
2.1. Содержательные положеНИJJ. логики с операторами 

истинности и ложности в расширенной области ............................ 31 
2.2. Формулировка логики ложности FIA ....................................... 32 
2.3. Теорема дедукции ...................................................................... 33 
2.4. Интерпретация языка логики FIA ............................................ 35 
2.5. Непротиворечивость логики FL4 .............................................. 37 
2.6. Семантическая полнота логики FL4 ......................................... 40 

3. Соотношении логики FL4 с четырехзначнымн логикамн ... ...... 43 
3.1. Четырехзначная логика Белнапа ............................................... 44 
3.2. Логика тавтологических следований Erde и матрица 

СмаЙJIИ ............................................................................................... 49 
3.3. Логики истины фон Вригта ....................................................... 51 
3.4. Комбинированные логики Смирнова ....................................... 53 
3.5. Мультиимпликативность логики FIA ....................................... 59 
4. Классификация формул с одной переменной ... ............... ........ ..... 60 

4.1. Расширение области определения операторов ............... ......... 61 
4.2. 9 видов отрицаний ...................................................................... 64 
4.3.9 видов операторов утверждения, неэлиминируемость 

оператора истинности ......................................................... ... ........... 65 
4.4. Виды противоречий ................................................................... 66 
4.5. Виды тавтологий. Различные формулировки законов 

логики ................................................................................................. 68 
4.6. БивалеНТllые и трехвалентные формулы .................................. 70 
4.7. 15 областей универсума предложений ............................... ...... 72 

5. Алгебра ложносm FA4 .................................................. ................. 74 
6. СублОI'RКИ лоmки FL4 и их соотношение с трехзначными 

логиками.......................... ........................... ..................................... 77 
6.1. Логика FL3N .... ............................. ............................ ............ 77 
6.1.1. ЛоГИICa клини ...................................................................... 77 
6.1.2. ЛогИICa Бочвара .................................................................... 79 
6.1.3. ЛоГИICa Лухасевича .............................................................. 81 
6.1.4. Лоrики ГеЙI'ШlГа иГеделя ................................................... 88 
6.1.5. Лоrикa Васильева .... ...... ......................................... ............. 89 
6.2. FLЭВ и паранепроmворечивые логики ............................ 92 
6.2.1. Логика Д'OIтавиаио - да Коста ............ ..................... .......... 92 
6.2.2. Логика антиномий Асенхо ......................... .......................... 93 
6.2.3. Логика парадоксов Приcra .................................................. 94 
6.2.4. Логика cerre ........................................... ............................. 95 
6.2.5. Логика Арруды Уl .............................. ........... ...................... 96 
6.2.6. or двух выделенных значений к одному ............................ 97 
7. Условия применимости классической и некласси-.еских 

логик в рамках языков неклассических логик .......... ..... ........... 98 
7 .1. Условия npименимocrи КJJaссической логики .... ... ....... ......... 99 
7.2. Условия применимости 3-хзначных логик ............................ 101 

8. Обогащение языка лоmки FL2 кванторами ............................... 103 
9. Символическая логика символьных выражений ...................... 108 

ЗаключеlПlе ..................................................................................... 118 

Првложеиие 1 .................................................................................. 122 

Приложенне 2 .................................................................................. 130 

Литература ...................................................................................... 138 
Resume .............................................................................................. 143 

Введение) 

В начале XXI века проблема 
тика, связанная с исследованием 

концепций истинности, продолжает оставаться одной из центральных для логики, философии и методологии науки. 

Парадоксы, обнаруженные в основаниях теории множеств 

(Б.Расселом и другими), затронули и классическую концепцию 

истины, восходящую к Аристотелю. Подразделение известных 

парадоксов на логические и семантические бьmо предложено 

Ф.Рамсеем. 

Начало прошлого ХХ века характеризуется активной исследовательской работой в области как оснований математики, так и 

логики. При этом были подвергнуты критике традиционные 

законы логики (Л.Брауэр, Н.Васильев, Я.Лукасевич, к.Льюис). 

Эти исследования, а также ряд проблем, возникших в связи с 

семантическими парадоксами, привели к созданию неклассических логик и новых подходов к концепции истины. 

Современный подход к теории истины обычно связывают с 

семантической теорией истины Тарского. В ней А.ТарскиЙ пред.'южил общий метод построения формально корректного определения понятия «быть истинным предложением» для ряда формализованных языков. 

