Неизотермическая проблема Куэтта-Тейлора


ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ «ОБРАЗОВАНИЕ»
ПРОГРАММА СОЗДАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНЫХ УНИВЕРСИТЕТОВ





            В. В. Колесов, А.. Г. Хюперскии

            НЕИЗОТЕРМИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА КУЭТТА-ТЕЙЛОРА










Ростов-на-Дону
2009 г.

         УДК 532.5
         ББК 22.253.3

К 60







Печатается по решению
кафедры вычислительной математики и математической физики и Совета факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ от 02.09.2009





Рецензенты: М. В. Норкин Н.В. Петровская






     Колесов В. В., Хоперский А. Г.

          Неизотермическая проблема Куэтта-Тейлора. — Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2009. — 192 с., ил.

          ISBN 978-5-9275-0564-7


           Исследуются течения изотермически несжимаемой вязкой жидкости между двумя нагретыми вращающимися бесконечными концентрическими цилиндрами.
           Для научных работников, преподавателей, аспирантов и студентов математических и физических факультетов.










ISBN 978-5-9275-0564-7

© В. В. Колесов, А. Г. Хоперский, 2009
                                        © Издательство ЮФУ, 2009

    ОГЛАВЛЕНИЕ



Введение.............................................6


Глава 1. Устойчивость основного режима .....................14
  1.1. Исходные уравнения ..................................15
  1.2. Симметрии ...........................................16
  1.3. Основной режим ......................................17
  1.4. Задача для возмущений................................17
  1.5. Постановка задачи устойчивости ......................20
  1.6. Признаки устойчивости и неустойчивости ..............24
  1.7. Обнаружение колебательной неустойчивости ............35


Глава 2. Нейтральные кривые ................................39
  2.1. Вращательно-симметричные возмущения..................41
     2.1.1. Зависимость от аксиального волнового числа .....42
     2.1.2. Зависимость от отношения угловых скоростей .....44
     2.1.3. Зависимость от ширины зазора....................46
     2.1.4. Колебательная  неустойчивость ..................49
  2.2. Плоские возмущения  .................................52
     2.2.1. Зависимость от отношения угловых скоростей .....54
     2.2.2. Зависимость от ширины зазора....................56

  2.3. Трехмерные возмущения...............................57
     2.3.1. Зависимость от волновых чисел .................57

      2.3.2. Зависимость от отношения угловых скоростей ....59
  2.4. Самые опасные возмущения ............................60


Глава 3. Простые бифуркации ...........................65
  3.1. Вихри Тейлора ..................................66
     3.1.1. Ряды Ляпунова-Шмидта ......................67
     3.1.2. Спектральная задача .......................68

     3.1.3. Сопряженная задача ...........................69
     3.1.4. Неоднородные краевые задачи...................70

Оглавление

     3.1.5. Амплитуда вторичного режима.....................
     3.1.6. Устойчивость основного и вторичного режимов ....
     3.1.7. Вращающий момент и тепловой поток ..............
     3.1.8. Зависимость от числа Прандтля ..................
     3.1.9. Численные результаты ...........................
  3.2. Плоский вторичный режим .............................
     3.2.1. Ряды Ляпунова-Шмидта ...........................
     3.2.2. Спектральная задача ............................
     3.2.3. Сопряженная задача .............................
     3.2.4. Неоднородные краевые задачи.....................
     3.2.5. Амплитуда вторичного режима.....................
     3.2.6. Устойчивость основного и вторичного режимов ....
     3.2.7. Тепловой поток .................................

