Вестник Удмуртского университета. Серия 1. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2006, № 1
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
Удмуртский Государственный университет
Год издания: 2006
Кол-во страниц: 192
Дополнительно
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА 2006. № 1 МАТЕМАТИКА УДК 517.977 В. Н. Баранов ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО СИНТЕЗА В ЗАДАЧЕ ДОЛГОДЕЙСТВИЯ 1 Исследованы некоторые свойства функции Беллмана для задачи долгодействия. Приведены условия существования оптимального синтеза в случае дифференцируемости функции Беллмана. Ключевые слова: выживаемость, задача долгодействия, оптимальный синтез, функция Беллмана. Задаче о выборе траектории дифференциального включения из множества всех траекторий, удовлетворяющих заданному начальному условию, которая максимально долго находится в заданном замкнутом множестве, посвящена работа А. З. Фазылова [1]. Эту задачу (по аналогии с задачей о быстродействии, ее естественно называть задачей о «долгодействии») можно отнести к задаче оптимального управления с фазовыми ограничениями. В этом случае строится программное управление. В статье Е. Л. Тонкова [2] исследуется задача о построении позиционного управления и функции времени присутствия в задаче долгодействия. Данная работа посвящена построению позиционного управления при помощи функции Беллмана. Рассмотрим управляемую систему ˙ x = f(x, u), (1) где x ∈ Rn, u ∈ U ⊂ Rr, f : Rn ×U → Rn, функции f и ∂f ∂x непрерывны на Rn × U, U — компакт. Будем считать, что управление u = u(t) выбирается из U — класса кусочно-непрерывных функций со значениями в U. Фиксируем некоторое управление u(·) ∈ U. Будем обозначать t → x(t, x0, u) — решение задачи Коши ˙ x = f(x, u(t)), x(0) = x0. Пусть задано некоторое множество M ∈ Rn. Для произвольной точки x0 ∈ M, u ∈ U введем обозначение ϑ(x0, u) = sup{T : x(t, x0, u) ∈ M для всех t T}. 1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 03–01–00014, 06–01– 00258), Минобрнауки России (грант 34125).
В. Н. Баранов МАТЕМАТИКА 2006. № 1 Для произвольного x0 ∈ M обозначим ϑ∗(x0) = sup u∈U ϑ(x0, u). Будем называть ϑ∗(x0) — временем выживания точки x0 в множестве M. Если найдется u ∈ U такое, что ϑ(x0, u) = ϑ∗(x0), то через x будем обозначать решение задачи Коши ˙ x = f(x, u(t)), x(0) = x0 и называть его оптимальной траекторией. Управление u будем еще обозначать u(·, x0), подчеркивая, что это управление, удерживающее траекторию, вышедшую из x0 в множестве M в течение времени ϑ∗(x0). Задача состоит в построении управления u = u(x), x ∈ M такого, что для всех x0 ∈ M решение задачи Коши ˙ x = f(x, u(x)), x(0) = x0 оставалось бы в множестве M в течение времени ϑ∗(x0). В дальнейшем относительно функции ϑ∗ мы будем предполагать, что выполнены следующие условия: 1) для всех x ∈ M существует оптимальная траектория; 2) для всех x ∈ M выполнено неравенство ϑ∗(x) < ∞, то есть оптимальная траектория, вышедшая из любой точки, покинет множество M за конечное время; 3) функция ϑ∗(x) ∈ C1(M). Последнее условие надо понимать следующим образом: ϑ∗(·) ∈ C1(int(M)) и для любого x ∈ ∂M и всех h ∈ TxM существует ∂ϑ∗ ∂h (x) — производная функции ϑ∗ в направлении h. При этом для всех x0 ∈ ∂M и h ∈ Tx0M функция x → ∂ϑ∗ ∂h (x) непрерывна в точке x0. Здесь и далее TxM — конус Булигана к множеству M в точке x, см., например [3]. О п р е д е л е н и е 1. Функция ω(x) = −ϑ∗(x) называется функцией Беллмана. Утверждение 1. Пусть x0 — произвольная точка множества M. Пусть