Вестник Удмуртского университета. Серия 1. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2004, № 1
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
Удмуртский Государственный университет
Год издания: 2004
Кол-во страниц: 86
Дополнительно
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА 2004. № 1 УДК 517.977 В. А. Зайцев МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМ КВАЗИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ¹ Получены необходимые и достаточные условия существования модального управления для стационарного квазидифференциального уравнения с полной и с неполной обратной связью. Для нестационарного квазидифференциального уравнения построены обратная связь и ляпунов-ское преобразование, приводящее замкнутое уравнение к наперед заданному дифференциальному уравнению. Ключевые слова: модальное управление, квазидифференциальное уравнение, неполная обратная связь. Введение Классическая задача о модальном управлении заключается в следующем. Рассматривается линейная управляемая система с постоянными коэффициентами х = Ах + Ви, геГ, ue~Rm, (1) управление и строится в виде и = Ux, где U— тп х п -матрица с постоянными коэффициентами. Система (1) переходит в однородную систему x=(A + BU)x. (2) Требуется для произвольного многочлена n-й степени р(А) = А” + 71 А”⁻¹ + ... + 7га с наперед заданными вещественными коэффициентами 7j найти постоянную вещественную матрицу U такую, чтобы характеристический многочлен x(A + BU;A) матрицы системы (2) с этим управлением совпадал с р(А). Если такое управление существует, то говорят, что система (2) обладает модальным управлением. Рассматривают также случай, когда коэффициенты А, В системы (1), управление U и коэффициенты комплексные. Здесь мы ¹ Работа выполнена при финансовой поддержке конкурсного центра Минобразования России (грант Е02-1.0-100) и РФФИ (грант 03-01-00014).
В. А. Зайцев
ограничимся случаем, когда х, и, А, В, U, — вещественные. Необходимым и достаточным условием существования модального управления для системы (2) является условие полной управляемости системы (1), т. е. условие rank [В, АВ,..., АП⁻¹В] = п. Это известный результат теории автоматического регулирования. Рассмотрим, к примеру, линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с одним входом
х^ + a-]x(ⁿ~lj + ... + апх = и, х G R, и Е R. (3)
Управляемая система (3) эквивалентна матричной системе (1), где
0 1 0 0 0 xt = X,
0 0 1 . 0 0 х2 = х,
-4 = I .
..... 0 0 ....... 0 X 1 = Х{п~^
0 ■ 1 ’А'П--- 1 -- }
-an-i й"п---2 ■ ■ . --- ttl 1 гр -- 1)
Матрица А называется матрицей Фробениуса для многочлена
g(A) = Aⁿ + aiAⁿ ¹ + .. - + ап. Эта матричная система является вполне
управляемой при любых значениях коэффициентов а{, и управле
ние U = (ап — 7га,..., ai — ух) приводит характеристический полином
системы (2) к наперед заданному ветственно управление
п
НЛ) = Е 7гЛ"“г i=0
(70 = 1). Соот
и = (ах - 71)ж⁽п + ... + (ап - уп)х (4)
приводит уравнение (3) к уравнению с наперед заданными коэффициентами 7г и обеспечивает желаемую асимптотику решений системы (3), (4).
Отметим здесь, что если в уравнении (3) коэффициенты — переменные, то все равно управление, построенное по формуле (4), приводит уравнение (3) к наперед заданному уравнению х^ + 7i^”⁻¹} + ... + jnX = 0 с постоянными коэффициентами.
Задача о существовании модального управления для линейного дифференциального уравнения с неполной обратной связью была решена в [1] (см. также [2]). Рассмотрим объект n-го порядка, на вход которого подается линейная комбинация из т сигналов и их производных до порядка (п—р) включительно, а измерению доступны к различных линейных комбинаций состояния объекта z и его
Модальное управление
5
производных до порядка (р — 1) включительно:
z^ + aiz(ⁿ~^ + ... + aₙz =
= bₚiv[ + bₚ₊iyiVi p . + bn\V\ + ... (5)
+ ■ ■ ■ + bₙₘVₘ, Z G R, 1 <: p <: П,
У1 = CnZ + . . . + CₚₗZ⁽p .......................................... (6)
Ук = cₗₖz + ... +
v = col (гц,..., vₘ) G Rm — вектор управления, у = col (yi,..., yₖ) G Rfc — выходной вектор. Задача модального управления заключается в построении управления в виде неполной обратной связи v = Uy, которое приводит систему (5), (6) к замкнутой системе
г(«) ₊ 1) ₊ ₊ ^ₙZ ₌ о
(7)
с заданными коэффициентами.
