Уравнения с частными производными в примерах и задачах

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет математики, механики и компьютерных наук

А. Д. Алексеев
С. Н. Кудряшов
Т. Н. Радченко

УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Ростов-на-Дону

Издательство Южного федерального университета

2009

УДК
517.95

ББК
22.311
А 47

Рецензенты:

М. М. Цвиль, Р. В. Ведринский

Учебное пособие подготовлено и издано в рамках
национального проекта «Образование» по «Программе
развития федерального государственного образовательного
учреждения высшего и профессионального образования
«Южный федеральный университет на 2007–2010 гг.»

Алексеев А. Д., Кудряшов С. Н., Радченко Т. Н.

А 47
Уравнения с частными производными в примерах
и задачах: учебное пособие / А. Д. Алексеев, С. Н. Кудряшов, Т. Н. Радченко. — Ростов н/Д : Изд-во ЮФУ,
2009. — 80 с.

ISBN 978-5-9275-0609-5

Данное учебное пособие является результатом значительной переработки четырех методических указаний Алексеева А. Д., Радченко Т. Н., Рогожина В. С. и Хасабова Э. Г.,
опубликованных в УПЛ РГУ в 1992 году. Добавлено много новых задач, приведены подробные решения стандартных
задач. Расширена теоретическая часть.

Пособие будет полезно при изучении теоретического курса «Уравнения математической физики» студентами факультета механики, математики и компьютерных наук, физического факультета и факультета высоких технологий.

ISBN 978-5-9275-0609-5
УДК 517.95
ББК 22.311

c⃝
А. Д. Алексеев, С. Н. Кудряшов, Т. Н. Радченко, 2009
c⃝
Южный федеральный университет, 2009
c⃝
Издательство ЮФУ, 2009

Содержание

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Первый обучающий модуль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Классификация квазилинейных уравнений второго
порядка и приведение их к каноническому виду . . . . . 5

Проектное задание к первому модулю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Тест рубежного контроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Второй обучающий модуль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Общее решение дифференциальных уравнений . . . . . . . . . 24

Проектное задание ко второму модулю . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Тест рубежного контроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Третий обучающий модуль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Решение задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Проектные задания к третьему модулю . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Тест рубежного контроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Ответы к приведенным задачам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Ключи правильных ответов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3

Введение

В современной учебной литературе по курсу «Уравнения математической физики» (УМФ) ощущается разрыв между учебниками по теории и задачниками. Кроме того и те и другие рассчитаны на студентов с высокой математической подготовкой. В данном
пособии сделана попытка подготовить задачник по вводной части
в УМФ важному разделу дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, который бы учитывал специфику и объемы курса УМФ мехмата, физического факультета
и факультета высоких технологий ЮФУ. Помимо общей задачи
обеспечения теоретического курса, пособие содержит материалы
для самостоятельного обучения и контроля за текущей работой.
Широкое применение в процессе решений приводимых задач результатов дифференциального и интегрального исчисления, особенно функциональных рядов и приемов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений позволяют сохранить принцип непрерывности подготовки по общей математике.

Цель: Подготовить задачник по указанной теме с большим числом примеров разнообразной трудности.

Задачи: Научить студентов квалифицировать дифференциальные уравнения, приводить их к каноническому виду и находить
частные решения по начальным данным.

Методы: Приемы решений обыкновенных дифференциальных
уравнений, применение замены переменных со сложными подстановками.

Пособие состоит из трех модулей, каждый из которых заканчивается тестом рубежного контроля по двенадцать задач основных
типов в каждом.

4

Первый обучающий модуль

Классификация квазилинейных уравнений второго
порядка и приведение их к каноническому виду

Комплексная цель модуля:
Сообщить в доступной форме теоретический материал по квалификации дифференциальных
уравнений в частных производных. Передать методы определения
форм замен переменных, приводящих уравнения к каноническому
виду. По приведенным задачам проводить практические занятия и
контроль за усвоением материала.