x(t, x0) — оптимальная траектория, выходящая из точки x0. Тогда выполнено равенство ω(x(t, x0)) = ω(x0) + t. (2) Д о к а з а т е л ь с т в о. Нам надо доказать равенство ϑ∗(x(t, x0)) = ϑ∗(x0) − t. Максимальное время перехода из точки x0 в точку x(t, x0) не меньше чем t (так как за время t мы точно можем перейти). Поэтому ϑ∗(x0) ϑ∗(x(t, x0)) + t. Действительно, мы можем двигаться до точки x(t, x0) время t, а затем под действием управления u(·, x(t, x0)) находиться в множестве M в течение времени ϑ∗(x(t, x0)). Таким образом в
Построение оптимального синтеза 5 МАТЕМАТИКА 2006. № 1 множестве M мы можем находиться по крайней мере в течение времени ϑ∗(x(t, x0)) + t. То есть имеем неравенство ϑ∗(x(t, x0)) ϑ∗(x0) − t. С другой стороны, на время перехода по оптимальной траектории из точки x0 в точку x(t, x0) тратится время t, а до выхода из множества M тратится время ϑ∗(x0), то выйдя из точки x(t, x0), мы можем оставаться в множестве M время ϑ∗(x0) − t. Таким образом, ϑ∗(x(t, x0)) ϑ∗(x0) − t, что и доказывает утверждение. Для каждой точки x ∈ M введем обозначение U(x) . = {u ∈ U : f(x, u) ∈ TxM}, где TxM — конус Булигана в точке x к множеству M. Если x ∈ int(M), то TxM = Rn и U(x) = U. Утверждение 2. Функция ω(x) удовлетворяет уравнению Беллмана min v∈U(x0) ∂ω ∂x (x0)f(x0, v) = 1 для всех x0 ∈ M. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x0 ∈ int(M). Рассмотрим функцию ω(t) = ω(x(t, x0, u)). Учитывая равенство (2), имеем, что dω(t) dt = d dt(ω(x0) + t) = 1. По правилу дифференцирования сложной функции dω(t) dt t=0 = ∂ω ∂x (x0) ˙ x(t, x0, u)|t=0 = ∂ω ∂x (x0)f(x0, u(0)). То есть получаем, что нашлось u ∈ U такое, что ∂ω ∂x (x0)f(x0, u) = 1. Теперь докажем, что для любого v ∈ U выполнено неравенство ∂ω ∂x (x0)f(x0, v) 1. Пусть v ∈ U. Рассмотрим управление uv(t) ≡ v. Решение xv(t) = x(t, x0, uv) задачи Коши ˙ x = f(x, uv), x(0) = x0 представимо в виде xv(t) = x0 + f(x0, v)t + o(t)
В. Н. Баранов МАТЕМАТИКА 2006. № 1 для всех t 0, где lim t→0+ o(t) t = 0. Из предположения о непрерывной дифференцируемости функции ω(x) следует неравенство ω(xv(t)) − ω(x0) = ∂ω ∂x (x0)f(x0, v)t + o(t). (3) По определению функции ϑ∗(x) имеем неравенство t + ϑ∗(xv(t)) ϑ∗(x0) для всех t 0. Действительно, если t + ϑ∗(xv(t)) > ϑ∗(x0), то мы можем под действием управления uv(t) ≡ v в течение времени t двигаться из точки x0 в точку xv(t), а затем под действием управления u(·, xv(t)) удерживаться в множестве M в течение времени ϑ∗(xv(t)). Получается, что нашлось управление, под действием которого траектория, выходящая из точки x0, будет оставаться в множестве M в течение времени не меньшем t+ϑ∗(xv(t)) > ϑ∗(x0), что противоречит построению функции ϑ∗(x). Таким образом, t−ω(xv(t)) −ω(x0), или t ω(xv(t))−ω(x0), откуда и равенства (3) получаем, что t ∂ω ∂x (x0)f(x0, v)t + o(t). Разделив обе части на t и устремив t к 0, получаем требуемое неравенство 1 ∂ω ∂x (x0)f(x0, v). Равенство min v∈U(x0) ∂ω ∂x (x0)f(x0, v) = 1 для всех x0 ∈ ∂M доказывается аналогично. Уравнение Беллмана — это уравнение в частных производных первого порядка. Чтобы получить решение, необходимо задать начальные условия. Для этого введем следующие обозначения. Обозначим M0 — множество точек x ∈ ∂M выхода системы из множества M, в частности, множество {x ∈ ∂M : f(x, U) ∩ TxM = ∅} содержится в M0; M+ — множество точек x ∈ ∂M входа системы в множество M, множество {x ∈ ∂M : f(x, U)∩TxM = ∅} содержит M+. Очевидно, что функция ω(x) должна удовлетворять начальным условиям ω(x)|x∈M0 = 0, ω(x)|x∈int(M)∪M+ < 0.
