Основы теории цепей. Практический курс

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

СЕРИИ «УЧЕБНИКИ НГТУ»

д-р техн. наук, проф. (председатель)  Н.В. Пустовой
д-р техн. наук, проф. (зам. председателя)  Г.И. Расторгуев

д-р техн. наук, проф. А.А. Батаев
д-р техн. наук, проф. А.Г. Вострецов
д-р техн. наук, проф. В.И. Гужов
д-р техн. наук, проф. В.А. Гридчин
д-р техн. наук, проф. В.И. Денисов
д-р физ.-мат. наук, проф. В.Г. Дубровский
д-р экон. наук, проф. К.Т. Джурабаев
д-р филос. наук, проф. В.И. Игнатьев
д-р филос. наук, проф. В.В. Крюков
д-р техн. наук, проф. В.Н. Максименко
д-р техн. наук, проф. Х.М. Рахимянов
д-р техн. наук, проф. Ю.Г. Соловейчик
д-р техн. наук, проф. А.А. Спектор
д-р экон. наук, проф. В.А. Титова
д-р техн. наук, проф. А.Ф. Шевченко
д-р техн. наук, проф. Н.И. Щуров

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ

ПРАКТИЧЕСКИЙ КУРС

Учебное пособие

НОВОСИБИРСК

2011

УДК 621.3.011.7(075.8)

О-753

Коллектив авторов:

Б.В. Литвинов, О.Б. Давыденко,  И.И. Заякин, 

В.Т. Мандрусова, Н.А. Юрьева

Рецензенты:

д-р техн. наук, профессор О.Н. Веселовский;

д-р техн. наук, профессор А.В. Сапсалев;
канд. техн. наук, доцент Ю.В. Петренко

О-753
Основы теории цепей. Практический курс : учеб. пособие / Кол
лектив авторов. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2011. – 347 с. (Серия 
«Учебники НГТУ»).

ISBN 978-5-7782-1738-6

Содержание практикума охватывает все основные разделы теории линейных и не
линейных цепей. Приведены задачи как иллюстрирующие тот или иной метод расчета, 
так и возникающие при исследовании реальных электротехнических устройств. Каждой 
из рассматриваемых тем предшествуют необходимые теоретические сведения, представленные в справочной форме.

Предназначен в качестве учебного пособия для студентов электротехнических и 

энергетических специальностей  очной  и дистанционной форм обучения.

УДК 621.3.011.7(075.8)

ISBN 978-5-7782-1738-6
© Коллектив авторов, 2011
© Новосибирский государственный 

технический  университет, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие......................................................................................................................6

1. Основные законы электрических цепей (законы Ома, Кирхгофа, Джоуля–

Ленца)..........................................................................................................................7

2. Непосредственное применение законов Кирхгофа для решения задач. Ме
тод контурных токов.................................................................................................17

3. Метод узловых потенциалов ....................................................................................25
4. Метод наложения......................................................................................................31
5. Метод эквивалентного генератора ...........................................................................35
6. Электрические цепи синусоидального тока (аналитический и графоанали
тический методы расчета).........................................................................................45

7. Символический метод расчета цепей синусоидального тока (метод комплексных амплитуд) .....................................................................................................59
8. Резонанс в цепи синусоидального тока....................................................................69
9. Расчет цепей со взаимной индуктивностью.............................................................81

10. Четырехполюсники...................................................................................................89
11. Расчет трехфазных цепей (соединение звездой) ....................................................101
12. Расчет трехфазных цепей (соединение треугольником)........................................113
13. Метод симметричных составляющих (несимметрия входного напряжения) .......123
14. Метод симметричных составляющих (несимметрия нагрузки) ............................133
15. Расчет линейных электрических цепей при действии несинусоидальных 

ЭДС .........................................................................................................................147

16. Несинусоидальный режим в трехфазных цепях ....................................................159
17. Длинные линии в установившемся режиме ...........................................................169
18. Классический метод расчета переходных процессов в линейных электриче
ских цепях с сосредоточенными параметрами ......................................................187

