Геометрия и графика, 2017, № 1

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации 
средства массовой информации
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель: 
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, 
д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501) 
Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru
http://www.infra-m.ru

Главный редактор:
Ищенко А.А., д-р хим. наук, профессор Московский 
технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ)

Выпускающий редактор: 
Склянкина Д.С.

Отдел подписки: 
Назарова М.В.
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 249
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2017

Подписано в печать 19.03.2017. 
Формат 60x90/8. Бумага офсетная.
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru 
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

Графский О.А., Усманов А.В., Холодилов А.А. 
Графоаналитические исследования инволюции  . . . . . .3

Кокарева Я.А. 
Конструирование каналовых поверхностей 
с переменной образующей и плоскостью 
параллелизма на основе эквиаффинных 
преобразований плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

Короткий В.А.
Квадратичное кремоново соответствие плоских 
полей, заданное мнимыми F-точками  . . . . . . . . . . . . . . . .21

Гирш А.Г.
Поверхность от вращения окружности . . . . . . . . . . . . . . .32

Селиверстов А.В.
О поиске особых точек алгебраической кривой . . . . .36

Брылкин Ю.В.
Рационализация алгоритма моделирования 
поверхности методом броуновского движения 
по критерию минимизации количества итераций . . . .43

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ

Константинов А.В.
Технический рисунок в изучении основ 
изобразительной грамоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51
Харах М.М., Козлова И.А., Славин Б.М., 
Славин Р.Б., Гусева Т.В.
Элементы теории параметризации 
и параметрические чертежи в «КОМПАС-График» . . . .64

МЕТОДИКА ПОДГОТОВКИ И ПРОВЕДЕНИЯ 
ОЛИМПИАД

Серегин В.И., Иванов Г.С., Боровиков И.Ф.
Научно-методические вопросы подготовки 
студентов к олимпиадам по начертательной 
геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

2017. Том 5. Вып. 1
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
Московского технологического университета, 
Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) им. 
В.И. Сурикова, Омского государственного технического университета (ОмГТУ), Московского 
государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2017. Vol. 5. Issue 1
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 

ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, про
фессор. 

 Российский химико-технологический университет име
ни Д.И. Менделеева (Россия).

     D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 

Moscow (Russia).

Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
 Тульский государственный университет, Тула (Россия).
 Tula State University, Tula (Russia).

Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор, 

кавалер ордена и медали Франциска Скорины. 
Витебский государственный университет имени 
П.М. Машерова (Беларусь).

 Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).

Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, про
фессор.

 Санкт-Петербургский государственный университет 

телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).

 Saint-Petersburg State University of Telecommunications, 

St. Petersburg (Russia).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, 

доцент.

 Московский технологический университет, институт 

тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия).

 Moscow Technological University (Russia).

Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, 

University of Kassel, Kassel (Germany).

Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, про
фессор.

 Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ 

им. В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).

 Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 

Simferopol (Russia).

Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
 Московский государственный технический университет 

имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, про
фессор. 

 Московский технологический университет, институт 

тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 

 Moscow Technological University (Russia).

Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, про
фессор. 

 Московский технологический университет, институт 

тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 

 Moscow Technological University (Russia).

Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
 Софийский технический университет, София (Болгария).
 Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).

Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, про
фессор. 

 Институт физической химии и электрохимии им. 

А.Н. Фрумкина Российской академии наук, Москва (Россия).

 Institute of Physical Chemistry and Electrochemistry named 

after A.N. Frumkin of the Russian Academy of Sciences, 
Moscow (Russia).

Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, 

Lev Institute-JCT, Jerusalem (Israel).

    Ariel University, Science Park, Ariel (Israel).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
 Московский государственный университет геодезии и 

картографии, Москва (Россия).

 Moscow State University of Geodesy and Cartography, 

Moscow (Russia).

