Основы математического моделирования в лесоустройстве

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Воронежский государственный лесотехнический университет 

им. Г. Ф. Морозова»

М. Т. Сериков

ОСНОВЫ 

МАТЕМАТИЧЕСКОГО  МОДЕЛИРОВАНИЯ

В ЛЕСОУСТРОЙСТВЕ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Воронеж 2016

УДК 630*5.001.57

Печатается по решению учебно-методического совета ФГБОУ ВО 

«ВГЛТУ им. Г. Ф. Морозова» 

Рецензенты: ФГБУ «ВНИИЛГИСбиотех»; главный специалист ФГБУ «РОСЛЕСИНФОРГ» «Воронежлеспроект» Кабанцов А. П.

Сериков, М. Т. Основы математического моделирования в лесоустройст
ве [Электронный ресурс]: учебное пособие / М. Т. Сериков; Минобрнауки 
России, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ им. Г. Ф. Морозова». – Воронеж, 2016. – 107 с.

Рассмотрены основы метода математического моделирования по его 

этапам с использованием вычислительного эксперимента при получении некоторых лесоустроительных нормативов и прогнозе состояния лесного фонда 
для принятия грамотных управленческих решений.

Предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготов
ки 35.03.01 – Лесное дело.

Табл. 12. Ил. 26.  Библиогр.:  40 наим.

УДК 630*5.001.57

© Сериков М.Т. 

© Воронежский государственный

лесотехнический университет 

им. Г. Ф. Морозова, 2016 г.

Содержание

Введение ……………………………………………………………….5

1. Математическое моделирование в системе подготовки специа
листов лесного хозяйства……………………………………………. 6

2. Понятие метода математического моделирования. Вычислитель
ный эксперимент……………………………………………………...11

Краткий исторический обзор математического моделирования……………………………………………………………..11
Характеристика метода математического моделирования......12
Системный анализ как основа математического 
моделирования…………………………………………………..17
Этапы математического моделирования и свойства моделей..21
Классификация математических моделей……………………..27
Вычислительный эксперимент и его этапы………….………...32
Преимущества метода математического моделирования…….42

3. Математическое моделирование при разработке лесоустрои
тельных нормативов и прогнозировании процессов……………….46

Принципы получения информации о лесных объектах в 
статике. Первичная единица выборки…………………………46
Определение объема стволов методом математического 
моделирования…………………………………………………...48
Основы математического моделирования при прогнозировании процессов………………………………………………56

Понятие теории случайных функций (случайных 

процессов)………………………………………………….56

Элементарная модель динамики состояния лесного

фонда……………………………………………………….59

Основы моделирования процессов роста и развития древо
стоев……………………………………………………………….62

Общая постановка задачи, выбор типа модели и 
обоснование степени еѐ сложности………………………62
Простейшие модели развития…………………………….68
Общие принципы подбора функций……………………..70
Разновидности моделей хода роста………………………72

Моделирование хода роста модальных древостоев и дина
мики их состава………………………………………………….77

4. Экосистемное имитационное моделирование в управлении 

экологичным рекреационным лесопользованием…………………90

Краткий словарь терминов по математическому моделированию 
в лесоустройстве…………………………………………………………99
Библиографический список……………………………………………104

ВВЕДЕНИЕ

«Основы математического моделирования в лесоустройстве» является 

учебной дисциплиной, преподаваемой согласно учебному плану подготовки
бакалавров по направлению 35.03.01 – Лесное дело. Для освоения названного 
раздела отведено 72 часа учебного времени в пределах восьмого семестра.

По данному разделу предусмотрены следующие виды занятий: лекции, 

лабораторные занятия, курсовая работа, самостоятельная работа студентов. 
Формы контроля – зачет по теоретическому курсу и защита курсовой работы 
с дифференцированной оценкой.

Цель курса – овладение методами и техникой исследования, численного 

описания объектов, событий, являющихся предметом профессиональной деятельности инженеров лесного хозяйства и прогноза для принятия грамотных 
управленческих решений.

В результате изучения данного раздела дисциплины студент должен 

знать основные принципы организации наблюдений в опытном лесном деле 
применительно к лесоустройству, теорию и практику построения простейших математических моделей*. Студент должен уметь применять методы 
математического моделирования и готовые математические модели для решения конкретных прикладных задач лесоустройства с использованием персональных компьютеров, разрабатывать простые математические модели, 
проверять их адекватность и точность, интерпретировать модели, получаемые на ЭВМ, использовать результаты вычислительного эксперимента для 
прогноза в оценке явлений и процессов.

