Теоретическая механика. Часть 2. Динамика, аналитическая механика


Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ




Н.В. КРАМАРЕНКО




                ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА




    Часть 2
    ДИНАМИКА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве конспекта лекций






НОВОСИБИРСК
2013

УДК 531.01(075.8)
      К 777
Рецензенты:
д-р техн. наук, профессор В.П. Гилета канд. техн. наук, доцент А.А. Рыков

Работа подготовлена на кафедре теоретической механики и сопротивления материалов для студентов немашиностроительных специальностей

      Крамаренко Н.В.
К 777 Теоретическая механика. Ч. 2. Динамика, аналитическая механика: конспект лекций / Н.В. Крамаренко. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2013. - 120 с.
          ISBN 978-5-7782-2321-9
          Издание подготовлено на основе электронного конспекта лекций, выполненного в виде программы-презентации, которая прошла государственную регистрацию в НТЦ «Информрегистр» как издание НГТУ.

УДК 531.01(075.8)

Крамаренко Николай Владимирович

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Часть 2
ДИНАМИКА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Редактор А.Н Куткин
Выпускающий редактор И.П. Брованова
Корректор Л.Н. Киншт Дизайн обложки АВ Ладыжская Компьютерная верстка Б.Н Зенина
Подписано в печать 30.09.2013. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 100 экз.
Уч.-изд. л. 6,9. Печ. л. 7,5. Изд. № 138. Заказ № 1207. Цена договорная
Отпечатано в типографии
Новосибирского государственного технического университета
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20


ISBN 978-5-7782-2321-9

                        © Крамаренко Н.В., 2013
                      © Новосибирский государственный технический университет, 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ


Введение........................................................ 5

ДИНАМИКА................................................... 6
   1. Основные понятия..................................... 6
   2. Динамика точки....................................... 7
     2.1. Основные законы динамики точки................... 7
     2.2. Дифференциальные уравнения движения точки........ 8
     2.3. Две основные задачи динамики точки.............. 10
     2.4. Примеры решения прямой задачи динамики точки.... 10
     2.5. Обратная задача динамики точки................... 14
     2.6. Алгоритм решения прямой и обратной задач динамики. 15
     2.7. Примеры решения обратной задачи для одномерного движения точки................................................ 18
     2.8. Пример решения обратной задачи для двумерного движения точки................................................ 26

   3. Динамика системы материальных точек..................... 28
      3.1. Основные понятия................................... 28
      3.2. Теорема о движении центра масс системы............. 30
      3.3. Теорема об изменении количества движения системы (ТИКД) 3 4
      3.4. Теорема об изменении момента количества движения системы (Теорема моментов).............................. 40
      3.5. Теорема об изменении кинетической энергии системы.      53
      3.6. Динамика плоского движения твердого тела.......... 71
     3.7. Принцип Даламбера (Германа, Эйлера), или метод кинетостатики .................................................... 76
      3.8. Относительное движение материальной точки.......... 85


АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.................... 92

   1. Основные понятия................................... 92
     1.1. Связи.......................................... 92
     1.2. Обобщенные координаты.......................... 93

3

     1.3. Возможные перемещения...........................
     1.4. Возможная работа силы...........................
   2. Статический принцип возможных перемещений (общее уравнение статики).........................................
     2.1. Доказательство..................................
     2.2. Примеры.........................................
     2.3. Обобщенные силы.................................
     2.4. Уравнения равновесия в обобщенных силах.........
   3. Динамический принцип возможных перемещений (общее уравнение динамики)........................................
   4. Уравнение Лагранжа II рода..........................
   5. Понятие об устойчивости равновесия консервативной механической системы.........................................
Структурная схема курса ..................................
Библиографический список..................................

94
96

97
97
98
100
102

105
108

114
117
120

ВВЕДЕНИЕ

   Традиционно базовый курс теоретической механики подразделяется на четыре модуля-раздела: статика, кинематика, динамика и аналитическая механика.
   Разделы статика и кинематика изложены в первой части [5]. Данное издание представляет собой вторую часть лекций и включает разделы динамика и аналитическая механика для односеместрового курса. В конце текста приведена структурная схема всего курса, изложенного в первой и второй частях.
   Издание подготовлено на основе электронного конспекта лекций [4], выполненного в виде программы-презентации, которая прошла государственную регистрацию в НТЦ «Информрегистр» как издание НГТУ.

