Краткий курс математического анализа. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды

ÈÇÄÀÍÈÅ ×ÅÒÂÅÐÒÎÅ, ÏÅÐÅÐÀÁÎÒÀÍÍÎÅ

2015

УДК 517
ББК 22.161.1
К 88

Куд р я в це в Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной.
Ряды: Учебник. — 4-е изд., перераб. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. — 444 с. —
ISBN 978-5-9221-1585-8 (Т. 1).

Излагаются традиционные разделы математического анализа: дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной, теория рядов.
Для студентов физико-математических и инженерно-физических специальностей.
Ил. 128.

Ре це н з е н т ы:

заведующий кафедрой общей математики факультета ВМиК

МГУ им. М. В. Ломоносова академик В. А. Ильин ;

профессор МФТИ, академик С. М. Никольский

ISBN 978-5-9221-1585-8 (Т. 1)
ISBN 978-5-9221-1584-1
c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2008, 2009, 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
8

Предисловие . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
14

Г л а в а 1.
Дифференциальное
исчисление
функций
одной
переменной . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
17
§ 1. Функции и множества. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
17
1.1. Множества (17). 1.2. Функции (19).
§ 2. Числа . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
21
2.1. Действительные числа (21). 2.2. Расширенная числовая прямая. Окрестности (25). 2.3. Комплексные числа (27). 2.4. Перестановки и сочетания (35). 2.5. Формула бинома Ньютона (38).
§ 3. Элементарные функции . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
39
3.1. Числовые функции (39). 3.2. Понятие элементарной функции (40). 3.3. Многочлены (41). 3.4. Разложение многочленов
на множители (44). 3.5. Рациональные дроби (46). 3.6. Графики рациональных функций (52). 3.7. Степенная функция (55).
3.8. Показательная и логарифмическая функции (57). 3.9. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции (58).
3.10. Параллельный перенос и растяжение графиков (60).
§ 4. Числовые множества. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
62
4.1. Ограниченные и неограниченные множества (62). 4.2. Верхняя и нижняя грани (63). 4.3. Арифметические свойства верхних
и нижних граней (65). 4.4. Принцип Архимеда (67). 4.5. Принцип
вложенных отрезков (68). 4.6. Счетность рациональных чисел.
Несчетность действительных чисел (70).
§ 5. Предел числовой последовательности . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
74
5.1. Определение предела числовой последовательности (74).
5.2. Единственность предела последовательности (77). 5.3. Переход
к
пределу
в
неравенствах (78).
5.4. Ограниченность
сходящихся последовательностей
(81). 5.5. Бесконечно малые
последовательности (82). 5.6. Свойства пределов, связанные
с арифметическими действиями над числовыми последовательностями (84). 5.7. Монотонные последовательности (87).
5.8. Принцип
компактности (90).
5.9. Критерий
Коши (93).

Оглавление

5.10. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями (95). 5.11. Предел последовательности комплексных чисел (101).

§ 6. Предел и непрерывность функций . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
102
6.1. Первое определение предела функции (102). 6.2. Определение непрерывности функции (108). 6.3. Второе определение
предела функции (109). 6.4. Условие существования предела
функции (111). 6.5. Предел функции по объединению множеств (112).
6.6. Односторонние
пределы
и
односторонняя
непрерывность (112). 6.7. Свойства пределов функций (114).
6.8. Бесконечно малые (118). 6.9. Непрерывные функции (119).
6.10. Классификация
точек
разрыва (122).
6.11. Пределы
монотонных функций (123). 6.12. Критерий Коши существования предела функции (126). 6.13. Предел и непрерывность
сложных функций (127). 6.14. Предел и непрерывность функций
комплексного аргумента (128).

§ 7. Свойства непрерывных функций . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
130
7.1. Ограниченность
непрерывных
функций.
Достижимость
экстремальных значений (130). 7.2. Промежуточные значения
непрерывных функций (131). 7.3. Обратные функции (133).
7.4. Равномерная непрерывность (136).

§ 8. Непрерывность элементарных функций . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
139
8.1. Многочлены и рациональные функции (139). 8.2. Показательная и логарифмическая функции (140). 8.3. Степенная
функция (147). 8.4. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции (148). 8.5. Элементарные функции (149).

§ 9. Сравнение функций . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
149
9.1. Замечательные пределы (149). 9.2. Сравнение
функций
в
окрестности
заданной
точки (152).
9.3. Эквивалентные
функции (155).

