Линейная алгебра. Часть I. Основы линейной алгебры: Учебно-методическое пособие для студентов I курса

Федеральное агентство по образованию 
Российская экономическая академия имени Г. В. Плеханова 
 
 
 
 
 
В. Г. ШЕРШНЕВ 
 
 
 
 
 
 
 
 
ЛИНЕЙНАЯ  АЛГЕБРА 
Часть I. Основы линейной алгебры 
 
Учебно-методическое пособие 
Издание второе, исправленное 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва  •  2007

 

 
ББК 22.1 
Ш49  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Шершнев В. Г.  
Ш49 Линейная алгебра. Часть I. Основы линейной алгебры: Учебнометодическое пособие для студентов I курса. −М.: Издательство «Менеджер», 2007 – 128 с. 
 
Данное пособие составлено на основе лекций, читаемых автором  на экономических факультетах РЭА им. Г. В. Плеханова. Содержит теоретический 
материал, задания для практических занятий в аудитории и для самостоятельного решения, а также контрольные задания по основным разделам линейной алгебры и аналитической геометрии. Приводится решение характерных заданий. Пособие соответствует программе по линейной алгебре для 
студентов, обучающихся по направлению 080100.62  «Экономика». 
 
 
 
ISBN 5-8346-0097-2 
 
© Шершнев В. Г., 2007 

СОДЕРЖАНИЕ 
 
1. N-мерные векторы и матрицы ……………………………………….. 
5
  1.1.  N-мерные векторы и действия над ними ………………………….... 
5
  1.2. Матрицы и действия над ними ………………………………………. 
7
  1.3. Задания для самостоятельного решения …………………………......
9
  1.4. Ответы …...……………………………………………………………..
13
2.  Системы линейных уравнений ……………………………………… 
15
   2.1. Линейное уравнение,  его решение ………………………………..... 
15
   2.2. Классификация систем линейных уравнений по количеству решений ………………………………………………………………………........ 
16
   2.3. Векторная  и  матричная  формы  записи систем  линейных уравнений  ………………………………………………………………………... 
16
   2.4. Разрешенная система уравнений. Общее, частное и базисное решения …………………………………………………………………………
17
   2.5. Элементарные преобразования систем линейных уравнений …......
19
   2.6. Преобразование Жордана. Формулы пересчета коэффициентов  
системы уравнений .………………………………………………………… 
20
   2.7. Алгоритм метода Жордана-Гаусса …………………………………..
21
   2.8. Теорема о решении однородной системы уравнений ……………... 
24
   2.9. Задания для самостоятельного решения …………………………….
24
   2.10. Ответы ……………………………………………………………......
26
3. Теория систем векторов ……………………………………………….. 
27
   3.1. Линейная зависимость векторов ……………………………………. 
27
   3.2. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов ………………………………………………………………………….
28
   3.3. Базис системы векторов ……………………………………………... 
29
   3.4. Алгоритм нахождения базиса системы векторов ………………...... 
33
   3.5. Базис как максимальная линейно независимая подсистема векторов …………………………………………………………………………. 
35
   3.6. N-мерное векторное пространство 
n
R ……………………………… 
35
   3.7. Задания для самостоятельного решения …………………………….
36
   3.8. Ответы  ………………………………………………………………...
37
4. Общая теория систем уравнений ……………………………………...
39
   4.1. Теорема Кронекера - Капелли о совместности системы уравнений 
39
   4.2. Фундаментальная система решений однородной системы уравнений …………………………………………………………………………… 
40
   4.3. Векторная форма записи общего решения неоднородной системы 
уравнений …………………………………………………………………… 
42
   4.4. Задания для самостоятельного решения …………………………….
44
   4.5. Ответы …………………………………………………………………
46
5. Обратная матрица ……………………………………………………… 
47
   5.1. Общее понятие об обратной матрице и способе её нахождения ..... 
47
   5.2. Необходимые и достаточные условия существования обратной  
матрицы ……………………………………………………………………... 
48