72
73
75
77
77

85
86
87
88
90
91
93

     3.2.8. Зависимость от чисел Рэлея и Прандтля .........94
     3.2.9. Численные результаты ..........................94
  3.3. Азимутальные волны .................................95
     3.3.1. Ряды Ляпунова-Шмидта ..........................97
     3.3.2. Спектральная задача ...........................97
     3.3.3. Сопряженная задача.............................99
     3.3.4. Неоднородные краевые задачи...................100
     3.3.5. Амплитуда вторичного режима...................105
     3.3.6. Устойчивость основного и вторичного режимов ..107
     3.3.7. Вращающий момент и тепловой поток ........... 109
     3.3.8. Численные результаты..........................109


Глава 4. Кратные бифуркации...............................113
  4.1. Амплитудные уравнения .............................114
  4.2. Расчет коэффициентов амплитудной системы ..........117
     4.2.1. Точки пересечения нейтральных кривых .........117
     4.2.2. Неоднородные краевые задачи...................120
     4.2.3. Сопряженные задачи .......................... 120
     4.2.4. Формулы для коэффициентов ....................121
     4.2.5. Формулы для декрементов ..................... 122
     4.2.6. Численные результаты..........................122
  4.3. Моторная подсистема................................125
  4.4. Равновесия моторной подсистемы ................... 128
     4.4.1. Неизотермическое течение Куэтта...............128
     4.4.2. Вихри Тейлора.................................129
     4.4.3. Пара спиральных волн ........................ 130
     4.4.4. Чистые азимутальные волны ....................132
     4.4.5. Смешанные азимутальные волны первого рода ... 133
4.4.5.1. Область существования .................134

Оглавление

5

           4.4.5.2. Структура течения.........................134
           4.4.5.3. Условия устойчивости......................135
           4.4.5.4. Ответвление равновесий ................. 137
           4.4.5.5. Ответвление циклов ..................... 138
      4.4.6. Смешанные азимутальные волны второго рода ..... 140
      4.4.7. Равновесия общего положения.....................140

Глава 5. Переходы в моторной подсистеме .................... 144
  5.1. Изотермический случай..................................146
      5.1.1. Равновесия......................................146
           5.1.1.1. Случай а = 1,5 ..........................146
           5.1.1.2. Случай о =  2 .......................... 149
           5.1.1.3. Случай о > 3 ........................... 151
      5.1.2. Циклы ......................................... 152
           5.1.2.1. Однооборотные циклы .....................154
           5.1.2.2. Удвоения циклов .........................159
           5.1.2.З. Многооборотные циклы ....................160
           5.1.2.4. Семейство циклов ........................160
           5.1.2.5. Циклы с вращением........................161
      5.1.3. Сложные режимы ................................ 162
  5.2. Подогрев изнутри .....................................164
      5.2.1. Равновесия......................................164
      5.2.2. Циклы ......................................... 165
      5.2.3. Гомоклинические траектории .....................166
  5.3. Подогрев снаружи .....................................167
      5.3.1. Равновесия......................................167
      5.3.2. Циклы ......................................... 168
      5.3.3. Сложные режимы ................................ 172
  5.4. Типы бифуркаций ..................................... 175

Заключение ..................................................176

Литература ................................................. 178

Предметный указатель.........................................189

Памяти нашего учителя В. И. Юдовича







    ВВЕДЕНИЕ


   В этой книге исследуются течения вязкой теплопроводной изотермически несжимаемой жидкости между двумя нагретыми до различных температур вращающимися бесконечными концентрическими цилиндрами в условиях, когда силой тяжести можно пренебречь по сравнению с центробежной силой.
   Рассматриваемая задача является естественным обобщением классической задачи Куэтта-Тейлора об устойчивости изотермических течений между вращающимися цилиндрами, исследование которой было начато еще в девятнадцатом веке в экспериментах А. Мэллока [170] и М. Куэтта [142]. С ней связан и первый крупный успех теории гидродинамической устойчивости — отыскание Дж. Тейлором значений параметров, при которых основной режим теряет устойчивость и возникает вторичное стационарное течение [178]. Изотермической проблеме Куэтта-Тейлора посвящено множество теоретических и экспериментальных работ, ссылки на которые можно найти в книгах [30,33,70,73,136,140,164].
   Неизотермическая проблема Куэтта-Тейлора интересна прежде всего как пример взаимодействия двух различных физических механизмов — вращения и подогрева, каждый из которых может оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее воздействие на жидкость. Немаловажным представляется и то, что в данной проблеме переходы к сложным течениям наблюдаются при не слишком больших значениях числа Рейнольдса, а следовательно, она представляет собой особенно удобный объект для численных и экспериментальных исследований.

