Теоретические основы электротехники в примерах и задачах. Ч. 2. Линейные электрические цепи однофазного синусоидального тока

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.Ю. НЕЙМАН

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 

ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ 

В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Часть 2

Линейные электрические цепи 

однофазного синусоидального тока

Утверждено

Редакционно-издательским советом университета 

в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2009

УДК 621.3.011.71(075.8)

Н 46

Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. А.В. Сапсалев,
канд. техн. наук, доц. Ю.В. Петренко

Работа подготовлена на кафедре теоретических основ электротехники

для студентов дневного и заочного отделений

электротехнических специальностей

Нейман В.Ю.

Н 46
Теоретические основы электротехники в примерах и задачах. 

Ч. 2. Линейные электрические цепи однофазного синусоидального тока : учеб. пособие / В.Ю. Нейман. – Новосибирск : Изд-во 
НГТУ, 2009. – 150 с.

ISBN 978-5-7782-1225-1

В пособии на значительном количестве примеров решения типовых 

задач рассматриваются методы расчета линейных электрических цепей
однофазного синусоидального тока. Предлагаются аналогичные задачи 
для самостоятельного решения с ответами.

Показаны приемы использования персонального компьютера для 

автоматизации расчетов электрических цепей.

Структура и содержание пособия соответствуют программе курса 

«Теоретические основы электротехники» для электротехнических специальностей вузов.

Предназначено для самостоятельной работы студентов, а также 

может быть полезно преподавателям при организации учебного процесса.

УДК 621.3.011.71(075.8)

ISBN 978-5-7782-1225-1
©  Нейман В.Ю., 2009
© Новосибирский государственный 

технический университет, 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ..............................................................................................
4

1. Расчет по мгновенным значениям синусоидального тока, на
пряжения..........................................................................................
5

2. Расчет по амплитудным и действующим значениям синусои
дальных токов и напряжений с помощью векторных диаграмм 
и методом проводимостей..............................................................
12

3. Основы символического (комплексного) метода ........................
29

4. Расчет разветвленных цепей  синусоидального тока символи
ческим (комплексным) методом....................................................
41

5. Методы расчета цепей синусоидального тока .............................
56

6. Расчет резонансных режимов в цепях однофазного синусои
дального тока...................................................................................
76

7. Расчет индуктивно связанных электрических цепей...................
88

8. Энергетические расчеты в цепях однофазного синусоидально
го тока ..............................................................................................
108

9. Применение математической программной среды MathCAD

для расчета линейных цепей однофазного синусоидального 
тока...................................................................................................
129

Библиографический список ...............................................................
145

Приложение.........................................................................................
146

ВВЕДЕНИЕ

Цель пособия – оказать помощь студентам, изучающим курс теоре
тических основ электротехники, в их самостоятельной работе. 

Усвоение материала одного из разделов курса «Линейные электри
ческие цепи однофазного синусоидального тока» становится возможным только с приобретением практических навыков, получаемых в 
процессе решения задач.

Так же как и первая часть пособия, вторая состоит из отдельных 

задач, разбитых по темам в соответствии с программой курса. Часть 
задач рассмотрена с решением. В задачах, приведенных для самостоятельного решения, даны только ответы.

По каждой из задач изложен подробный алгоритм расчета, который 

поясняется на примере четырех и более задач с решениями.

Приведенные примеры расчета электрических цепей соответствуют 

типовым задачам, которые могут оказаться полезными при подготовке 
к практическим занятиям и выполнении домашних заданий, а также 
при подготовке к экзаменам, обладают требуемой сложностью и трудоемкостью.

В качестве помощи студентам в изучении дисциплины рассмотре
ны приемы работы на компьютере с целью автоматизации расчетов 
электрических цепей в среде MathCAD. Предполагается, что учащийся 
имеет начальное представление о математическом пакете MathCAD из 
пройденного курса информатики. Это позволяет переложить выполнение рутинных математических расчетов при решении систем алгебраических уравнений на компьютер.

При решении задач  широко используются матричные методы.

