Обратные и некорректные задачи

 
 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

 
Федеральное государственное автономное образовательное 
учреждение высшего профессионального образования 
«Южный федеральный университет» 
 
Факультет математики, механики и компьютерных наук 
 
 
 
 
А. О. Ватульян 
О. А. Беляк 
Д. Ю. Сухов 
О. В. Явруян 
 
ОБРАТНЫЕ И НЕКОРРЕКТНЫЕ 
ЗАДАЧИ 
 
Учебник 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону 
Издательство Южного федерального университета 
2011 

УДК 539.31 
ББК 
22.25 
 
В21 
 
Печатается по решению редакционно-издательского совета 
Южного федерального университета 
 
Рецензенты: 
доцент, доктор физико-математических наук Н. В. Боев; 
заведующий кафедрой, доктор физико-математических наук 
А. Н. Соловьев 
 
Учебник подготовлен и издан в рамках национального проекта  
«Образование» по «Программе развития федерального государственного  
образовательного учреждения высшего профессионального образования  
“Южный федеральный университет” на 2007–2010 гг.» 
 
Ватульян, А. О. 
В21 
Обратные и некорректные задачи: учебник / А. О. Ватульян, О. А. Беляк, 
Д. Ю Сухов, О. В. Явруян; Южный федеральный университет. — Ростовна-Дону: Издательство Южного федерального университета, 2011. — 
232 с. 
ISBN 978-5-4358-0908-9 
 
Целью настоящего учебника является комплексное изложение особенностей обратных задач. Cобраны и изложены наиболее часто встречающиеся в приложениях обратные и некорректные задачи с большим количеством примеров. 
В учебнике представлены основные понятия, определения, теоремы функционального анализа и теории обратных и некорректных задач, перечислены их основные свойства. Изложены методы регуляризации и численные схемы их реализации, способы преодоления некорректности. Исследованы модельные линейные и нелинейные обратные 
задачи. В конце каждого раздела предлагаются контрольные вопросы и проектные задания. 
Для студентов и аспирантов высших учебных заведений математических и инженерных специальностей. 
УДК 
539.31 
ББК 
22.25 
 
ISBN 978-5-4358-0908-9 
© Южный федеральный университет, 2011 
© А. О. Ватульян, О. А. Беляк, 
 
Д. Ю Сухов, О. В. Явруян, 2011 
© Оформление. Макет. Издательство 
 
Южного федерального университета 

Содержание 

 

3 
 

Содержание 

 

Список сокращений ............................................................................................. 6 
Введение ............................................................................................................... 7 
Общие положения ................................................................................................ 9 
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах 
и методах регуляризации .................................................................................. 10 
Раздел 1. Некоторые аспекты математической постановки задач 
математического моделирования и необходимые сведения из 
функционального анализа и теории операторов ............................................ 10 
1.1. Математические модели процессов в естествознании. Прямая  
и обратная задача. Классификация обратных задач................................... 10 
1.2. Некоторые сведения из функционального анализа и теории 
операторов ...................................................................................................... 20 
Контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения к разделу 1 ... 29 
Тест рубежного контроля к разделу 1 ............................................................. 31 
Раздел 2. Понятие о корректной и некорректной задаче ............................... 32 
1.3. Корректность по Адамару ...................................................................... 32 
1.4. Некорректные задачи. Примеры. Причины некорректности ............. 35 
1.5. Корректность по Тихонову (условная корректность) и l-корректность ... 42 
Контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения к разделу 2 ... 46 
Тест рубежного контроля к разделу 2 ............................................................. 47 
Раздел 3. Методы решения некорректных задач ............................................ 48 
1.6. Способы преодоления некорректности. Основные методы 
регуляризации (метод квазирешений, метод регуляризации Тихонова, 
метод регуляризации на компактных множествах, метод итерационной 
регуляризации) ................................................................................................ 48 
1.7. Регуляризованные методы вычисления значений неограниченных 
операторов. Численное дифференцирование ............................................... 60 
1.8. Дискретизация некорректных задач. Регуляризованные методы 
анализа конечномерных некорректных задач ............................................. 70 
1.9. Методы решения обратных конечномерных задач на основе 
генетических алгоритмов .............................................................................. 75 
1.10. Некоторые особенности обратных задач и общие методы 
их исследования ............................................................................................. 82 
Контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения к разделу 3 ... 91 