Введение

7

  Поскольку в природе идеальных изотермических условий не бывает, только учет наличия теплового потока может в некоторых случаях объяснить те или иные физические явления. Так, скажем, изотермическое течение жидкости между цилиндрами, вращающимися с одинаковыми угловыми скоростями, устойчиво относительно любых возмущений, но сколь угодно малый подогрев наружного цилиндра приводит к неустойчивости, если только скорость вращения цилиндров достаточно велика.
  Данная задача привлекает внимание исследователей также в связи с обширными техническими, геофизическими и метеорологическими приложениями. Примерами здесь могут служить проблема отвода тепла, выделяемого в роторе электромотора, исследование процессов, происходящих в быстро вращающихся подшипниках скольжения, задача о разделении многокомпонентных смесей в установках с цилиндрическими электрофоретическими камерами, изучение циркуляции воздушных масс в экваториальных зонах планетных атмосфер и др.
  Основной режим движения жидкости в рассматриваемой задаче представляет собой неизотермическое течение Куэтта — стационарное круговое течение с логарифмическим распределением температуры. Ему соответствует точное решение уравнений Навье-Стокса, теплопроводности, неразрывности и состояния, существующее при любых значениях параметров задачи. В экспериментах, однако, данное течение реализуется далеко не всегда, поскольку при изменении значений параметров (например, при увеличении скорости вращения внутреннего цилиндра) основное течение может потерять устойчивость и смениться вторичным режимом. Его структура существенным образом зависит от значений параметров: наблюдаются как стационарные, так и автоколебательные вторичные режимы, имеющие различную физическую природу и обладающие различными свойствами симметрии. Дальнейшее изменение параметров приводит к возникновению все более и более сложных движений, например, многочастотных квазипериодических течений и хаотических режимов.
  Нашей целью является выяснение условий устойчивости и неустойчивости неизотермического течения Куэтта, отыскание различных режимов, возникающих в результате потери устойчивости этого течения при изменении параметров задачи, исследование их устойчивости и бифуркаций.
  Первые экспериментальные исследования данной задачи были направлены на получение тепловых характеристик потока до и после потери устойчивости основного режима [132,152,157,159,177]. В них температурные градиенты и отношения угловых скоростей цилиндров были фиксированы и малы по абсолютной величине. При переходе числа Рейнольдса через критическое значение основной режим сменялся вторичным течением, подобным возникающим в изотермическом случае вихрям Тейлора — стационарным вращательно-симметричным (не зависящим от азимутальной