        ДИНАМИКА

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

   Динамика - раздел теоретической механики, изучающий механическое движение с самой общей точки зрения. Движение рассматривается в связи с действующими на объект силами, точнее, в зависимости от действующих сил.
   Раздел состоит из двух частей:
   -     динамика точки - изучает движение материальной точки с учетом сил, вызывающих это движение. Основной объект - материальная точка. Это материальное тело, обладающее массой, размерами которого можно пренебречь;
   -     динамика механической системы - изучает движение совокупности материальных точек и твердых тел, объединяемых общими законами взаимодействия, с учетом сил, вызывающих это движение.
   Основные допущения:
   -     существует абсолютное пространство (обладает чисто геометрическими свойствами, не зависящими от материи и ее движения);
   -     существует абсолютное время (не зависит от материи и ее движения).
   Отсюда вытекает, что:
   -   существует абсолютно неподвижная система отсчета;
   -   время не зависит от движения системы отсчета;
   -     массы движущихся точек не зависят от движения системы отсчета.
   Эти допущения используются в классической механике, созданной Галилеем и Ньютоном. Она до сих пор имеет достаточно широкую область применения, поскольку рассматриваемые в прикладных науках механические системы не обладают такими большими массами и ско

6

ростами движения, для которых необходим учет их влияния на геометрию пространства, время, движение, как это делается в релятивистской механике (теории относительности).


2. ДИНАМИКА ТОЧКИ

2.1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

   Впервые открытые Галилеем и сформулированные Ньютоном законы составляют основу всех методов описания и анализа движения механических систем и их динамического взаимодействия под действием различных сил.
   1. Закон инерции (закон Галилея-Ньютона)
   Изолированная материальная точка (тело) сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние.
   Отсюда следует эквивалентность состояния покоя и движения по инерции (закон относительности Галилея). Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, называется инерциальной. Свойство материальной точки стремиться сохранить неизменной скорость своего движения (свое кинематическое состояние) называется инертностью.
   2.    Закон пропорциональности силы и ускорения (основное уравнение динамики, или II закон Ньютона)
   Ускорение, сообщаемое материальной точке силой, прямо пропорционально силе и обратно пропорционально массе этой точки'.


- ¹ Г а = —F т

та = F


Здесь т - масса точки (мера инертности), измеряется в килограммах, численно равна весу, деленному на ускорение свободного падения:
т = —.
g


7

F - действующая сила, измеряется в Ньютонах (1 Н сообщает точке массой 1 кг ускорение 1 м/с²).
   3.     Закон равенства действия и противодействия (III закон Ньютона)
   Всякому действию соответствует равное по величине и противоположно направленное противодействие.

   4.  Закон независимости действия сил
   Ускорение материальной точки под действием нескольких сил равно геометрической сумме ускорений точки от действия каждой из сил в отдельности

      а(Fi,Fj,...) =   ai(Fi) + аj(Fj) +... , а(R)  = аДFi)  + аj(Fj) +...



2.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

   При векторном способе задания движения точки используется основное уравнение динамики:

та = £ F'.

     Подставив сюда ускорение точки как вторую производную от радиуса-вектора
                _ d ² г а = —5-, dt²

  получим дифференциальное уравнение движения точки в векторном виде

d ² г т——
                     dt²

= Z F

(2.i)

8

    При координатном способе задания движения точки используется связь радиуса-вектора с координатами и вектора силы с проекциями:

г (t) = х (t) i + у (t) j + z (t) к , F      Xₜi+ YiJ + Zik .
   Подставляя эти выражения в уравнение (1), получаем
          d ²
        т ~Г2⁽ хг ⁺ У ⁺ zk ⁾ ⁼ dt²
        = Z (Xj+Yj+Zik).

После группировки по ортам векторное соотношение распадается на три скалярных уравнения:

                d² х _                d²                   d²
⁽х⁾: т ~7Г ⁼ ^ Xi ’ ⁽У⁾: т ТТ ⁼ ^ Y ’ ⁽z⁾: т ~Т2 ⁼S Zi > dt²                          dt²                  dt

которые обычно записывают в виде
тх = £ Xj; ту = £ Yₜ; mZ = ^ Zj


(2-2)

   Этот же результат может быть получен формальным проецированием векторного дифференциального уравнения (2,1) на координатные

оси.