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов 
публикуемых материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к 
авторским материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать 
тексты и вносить в рукописи необходимую стилистическую правку 
без согласования с авторами. Поступившие в редак цию материалы 
будут свидетельствовать о согласии авторов принять требования 
редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения 
редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Ротков Сергей Игоревич, д-р техн. наук, профессор. 
 Нижегородский государственный архитектурно-строитель
ный университет, Нижний Новгород (Россия). 

 Nizhny Novgorod State Architectural and Construction University, 

Nizhny Novgorod (Russia).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
 Московский государственный академический художест
венный институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia).

Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University 

Innsbruck, Innsbruck (Austria).

Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology, 

Vienna (Austria).

Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
 Пермский национальный исследовательский политехни
ческий университет, Пермь (Россия).

 Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).

Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
 Московский государственный технический университет 

имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Weiss Günter,  Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 

(Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профес
сор. Московский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ), гл. редактор 
(Россия).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 

Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова, первый зам. гл. 
редактора (Россия).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, 

доцент. Московский технологический университет, институт тонких химических технологий (МИТХТ), зам. гл. 
редактора (Россия).

Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 

Московский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ), ответственный 
секретарь (Россия).

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
 
Омский государственный технический университет, Омск 
(Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 

Московский государственный университет геодезии и 
картографии (Россия).

Рустамян Вячеслав Владимирович, старший преподава
тель. Московский технологический университет. Институт 
тонких химических технологий (МИТХТ).

GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 1. 3–11                                                                  ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2017

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

УДК 514.1                                             DOI: 10.12737/25118

О.А. Графский 
Д-р техн. наук, доцент,
Дальневосточный государственный университет 
путей сообщения,
Россия, 680021, Хабаровск, ул. Серышева, 47
А.В. Усманов 
Преподаватель,
Дальневосточный государственный университет 
путей сообщения,
Россия, 680021, Хабаровск, ул. Серышева, 47
А.А. Холодилов
Преподаватель
Дальневосточный государственный университет 
путей сообщения, 
Россия, 680021, Хабаровск, ул. Серышева, 47

Графоаналитические 
исследования инволюции 

Аннотация. Рассматриваются известные проективные пре
образования, а именно частные их виды, такие как гармонизм 
и инволюция. Известно, что проективные преобразования 
являются коллинеарными, при их выполнении сохраняется 
порядок, сложное отношение четверок элементов (на прямой 
линии — сложное отношение четырех точек, в пучке прямых — 
сложное отношение четырех прямых этого пучка, аналогично 
сохраняется это свойство (инвариант) и для пучка плоскостей, 
т.е. при рассмотрении форм первой ступени). 

При конструктивном подходе к таким преобразованиям 

имеется несколько способов определения положения соответственных элементов, которыми пользуются студенты при 
изучении дисциплины «Аффинная и проективная геометрия» 
по профилям подготовки 09.03.01 «Системы автоматизированного проектирования» и 09.03.03 «Прикладная информатика в дизайне». Полученные построения проверяются аналитическими вычислениями исходя из известных зависимостей 
для гармонизма и инволюций. При этом аналитически сравниваются результаты как для ряда точек, так и для пучка 
прямых, которые проходят через эти точки. 

Предусмотренная расчетно-графическая работа содержит 

три раздела: «Перспективность», «Гармонизм» и «Инволюция» 
и выполняется студентами по индивидуальным вариантам с 
применением по желанию графического редактора Microsoft 
Visio или графического пакета КОМПАС.

В настоящей статье рассматриваются некоторые постро
ения в определении соответственных точек в эллиптической 
и гиперболической инволюции, часть из них публикуется 
впервые. Кроме того, сформулировано положение: в прямоугольной системе координат произведение координат двух 
точек пересечения окружности с одной осью координат равно произведению координат двух других точек пересечения 
этой окружности с другой координатной осью. Это положение 
справедливо и для мнимых точек пересечения окружности с 
осями координат.