19. Операторный метод расчета переходных процессов .............................................203
20. Расчет переходных процессов при включении электрических цепей на на
пряжение произвольной формы (интеграл Дюамеля) ...........................................217

21. Расчет нелинейных электрических цепей постоянного тока.................................229
22. Магнитные цепи постоянного тока. Цепи с постоянными магнитами..................253
23. Графический метод расчета нелинейных цепей переменного тока (по ха
рактеристикам НЭ для мгновенных значений)......................................................269

24. Расчет нелинейных цепей с помощью аппроксимации характеристик нели
нейных элементов для мгновенных значений........................................................281

25. Расчет нелинейных электрических цепей переменного тока с использова
нием замены реальных нелинейных элементов условно-нелинейными (метод эквивалентных синусоид) ................................................................................297

26. Переходные процессы в длинных линиях..............................................................307
27. Переходные процессы в нелинейных цепях...........................................................323

ПРЕДИСЛОВИЕ

астоящий практический курс теоретических основ электротехники 
разработан коллективом авторов кафедры «Теоретические основы 

электротехники» как учебное пособие для студентов электротехнических 
и электроэнергетических специальностей очной и дистанционной форм обучения. 

Пособие содержит в себе цикл задач, сгруппированных по основным те
мам теории линейных и нелинейных цепей в соответствии с программой курса 
«Теоретические основы электротехники». Каждая из тем состоит из основных 
теоретических сведений, представленных в справочной форме, и набора типовых задач с подробными решениями и необходимыми пояснениями. Для ряда 
задач приведено несколько вариантов решения (в частности, даны рекомендации по использованию вычислительного комплекса MathCad при расчете нелинейных цепей постоянного тока). Все темы включают в себя набор задач для 
самостоятельного решения. 

Задачи, представленные в пособии, предназначены в основном для само
стоятельного изучения практического курса ТОЭ (главным образом студентами дистанционной формы обучения), но могут быть использованы и для решения в аудитории с помощью преподавателя. 

Н

1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

(законы Ома, Кирхгофа, Джоуля–Ленца)

Основные сведения

Элементы электрических цепей постоянного тока

Источник ЭДС
Источник тока
Приемник электроэнергии

1
G
R

Преобразования электрических цепей

э

1

n

k
R
R

э

1

n

k
G
G

э

n
n
k

n

E G
I
E
G

э
n
G
G

12 31
1

12
23
31

,
R
R
R
R
R
R

12 23
2

12
23
31

,
R R
R
R
R
R

23 31
3

12
23
31

R
R
R
R
R
R

1 2
12

1
2
3

,
G G
G
G
G
G

2 3
23

1
2
3

,
G G
G
G
G
G

1 3
31

1
2
3

G G
G
G
G
G

Обобщенный закон Ома
Распараллеливание токов

U
E
I
R

2
1

1
2

,
R
I
I R
R

1
2

1
2

R
I
I R
R

(или 2
1
I
I
I )

Законы Кирхгофа
Баланс мощности

Первый закон Кирхгофа: 
0
n
I

Токи, втекающие в узел, учитываются с 

одним знаком, вытекающие из узла – с противоположным. 

Второй закон Кирхгофа: 
n n
n
I R
E

Со знаком «+» учитываются ЭДС и на
пряжения, совпадающие с направлением обхода контура, встречные – со знаком «–» 

ист
потр
P
P

2

kI
k
EI
U
I
I R

0
EI
0
kI
k
U
I

0
EI
0
kI
k
U
I

Со знаком «+» учитываются ЭДС и источники тока, совпадающие по направлению с эквивалентной ЭДС Eэ

E
I
I

G)