§ 10. Производная и дифференциал . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
157
10.1. Определение
производной (157).
10.2. Дифференциал
функции (159).
10.3. Геометрический
смысл
производной
и дифференциала (161). 10.4. Физический смысл производной
и дифференциала (163). 10.5. Свойства производных, связанные с арифметическими действиями над функциями (164).
10.6. Производная обратной функции (166). 10.7. Производная
и дифференциал сложной функции (167). 10.8. Гиперболические
функции и их производные (169). 10.9. Производные комплекснозначных функций действительного аргумента (169).

§ 11. Производные и дифференциалы высших порядков. .. .. .. .. .. .. .. .. .
170
11.1. Производные высших порядков (170). 11.2. Производные
высших
порядков
сложных
функций,
обратных
функций
и функций, заданных параметрически (172). 11.3. Дифференциалы высших порядков (173).

Оглавление
5

§ 12. Дифференциальные теоремы о среднем . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
174
12.1. Теорема Ферма (174). 12.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях (176).

§ 13. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя . .. .. .. .. .. .. .
181

13.1. Неопределенности вида 0

0 (181). 13.2. Неопределенности ви
да ∞

∞ (182).

§ 14. Формула Тейлора . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
187
14.1. Вывод формулы Тейлора (187). 14.2. Примеры разложения
по формуле Тейлора (191). 14.3. Применение метода выделения
главной части функций для вычисления пределов (193).

§ 15. Исследование функций . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
195
15.1. Признак монотонности функций (195). 15.2. Локальные
экстремумы функций (196). 15.3. Выпуклость и точки перегиба (203). 15.4. Асимптоты (207). 15.5. Построение графиков
функций (208).

§ 16. Векторные функции . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
210
16.1. Предел
и
непрерывность
векторной
функции (210).
16.2. Производная и дифференциал векторной функции (214).

§ 17. Длина кривой . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
220
17.1. Понятие кривой (220). 17.2. Касательная к кривой (225).
17.3. Определение длины кривой. Спрямляемые кривые (227).

§ 18. Кривизна кривой . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
232
18.1. Определение кривизны и радиуса кривизны кривой (232).
18.2. Формула для кривизны (233). 18.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость (235). 18.4. Центр кривизны. Эволюта (238). 18.5. Кривизна и эволюта плоской кривой (238).

Г л а в а 2.
Интегральное исчисление функций одной переменной. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
242

§ 19. Определение и свойства неопределенного интеграла. .. .. .. .. .. .. .. .
242
19.1.
Первообразная
и
неопределенный
интеграл
(242).
19.2. Основные
свойства
интеграла (244).
19.3. Табличные
интегралы (246).
19.4. Формула
замены
переменной (247).
19.5. Формула интегрирования по частям (251).

§ 20. Интегрирование рациональных дробей . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
251
20.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей (251).
20.2. Общий случай (253).

§ 21. Интегрирование некоторых иррациональностей . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
254
21.1. Рациональные функции от функций (254). 21.2. Интегралы

вида
R
x,
ax + b

cx + d

r1, ...,
ax + b

cx + d

rndx (254). 21.3. Интегралы

от дифференциального бинома (256).

Оглавление

§ 22. Интегрирование некоторых трансцендентных функций . .. .. .. .. .
257

22.1.
Интегралы
R(sin x, cos x) dx (257).
22.2.
Интегралы
sinm x cosn x dx
(258).
22.3.
Интегралы
sin αx cos βx dx,
sin αx sin βx dx,
cos αx cos βx dx (259).
22.4. Интегралы
от

трансцендентных
функций,
вычисляющиеся
с
помощью
интегрирования по частям (260).

§ 23. Определенный интеграл . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
261
23.1. Определенный интеграл Римана (261). 23.2. Ограниченность интегрируемых функций (263). 23.3. Верхние и нижние
суммы Дарбу (265). 23.4. Нижний и верхний интегралы (268).
23.5. Необходимые и достаточные условия интегрируемости
функций (269). 23.6. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций (271).

§ 24. Свойства интегрируемых функций . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
272
24.1.
Основные
свойства
определенного
интеграла (272).
24.2. Интегральная теорема о среднем (282).

§ 25. Определенный и неопределенный интеграл . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
286
25.1. Дифференцирование определенного интеграла по пределам
интегрирования (286). 25.2. Существование первообразной (288).

