Лекции по подземной гидромеханике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА 

имени И.М. Губкина 

Кафедра нефтегазовой и подземной гидромеханики 

Н.М. ДМИТРИЕВ, В.В. КАДЕТ 

ЛЕКЦИИ ПО ПОДЗЕМНОЙ ГИДРОМЕХАНИКЕ 

ВЫПУСК2 

Допущено У МО вузов Российской Федерации па нефтегазовому 
образованию в качестве учебного пособия для подготовки бакалавров и 
магистров по направлению 553600 "Нефтегазовое дело" 
я для «лдгстввхи дкллемяреваняыг гпсияалястоз по направлению 650700 
"Нефтегазовое дело" специальности 090800 "Бурение нефтяных и газовых 
месторождений" и специальности 090600 "Разработка и эксплуатация 
нефтяных и газовых месторождений" 

Москва 2005 

УДК 531+532.5 

Дмитриев Н.М., Кадет В.В Лекции по подземной гидромеханике. Выпуск 2. М: РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина. 2005. - 104 с. 

Во втором выпуске учебного пособия по курсу «Подземной гидромеханики» приводятся последующие шесть лекций. В лекциях излагаются 
задачи плоскорадиального течения несжимаемой жидкости и газа при нелинейных законах фильтрации; дается классификация макронеоднородности пластов и решение задач притока несжимаемой жидкости и газа к галерее и скважине в слоисто- и зонально-неоднородных пластах; рассмотрен метод потенциала и приведены решения задач о притоке к группе (батарее) скважин, к скважине, расположенной вблизи прямолинейного контура питания и сброса, к эксцентрично расположенной скважине. Три лекции посвящены изложению неустановившегося движения упругой жидкости в упругом пласте. Дама математическая модель теории упругого режима и решения задач о притоке к галерее и скважине, изложены приближенные методы теории упругого режима. 

В конце каждой лекции приведены контрольные вопросы и задачи, 
цель которых более полное усвоение материала при самостоятельной работе студентов и на семинарских занятиях. 

Пособие рекомендуется студентам, бакалаврам и магистрантам, обучающимся по направлению Нефтегазовое дело и Горное дело, и аспиранчам но специальности Механика жидкости, газа и плазмы. 

Рецензенты : 
д.ф.-м.н. М.Э. Эглит 
д.ф.-м.н. А.В. Колесниченко 

© РГУ Нефти и газа им. И.М. Губкина, 2004 
© Н.М. Дмитриев, 2004 
© В.В. Кадет, 2004 

ЛЕКЦИЯ 7 

ПЛОСКОРАДИАЛЬНЫЙ ФИЛЬТРАЦИОННЫЙ ПОТОК 
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА ПРИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАКОНАХ ФИЛЬТРАЦИИ. ПРИТОК К НЕСОВЕРШЕННЫМ СКВАЖИНАМ 

Плоскорадиальный фильтрационный поток несжимаемой жидкости и 
газа по двучленному закону фильтрации. Плоскорадиальный фильтрационный поток несжимаемой жидкости и газа по степенному закону 
фильтрации. Приток к несовершенным скважинам. 

Плоскорадиальный фильтрационный поток несжимаемой жидко
сти и газа по двучленному закону фильтрации. Рассмотрим способы 

определения основных характеристик фильтрационных потоков при дви
жении жидкости и газа с большими скоростями, когда причиной отклоне
ния от закона Дарси являются значительные инерционные составляющие 

общего фильтрационного сопротивления. 

Математические модели теории фильтрации несжимаемой жидкости и 

газа в этом случае имеют, соответственно, следующий вид 

divw = О 
divpw = О 

gradp = 
gradp = 
-jw-p-j^\w\w 

p = const 
p - 
p(p) 

Умножим на плотность второе уравнение в системе уравнений, за
дающей математическую модель фильтрации газа, и введем функцию Лей
бензона (4.18). В результате получим 

divw = 0 
divpw = О 

gradp =
j
w
g
r
a
d
P 
= 
-jpw--^\p^pw 

p = const 
p = pip) 

P - \f>dp 

Таким образом, модели с двучленным законом фильтрации содержат 

такую же математическую аналогию, что и при линейном законе фильтра
ции (6.1). 