Построение оптимального синтеза 7 МАТЕМАТИКА 2006. № 1 Пусть некоторая функция ω(x) удовлетворяет в M уравнению Беллмана. Это значит, что для всякого x ∈ M найдется u(x) ∈ U(x) такое, что ∂ω ∂x (x)f(x, u(x)) = 1. Предположим, что нам удалось выделить однозначную ветвь u(x), удовлетворяющую этому уравнению. О п р е д е л е н и е 2. Будем говорить, что функция u = u(x) определяет допустимый синтез, если система уравнений ˙ x = f(x, u(x)) имеет решения при всех начальных x0 ∈ M, причем эти решения за конечное время не уходят на бесконечность, то есть решения неограниченно продолжимы по времени. Под решением задачи Коши ˙ x = f(x, u(x)), x(0) = x0 ∈ M мы будем понимать решения в смысле А.Ф. Филиппова [4], причем такие, что для решения x(t) = x(t, x0) при почти всех t выполнено равенство ˙ x(t) = f x(t), u(x(t)) . Теорема 1. Пусть функция ω ∈ C1(M) удовлетворяет в M уравнению Беллмана min v∈U(x0) ∂ω ∂x (x0)f(x0, v) = 1 (4) и граничным условиям ω(x)|x∈M0 = 0, ω(x)|x∈int(M)∪M+ < 0. (5) Пусть, далее, существует однозначная функция u(x), удовлетворяющая уравнению ∂ω ∂x (x)f(x, u(x)) = 1 (6) для всех x ∈ M и определяющая допустимый синтез. Тогда u(x) — оптимальный синтез, −ω(x) — время выживания точки x в множестве M. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x(t) — произвольное решение системы ˙ x = f(x, u(x)). Рассмотрим функцию ω(t) = ω(x(t)). Тогда dω dt = ω ∂x(x(t))f(x(t), u(x(t))) ≡ 1 в силу равенства (6). Это означает, что вдоль любого решения системы ˙ x = f(x, u(x)) функция ω(t) растет со скоростью 1. То есть если
В. Н. Баранов МАТЕМАТИКА 2006. № 1 x(t) = x(t, x0) — решение задачи Коши ˙ x = f(x, u(x)), x(0) = x0, то функция ω(t) обратится в 0 при t = −ω(x0) > 0. Из граничных условий (5) следует, что ω(x) = 0 только при x ∈ M0. Таким образом, траектория, начинающаяся при t = 0 в точке x0, попадет на M0 через время t(x0) = −ω(x0). В силу выбора множества M0 траектория, попавшая на M0 сразу покинет множество M, то есть для всех t > t(x0) имеет место включение x(t, x0) / ∈ M. Покажем, что траектория, вышедшая из точки x0 не может находиться в множестве M в течение времени t > t(x0). Рассмотрим произвольное управление ˜ u ∈ U и функцию ˜ x(t) = x(t, x0, ˜ u) — решение задачи Коши ˙ x = f(x, ˜ u(t)), x(0) = x0. Пусть ˜ ω(t) = ω(˜ x(t)). По определению решения задачи Коши и в силу того, что ˜ u — кусочно-непрерывная функция, имеем, что ˜ x(t) — абсолютно непрерывная функция, для всех t 0 существует правая производная d+˜ x dt (t) = f(˜ x(t), ˜ u(t+)), где ˜ u(t+) — правый предел ˜ u в точке t. Из предположений о функции ω получаем, что ˜ ω(t) — абсолютно непрерывная функция, и для t 0 выполнено равенство d+˜ ω dt = ∂ω ∂x (˜ x(t))f(˜ x(t), ˜ u(t+)). При этом для всех точек x ∈ int(M) ∪ M+ будет выполнено включение d+˜ ω dt ∈ TxM, то есть u(t+) ∈ U(x(t)). Так как ˜ u(t+) = ˜ u(t) за исключением конечного числа точек и в силу уравнения Беллмана (4) имеем неравенство d˜ ω dt (t) 1 (7) для всех t 0 за исключением конечного числа точек. Предположим, что ˜ x(t) попадет на множество точек выхода M0 в момент времени ϑ(x0, ˜ u). Проинтегрировав неравенство (7) от 0 до ϑ(x0, ˜ u) , получаем, что ˜ ω(ϑ(x0, ˜ u)) − ˜ ω(0) = ω(˜ x(ϑ(x0, ˜ u))) − ω(x0) ϑ(x0, ˜ u). Так как ˜ x(ϑ(x0, ˜ u)) ∈ M0, то ω(˜ x(ϑ(x0, ˜ u))) = 0 и получаем, что выполнено неравенство ϑ(x0, ˜ u) −ω(x0). То есть траектория ˜ x(t) будет находиться в множестве M не дольше времени −ω(x0). Таким образом, получаем равенство ϑ∗(x0) = −ω(x0), что и доказывает теорему. Построение оптимального синтеза 9 МАТЕМАТИКА 2006. № 1 П р и м е р 1. Рассмотрим управляемую систему ˙ x1 = 1 + u1, ˙ x2 = 1 + u2, (8) где (u1, u2) ∈ U U = {(u1, u2) : u2 1 + u2 2 1}. В качестве множества M рассмотрим M . = {(x1, x2) ∈ R2 : x1 0, x2 0, x1 + x2 1}. Из вида системы (8) получаем, что ˙ x1 0, ˙ x2 0, причем обе компоненты вектора скорости не могут быть одновременно равны 0. Поэтому все траектории системы всегда будут двигаться «вправо-вверх» и покинут множество M за конечное время. При этом множество M0 = {(x1, x2) ∈ R2 : x1 0, x2 0, x1 + x2 = 1} будет множеством точек выхода, так как для всех x = (x1, x2) ∈ M0 таких, что x1 > 0, x2 > 0 множество TxM имеет вид TxM = {(h1, h2) : h1 + h2 0} и, следовательно, f(x, U) / ∈ TxM, так как f1(x, U) + f2(x, U) = {2 + u1 + u2 : u2 1 + u2 2 1} ⊂ R+. Для точки x = (1, 0) касательный конус к множеству M имеет вид TxM = {(h1, h2) : h2 0, h1+h2 0}. Нетрудно проверить, что выполнено f(x, U) / ∈ TxM. Для точки x = (0, 1) касательный конус к множеству M имеет вид TxM = {(h1, h2) : h1 0, h1+h2 0}. Нетрудно проверить, что выполнено f(x, U) / ∈ TxM. Множество M = {(x1, x2) ∈ R2 : x1 0, x2 0, x1 + x2 < 1} локально компактно и удовлетворяет условию теоремы Нагумо для включений, то есть для всех x ∈ M выполнено равенство f(x, U)∩Tx M = ∅. Это значит, что множество M — локально инвариантное множество и, следовательно, множество M+ = {(x1, x2) ∈ ∂M : x1 = 0, x2 < 1} ∪ {(x1, x2) ∈ ∂M : x1 < 1, x2 = 0} будет множеством точек входа. Получили, что ∂M = M0 ∪ M+. Будем искать функцию ω как решение уравнения Беллмана min v∈U ∂ω ∂x (x0)f(x0, v) = 1, (9) удовлетворяющее граничным условиям ω(x)|x∈M0 = 0, ω(x)|x∈int(M)∪M+ < 0. (10)