§ 26. Формулы замены переменной и интегрирования по частям
в определенном интеграле . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
290
26.1. Формула замены переменной (290). 26.2. Формула интегрирования по частям (291).

§ 27. Площади и объемы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
294
27.1. Понятие площади плоского множества (294). 27.2. Пример
неограниченного множества положительной конечной площади (296). 27.3. Понятие объема (297).

§ 28. Геометрические и физические приложения определенного интеграла. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
298
28.1. Вычисление
площадей криволинейных
трапеций (298).
28.2. Вычисление площадей в полярных координатах (301).
28.3. Вычисление
длины
кривой (303).
28.4. Площадь
поверхности вращения (304). 28.5. Объем тел вращения (307).
28.6. Теоремы Гульдина. Центры тяжести плоских фигур и их
моменты относительно осей (308).

§ 29. Несобственные интегралы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
313
29.1. Определение несобственных интегралов (313). 29.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов (318). 29.3. Несобственные интегралы от неотрицательных
функций (322). 29.4. Критерий Коши (327). 29.5. Абсолютно сходящиеся интегралы (328). 29.6. Признаки сходимости Дирихле
и Абеля (332). 29.7. Интегралы от комплекснозначных функций
действительного аргумента (335).

Оглавление
7

Г л а в а 3.
Ряды. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
338
§ 30. Числовые ряды . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
338
30.1. Определение ряда (338). 30.2. Свойства сходящихся рядов (339). 30.3. Критерий Коши (341). 30.4. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (342). 30.5. Знакочередующиеся ряды (350). 30.6. Абсолютно сходящиеся ряды (352).
30.7. Условно сходящиеся ряды (356). 30.8. Признаки Дирихле
и Абеля сходимости рядов (360). 30.9. Исследование сходимости
рядов методом выделения главной части ряда (363). 30.10. Суммирование рядов методом средних арифметических (365).
§ 31. Функциональные последовательности и ряды . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
367
31.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов (367). 31.2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов (370). 31.3. Специальные признаки
равномерной сходимости рядов (378). 31.4. Свойства равномерно
сходящихся последовательностей и рядов (381).
§ 32. Степенные ряды . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
389
32.1. Радиус сходимости и круг сходимости (389). 32.2. Аналитические функции в действительной области (396). 32.3. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора (398). 32.4. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора (404). 32.5. Формула
Стирлинга (413).

Контрольные вопросы. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
416
Предметный указатель . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
437

ВВЕДЕНИЕ

Ни одно человеческое исследование
не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства. Никакой
достоверности нет в науках там, где
нельзя приложить ни одну из математических наук, и в том, что не имеет
связи с математикой 1).

Леонардо да Винчи

Математика 2) является точной абстрактной наукой, изучающей
специальные логические структуры, называемые математическими,
у которых описаны определенные отношения между их элементами.
Каждая математическая структура — аналитическая, алгебраическая, топологическая, вероятностная и другие имеют, конечно, специальные описания.
Точность математики означает, что основным методом в математических исследованиях являются логические рассуждения, а результаты исследований формулируются в строгой логической форме.
Абстрактность же математики означает, что объектами ее изучения
являются не материальные объекты или отношения между ними,
а логические понятия и отношения между ними. Однако важно подчеркнуть, что отношения и взаимодействия между материальными
объектами можно изучить с помощью их математического моделирования. Возникающие таким образом математические модели нередко приводили, в свою очередь, к созданию новых математических
структур.

2) μαθημα (греч.) — познание, наука.