Обнаруженные А.Тарским проблемы, связанные с определением истины для <<Достаточно богатых» языков, побуждали 

исследователей искать новые пути развития концепции истины. 

Интересные, многообещающие и оригинальные подходы содержатся в работах с.Крипке, Н.Белнапа, фон Вригта. Идея 
} l.Васильева о различении логики и металогики, то есть двухуровневых логик, продолжала развиваться в работах А.Арруды, 

В.А.Смирнова. К ней примыкает идея Д.Бочвара о различении 

ЕlНешних и внутренних связок. Идеи с.крипке связаны как с 

использованием частично определенного предиката истины, так 

н с семантикой возможных миров. 

I . Работа выполнена при поддержке РГНФ, грант Н!! 02-03-18287.-· 

7 

Один из подходов к проблеме истинности и ложности, 

позволяющий выявить целый ряд важных аспектов этой проблемы, связан с использованием многозначных логик. Начало 

такому подходу положено Д.Бочваром. 

Задачи, поставленные в связи с разработкой и применением 

искусственного интеллекта, которые имеют отношение к обрабатываемой информации и поэтому актуальные для развития современных компьютерных систем, заставляют по-новому взглянуть на проблемы истинности и ложности. 

Существует ли определение термина «истинное предложение»? Несмотря на многочисленные исследования 
в 
этой 

области, до сих пор актуальным остается проблема рассмотрения 

термина «истинное предложение» в общем случае. Это попрежнему 
открытый 
вопрос, 
на 
который 
не 
получен 

общепризнанный ответ. Определение предиката истины имеется 

только для ряда частных случаев формализованных языков. 

Этот вопрос может быть поставлен иначе: 

«Как употребляются в языке понятия истинности и ложности?», 

или в более формальном виде: 

«Как употребляются в языке логики понятия истинности и 

ложности?». 

Таким образом, обоснование и построение логики с предикатами и операторами истинности и ложности, учитывающей и 

содержательно и формально основные положения и следствия 

вышеуказанных концепций и логик, представляется вполне актуальным. 

Как уже отмечалось выше, исследование проблемы истины 

восходит своими корнями к античности. Так, уже софистами в 

античности был сформулирован в числе других парадокс лжеца. 

Подход к определению истины у Аристотеля задал ее понимание 

[Аристотель 1976] «истину говорит тот, кто считает разъединеное разъединенным и связанное связаннь{м, а ложное тот, кто 

думает обратно тому, как дело обстоит с вещами» и стал доминирующим в последующие века. 

В начале ХХ века в логике и математике были открыты 

новые типы парадоксов, существенным образом затронувших 

основные положения наивной теории множеств, заставившие поновому взглянуть на проблему истины и сыгравшие важную роль 

в развитии логики (в первую очередь логико-семантических 

исследований и неклассических логик). 

Новый этап в исследовании и развитии концепции истины 

связан с теорией истины Тарского [Tarski А. 1933], сразу ставшей 

8 

классической. В ней А.ТарскиЙ установил, что существенными 

IIредпосылками, приводящими к семантическим антиномиям, 

являются: 
(1) семантически замкнутый язык, 
(11) допущение, что в этом языке действуют обычные законы 

логики. 

Поэтому, чтобы не допустить появления парадоксов, он принял решение не пользоваться семантически замкнутым языком. 

Вместо 
последнего 
он 
использовал 
два разных языка 
объектный язык и метаязык. Объектный язык он предложил 

отделить 
от 
метаязыка, 
тем 
самым 
сделав 
невозможным 

появление семантических парадоксов типа парадокса лжеца. 

Сам А.ТарскиЙ угверждал, что основной результат его исследования заключается в следующем: необходимое условие для 

удовлетворительного определения истины в метаязыке состоит в 

том, 
что 
метаязык 
должен 
«быть 
существенно 
богаче» 

объектного языка. В случае невыполнения этого условия термин 

«истинно» необходимо включить в список неопределяемых 

терминов метаязыка, 
а фундаментальные свойства понятия 

истины задавать аксиоматически. 

Многие исследователи согласились с тем, что при проведении логических исследований необходимо различать объектный 

язык и метаязык, и, в дополнение к этому, логики этих двух 

типов языков могуг быть разными. Идея двух уровней логики 

была намечена уже Н.Васильевым. 

Различные пути построения концепции истины могуг быть 

классифицированы в зависимости от того, какие логики принимаются для объектного языка и метаязыка, а также какой подход 

был избран: дефинициальный или аксиоматический. 