U

( )
R G

=

n
R
3
R
2
R
1
R
Rэ

=
1
G
n
G
3
G
2
G
Gэ

=
1
G

2
G
3
G

2
E
3
E

э
G

э
E

kI

1

2
3

31
R
12
R

23
R

3
2

1

1
R

2
R
3
R

1

2
3

31
G
12
G

23
G
3
2

1

1
G

2
G
3
G

Со знаком «+» учитываются ЭДС, сонаправленные с током, встречные – со 
знаком «–»

I

U

E

R

1I

2
I

I

1
R

2
R

I
E

kI
U

kI

I
E

kI
U

kI

1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
8

Библиографический список к разделу 1

1. Зевеке  Г.В. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, Л.В. Не
тушил, С.В. Страхов. – М.: Энергия, 1989. – § 1.1–1.5. 

2. Бессонов  Л.А. Теоретические  основы  электротехники / Л.А. Бессонов. –

М.: Гардарики, 2002. –§ 2.1– 2.8, 2.11, 2.20.

ПРИМЕРЫ

Задача 1.1

Для определения внутреннего сопротивления и ЭДС генератора проводи
лось два опыта по схеме рис. 1.1.

1. При замкнутом ключе вольтметр пока
зал 
Vз
U
= 100 В.

2. При разомкнутом ключе
показание 

вольтметра равно 
Vр
U
= 95 В. Сопротивле
ние вольтметра считать равным бесконечности. Сопротивление нагрузки R = 80 Ом.

Решение
1.
В режиме разомкнутого ключа ток 

через источник энергии не протекает, поэтому вольтметр измеряет ЭДС источника 

Vр
U
= Е = 100 В.

2.
При замкнутом ключе ток в ветви с сопротивлением R

Vз
95
1,187 А.
80

U
I
R

3.
Внутреннее сопротивление генератора определяется из уравнения, 

составленного по второму Закону Кирхгофа при замкнутом ключе К (направление обхода контура выбрано по ходу часовой стрелки),

вн
E
Ir
IR ,

К

E

U

I

R

вн
r

V

Рис. 1.1

откуда

Vp
Vз

вн
4,21Ом.
U
U
E
IR
r
I
I

Ответ:
вн
r
= 4,21 Ом, Е = 100 В.

Задача 1.2

В электрической цепи (рис. 1.2) определить показание вольтметра, сопро
тивление которого велико по сравнению с внутренними сопротивлениями источников ЭДС. 

1
E = 40 В, 
2
E
= 10 В, 
1
R = 
2
R
= 5 Ом.

Как изменится показание вольтметра, 

если полярность одного из источников 
сменить на противоположную?

Решение

Прежде чем определять показание 

вольтметра, необходимо определить ток в 
цепи. Так как сопротивление вольтметра по условию велико по сравнению с 
сопротивлениями нагрузки, будем полагать, что оно равно бесконечности 
(
V
R = ).

1.
Принимаем направление тока в замкнутом контуре цепи (рис. 1.2).

2.
Из уравнения по второму закону Кирхгофа (при обходе контура в на
правлении движения часовой стрелки, как показано на рис. 1.2)

1
IR +
2
IR
= 
1
Е + 
2
Е

определяется ток в цепи

1
2

1
2

5 А.
Е
Е
I
R
R

3. Показание вольтметра находится из уравнения по второму закону 

Кирхгофа для контура а-m-b-a (обход контура в направлении движения часовой стрелки) 

n

а

b

m
V

1
R
2
R

1
E
2
E

I

ab
U

Рис. 1.2

1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
10

2
IR –
ab
U
= 
2
Е ,

V = 
ab
U
= 
2
IR
–
2
Е
= 25 – 10 = 15 B.

Показания вольтметра можно также определить из уравнения, состав
ленного по второму закону Кирхгофа для контура n-a-b-n (при обходе контура 
в направлении движения часовой стрелки)

1
IR + 
ab
U
= 
1
Е ,

V
U
= 
ab
U
= 
1
Е –
1
IR = 40 – 25 = 15 В.