5.3. Алгоритм нахождения обратной матрицы ………………………….
50
   5.4. Решение матричных уравнений …………………………………….. 
51
   5.5. Задания для самостоятельного решения …………………………… 
52
   5.6. Ответы ………………………………………………………………... 
54
6. Определители …………………………………………………………… 
55
   6.1. Общее понятие об определителях ………………………………….. 
55
   6.2. Свойства определителей …………………………………………….. 
56
   6.3. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. 
Формулы Крамера ………………………………………………………….. 
58
  6.4.Использование определителей для нахождения обратной матрицы .
60
  6.5. Задача о межотраслевом балансе ……………………………………. 
62
  6.6. Задания для самостоятельного решения …………………………..... 
65
  6.7. Ответы ………………………………………………………………….
66
7. Собственные значения и собственные векторы матриц ………….. 
67
    7.1. Общее понятие о собственных значениях и собственных векторах 
матриц ……………………………………………………………………….. 
67
   7.2. Свойства собственных векторов ……………………………………. 
68
   7.3. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду ……….... 
70
   7.4. Задания для самостоятельного решения …………………………… 
72
   7.5. Ответы ………………………………………………………………... 
72
8. Квадратичные формы …………………………………………………. 
75
   8.1. Стандартный  вид  квадратичной формы …………………………... 
75
   8.2. Преобразование квадратичной формы при невырожденном  линейном преобразовании ……………………………………………………. 
76
   8.3. Канонический вид квадратичной формы …………………………... 
77
   8.4. Знакоопределённонность квадратичной формы ……………………
79
   8.5. Задания для самостоятельного решения …………………………... 
81
   8.6. Ответы …………………………………………………………………
82
9. Аналитическая геометрия …………………………………………….. 
83
   9.1. Координаты точки на плоскости и в пространстве ………………... 
83
   9.2. Уравнения прямой на плоскости ………………………………….....
85
   9.3. Уравнения плоскости и прямой в пространстве …………………… 
89
   9.4. Кривые второго порядка …………………………………………….. 
92
   9.5. Уравнения поверхностей в прямоугольной декартовой системе 
координат …………………………………………………………………….
98
   9.6. Задания для самостоятельного решения …………………………….
102
   9.7. Ответы …………………………………………………………………
107
10. Задания для контрольных работ …………………………………. ... 
109
 
 
 
 
 
 
 

1.  N-мерные векторы и матрицы 

1.1. N-мерные векторы и действия над ними 
Множество чисел 
n
u
u
u
  , . . . ,
 ,
2
1
, перенумерованное с помощью натуральных чисел и расставленных в порядке возрастания их номеров, называется числовой последовательностью. 
N-мерным вектором называется последовательность n чисел. Эти числа 
называются координатами вектора. Число координат вектора n называется 
размерностью вектора.  
Вектор записывают в виде строки или столбца. Например: 

(
)
n
a
,
a
,
a
A
 , . . . 
 
2
1
=
, 
(
)
n
a
,
a
,
a
a
 , . . . 
 2
1
=
, 
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
=

n
a

a
a

A
. . .
2
1
.  

Обычно обозначают 
(
)
0
0
0
 , . . . 
 ,
,
=
Θ
 – нулевой вектор, 
(
)
0
0
1
1
 , . . . 
 ,
,
E =
, 
(
)
0
1
0
2
 , . . . 
 ,
,
E
=
, ..., 
(
)
1
0
0
 , . . . 
 ,
,
En =
 – единичные векторы специального вида. 
Два вектора 
)
a
,
a
,
a
(
A
n
 , . . . 
 2
1
=
 и 
)
b
,
b
,
b
(
B
n
 , . . . 
 2
1
=
 равны между собой, 
если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие координаты 
равны, т. е.  А = В ⇔ 
i
i
b
a =
 i = 1, 2, …, n. 

Линейные операции над векторами 
К линейным операциям относятся умножение вектора на число и сложение векторов. 
1. Любой n-мерный вектор А можно умножить на любое число λ; при 
этом  все его координаты умножаются на это число,  
т. е. 
(
)
n
a
,
a
,
a
A
A
λ
λ
λ
λ
λ
 , . . . 
 
2
1
=
=
. 
2. Два вектора 
(
)
n
a
,
a
,
a
A
 , . . . 
 2
1
=
 и 
(
)
n
b
,
b
,
b
B
 , . . . 
 2
1
=
 одинаковой размерности можно сложить; при этом их соответствующие координаты складываются, т. е. 
(
)
n
n
b
a
,
b
a
,
b
a
B
A
+
+
+
=
+
 , . . . 
 