1.   РАСЧЕТ ПО МГНОВЕННЫМ ЗНАЧЕНИЯМ 

СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА, НАПРЯЖЕНИЯ

Для электрических цепей, в которых значения и направления на
пряжения и тока периодически изменяются во времени по синусоидальному закону и имеют одинаковую частоту, операции  сложения, 
вычитания, дифференцирования и интегрирования  можно производить, пользуясь аналитическими формулами преобразования тригонометрических функций.

Задача 1.1

Мгновенные значения тока и напряжения на входе двухполюсника  

(рис. 1.1) равны:

о
120sin 314
50
В
u
t
,

о
60sin 314
35
А
i
t
.

Построить кривые изменения напряжения и тока во времени. Оп
ределить сдвиг фаз между напряжением и  током, период, частоту,  
амплитудные и действующие значения величин. Определить мгновенные значения на момент времени 
0
t
.

Решение

1. Синусоиды напряжения и тока изображены на рис. 1.2.
2. Угол сдвига между  фазами напряжения и тока

о
о
о
50
35
85
u
i
.

Рис. 1.1
Рис. 1.2

3. Период

2
2
0,02 с
314
T
.

4. Частота

1
1
50 Гц
0,02
f
T
.

5. Амплитудные значения величин:

120 В
m
U
,   
60 А
m
I
.

6. Действующие значения величин:

120
84,9 В

2
2

m
U
U
,

60
42,43 А

2
2

m
I
I
.

7. Мгновенные значения напряжения и тока  в момент 
0
t
:

о
120sin50
91,92 В
u
,

о
60sin
35
34,42 А
i
.

50

100

150

0
o
180
o
360
o
540

t

, 
u i

u

i

m
U

m
I

П

i

u

Задача 1.2

Токи 
в 
узле 
разветвленного 
участка 
схемы 
(рис. 
1.3): 

о

1
20,6sin
60
А
i
t
, 
о

2
15,3sin
45
А
i
t
. Определить ампли
тудное значение и начальную фазу тока 3i , записать выражение его 
мгновенного значения. 

Решение

1. На основании первого закона Кирхгофа для узла схемы (рис. 1.3) 

мгновенное значение тока 3i

о
о

3
1
2
3
3
20,6sin
60
15,3sin
45
sin
m
i
i
i
t
t
I
t
.

Непосредственное суммирование гармонических функций времени 

связано с тригонометрическими преобразованиями.  Выполним операцию сложения заданных токов 1i и  2i
по правилу сложения векторов 

(рис. 1.4).

Результирующий вектор, соответствующий амплитуде тока 
3m
I
, 

найдем как диагональ параллелограмма. По теореме косинусов

2
2

3
1
2
1
2
1
2
2
cos
m
m
m
m
m
I
I
I
I
I
=

2
2
о
о
20,6
15,3
2 20,6 15,3cos 60
(
45 )
22,3 А .

Рис. 1.3
Рис. 1.4

1m
I

2m
I

3m
I

3

2

1

0

1i

2i

3i

2. Из диаграммы (рис. 1.4) начальная фаза тока

1
1
2
2

3

1
1
2
2

sin
sin
arctg
cos
cos

m
m

m
m

I
I

I
I

о
о

о

о
о

20,6sin60
15,3sin
45

arctg
arctg(0,332)
18,4

20,6cos60
15,3cos
45

.

3. Мгновенное значение тока

о

3
22,3sin
18,4
А
i
t
.

Задача 1.3

По цепи (рис. 1.5) протекает синусоидальный ток с амплитудным 

значением 
2,5 А
m
I
, частотой 
50 Гц
f
и начальной фазой 
о
15
i
. 

Определить мгновенные значения напряжений на резисторе 
r
u
t , ин
дуктивности 
L
u
t
и 
конденсаторе 
C
u
t , 
если 
100 Ом
r
, 

0,064 Гн
L
, 
53 мкФ
С
. Построить кривые изменения напряжений 

во времени.

Решение

1. Расчет проведем по мгновенным значениям.  Мгновенное значе
ние тока в цепи

о
sin
2,5sin 314
15
А
m
i
i t
I
t
t
,

где  
1
2
2
50
314 с
f
.