Содержание 

4 

Тест рубежного контроля к разделу 3 .............................................................. 93 
Проектное задание к модулю 1 ......................................................................... 94 
Литература к модулю 1 ...................................................................................... 96 
Модуль 2. Линейные обратные задачи ............................................................. 98 
2.1. Линейные обратные задачи для обыкновенных дифференциальных 
уравнений ......................................................................................................... 98 
Линейные обратные задачи для уравнений в частных производных ..... 100 
2.2. Ретроспективные обратные задачи. Постановка ретроспективной 
задачи первого типа и ее решение на основе метода сингулярных 
разложений .................................................................................................... 100 
2.3. Решение обратных задач первого типа на основе метода 
квазиобращения ............................................................................................ 105 
2.4. Ретроспективная задача второго типа и ее исследование ................. 107 
2.5. Граничные обратные задачи для эллиптических операторов ........... 110 
2.6. Граничная обратная задача для прямоугольника ............................... 116 
2.7. Граничная обратная задача для полосы .............................................. 119 
Контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения к модулю 2 ..... 124 
Тест рубежного контроля к модулю 2 ............................................................ 125 
Проектное задание к модулю 2 ....................................................................... 126 
Литература к модулю 2 .................................................................................... 127 
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи ....................................................... 129 
Раздел 1. Коэффициентные обратные задачи ................................................ 131 
3.1. Об определении постоянных коэффициентов в линейных моделях .... 131 
3.2. Обратные задачи динамики .................................................................. 134 
3.3. Обратные задачи для нелинейных обыкновенных  
дифференциальных уравнений ................................................................... 138 
3.4. Конечномерные нелинейные обратные задачи (идентификация 
полимерных материалов на основе дифференциальной формы 
определяющих соотношений) ..................................................................... 142 
3.5. Об идентификации ростовых коэффициентов ................................... 147 
3.6. Обратные коэффициентные задачи для упругого стержня ............... 150 
3.7. Обратные коэффициентные задачи при анализе изгибных  
колебаний вязкоупругого стержня ............................................................. 157 
3.8. О выборе начального приближения в коэффициентных обратных задачах ... 163 
Контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения к разделу 1 ... 171 
Тест рубежного контроля к разделу 1 ............................................................ 171 
Раздел 2. Нелинейные коэффициентные обратные задачи для уравнений 
в частных производных ..................................................................................... 174 

Содержание 

 

5 
 

3.9. Коэффициентные обратные задачи несвязанной термоупругости  
(к определению коэффициента температуропроводности) ..................... 174 
3.10. Коэффициентные обратные задачи электроупругости ................... 178 
3.11. Формулировка итерационных процессов в обратных 
коэффициентных задачах теории упругости ............................................ 183 
Контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения к разделу 2 ... 190 
Тест рубежного контроля к разделу 2 ........................................................... 191 
Раздел 3. Геометрические обратные задачи .................................................. 193 
3.12. Геометрические обратные задачи об идентификации полостей  
в акустике ...................................................................................................... 193 
3.13. Определение формы приповерхностной полости ........................... 198 
3.14. Идентификация трещины в упругой среде ...................................... 202 
3.15. Асимптотический метод построения операторных соотношений  
в задачах идентификации трещин ............................................................... 209 
3.16. Асимптотические методы при решении задач идентификации 
дефектов ........................................................................................................ 217 
Контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения к разделу 3 ... 225 
Тест рубежного контроля к разделу 3 ........................................................... 226 
Проектное задание к модулю 3 ...................................................................... 227 
Литература к модулю 3 ................................................................................... 228 
Заключительные рекомендации ..................................................................... 231 
 

Список сокращений 

6 

Список сокращений 
 
 