2
2
1
1
. 
Свойства линейных операций: 1) А + В = В + А;   2) (А + В) + С  = А+(В + С);             
3) λ (А + В) = λ А + λ В;     4) (λ + μ) А = λ А + μ А;    5) λ (μ  А) = (λ μ) А. 
Здесь А и В  − векторы, λ, μ  − числа. 
Пример 1.1. Решить уравнение  
2Х – 3А + 2В = 0, 
где А = (2, 4, 6), В = (1, 2, 3). 

Р е ш е н и е.   Х = 2
1 (3А − 2В) = 2
3 А − В =
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
=
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

−
−
−

=
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
−
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
=
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
−
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

6
4
2

3
9
2
6
1
3

3
2
1

9
6
3

3
2
1

6
4
2

2
3
. 

О т в е т: X = (2, 4, 6). 
Векторы А и В называются коллинеарными (параллельными), если  
А = λ В,   т. е. 
i
i
b
a
λ
=
 i = 1, 2, …, n.  Здесь λ − некоторое число. Если λ > 0, то 
считают, что направления векторов совпадают, λ < 0 − направления векторов 
противоположны. Данные равенства записывают в виде 

n

n
b

a

b

a

b

a
=
=
=
. . . 
2

2

1

1
. 

Скалярное произведение векторов 

Скалярным  произведением векторов   
(
)
n
a
,
a
,
a
a
 , . . . 
 2
1
=
 и  
(
)
n
b
,
b
,
b
b
 , . . . 
 2
1
=
   
называется величина, вычисляемая по формуле 

n
nb
a
b
a
b
a
b
a
+
+
+
=
⋅
  
...
 
2
2
1
1
 или 
∑
=
=
⋅
n

i
i
ib
a
b
a
1
. 

Модулем (длиной) вектора называется величина, равная 

a
a
a
⋅
=
 или   
  
∑
=
=
n

i
ia
a
1

2
. 

Вектор называется единичным, если 
1
=
a
. Единичный вектор обычно 
обозначают через e . 
Угол между векторами 
(
)
n
a
,
a
,
a
a
 , . . . 
 2
1
=
 и 
(
)
n
b
,
b
,
b
b
 , . . . 
 2
1
=
 находится 
по формуле 

b
a

b
a

⋅

⋅
=
ϕ
cos
  или  

2
2
2
2
1
2
2
2
2
1

2
2
1
1

...
...

...
cos

n
n

n
n

b
b
b
a
a
a

b
a
b
a
b
a

+
+
+
⋅
+
+
+

+
+
+
=
ϕ
. 

Условие перпендикулярности векторов a  и b имеет вид 

0
=
⋅b
a
 или 
0
2
2
1
1
=
+
+
+
n
nb
a
b
a
b
a
  
...
 
. 
Свойства скалярного произведения : 
1) 
a
b
b
a
⋅
=
⋅
;      2) 
c
b
с
a
с
b
a
⋅
+
⋅
=
⋅
+
)
(
;       3) (
)
b
a
b
a
b
a
λ
λ
λ
⋅
=
⋅
=
⋅
. 
Пример 1.2. Найти единичный вектор e , совпадающий по направлению 
с вектором a  = (1, –2, 2).  
Р е ш е н и е. Так как векторы коллинеарные, то 
a
λ
e =
, тогда 

a
λ
e
⋅
=
 и 
3
1

2
)
2
(
1

1
1

2
2
2
=
+
−
+
=
= a
λ
. Вектор e  совпадает по направ
лению с вектором a , поэтому 
3
1
+
=
λ
.  

Вектор 
(
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
−
=
=
3
2
,
3
2
,
3
1
2
,2
,1
3
1
3
1 a
e
. 

О т в е т: 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
3
2
,
3
2
,
3
1
e
. 

Пример 1.3. Найти вектор 
(
)
z
,y
,x
c =
, перпендикулярный векторам  

a  = (1, 2, 3) и  b  = (2, 3, 4), если 
6
=
с
. 
Р е ш е н и е. Используем условия перпендикулярности векторов 
0
=
⋅c
a
 
и 
0
=
⋅c
b
. Эти условия запишем в координатном виде и решим как систему 
уравнений относительно x, y, z. 