Введение
9

Существенно то, что одна и та же математическая модель может
описывать с определенным приближением свойства очень далеких
друг от друга по своему конкретному содержанию реальных явлений. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов,
а лишь существующие между ними соотношения. Абстрактность математики порождает определенную трудность ее применения к описанию и решению конкретных задач, в то же самое время абстрактность
математики придает ей силу, универсализм и общность.
Роль математики, конечно, не сводится только к описанию с помощью тех или иных моделей определенных сторон каких-то явлений.
Она представляет интерес и имеет большую ценность прежде всего
сама по себе как наука, как знание. Математика дает мощные методы
для познания мира, для изучения его закономерностей.
Математические методы исследования всегда играли и продолжают играть огромную, все увеличивающуюся роль в естествознании.
В качестве примера можно привести уже ставшие хрестоматийными
такие теоретические открытия, как открытие планеты Нептун, открытие электромагнитных волн или открытие позитрона, сделанные
сначала математически «на кончике пера» и лишь потом нашедшие
свое экспериментальное подтверждение.
Математика неустанно продолжает развиваться, в ней создаются
новые методы, появляются новые разделы. Развитие математики в целом определяет уровень ее использования и оказывает существенное
влияние на развитие других наук и техники. В свою очередь, задачи практики, прогресс других фундаментальных и прикладных наук
приводят к созданию новых направлений математики, стимулируют
ту или иную направленность математических исследований, расширяют возможность применения математических методов. В силу этого
область применения математики постоянно расширяется.
Бурное развитие компьютерной техники привело к качественному скачку возможностей математических методов исследований. Они
стали применяться не только в тех областях, где математика использовалась уже давно (например, в механике, физике), но и в тех
областях человеческого знания, где математика еще совсем недавно
либо применялась мало, либо ее применение даже не представлялось
возможным (медицина, экономика, лингвистика, социология и т. п.).
Проникновение качественных и количественных математических
методов в другие науки, использование в этих науках уже имеющегося
математического аппарата, создание новых математических понятий
и методов для описания и изучения рассматриваемых явлений, т. е.
все то, что обычно называется математизацией науки, является характерной чертой всего естествознания наших дней.
Современный научный работник или инженер должен в достаточной степени хорошо владеть как классическими, так и современными

Введение

математическими методами исследования, которые могут применяться в его области. Для того чтобы иметь возможность с успехом применять математические методы при изучении того или иного вопроса,
нужно, конечно, прежде всего иметь необходимые знания, уметь правильно обращаться с математическим аппаратом, знать границы допустимого использования рассматриваемой математической модели.
Этим, однако, не исчерпываются характерные особенности решения задач математическими методами, да и вообще математического
творчества, т. е. познания объективно существующих математических
истин. Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных,
для выделения существенных из них и для выбора способа решения необходимо обладать еще математической интуицией, фантазией
и чувством гармонии, позволяющими предвидеть нужный результат
прежде, чем он будет получен. Однако интуитивно почувствовать
ожидаемый результат и наметить путь исследований с помощью правдоподобных рассуждений — это далеко не все. Интуитивное чувство
гармонии является в математике лишь первой, хотя и весьма важной
ступенью; интуитивные соображения и правдоподобные рассуждения
отдаются на суд холодного рассудка для их изучения, доказательства
или опровержения.
Для записи проводимых исследований и получающихся результатов используются язык цифр, разнообразные математические символы и словесные логические описания.
При математическом доказательстве гипотезы, при математическом решении задачи правильный выбор аппарата и метода — залог успеха и, более того, часто приводит к тому, что в результате
получается больше полезной информации об изучаемом предмете,
чем заранее предполагалось. Это связано с тем, что математический
аппарат таит в себе много скрытой информации и скрытого богатства,
накапливавшихся в нем в течение веков, благодаря чему формулы
могут оказаться «умнее» применяющего их и дать больше, чем от них
ожидалось.
Следует отметить, что в математике справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой его на ряде примеров, не
проведением ряда экспериментов, что не имеет для математики доказательной силы, а чисто логическим путем, по законам формальной
логики.
Конечно, и эксперименты и примеры также играют большую роль
в математических исследованиях: они могут или дать иллюстрацию
утверждения, или опровергнуть его, или натолкнуть на какую-либо
(в том числе и новую) идею. За последние годы в связи с быстрым развитием вычислительной техники особенно возросло значение
математического эксперимента в прикладных исследованиях: здесь