Введение

переменной) течением, которое представляет собой набор тороидальных вихрей, регулярно расположенных вдоль оси цилиндров. Частицы жидкости в этом течении двигаются по спиралям, наматывающимся на торы. Дальнейшее увеличение числа Рейнольдса приводило после серии переходов к возникновению турбулентности, а в некоторых случаях — смешанных турбулентно-ламинарных режимов, в которых на фоне развитой турбулентности видны вихревые структуры, напоминающие вихри Тейлора. Отметим, что турбулентные вихри Тейлора наблюдались и в изотермическом случае, в экспериментах Е. Кошмидера [164-166], но каких-либо теоретических моделей, воспроизводящих это весьма интересное явление, в настоящее время, видимо, нет.
  Потеря устойчивости основного режима в неизотермическом случае фиксировалась экспериментаторами по появлению излома на графике зависимости числа Нуссельта от числа Рейнольдса. Он вызывается скачкообразным изменением скорости теплообмена при переходе от основного режима, в котором преобладает перенос тепла, вызванный наличием теплопроводности, к более интенсивному вторичному движению, в котором превалирует конвективный теплообмен, вызванный вихревым характером вторичного течения. Выводов о стабилизирующем или дестабилизирующем воздействии подогрева в этих работах не было. Это объясняется тем, что температурные градиенты в этих экспериментах были невелики и зафиксировать их влияние на устойчивость основного режима было сложно.
  Стабилизирующее воздействие подогрева внутреннего цилиндра впервые было отмечено в 1962 г. в экспериментах Беккера и Кея [16]. В них внешний цилиндр был неподвижен, а внутренний вращался. Температурный градиент был довольно мал, но все-таки позволил зафиксировать некоторое увеличение критического значения числа Рейнольдса, соответствующего переходу к вихрям Тейлора, по сравнению с изотермическим случаем. Эксперименты с цилиндрами, вращающимися с одинаковыми угловыми скоростями, проводились группой ученых из Перми [105-107, 129, 130]. Известно, что в изотермических условиях движение жидкости как твердого тела устойчиво относительно любых возмущений [30], поэтому возникновение вторичных режимов, которое наблюдалось в работах пермских экспериментаторов при подогреве внешнего цилиндра, имеет конвективное происхождение и свидетельствует о дестабилизирующем влиянии такого подогрева на течение Куэтта.
  Первые теоретические результаты по исследованию устойчивости неизотермического течения Куэтта в линейном приближении были получены в 1954 г. С. Чандрасекаром [135], который рассмотрел случай, когда цилиндры вращаются с одинаковыми скоростями. С помощью проекционного метода он исследовал устойчивость основного режима относительно плоских (не зависящих от аксиальной переменной) возмущений. Им

Введение

9

была получена приближенная аналитическая формула, отражающая зависимость критического значения числа Рейнольдса от температурного градиента. Из нее следует, что в случае твердотельного вращения цилиндров потеря устойчивости основного режима может произойти лишь при подогреве наружного цилиндра. Увеличение температурного градиента оказывает при этом дестабилизирующее воздействие. Необходимо отметить, что в этой работе С. Чандрасекар не только на много лет опередил других исследователей устойчивости неизотермического течения Куэтта, в том числе и экспериментаторов, но и сумел правильно выбрать вид возмущений, относительно которых исследуется устойчивость основного режима: современные компьютерные вычисления [54] показывают, что в рассмотренном С. Чандрасекаром случае монотонные плоские возмущения являются наиболее опасными в классе трехмерных бесконечно малых пространственно периодических возмущений, если только температурные градиенты не слишком велики (при значительном увеличении температурного градиента роль наиболее опасных переходит к трехмерным колебательным возмущениям [54]). Именно плоские возмущения приводят к возникновению вторичного режима, представляющего собой систему конвективных валов, вытянутых вдоль оси цилиндров и вращающихся с той же угловой скоростью, что и цилиндры. Во вращающейся вместе с цилиндрами системе координат это движение является стационарным. Такое вторичное течение наблюдалось в экспериментах [105-107,129,130]. Его теоретическое исследование было выполнено в работе [54].
   Начатое С. Чандрасекаром аналитическое исследование устойчивости неизотермического течения Куэтта в линейном приближении было продолжено в работах [13,17,50,51,55,56,58,72,95,99,102,105,134,137,158,168, 185]. Наиболее подробно в данной проблеме исследована устойчивость основного режима относительно монотонных вращательно-симметричных возмущений. Для них рассмотрен как случай, когда внешний цилиндр покоится либо цилиндры вращаются в одну сторону [13,17, 50, 52, 56, 58, 95,99,134,158,168,185], так и случай, когда цилиндры вращаются в разные стороны [13,50,134,168].
   В работах [13,17, 56,158,168,185] проанализирован предельный случай узкого зазора между цилиндрами. Задача о линейной устойчивости неизотермического течения Куэтта относительно монотонных вращательно-симметричных возмущений в этом случае близка, а при дополнительном предположении о близости угловых скоростей цилиндров — совпадает с рэлеевской задачей о свободной конвекции в слое жидкости [25-27,30,73,136].
   В неизотермическом случае принцип монотонности вращательно-симметричных возмущений, согласно которому потеря устойчивости основного режима относительно вращательно-симметричных возмущений долж