{
(
)
( )

(
)
(
).
,
2
,
;
3
2
2
3
2
 ,
2
,0
2
    
1
2
0
4
3
2
,0
3
2
  

z
z
z
c
z
z
z
z
y
x
z
y
z
y
z
y
x
z
y
x

−
=
=
−
−
−
=
−
−
=
−
=
=
−
−
×

−
×
=
+
+
=
+
+
+
 

 

Учитывая, что 
6
=
с
, найдем z. 
z
z
z
z
z
⋅
=
=
+
−
+
6
6
)
2
(
2
2
2
2
. 

 

1
 ,1
6
6
±
=
=
⇒
=
⋅
z
z
z
. 
(
)
1
2
1
1
,
,
c
−
=
, 
(
)
1
2
1
2
−
−
=
,
,
c
. 

 
О т в е т: 
(
)
1
2
1
1
,
,
c
−
=
, 
(
)
1
2
1
2
−
−
=
,
,
c
. 

1.2. Матрицы и действия над ними 

Матрицей размерности m × n называется таблица чисел (элементов), содержащая m строк и n столбцов.  
Матрицу записывают следующим образом: 
 

⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
=

mn
m
m

n
n

a
...
a
a
...
...
...
...
...
...
a
...
a
a
a
...
a
a

A

2
1

2
22
21
1
12
11
   или  
(
) (
)
n
...,
,
,
j
;
m
...,
,
,
i
a
A
ji
2
1
2
1
=
=
=
. 

 
В алгебраических выражениях часто используются специального вида 
матрицы, например, Θ – нулевая, D – диагональная, E – единичная 
 

⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
=
Θ

0
0
0

0
0
0
0
0
0

...
...
...
...
...
...
, 
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
=

n
d
...
....
...
...
...
...
d
...
d

D

0
0

0
0
0
0

2
1
, 
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
=

1
...
0
0
...
...
...
...
0
...
1
0
0
...
0
1
E
. 

 
Если в матрице А переставить соответствующие строки и столбцы местами, то получится матрица 
T
A , которую называют транспонированной матрицей А. Записывают  
 

⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
=

mn
n
n

m
m
T

a
a
a

a
a
a
a
a
a

A

...
...
...
...
...
...
...
...
...

2
1

2
22
12
1
21
11
 или 
(
) (
)
m
...,
,
,
i
;
n
...,
,
,
j
a
A
ji
T
2
1
2
1
=
=
=
  
. 

 

Например, 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
=
4
3
2
1
A
, 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
=
4
2
3
1
T
A
.  
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
=
6
3
5
2
4
1
B
, 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
=
6
5
4
3
2
1
T
B
. 

Если число строк и столбцов матрицы совпадает и равно n, то матрица 
называется квадратной n-го порядка. 
Две матрицы А и В одинаковой размерности равны, если все соответствующие элементы матриц равны, т. е. 
 
А = В ⇔ 
j
i
j
i
b
a
=
  (
)
n
...,
,
,
j
;
m
...,
,
,
i
2
1
2
1
=
=
. 

Линейные операции над матрицами 
1. Любую матрицу можно умножить на любое число; при этом все элементы матрицы умножаются на это число, т. е. 

(
)
j
ia
A
λ
λ
=
  (
)
n
...,
,
,
j
;
m
...,
,
,
i
2
1
2
1
=
=
. 

2. Две матрицы А и В одинаковой размерности можно сложить; при этом 
все соответствующие элементы матриц складываются, т. е. 
А + В = (
)
j
i
j
i
b
a
+
  (
)
n
...,
,
,
j
;
m
...,
,
,
i
2
1
2
1
=
=
. 

Свойства линейных операций:  1) А +В = В +А;  
2) (А +В) + С =А + (В +С);      3) (А + В)⋅λ = λ (А + В) = λ А + λВ;   
4) (λ + μ) А = λ А + μ А;          5) λ (μ А) = (λ μ) А. 
Здесь А и В  − матрицы, λ, μ  − числа. 

Пример 1.4. Найти матрицу  С = А + 2В, если 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
=
6
  
5
  
4
3
  
2
  
1
A
, 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
=
4
  
2
 3
2
   
0
    
1
B
. 

Р е ш е н и е. С = А +2В = 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
6
  
5
  
4
3
  
2
  
1
 + 2
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
4
  
2
 3
2
   
0
    
1
= 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
6
  
5
  
4
3
  
2
  
1
 + 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
8
   
4
  
6
4
   
0
     
2
 = 

=
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+
−
+
+
+
+
8
6
  
4
5
  
6
4
4
3
  
0
2
   
2
1
 = 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
14
  1
   
10
7
   
2
     
3
.  