Ключевые слова: проективные преобразования, гармонизм, 

гиперболическая и эллиптическая инволюция, сложное отношение четырех точек, квадратичное отображение.

О.А. Grafsky
Doctor of Engineering, Associate Professor,
Far Eastern State Transport University, 
47, Seryshev Str., Khabarovsk, 680021, Russia

А.V. Usmanov
Lecturer,
Far Eastern State Transport University, 
47, Seryshev Str., Khabarovsk, 680021, Russia

А.А. Kholodilov
Lecturer,
Far Eastern State Transport University, 
47, Seryshev Str., Khabarovsk, 680021, Russia

Graphic-Analytical Researches of Involution

Abstract. Known projective transformations, namely their pri
vate types such as harmonism and involution are considered. It is 
known that projective transformations are collinear, at their performance the order, the cross ratio of fours of elements (on a straight 
line — the cross ratio of four points, in a bunch of straight lines — the 
cross ratio of this bunch’s four straight lines, this property (invariant) is similarly preserved for a bunch of planes, i.e. in considering 
of first step forms) is preserved.

At a constructive approach to such transformations there are 

some ways for definition of position for corresponding elements 
which students use when studying discipline "Affine and projective 
geometry" on preparation profiles 09.03.01 — “CAD Systems" and 
09.03.03 — “Applied Informatics in Design”. The received constructions are checked by analytical calculations, proceeding from 
known dependences for harmonism and involutions. In such a case 
results both for a range of points, and for a bunch of straight lines 
which pass through these points are analytically compared.

The provided computational and graphic work contains three 

sections: prospects, harmonism and involution, and is carried 
out by students on individual options with application of the 
graphic editor Microsoft Visio or the graphic package COMPAS 
voluntary.

In the present paper some constructions in definition of cor
responding points in elliptic and hyperbolic involution are considered, some of these constructions are published for the first 
time. Besides, a proposition has been formulated: in a rectangular coordinate system the work for coordinates of two points related to a circle intersection with one coordinate axis is equal to 
the product for coordinates of two other points related to this 
circle intersection with the other coordinate axis. This proposition 
is fairly for imaginary points of circle intersection with coordinate 
axes as well.

Keywords: projective transformations; harmonism; hyper
bolic and elliptic involution; cross ratio of four points; quadratic 
map.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2017 
GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 1. 3–11

Известно, что инволюция (рассматриваются, на
пример, два совмещенных проективных ряда соответственных точек на прямой линии — инволюционный ряд точек) бывает трех типов [2; 3; 9–11; 21]: 
• гиперболическая, когда две двойные точки явля
ются действительными;

• эллиптическая, здесь две двойные точки являют
ся мнимыми; 

• параболическая, в этом случае имеем две совпав
шие двойные точки. 
В первом и втором случаях двойные точки рас
полагаются симметрично относительно центра инволюции, который можно рассматривать и как начало координат для фиксирования места расположения соответственных точек. Только в первом 
случае расстояние от центра инволюции O до двойных точек равно «+a» и «–a», во втором случае соответственно «+ai» и «–ai», где i — мнимая единица. 
В третьем случае для параболической инволюции это 
расстояние равно нулю, так как двойная точка (две 
совпавшие) располагается в центре инволюции O. 

При графическом решении задачи студенты поль
зуются известными способами, например [3; 21]. 
В случае гиперболической инволюции имеет место 
гармоническое расположение точек. И студенты чаще 
всего применяют способ подобных треугольников 
(рис. 1). 

Рис. 1

Реже применяют свойства полного четырехуголь
ника (рис. 2). Эти два рисунка приведены в известной 
литературе и в комментарии их построения не нуждаются.

Рис. 2 

Другими известными способами студенты вовсе 

не пользуются [2; 4; 21]. 