Построим по системе (5), (6) матрицы В G Mₙ>ₘ, С G М„.к.
0 . . 0 Си . ■ С1к
в = 0 . . 0 СР1 ■ ■ срк (8)
Ьрт 0 . . 0
■ ■
Ьп1 Ьпт 0 . . 0
Мп,к — это пространство пх к -матриц, Мп = М,,.,,. Пусть I Е Мп — единичная матрица, — ?-й столбец единичной матрицы. Обозначим Jₒ = I G М„. Ji G Мп —матрица, наддиагональ которой состоит из единиц, а остальные элементы равны нулю, Jq = Jf. Звездочка будет означать операцию транспонирования матрицы (или вектор-столбца в вектор-строку).
Теорема 1 (см. [1]). Пусть обратная связь v = Uy приводит систему (5), (6) к замкнутой системе (7). Тогда, для коэффициентов систем,ы (7) выполнены соотношения = сц — Sp С* J^BU, i = 1, п.
Введем отображение vec : М„„, —> Rⁿm, которое «разворачивает» матрицу Н = {/zjj} G М„.„, по строкам в вектор-столбец vec Я = со1(Лц,/in,.. ■,/iim,.. ■, Дга1,.. ■,/ггат). Построим матрицы С* JqB, ... В и матрицу Р = [vgcC*JqB, ... , vecС* Jₙ-iB] Е
МткуП. Пусть а = со1(ах,... , ага) G R”, у = со1(уъ... , уга) G R”.
В. А. Зайцев
Теорема 2 (см. [1]). Система (5), (6) обладает модальным управлением тогда, и только тогда, когда, матрицы C*J$B, ... , C*Jₙ-iB линейно независимы, и в этом случае матрица U обратной связи, приводящая систему (5), (6) к системе (7) с наперед заданными коэффициентами, находится из соотношения w = Р(Р*В)⁻¹ (а — у), где w = vec U*.
Заметим, что в системе с неполной обратной связью, так же как и в системе с полной обратной связью, возможность приведения к наперед заданному уравнению не зависит от коэффициентов уравнения, а зависит лишь от коэффициентов bij, cₛᵣ линейных комбинаций входных и выходных сигналов. Хотя само управление U, приводящее (5), (6) к системе (7), естественно, зависит от
Отметим здесь следующий факт. Предположим, что в системе с неполной обратной связью (5), (6) коэффициенты сц и (или) bij и (или) cₛᵣ— переменные. В этом случае (в отличие от системы (3) с полной обратной связью) уже нельзя утверждать, что управление U, построенное в теореме 2, приведет систему (5), (6) к системе (7). Дело в том, что U зависит от а^, by, cₛᵣ, a v = Uy, и когда мы подставим построенное управление v в (5), то в уравнении появятся производные от су (или bij, или cₛᵣ) и уравнение не приведется к требуемому.
В настоящей работе исследуется задача о ляпуновской приводимости и о существовании модального управления для квазидиффе-ренциального уравнения с полной и неполной обратной связью.
§1. Модальное управление КдУ с полной обратной связью и ляпуновская приводимость
Рассмотрим управляемую систему
х = A(t)x + B(t)n, (t, u,i) е I х Rxl”, (9)
on(t) A(t) о ... о 0
a2l (i) 022 (i) A(i) ... 0 ,B(t) = 0 4
On---1,1 (i) Ora_i;2(^) ......... Pn---l(^) o
Oni(i) on2(i) ......... Onn(t) /Ut) (10)
функции А(-), В(-) непрерывны и ограничены на R, и Vt G R V i = 1,п выполнены неравенства Д(£) х > 0. Определим квази
Модальное управление
7
производные \z (к = 0, п) функции : : R -> R равенствами [3]
°z = y = z
к = 1, п.