 
Умножение матриц 
Две матрицы можно умножать, если число строк второй матрицы равно 
числу столбцов первой матрицы. При умножении матриц получается матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов 
равно числу столбцов второй матрицы. 
Элементы матрицы произведения С = А В находятся по формуле 

∑
=
=
l

k
kj
ik
ij
b
a
с
1
  ( i = 1, 2, …, m;  j = 1, 2, …, n), 

где  l – число строк второй и число столбцов первой матриц. 
Иначе можно сказать: элемент матрицы произведения 
ij
c , стоящий в i-й 
строке и j-м столбце равен скалярному произведению i-й строки первой матрицы и j-го столбца второй матрицы. 
Свойства умножения  матриц:  1) (А  В) С = А (В  С);   
2) (А + В) С =А С + В С;      3) А  ( В + С) = А В + А С;   
4) А   Е = Е  А = А;                5) 
T
T
T
A
B
АВ
=
)
(
. 

Пример 1.5. Найти 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
δ
γ
β
α
d
c
b
a
. 

Р е ш е н и е. 
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
+
+

+
+
=
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
δ
δ
δ
d
c
d
c

b
a
b
a

d
c

b
a
γ
β
γ
α

β
γ
α
β
α
. 

Пример 1.6. Найти 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
8
7
6
5
4
3
2
1
. 

 

Р е ш е н и е. 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
8
7
6
5
4
3
2
1
 = 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
=
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
50
43
22
19
8
4
6
3
7
4
5
3
8
2
6
1
7
2
5
1
. 

Пример 1.7. Найти 
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

−
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

4
0
1
3
0
1
2
1
1

9
8
7
6
5
4
3
2 
1
. 

Р е ш е н и е. 

=
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

−
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅

−
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

−
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

)
4
(
9
3
8
2
7
     
0
9
0
8
1
7
   
1
9
1
8
1
7
)
4
(
6
3
5
2
4
     
0
6
0
5
1
4
    
1
6
1
5
1
4
)
4
(
3
3
2
2
1
     
0
3
0
2
1
1
  
1
3
1
2
1
1

4
0 
1
3
 
0 
1
2
 
1
 
1

9
8
7
6
5
4
3
2
1
 

⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
−
−

=
2
  
7 
24
1
  
4
 
15
4
1
 
6
  
. 

В общем случае при умножении матриц их нельзя переставлять. 

Например, 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
=
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
=
⋅
3
7
1
3
0
1
1
1
4
3
2
1
В
А
; 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
=
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
=
⋅
2
1
6
4
4
3
2
1
0
1
1
1
А
В
. 

1.3. Задания для самостоятельного решения 

Найти вектор D: 
1.8. D = 3А + 2В – 3С, если  А = (1, 3, 2, 1), В = (2, –3, 4,–5), С = (2, 2, 4,–2).  
1.9. D  = 2А −3В +2С, если А = (2, −1, 3, 4), В = (1, 0, −2, 1), С = (1, 3, 1, −2). 
Решить векторное уравнение (найти Х): 
1.10. 3Х + 2А − 6В = Θ, где А = (−3, 6, 0, 9), В = (1, −1, 2, 4). 
1.11. 2А + 3В − 2Х = Θ, где А = (1, 2, 0, 7),  В = (6, −2, 4, −8).  
1.12. 4А + 5Х − В = Θ, где А = (4, 5, −7, 6), В = (1, −5, −3, 4). 
Найти значения x и  y, при которых векторы A и B коллинеарны: 
1.13. А = (2, x, 4), В = (4, 3, y).  1.14. А = (x, −3, y), В = (−3, 1 , 9). 
1.15.  A = (3, х, 9), B = (4, 12, y).     1.16.  A = (х, 2, 12), B = (6, 3, y).  
Найти скалярное произведение векторов: 
1.17. a =(3, −2, 1, 4, 0),  b =(2, 0, 3, 1, 4).  1.18. a =(5, 7, 3, 8),  b =(2, −1, −3, 1). 
Найти угол между векторами a   и  b : 
1.19. a  = (1, −1, 2, −2)   и  b  = (2, 1, 1, 2). 1.20. a  = (3, −4, 12),  b = (5, −12, 0).   
1.21. a  = (1, 1, 0),  b  = (0, 1, 1).  1.22. a  = (1, −1, 0, 1, 1),  b = (−1, −1, 1, 1, 0). 
При каком значении х  векторы a  и b  взаимно перпендикулярны:  
1.23. a  = (3, −3, х), b = (х, 2, −1).   1.24. a  = (5, х, −4), b = (6, 7, х). 
1.25.  Найти единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором 
a =
−
( ,2  
1, 2).  
1.26.  Найти единичный вектор, противоположный по направлению с вектором a = −
−
(
,3  4, 
12).  
Найти вектор c
x y z
= ( ,
, ), перпендикулярный векторам a  и b :  