В. Н. Баранов МАТЕМАТИКА 2006. № 1 Учитывая систему (8) получаем, что в каждой точке x0 ∈ int(M) функция ω должна удовлетворять уравнению Беллмана min u∈U ∂ω ∂x (x0)f(x0, u) = min u2 1+u2 21 ∂ω ∂x1 (x0)(1 + u1) + ∂ω ∂x2 (x0)(1 + u2) = = ∂ω ∂x1 (x0) + ∂ω ∂x2 (x0) + min u2 1+u2 21 u1 ∂ω ∂x1 (x0) + u2 ∂ω ∂x2 (x0) = 1. При фиксированных ∂ω ∂x1 (x0) и ∂ω ∂x2 (x0) минимум скалярного произведения векторов u = (u1, u2) и ∂ω ∂x1 (x0), ∂ω ∂x2 (x0) достигается на окружности u2 1 + u2 2 1, когда вектор u противоположно направлен вектору ∂ω ∂x1 (x0), ∂ω ∂x2 (x0) и его длина равна единице. Другими словами, u1 = − ∂ω ∂x1 (x0) ∂ω ∂x1 (x0) 2 + ∂ω ∂x2 (x0) 2 , u2 = − ∂ω ∂x2 (x0) ∂ω ∂x1 (x0) 2 + ∂ω ∂x2 (x0) 2 , и min u2 1+u2 21 u1 ∂ω ∂x1 (x0) + u2 ∂ω ∂x2 (x0) = = − ∂ω ∂x1 (x0) 2 ∂ω ∂x1 (x0) 2 + ∂ω ∂x2 (x0) 2 − ∂ω ∂x2 (x0) 2 ∂ω ∂x1 (x0) 2 + ∂ω ∂x2 (x0) 2 = = − ∂ω ∂x1 (x0) 2 + ∂ω ∂x2 (x0) 2 . Тогда уравнение Беллмана запишется в виде ∂ω ∂x1 (x0)(1 + u1) + ∂ω ∂x2 (x0)(1 + u2) = = ∂ω ∂x1 (x0) + ∂ω ∂x2 (x0) − ∂ω ∂x1 (x0) 2 + ∂ω ∂x2 (x0) 2 = 1. Таким образом, уравнение Беллмана в множестве int(M) примет вид ∂ω ∂x1 + ∂ω ∂x2 − ∂ω ∂x1 2 + ∂ω ∂x2 2 = 1.
Построение оптимального синтеза 11 МАТЕМАТИКА 2006. № 1 Перенесем корень в правую часть, единицу в левую и возведем в квадрат ∂ω ∂x1 2 + ∂ω ∂x2 2 + 1 + 2 ∂ω ∂x1 ∂ω ∂x2 − 2 ∂ω ∂x1 − 2 ∂ω ∂x2 = ∂ω ∂x1 2 + ∂ω ∂x2 2 . Сократив подобные и разложив на множители, получаем 1 − ∂ω ∂x1 1 − ∂ω ∂x2 = 1 2. При этом должны быть выполнены граничные условия (10). Решением этой задачи будет функция ω(x) = 1 − 1 √ 2 (x1 + x2 − 1). В качестве u возьмем u1(x) = − ∂ω ∂x1 ∂ω ∂x1 2 + ∂ω ∂x2 2 = = − 1 − 1 √ 2 1 − 1 √ 2 2 + 1 − 1 √ 2 2 = − 1 √ 2. Аналогично, u2(x) = − 1 √ 2. Согласно теореме 1 получаем, что оптимальный синтез имеет вид u = − 1 √ 2, − 1 √ 2 . То есть из любой точки x ∈ M надо двигаться по кратчайшему расстоянию до прямой x + y = 1, но с наименьшей скоростью ˙ x1 = 1 − 1 √ 2, ˙ x2 = 1 − 1 √ 2. П р и м е р 2. Рассмотрим систему как в предыдущем примере, а множество M в виде M = {(x1, x2) ∈ R2 : x1 0, x2 0, αx1 + βx2 1}, α, β > 0. Аналогично предыдущему примеру получаем уравнение Беллмана 1 − ∂ω ∂x1 1 − ∂ω ∂x2 = 1 2 и граничные условия ω(x)|x∈M0 = 0, ω(x)|x∈int(M)∪M+ < 0,
В. Н. Баранов МАТЕМАТИКА 2006. № 1 где M0 = {(x1, x2) ∈ ∂M : αx1 + βx2 = 1}, M+ = {(x1, x2) ∈ ∂M : x1 = 0, x2 < 1/β} ∪ {(x1, x2) ∈ ∂M : x1 < 1/α, x2 = 0}. Будем искать ω в виде ω(x) = c(αx1 + βx2 − 1), где c > 0. Подставив в уравнение Беллмана, получим 2αβc2 − 2(α + β)c + 1 = 0. Получим, что c = α+β+√ α2+β2 2αβ . Тогда ω(x) = α+β+√ α2+β2 2αβ (αx1 + βx2 − 1). Вектор u получаем из равенства u1(x) = − ∂ω ∂x1 ∂ω ∂x1 2 + ∂ω ∂x2 2 = = − α+β+√ α2+β2 2β α+β+√ α2+β2 2β 2 + α+β+√ α2+β2 2α 2 = − α α2 + β2 . Аналогично получаем, что u2(x) = − β √ α2+β2 . То есть получаем, что из любой отчки x ∈ M надо двигаться с постоянным вектором скорости ˙ x1 = 1 − α √ α2+β2 , ˙ x2 = 