Для общности дальнейших рассуждений получим решение задачи об 

установившейся плоскорадиальной фильтрации по двучленному закону 

для газа, а решение для несжимаемой жидкости выпишем как частный 

случай полученного решения с функцией Лейбензона для уравнения со
стояния р = const. 

Запишем вначале уравнение двучленного закона фильтрации в проек
ции на линию тока (координатную линию г в полярной системе коорди
нат) 

Далее учтем, что для установившегося течения в цилиндрической сис
теме координат уравнение неразрывности имеет вид 

Так как течение плоскорадиальное, то все искомые функции зависят 

только от г, и уравнение неразрывности упрощается 

dpwrr 
= 
dr 

Интегрирование полученного уравнения приводит к равенству 

pwrr = const 

умножая которое на 27th, где h - толщина пласта, получим 

2 7Cpwrrh = Qm = const 

Из последнего соотношения найдем массовую скорость фильтрации 

(7.1) 

дг 
д<р 
dz 

5 

подставив которую в (7.1), будем иметь 

dr 
к 2яЛ г 
V A U ^ J 
г 2 

Разделим переменные в полученном дифференциальном уравнении 

к 2xh г 
4k\2jth) 
г2 

и проинтегрируем его от радиуса контура питания Rk до произвольного 

радиуса г 

> 
' i - i . > - +^к(2яh) 
J 
2 

*к 
к 2 7th ^ г 
Як • 

откуда 

1 

Ч) 

(7.2) 
к 2 nh 
г 
*Jk ^ 2 Jth J 

Принимая, что интегрирование проведено от контура питания до сква
жины (т.е. полагая г - г с ) , получаем 

с 
к 2жИ 
гс 
,[к{2зЛ) 

1 

Ri к; 

или, так как rc/Rk 
« 1 

Рк-Рс 
К9»и1п5± 
+ ^(йт- 
Г 1 

к 2nh 
r„ 
4k\2nh) 
г„ 

(7.3) 

'с 
v Л V " " V 
'с 

Все выкладки в дальнейшем будем производить, пренебрегая отноше
нием rc/Rk 
по сравнению с единицей. 

Формулы (7.2) и (7.3) задают распределение функции Лейбензона в 

пласте и связь между "депрессией функции Лейбензона" на пласт и деби
том, соответственно. Переходя от функции Лейбензона к давлению по 

формулам 

б 

p = 
£smFL+c 

2Pam 

для совершенного газа 

Р = Р ъ Р + С 
для несжимаемой жидкости 

найдем из (7.2) и (7.3) соотношения, задающие распределение давления и 

связи между расходом и депрессией на пласт при плоскорадиальной 

фильтрации по двучленному закону. 

Для несжимаемой жидкости: 

распределение давления в пласте 

к 2т 
г 
vfc \2лп 

связь между депрессиеи на пласт и расходом 

2/, 
р 

L, Q 
Rk 
/Зр0 ( Q у 1 

к 2 nh 

Для совершенного газа: 

распределение давления в пласте 

(7.4) 

(7.5) 

р = 
VQamPam^k 
PPamPamiQ* 

к 
7lh ' Г 
24k 

связь между депрессией на пласт и расходом 

л/J 

Рк~ 
Рс = 

2 _ № Qam Рат ^ Кк 
РРатРа 

1_JL 
г 

\2 

\ 

От. 
nh 

1 

(7.6) 

(7.7) 
к 
nh 
rc 
2Л 

Из формул (7.5) и (7.7) видно, что индикаторные линии, построенные 

в координатах (Q;Ap) для жидкости и ipam;{pl 
- р])) для газа, являются 

параболами (рис. 7.1 и 7.2), которые удобно представить в следующем ви
де: 

для несжимаемой жидкости 

pk-pc=AQ+BQ2 
(7.8) 

для газа 

где 

Р к - Р с = 4 Q a m + B i Q L 
(7.9) 

_ И 
In^ 

2nkh 
гс 

_ РРат lnRk 

Jtkh 
гс 

В _ РРо 

yfk(2nhf 
гс 

В - РРатРат 1 

1 
l 4 k n 2 h 2 гс 

Здесь А, В, А^, fl1 - коэффициенты фильтрационных сопротивлений, 

постоянные для данной скважины. Они определяются опытным путем по 

данным исследования скважин при установившихся режимах. Скважины 

исследуются на пяти-шести режимах, на каждом режиме измеряется дебит 

и определяется забойное давление. Затем скважину закрывают, и давление 

на забое остановленной скважины принимают за контурное давление рк. 