1.27. a  = (1, 3, 5), b  = (2, 3, 2).      1.28. a  = (−3, 4, −7), b  = (2, −2, 5). 

1.29.  a = ( , , )
2 5 7 , b = ( , ,
)
3 8 10 , если c =
38 . 

1.30. a = ( , , )
1 2 3 , b = ( , , )
2 3 4 , если c =
6 . 

1.31.  Найти матрицу С = 4А – 2В, если  
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
=
4  3
3
  
2
A
,  
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
=
9  2
5
  
4
B
.                 

1.32.  Найти матрицу D = 3А + 2В –5Е, если  

⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
=
5
  4
4
  
3
A
, 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
=
6  4
8
  
2
B
, 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
=
1  0
0
  
1
E
. 

1.33. Найти матрицу D = 2А – 4В –5С, если  

⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛ −

=
7
   
0
   
2
1
 

4

3
A
, 
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
−
−

=
3
     
  
2
1
   

3
2
1
В
, 
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
−
=
3
   
1
  
1
1
    

2

2
С
. 

Найти произведение матриц:  

1.34. 
.
1  5
6  2
8  3
7
  
4
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛⋅
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
  1.35. 
.
6
  
5
2  1
4  3
3  2
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
⋅
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
   

1.36. Найти A
A
E
2
2
3
+
−
, где 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
=
3
2
2
1
A
, 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
=
1
0
0
1
E
. 

1.37. Найти A
B
2
2
−
 и (
) (
)
A
B
A
B
−
⋅
+
, где  
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
=
2  1
3
  
2
A
, 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
=
1
  2
0
  
1
B
. 

1.38. Найти (
)
A
B
A
AB
B
+
+
+
2
2
2
2
,
, где 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
=
3
  1
2
  
1
A
, 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
=
1 
 2
4
  
3
B
. 

Найти:  

1.39. 
.
4

2
1
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
3
   
 2
    
  1.40.  
.
8

1
1
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
0
     
 1
     
   1.41.  (1  2  3) 
.⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
⋅
6
5
4
  1.42. (3  4  7) 
.⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
⋅
6
2
5
 

1.43. 
⋅
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

6
5
4
(1  2  3).   1.44. 
⋅
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

9
7
3
(2  6  4).   1.45. 
⋅
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
6
  
5
  
 3
  
2
   
4
1
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

60
  
30
50
  
20
 
40
  
10
.   

1.46. 
⋅
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
7  5
   
 6  4
   
2
3
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

−
−
4
  
3
3
     
2
  
 2
     
1
   
.   1.47. 
⋅
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

6
   
2
4
   
 1
   
5
3
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
1
   
5
   
4 
3
   
1
   
2 
.  

1.48. 
⋅
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
−
−
6
     
2
  
7
  
3
 5
     
  4
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
−
4
  
3
  
2
7
     
 
    
3
  
5
.   1.49. 
⋅
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

−
−
−

1
  
5
   
3
  
4
   
 2
   
3
   

3
2
1

⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

9
   
5  
7
   
3
  
 6
   
4
  
 

2
0
1
.  