Введение
11

открылись качественно совершенно новые возможности и перспективы.
Безусловно, вся эта схема весьма идеализирована. Прежде всего
использование знаний, математического аппарата, интуиции, чувства
гармонии, фантазии, логики, эксперимента происходит не последовательно по этапам — все это все время взаимодействует между собой
в течение всего процесса.
Далее, далеко не всегда удается довести проводимые исследования
до желаемого конца, но было бы, например, большим заблуждением думать, что для математики имеют значение только доказанные
утверждения, только исследования, доведенные в известном смысле
до логического завершения.
Можно привести много примеров математических теорий и положений, которые, будучи сформулированы лишь в виде гипотез, тем не
менее оказывали или оказывают существенное влияние на развитие
математики или ее приложений.
Окончательные результаты, полученные в математике, описывая
те или иные свойства логических абстрактных моделей, имеют в определенном смысле абсолютный и вечный характер и, следовательно, не
меняются и не могут измениться в связи с развитием наших знаний.
Так, например, за последние две тысячи лет наши представления
об окружающем нас мире и об управляющих им закономерностях
претерпели существенные изменения, а теорема Пифагора осталась
и останется всегда такой же, какой она была в Древней Греции.
Это, конечно, не исключает того, что в процессе своего исторического развития многие математические понятия и утверждения не
сразу обретали и обретают свою окончательную логически законченную форму, не исключает и того, что в процессе развития одни и те
же объекты изучения математики воспринимаются с разных точек
зрения, что приводит к раскрытию их новых свойств, наполняет их
новым содержанием, что, в свою очередь, нередко существенно меняет
наше представление об их значимости и важности.
При использовании математики для описания каких-либо конкретных явлений нередко бывает достаточно лишь интуитивных представлений о соответствующих математических понятиях, однако тогда, когда математика используется в качестве метода исследования,
как правило, для завершения проводимого исследования необходимо четкое представление об используемых при этом математических
понятиях — только в этом случае может быть объективная уверенность в правильности сделанных выводов. Поэтому, для того чтобы
применять математику как метод исследования, весьма важно осознать и хорошо освоить сущность и взаимосвязь ее основных идей
и понятий, важно стремиться овладеть процессом творческого, а не
формального мышления.

Введение

Свободное владение математическими методами, знания и интуиция приобретаются, накапливаются и развиваются в процессе систематических занятий, в результате длительной и настойчивой работы.
Тот, кто последовательно овладевает математическим аппаратом, кто
последовательно получает твердые и точные знания математических
фактов, будет уверенно двигаться дальше, и математика станет послушным инструментом в его руках.
Часто мнение о трудности изучения математики связано с туманным и нечетким ее изложением на интуитивном уровне. Кажущаяся
трудность тех или иных математических методов нередко обусловлена тем, что эти методы не были своевременно достаточно хорошо
разъяснены и поэтому остались непонятыми.
Четкое введение математического понятия по сравнению с введением на интуитивном уровне, как правило, оправдывает себя при
его применении, позволяет правильно использовать и не нуждается
в дополнительных пояснениях. Лучший и кратчайший способ в процессе обучения математике разъяснить какое-либо понятие — это дать
его точную формулировку. Лучший способ на первом этапе обучения
объяснить теорему, выяснить ее смысл, установить ее связь с ранее
изученными фактами — это доказать теорему. Сделать это надо просто, естественно и доходчиво, что часто совсем не легко. В умении
осуществить это на достаточно высоком уровне и состоит прежде
всего искусство преподавания математики.
Однако было бы неправильно думать, что с овладением доказательством математической теоремы кончается процесс ее познания.
До конца смысл и роль теорем раскрываются лишь при их применении к изучению других теоретических вопросов и решении тех
или иных конкретных задач. Трудно переоценить огромную роль
анализа отдельных примеров, иллюстрирующих теоретические утверждения, и решения с помощью последних соответствующих частных
задач. Безусловно, при достаточно хорошей математической культуре
вполне допустимо знакомство с рядом утверждений, ограничивающееся лишь их формулировкой без проведения доказательства. Однако
на первом этапе обучения это явно нецелесообразно.
Косвенная польза от изучения математики состоит в том, что оно
совершенствует общую культуру мышления, дисциплинирует ее, приучает человека логически рассуждать, воспитывает у него точность
и обстоятельность аргументации. Математика учит не загромождать
исследование ненужными подробностями, не влияющими на сущность
дела, и, наоборот, не пренебрегать тем, что имеет принципиальное
значение для существа изучаемого вопроса. Все это дает возможность
эффективно исследовать и осмысливать новые задачи, возникающие
в различных областях человеческой деятельности.