Ответ:
V
U
=15 В.

4. После смены полярности одного из источников (например Е2) на про
тивоположную электрическая цепь примет вид, представленный на рис. 1.3. 
Ток в цепи определится аналогично первому случаю из уравнения по второму 
закону Кирхгофа (рис. 1.3).

1
2

1
2

30
3А
10

E
E
I
R
R
.

Показания вольтметра найдем с помо
щью второго закона Кирхгофа для контура 
a-m-b-а (обход контура в направлении движения часовой стрелки)

2
IR –
ab
U
= –
2
Е ,

откуда

V
U
= 
ab
U
= 
2
Е + 
2
IR
= 10 + 15 = 25 B.

Ответ:
V
U
= 25 В.

Таким образом, после смены полярности одного из источников показание 

вольтметра увеличилось с 15 до 25 В. 

n

а

b

m
V

1
R
2
R

1
E
2
E

I

ab
U

Рис. 1.3

Из полученных результатов вытекает способ подключения источников, 

обеспечивающий наибольшее выходное напряжение при их параллельной работе.

Задача 1.3

В электрической цепи (рис. 1.4)

1
R = 12 Ом, 
2
R = 30 Ом,

3
R = 20 Ом.

Напряжение источника питания 

U = 120 В. Определить токи во всех 
ветвях электрической цепи и мощность, потребляемую цепью.

Решение

1. Эквивалентное сопротивление цепи (сопротивления 
2
R и
3
R соединены 

параллельно, 
1
R – последовательно)

2
3

экв
1

2
3

30 20
12
24
50

R R
R
R
R
R
Ом.

2. Ток I1 (на основании закона Ома):

1
экв
120 24
5
I
U R
А.

3.
Определение токов 2I
и 3I .

Напряжение между точками a и b

(рис. 1.5)

ab
U
= 1 23
I R
, 

2
3

1

2
3

60 В.
ab

R R
U
I R
R

U

+
a
b

1
R

3
R

2
R

1I

3I

2I

ab
U

–

Рис. 1.4

a
b

U

+

1
R
23
R

ab
U

1I

–

Рис. 1.5

1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
12

Токи в ветвях 2 и 3 (рис.1.4):

2

2

60
2 A,
30

ab
U
I
R
3

3

60
3
20

ab
U
I
R
А.

Примечание.

Приведенные формулы позволяют получить соотношения  для более простого алгорит
ма определения токов в параллельных ветвях (распараллеливание токов):

2 3
3

2
1
1

2
2
2
3
2
3

2 A,
(
)
(
)

ab
U
R R
R
I
I
I
R
R
R
R
R
R

2 3
2

3
1
1

3
3
2
3
2
3

3 A.
(
)
(
)

ab
U
R R
R
I
I
I
R
R R
R
R
R

4. Мощность потребителей электрической энергии

потр
P
= 
2
I R = 
2
1
1
I R + 
2
2
2
I R + 
2
3
3
I R =

= 25 12 + 4 30 +9 20 = 600 Вт.

Ответ:
1I = 5 А,
2I
= 2 А, 3I
= 3 А; 
потр
P
= 600 Вт.

Задача 1.4

В электрической цепи (рис. 1.6): 
1
R = 
7
R
= 
9
R = 1 Ом,  
2
R
= 
3
R = 3 Ом, 

4
R
= 
8
R = 6 Ом, 
5
R = 8 Ом, 
6
R = 4 Ом, 6I = 9,16 А.

Определить напряжение U на 

входе электрической цепи.

Решение

1.
Эквивалентное 
сопротив
ление участка a-n-b электрической 
цепи 

2347
R
= 
7
R +
2
3
4

2
3
4

(
)
4
(
)

R
R R

R
R
R
Ом.

n

U

b

а

c

1
R

2
R

4
R

3
R

6
R

5
R

7
R

8
R

9
R

8I

5I

6I

7I

1I

ab
U

9I

Рис. 1.6