Поскольку формулы языка логики, как содержащие, так и 

не содержащие семантические предикаты, могуг рассматриваться 

как классически так и неклассически, то имеется 4 варианта их 

рассмотрения. Перечислим эти варианты, записывая предложение «Формулы языка логики, не содержащие семантические предикаты, рассматриваются классически» сокращенно как «не 

семантические классически» и Т.д. Язык может характеризоваться, по крайней мере, двумя уровнями: уровнем объектного 

языка и уровнем мета~зыка. 
1) 
семантические классически, 

не семантические - классически. 
2) 
семантические классически, 

не семантические - неклассически. 

9 

3) 
семантические неклассически, 

не семантические классически. 
4) 
семантические неклассически, 

не семантические - неклассически. 

Теория истины Тарского может быть отнесена к первому 

варианту, к нему же относится концепция Гупта-Херцбергера. 

О втором варианте имеет смысл говорить, когда для формул 

объектного языка применяется неклассическая логика, а для формул метаязыка классическая логики. Такая трактовка метаязыка 

была принята в той или иной форме рядом логиков. Она обнаруживается в трехзначной логике Лукасевича для формул с модальными операторами Lp и Мр; в логике Бочвара для формул 1- Р и 

7р; в формализованной А.АррудоЙ логике Васильева V 1 для 

формулы -.р; в принципах введения значений истинности, предложенных А.А.Зиновьевым для метавысказываний о значениях 

истинности (P(-v); 
в системе интенсионального следования 

Войшвилло для формул метаязыка Тр/а и Fp/a; в метатеории 

логик первопорядкового следования Попова для формул метаязыка T1P и F lР; в логиках истины фон Вригта для формулы Тр; в 

комбинированном исчислении высказываний и событий Смирнова для формулы ер в системе СМ. 

Из многозначных интерпретаций для логик, принимающих 

такую трактовку метаязыка, вьщелим четырехзначные интерпретации. Так, фон Вригт для логики истины принимает четыре знаqения (<<univocally true», «univocally false», «true and fa}se», 
«neither true nor false»). В исследованиях по искусственному 

интеллекту 
н.Белнап 
в 
статье 
<<Как 
нужно 
рассуждать 

компьютеру» предлагает оценивать поступающую в компьютер 

информацию в терминах истины и лжи, используя четыре 

оценки: только истинно, только ложно, оба (и то и другое), ни 

одно (ни то, ни другое), обозначенные как Т, F, В, N. Для двух 

последних 
значений 
имеются 
определенные 
аналогии 
с 

пресыщенными оценками и истиннозначными про 
валами в 

семантике возможных миров. 

Orмечается также, что в индийской логике имеется традиция рассматривать тезис с четырех сторон (чатушкотика), как, 

например, в знаменитом вопросе к Будде «Мир или вечен, или 

невечен, или вечен и невечен, или ни вечен, ни невечен?». 

Таким образом, идеи логик с четырехзначной интерпретацией и сходными по смыслу значениями истинности имеются как 

у древних, так и у современных мыслителей, как на Востоке, так 

)0 

и на Западе. Подобные логики могут предназначаться для рассуждений как естественного, так и искусственного интеллекта. 

В 
подходе 
Крипке-Фефермана-Гилмора 
допускается 

использование предиката истины как частично определенного; 

формулы языка логики, не содержащие семантических предикатов, рассматриваются ими классически, чем реализуется третий 

вариант. 

К четвертому варианту относятся логические системы IМ, 
IHW построенные В.А.Смирновым в комбинированном исчислении высказываний и событий. 

В исследованиях Е.Д.СмирновоЙ, использующей семантику 

возможных миров, рассматриваются по отдельности все четыре 

указанных выше варианта. 

Особенностью развиваемой в монографии концепции истины 

и строящейся на ее основе логики является то, что предикаты и 

операторы истинности и ложности включены в объектный язык 

исчисления. В этом состоит отличие от подходов, требующих 

отделения терминов, имеющих метаязыковое происхождение, от 

языка-объекта. Предикат истинности не определяется, а его 

основные свойства задаются системой аксиом. Логика с предикатами и операторами истинности и ложности характеризуется 

также тем, что в ней к высказываниям, префиксированным операторами 
истинности 
и 
ложности применима классическая 

логика, в то время как к произвольным высказываниям применима неклассическая логика. Тем самым предлагаемая в монографии логика с предикатами и операторами истинности и ложности рассматривается в рамках второго варианта, при этом учитываются и другие подходы. 