В аналитической проверке построений, посколь
ку имеет место гармоническое отношение пар точек, 
применяется выражение сложного отношения четырех точек [3; 11; 21]: 

λ =
′
(
) = (
)

′
(
)
=
⋅
′
⋅
′
= −
AABB
AAB

AAB

AB AB
AB AB
1.
(1)

Здесь A  и A — базисные (основные) точки, ко
торые являются двойными, соответственные точки 
B и B′ — делящими.

При определении центра инволюции вычисления 

упрощаются. В соответствии с рис. 1 и 2 введем обозначения: OA
a
= − , OA = a, при этом OA
OA
a
(
) = (
) =
2
2
2,

OB = b, OB′ = c. Тогда имеет место известное выражение [2; 3; 11; 21]: 

OB
a
b
c
′ =
=

2
.  
(2)

При построении соответственных точек в эллип
тической инволюции двойные точки A  и A являются мнимыми. В этом случае OA
ai
= −
, OA = ai и 

OA
OA
a
(
) = (
) = −
2
2
2. Тогда выражение (2) примет вид 

OB
a
b
c
′′ = −
= −

2
.  
(3)

В первом случае при гиперболической инволюции 

соответственные точки B и B′ располагаются по одну 
сторону относительно центра инволюции O, а в эллиптической инволюции соответственные точки B
и B″ — по разные стороны относительно этого центра [2; 3; 5; 7; 9–11; 21]. На рис. 3 дана графическая 
интерпретация построения точки B″ в эллиптической 
инволюции. 

Рис. 3

Впервые этот способ представлен в [6; 12] и рас
крыт из чисто геометрических соображений. Здесь 
в соответствии с рис. 3 построен пучок S
x
( ) ( )
Λ
, 

кроме того, S
x
( ) ( )
Λ
. Носитель S пучка инцидентен 

окружности с центром в точке O, которая построена 
на отрезке AA  как на диаметре. Искомая точка B″
определяется посредством луча SB″, где SB″ ⊥ SB. 

Если построить образ точки A, то он совпадет с точкой A , поэтому угол ϕ = ∠(
) = ∠
′′
(
)
BS SA
B S SA
Λ
Λ
, 

а угол между пересекающимися прямыми 
′′
(
)
B S SB
Λ

и AS SA
Λ
(
)  является прямым. Аналитическая про
верка подтверждает выполненные построения. 

Запишем уравнение прямой SB в отрезках, кото
рые отсекаются на координатных осях этой прямой

x
b

y
a
+
= 1,  или y = kx + a,

где k
a
b
= −
.

Тогда уравнение прямой SB″ (SB″ ⊥ SB) будет 

иметь вид 

y
k x
a
= −
+
1
,

а с учетом выражения коэффициента k

y
b
a x
a
=
+ .   
(4)

Так как точка B″ ∈ Ox, подставим в уравнение 

прямой SB″ (4) значение y = 0. В таком случае получаем x = OB″, т.е.

x
a
b
c
= −
= −

2
. 
(5)

Таким образом, выражение (5) полностью соот
ветствует зависимости (3).

Выражение (5) можно также получить, рассматривая 

подобные прямоугольные треугольники ∆BOS и ∆SOB″: 

OB
OS

OS
OB

b
a

a
c
=
′′
= −
или
.

Из выражений (2) и (3) следует, что если бы вы
полнялась гиперболическая инволюция с действительными двойными точками OA
a
= −
, OA = a, то 

точка B′ располагалась бы симметрично точке B″
относительно центра инволюции O.