(И)
Тогда система (9) эквивалентна квазидифференциальному уравнению (КдУ) n-го порядка [3, 4]
(Lz) (t) = (у) = и. (12)
Эквивалентность устанавливается равенствами яд = °z, яд = lz, г та—1 ~
■ ■ ■ 5
Матрица A(t) называется порождающей для уравнения (12). Решением уравнения (12) называется всякая функция z : R —> R, имеющая локально абсолютно непрерывные квазипроизводные \z (к = 0,п— 1) и почти всюду (и.в.) в R удовлетворяющая уравнению (12). Известно [3], что если функции Л(-), В(-), м(-) локально суммируемые, то решение задачи Коши для уравнения (12) существует и единственно.
Задача о модальном управлении и о ляпуновской приводимости системы (9) исследовалась в [4]. Однако сформулированная в этой работе лемма 5 и вытекающая из нее теорема 3 оказались неточными. Поэтому вопрос о ляпуновской приводимости системы (9) остается открытым. Здесь получены некоторые новые результаты в этом направлении.
Рассмотрим матрицу A(t) из (10), т. е. A(t)
W)
* ... *
On(t) A(i) 0 0
W) = 021 (t) 022(i) A(i) ■ . 0
......... ..........
Ота-l,l(i) Ота-1,2 (i) ....... ■ X?«-i(i)
Выпишем характеристический полином матрицы A(i); его коэффициенты зависят от t
x(A(t); А) = det(A7 — A(t))= Хп + /z₁(t)A”⁻¹ + ... + /zₙ(i).
В. А. Зайцев
Построим по этому многочлену матрицу Фробениуса
0 1 0 ... 0
F(t) = 00 1 ... 0
0 0 0 ... 1
-/zn(t) -/zn_i(t) -/zn_2(t) ... -Mi(t)
Построим по матрице A(t) матрицу
1 0 0 0
On(t) A(i) 0 0
ЗД) = 021 (t) 022(i) A(i) ■ . 0
......... ..........
a«-i,i(i) on-i,2(i) ....... ■ ^n-i(i)
Эта матрица получена из A(t) вычеркиванием последней строки и приписыванием сверху строки е[. Это нижняя треугольная матрица, ограниченная и непрерывная, невырожденная для всех t G R, ее определитель отделен от нуля, и для нее существует непрерывная ограниченная обратная матрица 5f¹(t). Построим матрицу Ai(t) =
Лемма 1. Матрица, Ai(t) имеет вид
0 1 0 0 0
0 Oll(t) A(i) 0 0
A(t) = 0 O21(t) 022 (i) A(i) ■ . 0
.. on-2,i(i) On-2,2 (i) ....... ..........
0 ■ /?n-2(t)
* * * * *
здесь в последней строке стоят функции такие, что y(A(t);A) = y(Ax(t); А).
Замечание 1. В этой лемме утверждается следующее. Если умножить на матрицу A(t) слева Si(t) и справа Sfx(i), то произойдут такие изменения: прямоугольный «несущий блок» D(t) матрицы A(t) сдвинется по диагонали вправо вниз, при этом последняя строка и последний столбец матрицы D(t) потеряются, появятся первый столбец (высоты п — 1), состоящий из нулей, и первая строка (длины п); последняя строка матрицы A(t) изменится таким образом, что характеристический полином сохранится. Формулировка леммы 1 корректна, поскольку по характеристическому
Модальное управление
9
многочлену матрицы Ax(t) ее последняя строка восстанавливается однозначно. Это будет вытекать из следующего вспомогательного утверждения (для простоты записи будем опускать аргумент t).
Лемма 2. Пусть даны две матрицы
Оц /31 0 . . 0
021 022 Д ■ . 0
р=
......