Автор приносит благодарность коллегам за стимулирующие 

обсуждения, критические замечания и интерес к высказанным 

идеям А.М.Анисову, П.И.Быстрову, в.л.Васюкову, И.А.Герасимовой, Г.В.Гриненко, А.А.Зиновьеву, Ю.В.Ивлеву, А.С.Карпенко, Е.Е.ледникову, В.м.попову, Е.Д.СмирновоЙ, А.В.Чагрову, 

В.И.Шалаку. В свое время автору помогли Е.А.Сидоренко и 

В.А.Смирнов. 

1. Обогащение классической сентенциальной 

логики операторами истинности и ложности 

в этой главе будут рассмотрены следующие темы: 

Понятия истинности и ложности 

Классическая логика и ее интерпретация 

Основные содержательные положения логики с операторами истинности и ложности 

Формулировка классической сентенциальной логики с 

операторами истинности и ложности FL2 

Аксиоматическая теория истины для классической сентенциальной логики 

Семантические и несемантические формулировки законов противоречия и исключенного третьего 

1.1. ПОНЯТИЯ ИСТИННОСТИ И ЛОЖНОСТИ 

В логической семантике имеется ряд концепций и теорий 

истины. Понятия истинности и ложности рассматриваются в различных подходах и теориях по крайней мере трояким образом в 

следующих смыслах: 

1) как предикат, 
2) как оператор 
3) как абстрактный предмет или объект. 

Пусть выражения 'п\', 'П2' является именами предложений 

'S\' и 'S2' соответственно. Тогда в высказываниях вида "Предложение 0\ истинно", "Предложение 02 ложно" понятия истинности 

и ложности выражаются предикатами истинности и ложности. 

В высказываниях вида "Истинно, что S\", "Ложно, что S2" 

понятия 
истинности 
И 
ложности выражаются 
операторами 

истинности и ложности. 

В высказываниях вида "Предложение 0\ означает истину", 

"Предложение 02 означает ложь", или более кратко "S\ есть 

истина", "S2 есть ложь", понятия истинности и ложности рассматриваются как абстрактные предметы: истииа и ЛОЖЬ. 

12 

Высказывания различных видов об истинности (ложности) 

предложений, подчиняющихся классической логике, попарно 

эквивалентны друг другу. А именно следующие предложения: 

"Предложение п\ истинно", "Истинно, ЧТО S)", "Предложение п\ 

означает истину", "Sl", попарно эквивалентны. 

Аналогично попарно эквивалентны предложения: "Предложение 02 ложно", "Ложно, что S2", "Предложение 02 означает 

ложь", "неверно, что S2". 

Однако, если для каких-либо предложений нарушаются 

принципы и положения классической логики, то нарушаются и 

вышеуказанные эквивалентности. 

Имеет смысл, подобно тому, как это делает Н.Васильев, рассматривать логики двух уровней: на первом уровне законы 

логики имеют место для предложений, на втором уровне для 

высказываний об истинности или ложности вида "Предложение 
0\ истинно", "Предложение 02 ложно". 

Вслед за Тарским, который полагал, что предикат 'истинно' 

относят к предложениям, в данной работе будем исходить из рассмотрения понятий истинности и ложности как предикатов. Символически будем записывать соответствующие высказывания как 

формулы Т(q(S)), F(q(S2», где 'S\' и 'S2' предложения, 'q(S)' и 
'q(S2)' имена этих пре;::уюжений и q оператор, преобразующий 

предложения в их имена . 

Имея дело с понятиями истинности И ложности, необходимо 

считаться с возможностями встретиться с трудностями их применения и употребления в естественном и формализованном языках. Это трудности связаны: 

1) с семантическими парадоксами типа парадокса лжеца, 
2) с определением предиката истины, 
3) с определением предложения и высказывания. 

Начнем обсуждение с первой трудности. 

Согласно Тарскому, существенными предпосылками, при 
водящими к антиномиям, являются следующие: 

"(1) Мы неявно предполагаем, что язык, в дополнение к 

своим выражениям, содержит также имена этих выражений и 

семантические· термины, например, термин «истинно», относящийся к предложениям этого языка. Мы допускаем также, что 

все предложения, задающие адекватное употребление этого 

в ряде предblДУЩИХ работ автора в качестве оператора, преобразующего 

предложения в ИХ имена использовалась звездочка "', Т.е. если ·S.' и 'S2' 
предложения, то 'SI*' и 'S2"" имена этих предложений. 

13