АЧХ 
амплитудно-частотная характеристика 
ГА 
генетические алгоритмы 
ГИУ 
граничные интегральные уравнения 
ГОЗ 
геометрическая обратная задача 
МГЭ 
метод граничных элементов 
ОДУ 
обыкновенное дифференциальное уравнение 
ОЗ 
обратная задача 
ОИ 
объект исследования 
СЛАУ система линейных алгебраических уравнений 
УЗИ 
ультразвуковое исследование 
 

Введение 

7 
 

Введение 

Обратные задачи — относительно новый раздел математического моделирования, требующий строгости математических формулировок, аккуратности при построении дискретных схем и применении некоторых специфических приемов при численном решении. Очень часто на практике встречаются ситуации, когда объект исследования принципиально недоступен 
для наблюдения или же проведение эксперимента по его изучению либо 
весьма дорого, либо практически неосуществимо. Примерами могут служить эксперименты по изучению внутреннего строения Земли, на основе 
которых можно было бы прогнозировать месторождения полезных ископаемых, предсказывать время и место разрушительных землетрясений. Отметим, что глубина самых глубоких шахт, пробуренных при помощи самого современного оборудования, не превышает 20 км, а средний радиус  
Земли равен 6371 км. Таким образом, для непосредственного наблюдения  
колебаний Земли доступна весьма небольшая ее приповерхностная часть. 
При  этом необходимо дать заключение о свойствах приповерхностного 
слоя (например, об изменении его плотности или упругих модулей с глубиной) по измеренным в ходе эксперимента косвенным проявлениям. Весьма 
похожая ситуация возникает в задачах неразрушающего контроля изделий 
и конструкций, когда требуется выявить дефект (трещину или полость) 
внутри работающего объекта (такого как самолет, ракета или ядерный реактор). Аналогичные проблемы необходимо решать при проведении медицинских исследований, направленных на выявление патологий внутренних 
органов человека по данным акустического зондирования или томографии. 
C открытием рентгеновских лучей человечество приобрело очень мощный 
инструмент исследования грудной клетки, костей, пищеварительного тракта, но, в силу их неблагоприятного воздействия на ткани, продолжались 
поиски менее вредного и более информативного способа изучения органов 
человека. Таким способом в настоящее время является ультразвуковое исследование (УЗИ), широко применяемое в медицинской практике и позволяющее достаточно просто выявлять патологии различных органов. В основе этого способа лежит анализ отраженных от органа волн; в этом случае 
объект исследования также недоступен для непосредственного изучения. 

Введение 

8 

При этом можно судить о структуре и размерах органов лишь на основе 
косвенных данных измерений. 
У описанных выше примеров есть нечто общее — необходимо определить причины, если известны полученные в результате экспериментов или 
наблюдений следствия. С точки зрения соотношения «причина — следствие» все задачи математического моделирования можно условно разделить на два больших класса: прямые задачи (известны причины, необходимо найти следствия) и обратные (известны следствия, нужно найти причины). К прямым задачам относятся, например, задачи расчета механических, 
тепловых, электромагнитных полей для тел, свойства и конфигурация которых известны. Эти задачи к настоящему времени достаточно хорошо 
изучены и составляют сущность одного из важнейших разделов современной математики — уравнений математической физики, или уравнений в частных производных. 
К обратным задачам относятся задачи определения некоторых физических свойств объектов, таких как плотность, коэффициент теплопроводности, упругие модули в зависимости от координат или в виде функций других параметров. Процедура решения таких задач, состоящих в обращении 
причинно-следственных связей, связана с преодолением серьезных математических трудностей; успех ее в значительной степени зависит как от качества и количества полученной из эксперимента информации, так и от способа ее обработки. Заметим, что без умения решать прямые задачи невозможно подойти к обратным. 
В современном образовании достаточно времени уделяется методам исследования прямых задач, развитию вычислительных технологий их решения, однако методы исследования обратных задач, возникающих в различных областях, в учебной литературе освещены недостаточно. Цель данного 
курса состоит в обучении студентов методам дискретизации подобных задач и построении устойчивых вычислительных схем построения приближенных решений. 
 