Содержание учебной дисциплины было разработано на кафедре лесной 

таксации и лесоустройства ВГЛТА в 1990 г. с последующим его совершенствованием, улучшением материально-технического и программного обеспечения. Автор учебного пособия благодарен доценту А. В. Мироненко за обеспечение полной компьютерной автоматизации лабораторных работ и вычислительных экспериментов для курсовой работы по этой учебной дисциплине.

1 Математическое моделирование в системе подготовки специали
стов лесного хозяйства

Управление* процессами роста леса и его освоения, их учет и оптими
зация* невозможны без математического моделирования с применением
ЭВМ. Биологические и лесохозяйственные системы* насыщены случайностями, тем не менее они оказываются достаточно организованными, во многих отношениях упорядоченными. Дезорганизующему действию случайностей противостоит организующее действие процессов управления и самоуправления (Тарасов, 1984). 

Обязательным условием эффективного управления является обратная 

связь. Управление активно действует против случайностей, случайности 
столь же активно действуют против управления. Последнее обстоятельство 
требует от управления гибкости, способности по ходу дела перестраиваться. 
Поэтому необходимо, чтобы управляющий элемент все время получал сведения о результатах управления и в соответствии с этим координировал свои 
воздействия на управляемую систему.

Другим необходимым условием управления является выбор. Чтобы 

управлять, надо иметь выбор. Поскольку предметом профессиональной 
деятельности инженера лесного хозяйства являются не строго детерминированные* процессы (имеется вероятность различных линий их развития), то 
постоянно существует необходимость в принятии правильных управленческих решений, основанных на выборе.

Управление осуществляется по определенному алгоритму*. Алгоритм 

управления есть последовательность определенных действий, которые 
необходимо выполнить, чтобы достичь поставленной цели.

Для крупных предприятий и, тем более, для отрасли полностью и 

окончательно определенных алгоритмов быть не может, требуется постоянная их корректировка и совершенствование, а следовательно, реализация обратной связи и выбора.

Одним из основных элементов управления лесным хозяйством и лесо
пользованием является лесоустройство, в материалах учета и проектирования 
которого во многом содержится этот алгоритм. Оно реализует также выбор
решений, обеспечивает обратную связь, проводя периодическую инвентаризацию лесного фонда с анализом прежней хозяйственной деятельности. В целях повышения эффективности управления необходимо стремиться к пере

ходу на непрерывное лесоустройство с полной автоматизацией (компьютеризацией) проектирования. Это еще в большей мере вызывает необходимость 
использования все более совершенных моделей в вычислительных экспериментах*, так как каждый вид и этап лесоустроительной деятельности связан с 
переработкой, получением, передачей и хранением  значительного объема 
информации.

Из сказанного следует, что для будущих специалистов лесного хозяй
ства, лесоуправления одинаково необходимы знания как о лесоустройстве –
основном управляющем элементе, так и о методах, средствах такого управления – отраслевых автоматизированных системах управления, основах математического моделирования в лесоустройстве.

Преподавание основ математического моделирования в лесоустройстве 

для студентов специальности «Лесное хозяйство»осуществляется с 1990 года 
на старших курсах. Однако элементы математического моделирования рассматриваются при изучении высшей математики и вариационной статистики 
в течение первых семестров обучения.

Вспомним в математике пример модели объекта – уравнения модели 

объема ствола по образующей продольного сечения как параболоида вращения.

Динамику численности биологической популяции при благоприятных 

условиях без учета внутривидовой борьбы (рис. 1.1) моделировали по уравнению Мальтуса (1798-1802 годы жизни): 

)
(t
N
dt
dN


(1.1)

Его решение: N(t)=N0 eγ(t-to), где t – время; N0 – начальная численность 

биологической популяции в t0; γ – коэффициент, учитывающий разницу между родившимися и умершими представителями популяции за период t – t0 ; 
e – основание натурального логарифма (2,71828…); h – горизонтальная 
асимптота или предельная численность биологической популяции.

Учитывать внутривидовую борьбу в этом процессе позволит диффе
ренциальное уравнение Ферхюльста-Пирла:

2
N
N
dt
dN




,                            
(1.2)

где γ и δ – коэффициенты пропорциональности.