Введение

на приводить к возникновению стационарного вторичного течения [19,30, 73], при определенных значениях параметров не выполняется. Поэтому возможна не только трехмерная, но и вращательно-симметричная колебательная потеря устойчивости основного режима [55,72]. В изотермических условиях данный принцип, вероятно, справедлив, хотя строгое его доказательство имеется лишь для предельного случая, когда зазор между цилиндрами бесконечно мал.
  Устойчивость основного режима относительно трехмерных возмущений исследовалась в случае узкого зазора в работах [102,105], а в случае произвольного зазора — в работе [50].
  Рассчитанные различными авторами критические значения числа Рейнольдса совпадают достаточно хорошо и соответствуют значениям, полученным экспериментальным путем. Во всех случаях оказалось, что подогрев наружного цилиндра дестабилизирует неизотермическое течение Куэтта, а подогрев внутреннего — стабилизирует.
  Аналитическому и численному исследованию нелинейной задачи устойчивости для неизотермического течения Куэтта посвящены работы 52-54,57]. В них используется развитая в публикациях В. И. Юдовича 120,121,124,125] методика, позволяющая определить число ненулевых решений, ответвляющихся от основного режима в точке бифуркации, и построить их в виде рядов Ляпунова-Шмидта [20]. Были получены разложения, соответствующие неизотермическим вихрям Тейлора [52, 57], трехмерному автоколебательному режиму типа бегущих азимутальных волн [53] и плоскому вторичному режиму с конвективными валами [54].
  Заметим, что изучению бифуркации возникновения вихрей Тейлора в изотермическом случае посвящено множество работ, начиная с основополагающей публикации самого Тейлора [178]. Сошлемся здесь лишь на некоторые теоретические [1-3,8-12,14,15,45,46,79,80,83,85,86,92,93,109, ПО, 117,118,143,144,171,179] и экспериментальные [22,36,64, 75,131,133, 149-151] исследования, посвященные этому вопросу, ни в коей мере не претендуя на полноту данного списка. Трехмерный вторичный автоколебательный режим, ответвляющийся от течения Куэтта в изотермическом случае, был рассчитан методом Ляпунова-Шмидта в работе [100].
  Укажем также на строгие математические результаты, полученные для неизотермического течения Куэтта. Доказательство существования у него по крайней мере одной точки бифуркации было проведено в работе [56] с применением методики работ [101,118]. Признаки устойчивости и неустойчивости основного режима доказаны в работах [49,51,56,58].
  Во всех теоретических исследованиях линейной и нелинейной устойчивости неизотермического течения Куэтта, о которых шла речь выше, равно как и в данной книге, используется приближение Обербека-Буссинеска [25-27,30,70,166], которое опирается на предположение о малости коэффи

Введение

11

циента теплового расширения жидкости. Анализ его применимости для исследования линейной устойчивости неизотермического течения Куэтта выполнен в работах [18,42].
  Еще одно упрощающее предположение, использованное как в уже упомянутых исследованиях, так и в данной книге, состоит в том, что коэффициенты кинематической вязкости, температуропроводности и теплового расширения жидкости считаются постоянными. Как было показано в работе [180], пренебрежение зависимостью вязкости от температуры для некоторых жидкостей (например, для определенных водно-глицериновых смесей) может привести к качественно неверным выводам о влиянии температурных градиентов на устойчивость основного течения. Поэтому применение результатов, полученных для случая постоянных коэффициентов, требует известной осторожности, когда речь идет об описании явлений, происходящих в реальных жидкостях.
  Книга состоит из пяти глав.
  В первой главе приводятся уравнения и краевые условия, которым удовлетворяют течения жидкости между нагретыми вращающимися цилиндрами, и указываются симметрии, присущие рассматриваемой задаче. Выписывается основной режим движения жидкости — неизотермическое течение Куэтта, формулируется нелинейная задача для возмущений и дается строгая постановка задачи устойчивости. Доказывается несколько признаков устойчивости и неустойчивости основного режима относительно бесконечно малых возмущений, а также выясняются условия, при которых возможно возникновение колебательной вращательно-симметричной неустойчивости.
  Вторая глава посвящена численному расчету нейтральных кривых, разделяющих области устойчивости и неустойчивости основного режима. Особое внимание уделяется выяснению вопроса о том, какие возмущения являются наиболее опасными в классе трехмерных пространственно периодических возмущений.
  В третьей главе изучаются вторичные режимы, возникающие, когда число Рейнольдса переходит через критическое значение. Построены разложения в ряды Ляпунова-Шмидта вторичного вращательно-симметричного стационарного течения типа вихрей Тейлора, плоского вторичного режима, представляющего собой систему вытянутых вдоль оси цилиндров вращающихся конвективных валов (в изотермическом случае такое вторичное течение возникнуть не может), а также трехмерного автоколебательного режима типа бегущих азимутальных волн.
  В четвертой главе исследуется пересечение бифуркаций возникновения неизотермических вихрей Тейлора и автоколебаний типа бегущих азимутальных волн. Применяется теория бифуркаций коразмерности 2 гидродинамических течений с цилиндрической симметрией, развитая в сере