Общие положения 

9 
 

Общие положения 

Обратные и некорректные задачи представляют собой широкий класс 
задач, имеющий приложения в таких областях естествознания, как геофизика и сейсморазведка, медицина и биомеханика, дефектоскопия, распознавание образов и идентификация динамических систем. Эти задачи обладают целым рядом неприятных с вычислительной точки зрения свойств — 
неединственностью, неустойчивостью по отношению к погрешности входных данных, и требуют специальных алгоритмов, разработанных на основе 
строгих теорий, опирающихся на аппарат функционального анализа и современных вычислительных технологий. Ввиду этого в последнее время 
достаточно много внимания уделяется разработке эффективных методов 
и алгоритмов решения для различных классов обратных задач. 
Предметом изучения в настоящем курсе являются специфические математические задачи, объединенные общим свойством некорректности. Задача дисциплины состоит в разработке общих способов преодоления некорректности, возникающей при решении различных типов обратных задач. 
 

Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах 

10 

Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие 
о некорректных задачах и методах регуляризации 

Комплексная цель настоящего модуля состоит в первоначальном знакомстве с теорией обратных задач, с основами теории некорректных задач 
и причинами некорректности, с различными численными и аналитическими методами решения некорректных задач. В модуле приведена классификация обратных задач, представлены многочисленные примеры на каждый 
тип обратных задач. Изложены основные понятия из функционального 
анализа, которые в дальнейшем используются при объяснении тех или 
иных закономерностей, возникающих при решении обратных задач. Приведены примеры, иллюстрирующие корректные, некорректные, условнокорректные задачи. Приведены примеры численного решения некорректных задач. 

Раздел 1. Некоторые аспекты математической 
постановки задач математического моделирования 
и необходимые сведения из функционального анализа 
и теории операторов 

1.1. Математические модели процессов в естествознании. 
Прямая и обратная задача. Классификация обратных задач 

Окружающие нас материальные объекты устроены достаточно сложно 
и являются предметами исследования различных естественных наук. Познание окружающего мира и практические потребности (мореплавание, 
землеустройство), стремление проникнуть в сущность окружающих явлений и предметов привело человека к попыткам формулировать некоторые 
закономерности изучаемых явлений. Эти попытки основывались на некоторой идеализации окружающих предметов и явлений, которые в реальности характеризуются множеством разнообразных проявлений. Так, например, наблюдение повторяемости в движении небесных тел, в смене времен 
года привело к формулировке некоторых выводов, которые легли в основу первых моделей строения Солнечной системы, а история ее моделирования претерпела несколько этапов, на каждом из которых формулирова

1.1. Математические модели процессов в естествознании. Прямая и обратная задача 

11 
 

лись свои гипотезы, строилась система движения звезд, планет, Солнца, 
Земли и Луны. 
Предположим, что необходимо описать поведение некоторого процесса 
или явления, которые в дальнейшем будем именовать объектами исследования (ОИ). При этом для понимания основных закономерностей поведения ОИ и прогнозирования дальнейшего его поведения необходимо абстрагироваться от реального процесса, заменяя его упрощенным — идеальным, 
т. е. учитывать один или несколько факторов, в основном определяющих 
его поведение. Работа не с самим ОИ, а с его моделью дает возможность 
относительно быстро и без больших затрат исследовать его свойства и поведение в любых ситуациях и для широкого спектра воздействий. Современные вычислительные технологии позволяют проводить вычислительные эксперименты, изучать ОИ подробно и глубоко. 
Создатель модели всегда стоит перед дилеммой — использовать простейшую модель или более сложную по числу учитываемых факторов. 
Для простейшей модели можно получить аналитическое решение, изучить 
влияние одного или нескольких параметров, выявить некоторые качественные характеристики поведения ОИ. Для более сложной модели часто аналитическое исследование невозможно, ее необходимо анализировать численно; кроме того, в описание более сложной модели входит достаточно 
большое количество параметров, требующих определения на основе наблюдений или экспериментов. При этом во внимание принимаются различные соображения; главное же правило математического моделирования — это адекватность модели изучаемому процессу. 
Основными источниками информации, на основании которых формулируются содержательные гипотезы о влиянии того или иного фактора 
на поведение ОИ и предлагается некоторое упрощенное его описание, являются наблюдение и эксперимент, статистический анализ влияния факторов. Если при наблюдении просто фиксируются некоторые характеристики 
поведения ОИ, то в эксперименте можно активно воздействовать на ОИ 
при помощи некоторых полей (вход) и регистрировать его отклик на это 
воздействие (выход). Так, первые модели Солнечной системы опирались 
на результаты многогодовых астрономических наблюдений. В современной 
практике познания эксперименту принадлежит решающее значение на пути 
оценки адекватности различных математических моделей, отличающихся 

Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах 

12 

степенью детализации. Установление связи между входом и выходом ОИ 
и прогнозирование поведения ОИ при изменении внешних факторов составляет главную задачу математического моделирования. 
Технические, экологические, экономические и другие системы, изучаемые различными отраслями знаний, не поддаются с необходимой полнотой 
и точностью исследованиям обычными теоретическими методами. Прямой 
натурный эксперимент либо долог, либо дорог, либо вообще невозможен. 
Цена ошибок в управлении такими системами очень высока. Поэтому математическое моделирование является важнейшей составляющей современного научно-технического прогресса. 
Математической моделью ОИ называется абстрактное средство его 
приближенного отображения при помощи математического описания существенных факторов ОИ с сохранением взаимосвязей между ними. 
Наиболее часто модели естествознания описываются при помощи 
функциональных или дифференциальных уравнений (часто дифференциальных уравнений в частных производных или интегро-дифференциальных). 
Постановка вопроса о математическом моделировании порождает следующую последовательность действий, условно состоящую из трех этапов: 
модель — алгоритм — программа. 
Для построения математической модели ОИ на основании установления 
связи между входом и выходом необходимо выбрать вид этой связи или 
определить структуру оператора, осуществляющего отображение входа 
)
(t
u
 на выход 
).
(t
f
 Фактически исследователь всегда при составлении мо
дели решает проблему «черного ящика», на который можно действовать, 
регистрируя отклик на различного типа воздействия. При этом отметим, 
что одному ОИ может быть поставлено в соответствие несколько математических моделей, отличающихся числом и степенью учета различных 
факторов и порождающих некоторую иерархию моделей. 
Пусть 
f
Au =
 — математическая модель ОИ, где 
F
U
A
→
:
 — некото
рый оператор, 
,
U  F  — функциональные пространства. Задача определе
ния оператора A (идентификация ОИ) может быть разделена на два этапа: 
1 этап — структурная идентификация, 
2 этап — параметрическая идентификация. 

1.1. Математические модели процессов в естествознании. Прямая и обратная задача 

13 
 

На первом этапе структурной идентификации определяется (или выбирается) структура оператора 
,
A  которая зависит как от самого ОИ, 

так и от целей моделирования. На этапе структурной идентификации используются фундаментальные законы природы, изучаемые той или иной 
областью естественных наук, вариационные принципы, статистические закономерности, причем одному и тому же ОИ можно сопоставить целую  
иерархию математических моделей. Например, при описании движения 
твердого тела (стрелы, ракеты) можно использовать следующие уровни 
моделирования и соответствующие операторы, определяющие структуру 
модели: 
а) материальную точку, абсолютно твердое тело (модели теоретической 
механики); 
б) стержень, балку, пластину (модели сопротивления материалов); 
в) трехмерное упругое тело (модели теории упругости); 
г) упругое тело с неупругими элементами (модели механики сплошной 
среды). 
При этом наиболее часто в моделировании используются следующие 
основные виды операторов: 
1. Конечномерный оператор ( A — матрица, 
f
Au =
 — система линей
ных алгебраических уравнений). 
2. Дифференциальный оператор (или матричный дифференциальный 
оператор). 
3. Дифференциальный оператор в частных производных. 
4. Более сложные операторы — интегральные, интегро-дифференциальные, интегро-функциональные. 
На втором этапе параметрической идентификации определяются числовые параметры, или функции, входящие в описание оператора A (элементы матриц, коэффициенты дифференциальных операторов и граничные 
условия). 
В качестве примеров рассмотрим следующие проблемы определения 
параметров модели или функций при известной структуре оператора.