Введение
13

Умение логически мыслить, владение математическим аппаратом, правильное использование математики дают большую экономию мышления, вооружают человека мощным методом исследования.
Овладеть в достаточной мере математическим методом, математической культурой мышления, почувствовать силу и красоту математических методов — далеко не простая задача. Но для того, кто
сумеет этого достичь, труд не пропадет зря. Для него откроются
новые перспективы человеческой деятельности, заманчивые дороги
в неизвестное, откроются качественно новые возможности творчества
и познания мира. Причем важно отметить, что все это доступно
каждому, кто хочет овладеть математикой, кто серьезно и последовательно займется ее изучением.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В основе настоящего учебника лежит классический метод изложения материала, характерный для математических дисциплин, т. е. метод, при котором ни одно принципиально важное для построения курса утверждение, требующее доказательства, не остается без такового.
Автору представляется, что изложение математической дисциплины,
при которой ряд фактов (часто основополагающих) принимается без
доказательства, затрудняет изучение предмета и активное использование его в дальнейшем. В качестве оправдания такого «нестрогого»
изложения обычно приводится довод о невозможности в отведенные
учебным планом часы дать обоснованное изложение всего материала.
Однако в высших учебных заведениях, в которых на курс математики
отводится 350–510 часов, вопросы математического анализа можно
изложить неформально, с общепринятой в математике строгостью.
Один из возможных путей такого изложения без отказа от наглядности и обстоятельности предлагается в данном курсе. В полном
объеме весь материал, содержащийся в учебнике, можно подробно
в умеренном темпе рассказать за 75 лекций (каждая из двух частей по
40 минут). Это подтверждается многолетним опытом чтения автором
курса математического анализа на различных факультетах Московского физико-технического института.
Некоторые вопросы, рассматриваемые в учебнике, отмечены звездочкой. Это означает, что их целесообразнее разобрать не на лекциях,
а на семинарских занятиях, или предоставить студентам самостоятельно ознакомиться с ними. Во-первых, это вопросы, касающиеся
напоминания некоторых понятий элементарной математики, известных из курса средней школы. Во-вторых, это вопросы, которые можно исключить из лекций без нарушения логической завершенности
курса, что имеет смысл сделать в том случае, когда эти вопросы не
входят в обязательную программу (например, в случае, когда на курс
высшей математики отводится 350 часов). К ним относятся счетность
рациональных и несчетность иррациональных чисел, теорема о записи
действительных чисел бесконечными десятичными дробями, элементы теории функций комплексного переменного, теория обобщенных
функций и т. п.

Предисловие
15

В первую лекцию целесообразно включить пп. 2.1, 2.2, 4.1 и 4.2.
Тем самым первая лекция будет завершаться доказательством теоремы о существовании точной верхней грани у ограниченного сверху
числового множества, которая является одной из фундаментальных
теорем, лежащих в основе математического анализа.
Существенное отличие предлагаемого учебника от большинства
других состоит в изложении теории предела функции. В основе этого
изложения лежит рассмотрение предела функции в точке не только по
ее проколотой окрестности, а и по любому множеству, содержащемуся
в области задания функции. Это позволяет изучать свойства функций глубже, чем при рассмотрении предела только по проколотой
окрестности. В учебнике определение предела lim
x→x0 f(x) = a числовой

функции f, заданной на множестве X, формулируется, например,
в терминах последовательностей следующим образом: для любой последовательности xn → x0, xn ∈ X, имеет место f(xn) → a, n = 1, 2, ...
При этом допускаются оба случая, x0 ∈ X и x0 ̸∈ X, а тем самым при
таком определении предела функции не предполагается, что xn ̸= x0.
Это упрощает формулировки и доказательства теорем (по сравнению
с обычным определением здесь одним условием меньше), что особенно хорошо видно на примере теоремы о пределе сложной функции
и позволяет наглядно и убедительно показать, что в математике дискретное является частным случаем непрерывного. Подробный сравнительный анализ с точки зрения различных определений предела
функции содержится в статье L. D. Kudryavtsev «Introducihg limits at
the undergraduate level» (Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 1992. V. 23,
№ 4. P. 517–523).
Автор старался отобрать минимальное количество вопросов, которые все вместе составляют логически завершенное изложение курса
математического анализа, освоив который, студент сможет активно
использовать его методы для решения задач и будет достаточно хорошо подготовлен для изучения других математических курсов.
Чтобы не отвлекать читателя от основного содержания учебника,
иногда опускаются доказательства, представляющие собой техническое усложнение тех, которые имеются в курсе. Например, формула
интегрирования по частям доказывается для непрерывно дифференцируемых функций, а для непрерывных и кусочно-непрерывно дифференцируемых формулируется без доказательства. Лишь для функций многих переменных имеются отдельные исключительные случаи,
когда доказательство теоремы в приведенной общей формулировке
требует существенного развития методов, примененных при ее доказательстве в тексте при более сильных ограничениях. Это относится
прежде всего к теоремам Грина и Гаусса–Остроградского для произвольных областей с кусочно-гладкой границей.