Исследуется уравнение с частными производными второго порядка, неизвестная функция которого зависит от двух переменных, линейное относительно старших производных. Такое уравнение (в литературе его еще называют квазилинейным) записывается
в виде:

A∂2u

∂x2 + 2B ∂2u

∂x∂y + C ∂2u

∂y2 + f
x, y, u, ∂u

∂x, ∂u

∂y

= 0.
(1.1)

Ставится задача: провести квалификацию этого уравнения в области определения и привести к каноническому виду путем замены
независимых переменных. Замена определяется в процессе исследования. Основная цель модуля: на основании небольшого теоретического вступления и нескольких характерных примеров научить
студентов решать поставленные выше задачи.

В формуле (1.1) u = u(x, y) — искомая функция,

A = A(x, y),
B = B(x, y),
C = C(x, y),
f
x, y, u, ∂u

∂x, ∂u

∂y

— заданные функции, причем A, B, C в рассматриваемых областях
непрерывны вместе со своими производными.

Выражение ∆ = B2 − AC называется дискриминантом этого
уравнения. Если в некоторой области D плоскости xy выполняется
неравенство ∆ > 0, уравнение (1.1) называется гиперболическим

5

в этой области. При ∆ = 0 в области D уравнение (1.1) называется
параболическим, а при ∆ < 0 в D — эллиптическим в области D.

Заменой переменных x, y на новые ξ, η по формулам

ξ = ϕ1(x, y),
η = ϕ2(x, y)
(1.2)

при соответствующем выборе функций ϕ1(x, y), ϕ2(x, y) в каждом
из указанных трех случаев уравнение (1.1) может быть приведено
к так называемому каноническому виду, а именно, к виду

∂2u
∂ξ∂η = F
ξ, η, u, ∂u

∂ξ , ∂u

∂η

в случае гиперболического,

∂2u
∂2η = F
ξ, η, u, ∂u

∂ξ , ∂u

∂η

в случае параболического,

∂2u
∂2ξ + ∂2u

∂2η = F
ξ, η, u, ∂u

∂ξ , ∂u

∂η

в случае эллиптического урав
нения (при этом уравнение (1.1) часто заметно упрощается).

При осуществлении указанной замены переменных понадобится
выражение x и y через ξ и η, т. е. система уравнений (1.2) должна быть разрешимой относительно x и y. Известно, что условием
такой разрешимости является неравенство

∂(ϕ1, ϕ2)

∂(x, y)
= det

∂ϕ1
∂x
∂ϕ1
∂y
∂ϕ2
∂x
∂ϕ2
∂y

= det

∂ξ
∂x
∂ξ
∂y
∂η
∂x
∂η
∂y

̸= 0.
(1.3)

Поэтому при выборе функций ϕ1, ϕ2 мы должны заботиться о том,
чтобы в рассматриваемой области они удовлетворяли этому неравенству.

Для нахождения функций ϕ1(x, y), ϕ2(x, y), при которых замена переменных (1.2) приводит уравнение (1.1) к каноническому виду, составляется следующее обыкновенное дифференциальное уравнение
A dy2 − 2B dx dy + C dx2 = 0.
(1.4)

Оно называется характеристическим для уравнения (1.1).

6

Если A(x, y) ≡ C(x, y) ≡ 0 в области D, то B(x, y) ̸= 0 в D
(иначе уравнение (1.1) не является уравнением второго порядка
в этой области). Тогда уравнение (1.1) является гиперболическим
в указанной области и после деления на B(x, y) приобретает канонический вид. Поэтому в дальнейшем нас будут интересовать
случаи, когда в D или A ̸= 0, или C ̸= 0.

При A ̸= 0 уравнение (1.4) разрешается относительно dy и распадается на два уравнения

Ady − (B +
√

∆) dx = 0,
(1.51)

Ady − (B −
√

∆) dx = 0.
(1.52)

При C ̸= 0 уравнение (1.4) распадается на два уравнения

C dx − (B +
√

∆) dy = 0,
C dx − (B −
√

∆) dy = 0.