1 − β √ α2+β2 . Геометрически, это вектор, симметричный относительно биссектрисы угла первой четверти вектору, перпендикулярному прямой αx1 + βx2 = 1. В обоих рассмотренных примерах оптимальные траектории попадают на границу множества M только в точках выхода, то есть не возникает случая, когда оптимальная траектория движется по границе множества M положительное время. В этом случае возникает проблема, связанная с определением решения задачи Коши ˙ x = f(x, u(x)), если построенный оптимальный синтез не является непрерывной функцией и имеет разрыв в точках, лежащих на границе M. В этом случае мы продолжим наш оптимальный синтез на некоторую окрестность множества M. Теорема 2. Пусть Mε — ε-окрестность множества M0. Пусть функция ω ∈ C1(M) удовлетворяет в M ∪ Mε уравнению Беллмана min v∈U(x0) ∂ω ∂x (x0)f(x0, v) = 1 (11) и граничным условиям ω(x)|x∈M0 = 0, ω(x)|x∈int(M)∪M+ < 0. (12)
Построение оптимального синтеза 13 МАТЕМАТИКА 2006. № 1 Пусть, далее, существует однозначная функция x → u(x), x ∈ M ∪ Mε, удовлетворяющая уравнению ∂ω ∂x (x)f(x, u(x)) = 1 (13) для всех x ∈ M ∪ Mε и определяющая допустимый синтез. При этом для всех точек x0 ∈ Mε\M решение x(t, x0, u) задачи ˙ x = f(x, u(x)), x(0) = x0 удовлетворяет условию ρ(x(t, x0, u), M) ρ(x(t, x0, u), M) для всех u ∈ U. Тогда u(x) — оптимальный синтез, −ω(x) — время выживания точки x в множестве M. П р и м е р 3. Рассмотрим систему ˙ x1 = u1, ˙ x2 = u2, (14) где (u1, u2) ∈ U U = {(u1, u2) : u2 1 + u2 2 = 1, x1 0, x2 0}. В качестве множества M рассмотрим M . = {(x1, x2) ∈ R2 : x1 0, x2 0, max{x1, x2} 1}. В этом случае M0 состоит из единственной точки выхода M0 = {(1, 1)}. Уравнение Беллмана будет иметь вид min u10,u20 u2 1+u2 2=1 ∂ω ∂x1 (x0)u1 + ∂ω ∂x2 (x0)u2 = 1. Из свойств функции ω можно предположить, что ∂ω ∂xi 0, i = 1, 2. Тогда u1(x) = 1, u2(x) = 0, если ∂ω ∂x2 > ∂ω ∂x1 , u1(x) = 0, u2(x) = 1, если ∂ω ∂x1 > ∂ω ∂x2 , u1(x) + u2(x) = 1, если ∂ω ∂x1 = ∂ω ∂x2 . Решением уравнения Беллмана будет функция ω(x) = x1 + x2 − 2. Получаем, что для всех точек x ∈ M выполнено равенство u1(x)+u2(x) = 1. Для точек x ∈ ∂M\M0 таких, что x1 = 1 имеет место равенство TxM = {(0, h) : h ∈ R}, следовательно U(x) = {(0, 1)}. Аналогично для точек x ∈ ∂M\M0 таких, что x2 = 1 имеет место равенство TxM = {(h, 0) : h ∈ R}, следовательно U(x) = {(1, 0)}. Тогда u(x) = (0, 1) для x ∈ ∂M\M0 таких, что x1 = 1 и u(x) = (1, 0) для x ∈ ∂M\M0 таких, что x2 = 1. Таким образом, u(x) не может быть непрерывной функцией. Рассмотрим множество Mε = M1 ε ∪ M2 ε , где M1 ε . = {(x1, x2) : 0 1 < x1 < 1 + ε, 0 < x2 < 1}, M2 ε . = {(x1, x2) : 0 < x1 < 1, 0 1 < x2 < 1 + ε}. Нетрудно видеть, что решая уравнение Беллмана в множестве M ∪ Mε,