Ота-1,1 Ота-1,2 ..... ■ Д-i
Р1 Р2 ..... ■ Рта
Он д 0 . . 0
021 022 Д ■ . 0
.п= ......
Ота-1,1 Ота-1,2 ..... ■ Д-i
Г1 Г2 ..... ■ гп
такие, что первые п— 1 строк матриц Р и R совпадают, [Зк > О, k = l,n — 1 и характеристические многочлены этих матриц совпадают: у(Р; А) = х(Я; А). Тогда, последние строки этих матриц совпадают, т. е. pₜ = V? = 1,п.
Доказательство. Построим матрицу XI — Р. Обозначим через Д^, /'=!.// главные миноры этой матрицы: Дх = А — Оц, Д₂ = (А — ац)(А — а₂₂) — До₂1, ... , Дп = det(A/ — Р). Заметим, что V i = 1,п степень многочлена Д^ равна в точности i, старший коэффициент при Аг равен 1. Разложим det (А/ — Р) по последней строке, получим ДР; А) = (А -рп)Дп_₁ - (-рп_₁)(-/?п_₁)Дп_₂ + (— Рта-2) (—Д-1)(—Д-2)Д«-з + - ■ -+( — 1)” ²(—р₂)(—/Д-1)-. . ■•(—/?₂)Д1 + ..... (-Д) = (А - Рп)Д„-1 - рп_х/?та-1Дта-2 ~ Р,, ₂ Д i Д ₂Д,, з - ... - р₂ Д । • ... • ДДх - рхД-1 • ■ ■ ■ • Д ■ Аналогично х(Р; А) = (А - Гп)Дп_х - /•„ । Д । Д„ ₂ - г„ Д, Д Д, :₁ -... — г₂Д_х • ... • ДДх — п/Д-х • ... • Д. Характеристические многочлены матриц совпадают. Вычтем из второго первый, получим (Рта - rₙ) Дта-1 + (Рта-1 ~ Гп-1) Д_Х Дп_₂ + ■ ■ ■ + (Р2 ~ Г₂) Д-1 • . . . • Д Д1 + (pi — Г1)Д-1 • ... • Д = 0. Слева стоит многочлен от А степени не выше п — 1, справа 0, следовательно, все коэффициенты при Аг, где i = 0,п— 1, равны нулю. Поскольку коэффициент при А”⁻¹ равен нулю, а среди многочленов Дх,..., Дга-1 лишь многочлен Дга_х имеет степень п — 1, т. е. содержит одночлен А”⁻¹, то коэффициент при Дга—1 равен нулю, следовательно, рп = гп. Далее будем рассуждать аналогичным образом. Из того, что все Д > 0 и все многочлены Д^ имеют разную степень, получим, что V? = 1, п. □
Доказательство леммы 1. Поскольку Д(£) =
1 0 ... 0 0 1 0 ... 0
, то = 0 0 1 ... 0 е мп._х,п
o(t) ...............
0 0 0 ... 1
В. А. Зайцев
Поэтому =
D(i)
■ sr ‘w
* ... *
0 1 0 . . 0
0 0 1 . . 0
.. 0 0 . ....
0 ■ 1
* * * . . *
I E .\l„ Пусть матрица Si(t) E M„ >, получена из Si(t) вычер
киванием последней строки и последнего столбца. Тогда
Si(t)
Следовательно, Si(t)A(t)Sₗ x(i) =
0 1 0 0 0
0 On(t) A(i) 0 0
0 a2X(t) a22(t) A(i) ■ . 0
.. an-2,i(i) an-2,2(i) ..........
0 ....... ■ Дг-2^)
* * * * *
Лемма доказана. □
Замечание 2. Матрица Ai(t) из леммы 1 имеет вид матрицы A(t) из (10) (все элементы выше наддиагонали равны нулю). Поэтому мы можем построить для матрицы А± (t) соответствующим образом матрицу S₂(i) (вычеркивая из Aᵥ(t) последнюю строку и приписывая сверху строку ) и затем построить матрицу
A₂(t) = 5₂(t)Ai(t)<S^'¹(t) и применить лемму 1. В результате «несущий блок» снова сдвинется по диагонали вправо вниз, характеристический многочлен не изменится, матрица A₂(t) будет иметь вид
A₂(t)
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 On(t) A(i) 0
0 0 a2i(t) a22 (i) . 0
.. ..........