1.50. Найти A
A
E
2
5
2
−
+
, где 
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
=
3
   
0
   
0
1
   
2
   
0
 0
   
0
   
1
A
,  
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
=
1
   
0
   
0
0
   
1
   
0
 0
   
0
   
1
E
. 

Найти произведение матриц:  

1.51.  
.⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
⋅
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

−
−
−

7
   
2
   
5
   
4
    
 1
   
3
    

3
   
1
  
2
   
2
  
 4
   
3
  

3
1
2

4
6
2
   1.52.  
.⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

−
−
−
⋅
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

20
 
10
 
5
       
4
      
2
    
 9
       
8
      
    

3
   
6
    
4
   
2
    
 1
   
1
    

15

7

2
5
3
  

1.53.  
.⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
−
−
−

−
−
−

⋅
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

6
      
5
       
4
5
   
4
   
3
 4
   
3
   
2

5
   
  
4
   
  
 3
   
  

4
3
3
2
2
1
   1.54.  
.⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
−
−
−
⋅
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
−
−
−
6
1
2

4

6

3

    
     
  
7
 4
  
3
 5
    
2
     
  

1
    
9
     
  
4
 3
  
2
 7
    
5
    
   
  

1.55. 
.⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
⋅
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

1
   
1
   
1
   
   
   
   

7
   
  
6
   
  
 5
   
  
0
1
1
0
0
1

5
3
4
2
3
1
 1.56. 
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

7
   
  
6
   
  
 5
   
  

1
   
1
   
1
   
   
   
   

5
3
4
2
3
1
0
1
1
0
0
1
.
.  1.57. 
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

0
   
  
1
   
  
1
   
  

10
   
8
   
6
   
   
   
   

0
1
1
0
0
1
8
6
4
6
4
2
.
. 

1.58. 
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

9
   
  
6
   
  
 3
   
  

0
   
0
   
1
   
   
   
   

8
7
5
4
2
1
1
1
0
1
0
1
.
.  1.59. 
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

0
   
  
0
   
  
 2
   
  

3
   
0
   
0
   
   
   
   

0
4
3
0
0
0
0
2
0
0
0
1
.
.  1.60. 
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
⋅
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

3
   
0
   
0
   
   
   
   

0
   
  
0
   
  
 2
   
  
0
2
0
0
0
1

0
4
3
0
0
0
.   

 

1.61.  
.⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
⋅
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛⋅
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
3
      
2
  
 2
  
6
   
 3
   
1
   
 2
   
1
5
4
4
3
         1.62.  
.⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
⋅
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛⋅
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
 3
     
1 
 2
  
  
6
    
 0
   
2
    
 3
    
1
1
4
0
5
  

 

1.63. 
.⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
−
⋅
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

−

−

⋅
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

−
−
−

3 
   
1
  
5
5
 2
  
3
6
   
 2
  

1
 4
  
0
    
 2
  
2
 
3
  

3
 0
  
2
 2
  
3
 4
   
4

2
1
2

3
2
1
  1.64. 
.⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
⋅
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

−
−

−

⋅
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛

1
   
1  0
0
   
1
  
1
1
   
0
  

3
  
  
2
1
  
3
  
  
2 
  
3
 2 
  
1  

0  4  
6
  
0  
5  3
  
1
1
2
1
0

 

 

1.65. 
.
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
⋅
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛

−
−
−
−
−
−
−
−

4
    
5
    
6
    
3
    
4
    
5
    
2
    
3
    
4
    
 1
    
2
    
3
    

7
    
6
  
5
    
6
    
5
  
4
    
5
    
4
  
3
    
 4
    
3
  
2
    

7
6
5
4

4
3
2
1
    1.66. 
⋅
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛

4
   
3
   
2
   
3
   
3
   
2
   
2
   
2
   
2
   
 1
   
1
   
1
   

1
1
1
1
 
.
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛

4
    
3
    
2
    
3
    
3
    
2
    
2
   
2
    
2
    
 1
    
1
     
1
    

1
1
1
1
  

 

1.67.
.
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛

−
−
−
−

⋅
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛

7
 6
 5
 4
6
   
5
     
4
    
   
5
   
4
     
3
    
   
 4
    
3
     
2
    
   

13
   
1
   
9
    
11
    
    
7
    
9
     
    
5
    
 7
     
    
3
     

3
2
1

1
7
9
5
7
3
5
1
   1.68. 
.
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
⋅
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛

0
0
5
0
0

5
0
3
0
4
3
0
1

   
   
5
    
4
0
   
4
   
3
    
3
   
2
   
4
    
 1
    
3
   
0
    

4
   
   
0
   
5
   
   
4
   
0
   
   
2
   
 0
   
   
3
    
  

 
1.69. Отрасль состоит из n предприятий, выпускающих по одному виду продукции каждое. Количество продукции 
iy  i-го предприятия, предназначенной для реализации вне данной отрасли (объем конечного продукта) находится по формуле 