Рис. 1.1. Динамика численности биологической популяции

Кроме того, рассматривались примеры упрощенных моделей эпиде
мии, систем взаимодействия хищника и жертвы (модели Вольтерра). В профессиональном плане более интересной оказалась модель роста дерева в высоту. Она основана на концепции энергетического баланса, согласно которой 
энергия, полученная в результате фотосинтеза, расходуется деревом на перемещение питательных веществ, увеличение массы и сам фотосинтез (модель 
Полетаева): 

,
3
3

£
2
X
dt
dx









(1.3)

где dx/dt – скорость роста в высоту (Х);  ρ – плотность древесины; £, β, 

γ, δ – коэффициенты пропорциональности.

Вариационная статистика в дисциплине «Моделирование экосистем в 

лесном хозяйстве» позволила строить модели распределения значений признака, находить уравнения зависимостей коррелируемых признаков, регрессионные модели вида: y=a.X+b, y= a.X2+ b.X+c и др. Эти знания используются при изучении новой дисциплины.

Успешному освоению математического моделирования помогут знания 

и навыки, которые получены при знакомстве с информатикой и вычислительной техникой. Модели реализуются на персональных ЭВМ.

В современном лесоустройстве наиболее перспективным направлением 

использования компьютерного моделирования являются ГИС-технологии. 
ГИС – это географическая информационная система. В лесоустройстве – это 

N

h

N0

to
t

автоматизированные системы, в которых изображения картографируемых 
объектов лесного фонда и явлений связаны с базами данных. ГИС предназначены для сбора, хранения, обновления, анализа и моделирования информации, еѐ отображения и использования при решении расчетных задач, подготовке и принятии решений. Еѐ создание и функционирование обеспечивают геодезисты, таксаторы, математики-программисты.

Информационная база ГИС состоит из двух частей – внемашинной, 

воспринимаемой человеком без вычислительной техники (карты, планшеты, 
аэрофотоснимки, абрисы и т.д.), и внутримашинной, то есть на машинных 
носителях (электронные и цифровые карты  и др.).

Техническое обеспечение ГИС – это комплекс аппаратных средств, 

применяемых при еѐ функционировании: ПЭВМ, дисплей, накопители на
гибких и жестких магнитных, а также оптических и лазерных дисках,  сканер, 
дигитайзер (цифрователь планшетного типа).

Географический объект в ГИС описывается двумя типами данных: 

геометрическими (векторная форма) и атрибутивными. Геометрическая (графическая) информация отражает географическое положение объекта и представлена в удобном формате для цифровой обработки. Атрибутивная представляет собой описание свойств, параметров и характеристик географического объекта, включая цветовое еѐ представление (растровая форма). Эти 
два типа информации собраны в электронные тематические карты, которые 
имеют кроме того программное обеспечение для работы с ними.

ГИС-технологии, вобравшие в себя системы автоматизированного про
ектирования (САПР) и управления (АСУ), раскрывают широкие возможности моделирования для принятия решений (реализация выбора). Поэтому эти 
технологии насыщены элементами математического моделирования.

Применение ГИС-технологий является новым развивающимся направ
лением в лесоустройстве. Поэтому практическое изучение основ математического моделирования в рамках учебной дисциплины реализуется, в основном, рассмотрением примеров моделирования лесоустроительных нормативов*, а также состояния лесного фонда. При этом рассматриваются необходимые основные понятия лесоустройства, лесной таксации, лесоводства.

Самое главное, чтобы будущий инженер лесного хозяйства смог усво
ить идею моделирования как метода познания окружающей действительности, получения эффективных решений в производственной дея

тельности при обязательном сочетании математических методов и 
ЭВМ.

Вузовский курс математики, как правило, вызывает формальное отно
шение у студентов лесохозяйственной специальности. Он не обучает методам постановки математических задач, возникающих в реальных практических ситуациях. Рассмотрение основ математического моделирования в лесоустройстве помогает решить эту проблему.

Математическое моделирование является промежуточным звеном в цепи 

предметов подготовки специалистов лесного хозяйства с достаточным начальным уровнем математической и компьютерной грамотности. Кроме перечисленных выше учебных дисциплин прикладные аспекты математического моделирования рассматриваются в другой части настоящего учебного 
курса – «АСУ-лесхоз», а также «Лесной таксации», «Лесоустройства» и других дисциплинах, где используются ЭВМ.