   При естественном способе задания движения точки уравнения движения получаются проецированием векторного дифференциального уравнения (2.1) на естественные (подвижные) оси координат (Т ,п ,Ь ), которые образуют правую тройку координат:

                 ⁽ т ⁾: таТ =£ ^.;
                 (п ) : тап = £ Ры;
                 (b ): т 0 = £ Fib,

или

                  ,<² „
т8 = £ Fₕ; т— = £ Fiₙ Р

(2-3)

9

2.3. ДВЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

    Прямая задача. Задано движение (уравнения движения, траектория). Требуется определить силы, под действием которых происходит заданное движение.
(х, у) => v => а => F.

    Обратная задача. Заданы силы, под действием которых происходит движение. Требуется найти параметры движения (уравнения движения, траекторию движения).
(х, у) <= v <= а <= F.

    Обе задачи решаются с помощью основного уравнения динамики (2.1) и его проекций на координатные оси - уравнений (2.2) и (2.3). Если рассматривается движение несвободной точки, то, как и в статике, используется принцип освобождаемости от связей. В результате реакции связей включаются в состав сил, действующих на материальную точку.
    Решение первой задачи связано с операциями дифференцирования. Решение обратной задачи требует интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений, и это значительно сложнее, чем дифференцирование. Обратная задача сложнее прямой задачи.


2.4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ


   Силы, действующие на точку, могут быть постоянными, либо зави

сеть от времени, скорости, координат. Рассмотрим некоторые случаи.

   Пример 1. Сила постоянная, оси декартовы.

   Кабина лифта весом G поднимается тросом с ускорением а . Определить натяжение троса.
   Решение
   1)     Выбираем объект: кабина лифта движется поступательно, поэтому ее можно рассматривать как материальную точку весом G (в соответствии с теоремой о движении центра масс - см. пункт 3.2).
   2)     Отбрасываем связь (трос) и заменяем его реакцией R .


10

3)   Составляем векторное основное уравнение динамики (2.1): та = ^ Fi= G + R.
    4)   Проецируем это уравнение на ось движения у:
(у): тау = R - G.

   5)   Определяем отсюда реакцию троса на кабину:


              R = G + тау


= G +-а у = G
g

   6)   Натяжение троса противоположно реакции:

Т = - R;

Т = R = G

   7)     Частный случай 1 - равномерное движение кабины. Здесь ускорение нулевое ау = 0, и натяжение троса равно весу: Т = G.
   8)     Частный случай 2 - при обрыве троса Т = 0 и ускорение кабины равно ускорению свободного падения: ау =-g.
   Пример 2. Сила зависит от координат, оси декартовы.
   Точка массой т должна двигаться по горизонтальной поверхности (плоскости Оху) по эллипсу, т. е. согласно уравнениям: х = а cos kt, у = bsin kt. Определить силу, действующую на точку.
   Решение

   1)     Выбираем объект (материальную точку) весом G.
   2)     Отбрасываем связь (плоскость) и заменяем ее реакцией N.
   3)     Добавляем к системе сил неизвестную силу F.
   4)     Составляем векторное основное уравнение динамики (2.1):

та = ^ Fi= G + N + F.


   5)   Проецируем это векторное уравнение на оси х, у: (х): тх = Fx; (у): ту = Fу.

11

   6)   Определяем отсюда проекции силы:
Fₓ = тх = - так² cos kt = -тк² х;
Fy = ту = -тЬк² sin kt = -тк²у,


ее модуль


F = Ff² + Fy = тк² <Jx² + у² = тк² г


и направляющие косинусы:


F X х —                      XF      у
cos(F, х) = — = —; cos(F, у) = -^ =--------.
X г                   X г


   7)     Таким образом, величина силы пропорциональна расстоянию точки до центра координат и направлена к центру по линии, соединяющей точку с центром. Траектория движения точки представляет собой эллипс с центром в начале координат:

              ..2 „2    2
              х = а cos к; ’                 =>
               2    2-2
              у = b sin к.


    Пример 3. Сила постоянная, оси естественные.
    Груз весом G подвешен на тросе длиной I и движется по круговой траектории в горизонтальной плоскости с некоторой скоростью. Угол отклонения троса от вертикали равен а. Определить натяжение троса и


скорость груза.

   Решение
   1)     Выбираем объект (груз) и считаем его материальной точкой весом G.
   2)     Отбрасываем связь (трос) и заменяем его реакцией R .
   3)     Составляем основное векторное уравнение динамики (2.1):
та = ^ F' = G + R.


12