Для интерпретации результатов исследования скважин уравнения (7.8) и 

(7.9) делят на Q и Qam соответственно, приводя к линейным уравнениям 

Pk~Q
Pc 
=A + BQ 
(7.10) 

Графики соотношений (7.10) и (711) в координатах (Q;(pk - Pc)/Q) и 

(ft™ :{рк - Рс)/Qam) соответственно представляют собой прямые линии, 

для которых А либо Ах - отрезок, отсекаемый на оси ординат, В либо Вх 
тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс (На рис. 7.3 в качестве примера 

8 

приведен график зависимости (7.11)). 

Рис. 7.1. Индикаторная линия при фильт
рации жидкости по двучленному закону. 

&О.ГП 
Рис. 7.2. Индикаторная линия при фильт
рации газа по двучленному закону. 

pi-Pi 

Рис. 
7.3. 
График 
зависимости 

{pl~Pc)lQam 
0r 
Qam При фильтрации 

газа по двучленному закону. 

Уравнения притока (7.8) и (7.9) с 

экспериментально определяемыми коэффициентами широко используются 

в расчетах при проектировании разработки месторождений. 

9 

По значению А (или А]), найденному в результате исследования сква
жины, можно определить коллекторские свойства пласта, например, коэф
фициент гидропроводности: 

для нефтяной скважины 

kh _ 
1 ^ Rk 
р. 
2 лА 
гс 

для газовой скважины 

kh = рат 
ы 
Як 
ц 
лАх 
гс 

Уравнение притока реального газа к скважине по двучленному закону 

фильтрации имеет вид 

р\ 
р2 = 
QamPam 
}п
 
Rk 
, 
fiPamPam 
(Qam У 
1 
у 
щ 
к 
nh 
rF 
l4k 
\ nh ) 
rc
 
( ' ' 

где p и z определяются соотношениями 

= г к + г с 

2 
' 
И 
2 

В заключение отметим, что в реальных условиях закон Дарси наруша
ется лишь в некоторой области вблизи забоя скважины, в то время как в 

остальной области пласта по-прежнему соблюдается линейный закон. При 

увеличении 
дебита 
область, 
в 
которой 
нарушается 
закон 
Дарси, 

увеличивается. 

Плоскорадиальный фильтрационный поток несжимаемой жидко
сти и газа по степенному закону фильтрации. Запишем векторное урав
нение, задающее степенной закон фильтрации 

1-л 

w = cjgradp^ п gradp 

в цилиндрической 
системе 
координат, 
и для 
плоскорадиального 
фильтрационного потока (в проекциях на оси) получим 

ю 

W, = с - f - , w = wz = 0 

dr J 

Интегрирование уравнения неразрывности в рассматриваемой задаче, 

очевидно, аналогично проведенному выше и приводит к тому же результа
ту 

27tpwrrh 
= Qm = const 

Поэтому выражение для массового расхода при фильтрации по степен
ному закону имеет вид 

1 

Qm = Inpa/h = 
= const 

Для того чтобы проинтегрировать полученное дифференциальное урав
нение, возведем его в степень и 

и преобразуем к следующему виду 

где А = {Qm/27dtcf 
= const. 

Разделим переменные 

A^-=pndp 
(7.13) 

г" 

и введем функцию давления (модифицированную функцию Лейбензона) 

P-=\pndp 
(7.14) 

так что 
dP% = d\ p"dp = pndp 

Таким образом, уравнение (7.13) можно переписать в виде 

А — = dP' 
(7.15) 

г"