При постановке и решении крупных задач в практике лесоустройства 

методами математического моделирования необходимо участие лесоводов, 
проектировщиков, математиков, экономистов. Только совместными усилиями обеспечиваются наиболее эффективные решения.

Вопросы для самоконтроля

1.
Математическое моделирование в системе подготовки специалистов 

лесоуправления. Цели и задачи курса.

2.
Необходимые условия эффективного управления.

3.
Элементы математического моделирования в предшествующих 

учебных дисциплинах.

4.
ГИС и ГИС-технологии.

2 Понятие метода математического моделирования. Вычислитель
ный эксперимент

2.1. Краткий исторический обзор математического моделирования
Элементы математического моделирования существовали уже в период 

зарождения математики. Одним из первых примеров четко сформулированной математической модели* является теорема Пифагора (VI в. до н.э.) . 
Идея моделирования четко высказана у Ибн Сины, иначе – Авицены (родился около 890г.): «… если ты не познал какого-нибудь предмета и хочешь познать его, то познание надо осуществлять при посредстве другого предмета, 
который более известен, а иначе нет смысла в твоем познании». Такой подход великого ученого, философа, врача из Средней Азии подразумевал вещественное моделирование.

Однако для современного лесного дела целесообразно использовать не 

вещественные, а символические (математические) модели. А.А. Самарский, 
А.П.Михайлов (1987) отмечают, что математические «ключи» к биологическим проблемам подбираются, начиная с XIII в. В 1202 г. итальянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи), первым систематически изложивший достижения арабской математики и познакомивший с ними европейских 
ученых, предложил модель воспроизведения кроликов. Но «замки» оказались 
настолько хитрыми, что первые математические модели биологических процессов появились лишь в начале двадцатого столетия, а математическое моделирование в биологии существует не более 40 лет.

Настоящая революция в моделировании началась в XIX веке, когда раз
витие математики позволило строить модель с учетом математических законов. Но экспериментировать на основе этих моделей стало возможным только в 50-х годах XX века благодаря появлению ЭВМ. Первое открытие, сделанное на базе вычислительного эксперимента (математическое моделирование на ЭВМ), зарегистрировано у нас в стране в 1968 году. Это открытие было сделано в области физики. 

Возможности математического моделирования наилучшим образом про
явились в кибернетике, науке об общих законах получения, хранения, передачи и переработки информации, которая разрабатывает общие принципы 
процессов управления и связи в сложных системах независимо от их материальной природы. Каждая такая система состоит из множества элементов, 

способных воспринимать, запоминать и перерабатывать информацию, а также обмениваться ею.

Примеры кибернетических систем – ЭВМ, человеческий мозг, биологи
ческие популяции, человеческое общество или автоматические регуляторы в 
технике и др.

Основными средствами для решения задач кибернетики является ЭВМ и 

математическое моделирование.

Создание кибернетики связывают с именем американского ученого Нор
берта Винера (1894-1964). Принято считать, что история кибернетики начинается с 1948 года, когда Винер опубликовал свою знаменитую книгу под названием «Кибернетика, или управление и связь в животном и машине». Как 
писал Винер, «было решено назвать всю теорию управления и связи в машинах и живых организмах кибернетикой», что в переводе с греческого – искусство управления. Однако, во времена Платона (IV в до н.э.) этот термин 
применялся к искусству управления кораблѐм.

Современная кибернетика в связи с универсальностью управления в лю
бых сферах состоит из целого ряда самостоятельных научных направлений, 
например: теория информации, теория алгоритмов, исследование операций, 
теория оптимального управления и др., а в основе этих направлений лежит 
сочетание математического моделирования и ЭВМ, так как кибернетика изучает процессы управления и самоуправления прежде всего с точки зрения 
информации.

2.2. Характеристика метода математического моделирования
Математическое моделирование в современных условиях является прак
тически единственным методом научного описания и объяснения процессов 
и явлений, протекающих в живой природе. В практике лесоустройства оно 
приобретает большое значение. 

Однако, общепринятая теория  математического моделирования для  ле
соустройства пока не построена. К сожалению, не существует  также общепринятого определения термина «математическое моделирование» и явственно ощущается недооценка этого метода в традиционных курсах подготовки специалистов лесного дела. Можно  привести  определения А.М. Микиша, 
В.Б. Орлова (1989) или А.Н. Лебедева (1989): «Математическое моделирование – это метод исследования явлений с помощью построения их математических моделей или логическое, расчетное моделирование с целью фиксации