∑
=
−
=
n

j
j
ij
i
i
x
a
x
y
1
;  i = 1, 2, …, n,  

где 
ix  − количество продукции, выпускаемой  i-ым предприятием; 
ij
a  − доля 
продукции i-го предприятия, потребляемого j-м предприятием для обеспечения выпуска своей продукции объема 
j
x . 
В матричной записи эта формула имеет вид 
(
)
y
x
A
E
=
−
,  

где 
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
=

1
...
0
0
...
...
...
...
0
...
1
0
0
...
0
1
E
, 
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
=

nn
n
n

n
n

a
a
a

a
a
a
a
a
a

A

...
...
...
...
...
...
...
...
...

2
1

2
22
21
1
12
11
, 

⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
=

n
x

x
x

x
. . .
2
1
, 

⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜

⎝

⎛
=

n
y

y
y

y
. . .
2
1
. 

Используя матричную запись, вычислить вектор y  объемов конечного 
продукта предприятий отрасли, состоящей из трех предприятий (n = 3). 
 
Вариант а  

⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
=
0,3
  
0,2
   
0,1
0,5
   
0,2
   
3,0
0,3
   
0,1
   
4,0
A
;  
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
=
200
300
400
x
. 

 
Вариант б  

⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
=
0,5
  
0,4
   
0,3
0,4
   
0,3
   
2,0
0,2
   
0,2
   
1,0
A
;  
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
=
400
300
200
x
. 

1.70. Предприятие ежедневно расходует четыре вида сырья A, B, C, D для изготовления четырех видов изделий, производственно-экономические показатели которых приведены в табл. 1.1 и 1.2 (варианты а и б) 
 
Т а б л и ц а  1.1 (вариант а) 

 
Расход сырья, кг/изд. 

 
Вид 
изделия 
A 
B 
C 
D 

 
Время изготовления, ч/изд. 

 
Прибыль, 
ден.ед./изд. 

 
Количество 
изделий 

1 
3 
2 
4 
2 
3 
100 
100 

2 
5 
1 
6 
1 
5 
300 
50 

3 
4 
3 
5 
2 
4 
200 
40 

4 
2 
1 
7 
1 
2 
50 
150 

 
 
Т а б л и ц а  1.2 (вариант б) 

 
Расход сырья, кг/изд. 

 
Вид 
изделия 
A 
B 
C 
D 

 
Время изготовления, ч/изд. 

 
Прибыль, 
ден.ед./изд. 

 
Количество 
изделий 

1 
5 
3 
1 
15 
6 
150 
200 

2 
6 
6 
8 
20 
8 
400 
100 

3 
4 
9 
7 
25 
4 
300 
150 

4 
8 
4 
3 
20 
2 
200 
100 

 
Записать: матрицу А затрат сырья, вектор x   количества производства 
изделий, вектор t   затрат рабочего времени, вектор p   прибыли. Используя 
произведения векторов и матриц, определить:  
1) общие затраты сырья на каждый  вид изделий  
)
,
,
,
(
4
3
2
1
s
s
s
s
si =
  и  
по  всем  видам  изделий  вместе 
сум
S
 = 
4
3
2
1
s
s
s
s
+
+
+
;  
2) общие затраты предприятием каждого вида сырья на все изделия каждого вида 
)
s
,
s
,
s
,
s
(
s
D
C
B
A
ABCD =
;  
3) общие затраты рабочего времени Т;  
4) общую прибыль предприятия Р. 
 
1.71. Пять предприятий выпускают четыре вида изделий. При этом используются три вида сырья. Данные о производительности предприятий и затратах сырья приведены в табл. 1.3 и 1.4 (варианты а и б) 
Т а б л и ц а 1.3 (вариант а) 
Производительность предприятия №, 
изд./день 

 
Затраты сырья №, кг/изд.

 
Вид 
изделия 
1 
2 
3 
4 
5 
1 
2 
3 

1 
5 
3 
7 
0 
10 
1 
4 
3 

2 
3 
7 
3 
5 
0 
2 
5 
5 

3 
0 
5 
4 
6 
15 
3 
6 
7 

4 
6 
2 
0 
8 
10 
5 
8 
2 

 Цена сырья, ден.ед./кг→
10 
20 
15