1) Пусть уравнение (1.1) в области D является гиперболическим (∆ > 0) и, для определенности A ̸= 0. Тогда уравнения (1.51)
и (1.52) различны и действительны. В этом случае для приведения
уравнения (1.1) к каноническому виду следует в формулах (1.2)
в качестве ϕ1(x, y) взять какой-нибудь интеграл уравнения (1.51),
а в качестве ϕ2(x, y) — какой-нибудь интеграл уравнения (1.52)
(или наоборот), так чтобы для них выполнялось неравенство (1.3).
Такой выбор интегралов указанных уравнений всегда возможен.

Если общее решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка разрешено относительно произвольной постоянной, то есть записано в виде равенства ϕ(x, y) = C, то это
равенство называется общим интегралом рассматриваемого уравнения, а входящая в него функция ϕ(x, y) — интегралом этого уравнения.

2) В случае параболического уравнения (∆ = 0) уравнения (1.51)
и (1.52) одинаковы и имеют вид:

A dy − B dx = 0.
(1.5)

7

В этом случае для приведения уравнения (1.1) к каноническому
виду в качестве одной из функций ϕ1(x, y), ϕ2(x, y) следует взять
какой-нибудь интеграл уравнения (1.5). Другую же из этих функций можно выбрать произвольно, но так, чтобы выполнялось неравенство (1.3) (можно показать, что в качестве этой другой функции
всегда годится или x, или y).

3) Если ∆ < 0 в области D, т. е. уравнение (1.1) эллиптическое
в этой области, то коэффициенты B ±
√

∆ в уравнениях (1.51) и
(1.52) комплексно сопряженные. Поэтому комплексно сопряжены и
интегралы этих уравнений. Для приведения уравнения (1.1) к каноническому виду в этом случае достаточно взять какой-нибудь
интеграл ϕ(x, y) любого из уравнений (1.51), (1.52) и в формулах
(1.2) положить

ϕ1(x, y) = Re ϕ(x, y),
ϕ2(x, y) = Im ϕ(x, y)

(или наоборот).

При замене переменных (1.2) производные функции u по старым переменным x, y, как известно из анализа, выражаются через
ее производные по новым переменным ξ, η по следующим формулам:
∂u
∂x = ∂u

∂ξ
∂ξ
∂x + ∂u

∂η
∂η
∂x,

∂u
∂y = ∂u

∂ξ
∂ξ
∂y + ∂u

∂η
∂η
∂y,

∂2u
∂x2 = ∂2u

∂ξ2

∂ξ

∂x

2
+ 2 ∂2u

∂ξ∂η
∂ξ
∂x
∂η
∂x +

+ ∂2u

∂η2

∂η

∂x

2
+ ∂u

∂ξ
∂2ξ
∂x2 + ∂u

∂η
∂2η
∂x2 ,
(1.6)

∂2u
∂y2 = ∂2u

∂ξ2

∂ξ

∂y

2
+ 2 ∂2u

∂ξ∂η
∂ξ
∂y
∂η
∂y + ∂2u

∂η2

∂η

∂y

2
+

+ ∂u

∂ξ
∂2ξ
∂y2 + ∂u

∂η
∂2η
∂y2 ,

8

∂2u
∂x∂y = ∂2u

∂ξ2
∂ξ
∂x
∂ξ
∂y + ∂2u

∂ξ∂η

∂ξ

∂x
∂η
∂y + ∂ξ

∂y
∂η
∂x

+

+ ∂2u

∂η2
∂η
∂x
∂η
∂y + ∂u

∂ξ
∂2ξ
∂x∂y + ∂u

∂η
∂2η
∂x∂y.

Подробное обоснование описанного метода можно найти, например, в книге: И. Г. Петровский. Лекции об уравнениях с частных производными. М., 1961.

Замечание 1. При нахождении функций ϕ1(x, y), ϕ2(x, y) полезно иметь в виду следующий известный из теории дифференциальных уравнений факт: если ϕ(x, y) есть интеграл уравнения
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (уравнения (1.51), (1.52), (1.5) именно
таковы), то Φ(ϕ(x, y)), где Φ(z) — любая дифференцируемая функция, также является интегралом этого уравнения.