Введение

дине 80-х годов XX века В. И. Юдовичем в России, а также Ж. Йоссом и П.Шосса во Франции. Согласно этой теории, нелинейное взаимодействие тейлоровских и азимутальных мод описывается амплитудной системой трех комплексных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с кубическими ведущими нелинейными членами, которая является обобщением известного амплитудного уравнения Ландау. Ее коэффициенты находятся путем численного решения серии линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с комплексными коэффициентами. Амплитудная система сводится к вещественной системе четырех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая называется моторной подсистемой амплитудной системы. Все ее равновесия удается найти аналитически. Им соответствуют различные стационарные, автоколебательные и двухчастотные квази-периодические режимы движения жидкости.
  В пятой главе излагаются результаты численного анализа переходов в моторной подсистеме амплитудной системы. Эти вычисления позволили обнаружить множество разнообразных режимов, в том числе и весьма сложных, возникающих после потери устойчивости неизотермического течения Куэтта.
  Проблемой исследования возникновения сложных режимов движения жидкости гидродинамики занимаются уже более ста лет. Трудности связаны здесь прежде всего с нелинейностью гидродинамических уравнений, решить которые в явном виде удается лишь в самых простых случаях, весьма далеких от многообразных явлений, которые наблюдаются в природе. В настоящее время теоретическое изучение сложных гидродинамических течений возможно фактически лишь либо путем прямого численного решения уравнений гидродинамики на достаточно мощных компьютерах (см., например, серию работ [181-184], в которых методом Бубнова-Галеркина рассчитываются сложные режимы, возникающие после потери устойчивости изотермического течения Куэтта), либо с помощью построения различных феноменологических теорий (см., например, [44]), либо путем применения различных асимптотических методов. Именно последний подход в сочетании с компьютерными вычислениями и используется в данной книге.
  Многие из рассмотренных в ней вопросов излагаются в лекциях по теории гидродинамической устойчивости и численным методам решения краевых задач, которые В. В. Колесов читает в Южном федеральном университете.
  Излагаемые результаты обсуждались на семинаре кафедры вычислительной математики и математической физики ЮФУ по математическим вопросам гидродинамики, а также на традиционных зимних конференциях МГУ по нелинейным задачам теории гидродинамической устойчивости

Введение

13

и турбулентности. Всем участникам этих обсуждений авторы искренне благодарны. Мы очень признательны также М. К). Жукову, С. Н. Овчинниковой, Н. В. Петровской, Л. И. Сазонову и В. М. Чернявскому, которые прочитали рукопись и сделали ряд полезных замечаний.
  Подходы, использованные нами, в значительной степени базируются на идеях нашего учителя Виктора Иосифовича Юдовича, памяти которого и посвящена эта книга.
  Работа выполнена при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» («Математическая гидродинамика жидкостей со сложными физико-химическими свойствами» Л'⁰ 2.1.1/6095).