0 0 an-3,i(i) On-3,2(i) ■ ■ Я-з(^)
* * * * *
Модальное управление
11
Применив п — 1 раз лемму 1, мы в результате придем к матрице
0 1 0 . . 0
Al-l(i) = 0 0 1 . . 0 (13)
.. 0 0 . ....
0 ■ 1
* * * . . *
причем X) = x(A(i);A), но x(A(i); A) =y(F(t);A), и F(t)
имеет вид (13), следовательно, F(t) = Aₙ_Pt). Таким образом, справедлива
Теорема 3. Построим по матрице A(t) из (10) п х п -матрицы
1 0 0 0
on(t) A(i) 0 0
ЗД) = o2i(t) 022 (i) A(i) ■ . 0
.........
..........
o„-i,i(t) on_1;2(i) ....... ■ ^n-i(i)
1 0 0 0
0 1 0 0
= 0 Oll(t) A(i) . 0
.. On-2,l(i) On-2,2(i) ■ ..........
0
1 0 .. 0 0
o 1 .. 0 0
.. ......
0 0 .. 1 0
0 0 .. Oll(t) A(i)
и матрицу S(t) = Sₙ-i(t) • ... • Spt). Тогда S(t)A(t)S x(t) = F(t).
Пусть управление в системе (9) строится по принципу линейной обратной связи в виде и = U(t)x, U(t) G A/i,ᵣₐ, t G R. Тогда система (9) перейдет в замкнутую систему
х = (A(i) + (14)
Рассмотрим произвольный многочлен р(А) = А” + ДхА”⁻¹ + • • • + уга с заданными коэффициентами Xi R- Построим по нему матрицу
В. А. Зайцев Фробениуса Г 0 1 0 . 0 0 0 1 . 0 ..... 0 0 ....... 0 ■ 1 -7п ---7n-i ~7п-2 ■ ■ ■ -71 Теорема 4. Для любого вещественного набора у = (71,..., 'Д) найдется непрерывное ограниченное управление U = U(t), t G R, при котором матрица A(t) + B(t)L7(t) систем,ы (14) «подобна» (посредством, нестационарной матрицы матрице Г, т. е. A(t) + B(t)B(t) = 8~¹(б)Г8(Д. (15) Доказательство. В силу теоремы 3 систему (14) можно переписать в виде х = ^S~l(t^F(t) + S(t)B(t)U(t)S~l(t^S(t^x. (16) Заметим, что 5(i)B(i)— это п х 1-матрица, в последней строке которой стоит Д (t) • ... • [Зп (t), а остальные элементы равны ну u(t) = (Йй)) WW, где лю. Построим управление в виде V(i) = (цп(б) — уп,... Щ1Дб) — ух) G ЛД,П, и подставим это управление в (16). Тогда матрица F(t) + 5(t)B(t)L7(t)>S_¹(t) совпадет с матрицей Г. Отсюда будет вытекать утверждение теоремы. □ Предположим теперь, что система (9) стационарна, т. е. матрицы А и В из (10) постоянные. Тогда теорема 4 сразу дает ответ на вопрос о модальном управлении для системы (14), поскольку в этом случае матрица S будет постоянной, U постоянно, матрицы A+BU и Г подобны в прямом смысле и %(Л + BU;X) = х(Г; А) = р(А). Сформулируем это в виде теоремы. Теорема 5 (о модальном управлении). Пусть коэффициенты систем,ы (9) стационарны, т. е. A(t) = A, B(t) = В. Тогда, для любого вещественного набора стоянная матрица U G Мщп 7 = (71,..., Тп.) найдется такая по ( которая им,еет вид U (Тп ~ Тп, ■ ■ ■ ,~ 71) • S ), что А + BU = S ¹Г5. (па) 4=1 '