2. Напряжение на сопротивлении  определим по закону Ома:

о
250sin 314
15
В
ru
t
ri t
t
.

Рис. 1.5
Рис. 1.6

3. Мгновенное значение напряжения на индуктивности:

( )
sin
cos
L
m
i
m
i

di t
d
u
t
L
L
I
t
LI
t
dt
dt

о
sin
314 0,064 2,5sin 314
15
2
2
m
i
LI
t
t

о
50,2sin 314
105
В
t
.

4. Мгновенное  значение напряжения на конденсаторе: 

1
1
sin
C
m
i
u
t
i t dt
I
t
dt
C
C

1

1
cos
m
i
I
t
C
C
1

1
sin
2
m
i
I
t
C
C

о
о

6

1
2,5sin 314
15
150,2sin 314
75
В
2
314 53 10

t
t
.

Постоянная интегрирования 
1
0
С
, так как при синусоидальном 

токе и установившемся процессе напряжение на конденсаторе не имеет постоянной составляющей. 

5. Кривые изменения напряжений 
r
u
t , 
L
u
t
и 
C
u
t приведены 

на рис. 1.6.

o
180
o
360

( ), B
u t

t

125

250

0

125

250

r
u

L
u

C
u
i

u

r

L

C
C
u

r
u

L
u

Задача 1.4

Мгновенное значение напряжения на индуктивности составляет 

о
141sin
20
В
L
u
t
(рис. 1.7). Записать выражение мгновенного 

значения входного напряжения, если частота источника 
100 Гц
f
, 

42 Ом
r
, 
0,05 Гн
L
.

1. Мгновенное значение тока в цепи (рис. 1.7):

1

1
1
sin
L
L
Lm
i t
i
t
u
t dt
U
t
dt
L
L

1
1
1
1

1
1
cos
sin
2
Lm
Lm
U
t
C
U
t
C
L
L

о
о
1
141sin 628
20
4,5sin 628
70
А
628 0,05
2
t
t
,

где 
1
2
2
100
628 с
f
, 
1
0
С
, так как при синусоидальном 

напряжении и установившемся процессе ток через индуктивность не 
имеет постоянной составляющей.

Обозначим 
o

2
70 начальную фазу при токе.

2. Мгновенное значение напряжения на сопротивлении:

о
о
42 4,5sin 628
70
189sin 628
70
В
ru
t
ri t
t
t
.

Рис. 1.7
Рис. 1.8

2

1

0

Lm
U

rm
U

m
U
i

u

r
L

r
u
L
u

По правилу сложения векторов (рис. 1.8) с использованием триго
нометрических преобразований результирующий вектор, соответствующий амплитуде входного напряжения 
m
U , полагая, что угол меж
ду векторами составляет 
о
90 , определим как

2
2
2
2
189
141
235,8 В
m
rm
Lm
U
U
U
.

Из диаграммы (рис. 1.8) получаем начальную фазу входного на
пряжения

1
2

1
2

sin
sin
arctg
cos
cos

Lm
rm

Lm
rm

U
U

U
U

о
о

о

о
о

141sin 20
189sin
70

arctg
arctg
0,656
33,3

141cos20
189cos
70

.

Выражение для мгновенного значения входного напряжения

о
sin
235,8sin 628
33,3
В
m
u t
U
t
t
.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.5. В последовательной цепи переменного тока действу
ет два напряжения: 
о

1
20sin
80
В
u
t
, 
о

2
40sin
15
В
u
t
.  Оп
ределить мгновенное значение напряжения на входе цепи.

О т в е т:
о
51,7sin
35,5
В
u
t
.

Задача 1.6. Мгновенные значения токов в разветвленных ветвях 

схемы 
равны 
о

1
1,6sin
15
А
i
t
, 
о

2
0,6sin
60
А
i
t
, 

о

3
1,2sin
40
А
i
t
. Записать выражение для мгновенного значения 

тока в неразветвленной части схемы.

О т в е т:
о
2,9sin
17,6
А
i
t
.