Например, если ln(x + y − 5) является интегралом указанного
уравнения, то функция x + y также является интегралом этого
уравнения. В самом деле,

x + y = eln(x+y−5) + 5,

а функция Φ(z) = ez + 5 дифференцируема при любом z.

Замечание 2. Аналогичное рассуждение относится и к уравнениям параболического типа. Так, если ϕ(x, y) = c общий интеграл
уравнения (1.5), то в качестве замены берем

ξ = ϕ(x, y)

или
ξ = Φ(ϕ(x, y)),

где Φ(z) тоже, что и выше. Пусть, например, (1.5) записалось в виде

3x dy + y dx = 0.

Разделяя переменные, получим

dy
y = −dx

3x

9

или

ln |y| = −ln |x|

3
+ ln c.

Отсюда общий интеграл запишется в виде y 3√x = c. Но замена
ξ = y 3√x неудобна. Лучше ξ = (y 3√x)3 или ξ = y3x. При подстановке последней редакции ξ «хлопот» будет поменьше.

Для уравнения эллиптического типа изменять ϕ1(x, y) и ϕ2(x, y)
нельзя.Максимум допустимого умножить на −1 для удобства. Смотрите следующий пример 1.

Рассмотрим некоторые примеры задач.

Пример 1. Уравнение

y2 ∂2u

∂x2 + 2xy ∂2u

∂x∂y + 2x2 ∂2u

∂y2 + y∂u

∂y = 0
(1.7)

привести к каноническому виду в области x ̸= 0, y ̸= 0.

Имеем:
∆ = B2 − AC = x2y2 − 2x2y2 < 0

в указанной области. Следовательно, в этой области заданное уравнение является эллиптическим. Составляем для него характеристическое уравнение:

y2dy2 − 2xy dx dy + 2x2dx2 = 0.

Разрешая его относительно dy, получаем два уравнения:

y dy − (1 + i)x dx = 0 и y dy − (1 − i)x dx = 0.

Найдем интеграл какого-нибудь из этих уравнений (например, первого). Так как
−y2 + (1 + i)x2 = C

есть общее решение этого уравнения, его интегралом является комплексная функция

ϕ(x, y) = x2 − y2 + ix2.

10

Как указывалось выше, для приведения заданного уравнения к каноническому виду достаточно произвести замену переменных:

ξ = Re ϕ(x, y) = x2 − y2,
η = Im ϕ(x, y) = x2.
(1.8)

Легко видеть, что условие (1.3) для этих функций выполняется.
Производя замену (1.8), мы по формулам (1.6) получаем:

∂u
∂x = ∂u

∂ξ 2x + ∂u

∂η 2x,

∂u
∂y = −2y∂u

∂ξ ,

∂2u
∂y2 = −2∂u

∂ξ + 4y2 ∂2u

∂ξ2 ,

∂2u
∂x∂y = −4xy
∂2u

∂ξ2 + ∂2u

∂ξ∂η

,

∂2u
∂x2 = 2∂u

∂ξ + 2∂u

∂η + 4x2
∂2u

∂ξ2 + 2 ∂u

∂ξ∂η + ∂2u

∂η2

.

Подставив полученные выражения в (1.7) и заменив x и y на ξ и
η по формулам (1.8), мы приходим к следующему каноническому
уравнению
∂2u
∂ξ2 + ∂2u

∂η2 −
1

η − ξ
∂u
∂ξ + 1

2η
∂u
∂η = 0.

Проектное задание к первому модулю

Определить тип заданного уравнения в заданной области:

1.1. (y + 1)∂2u

∂x2 − 2 ∂2u

∂x∂y + x∂2u

∂y2 − ∂u

∂y = 0

в прямоугольнике 1 < x < 3, 0 < y < 1.

1.2. y∂2u

∂y2 + x∂2u

∂x2 + 2(x + y) ∂2u

∂x∂y = 0

в круге x2 + (y − 6)2 < 1.

11