Как показали исследования [4; 5; 7], можно пред
ложить более простой способ для построения соответственных точек B и B′ и при гиперболической 
инволюции (рис. 4). В соответствии с рис. 4 прямолинейный отрезок DyD прямой d равен отрезку OA
и параллелен оси Ox на произвольном расстоянии 
от этой оси. Прямая d1 проходит через точки A и Dy, 
определена уравнением 

x
a

y
d
+
= 1.  
(6)

Точка K есть точка пересечения прямых K = d1 ∩ f, 

где прямая f ⊃ B и f || Oy. Уравнение прямой f имеет вид 
 
x = b.  
(7)

Рис. 4

Решая совместно уравнения (6) и (7), получаем 

положение точки K:

x
b
y
d
b
a
=
=
−
,
.
1
 
(8)

Искомая точка B′(x = c, y = 0) определяется пе
ресечением прямой d2, уравнение которой можно 
записать как прямой, проходящей через точки 
D(x = –a, y = d) и K (8), с осью Ox(y = 0). Кроме того, 
если рассматривать подобные прямоугольные треугольники ∆DFK и ∆B′BK, то будет получен тот же 
результат: 

DF
B B
FK
BK
a
b
c
b

d
d
b
a

d
b
a
′
=
⇒
+
−
−
(
)
=
−
−
−
−
1

1
.

После упрощения получаем

a
b
c
b
b

a
b

+
−
−
(
)
= −
−
,

откуда 

a2 = b · c, или c
a
b
=

2
,
(9)

что соответствует выражению (2).

Казалось бы, исследование может быть законче
но, но есть еще одна задача: по заданным соответственным точкам инволюции определить положение 
двойных точек. В работах [4; 5; 7] дан способ решения 
такой задачи применительно к обратному отображению при исследовании квадратичного соответствия, 
в котором при значении координат x = –a и x = a
двойных точек A  и A, соответственно, в гиперболической инволюции на совмещенных рядах с осью 
Ox, единичной точке E(x = 1) соответствует точка A
с координатой x
a
=
2 , что вполне соответствует глав
ному положению Х. Штаудта при определении гармонического отношения: (–a, a, 1, a2) = –1, т.е. 

−(
) = −
A AE A1  [22–25]. Рассмотренные и предло
женные выше способы, которые представлены на 
рис. 1–4, не дают необходимого результата для определения двойных точек как в гиперболической, 
так и эллиптической инволюции. 

GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 1. 3–11                                                                  ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2017

В работах [4; 5; 7] представлен способ определения 

точек A x
a
= −
(
)  и A(x = a) по заданным соответст
венным точкам A x
a
=
(
)

2 и E(x = 1) (рис. 5 для a2
1
< ), 

(рис. 6 для a2
1
>
) и в комментариях не нуждается. 

Рис. 5 

Рис. 6

Однако построения по определению точек A  и A

(соответственно, x = –a и x = a) на рис. 5–6 громоздки. Можно предложить более простой способ, причем в качестве точки E(x = 1) допустить произвольную точку B(x = b), которой соответствует точка 
B′(x = c), как это представлено на рис. 1, 2, 4 при 
гиперболической инволюции (и далее рассмотреть 
параболическую и эллиптическую инволюции).

Идея заключается в следующем. Рассмотрим за
мечательное свойство окружности, которую можно 
задать в плоскости тремя точками (естественно полагать, что любая окружность проходит еще через 
две сопряженные мнимые циклические точки, расположенные на несобственной прямой). Пусть инволюционный ряд точек совпадает с осью абсцисс 
Ox, на котором зафиксированы две двойные точки 
A x
a
= −
(
)  и A(x = a), задана точка B(x = b) и опре
делена ей в гиперболической инволюции соответственная точка B′(x = c). Будем конструировать такую 
окружность, которая бы пересекала ось абсцисс в 
двух точках A x
a
= −
(
)  и A(x = a), т.е. была бы распо
ложена симметрично относительно оси ординат Oy, 
тогда эта окружность должна пересекать ось ординат 
также в двух других точках, которые будут находить
ся по разные стороны относительно начала координат (рис. 7). 

Рис. 7

Для примера на рис. 7 представлено соответствен
но a = OA = 4, −
=
= −
a
OA
4 , b = OB = 2, c = OB′ = 8, 

что соответствует выражению (2). В соответствии с 
рис. 7 искомая окружность проходит через точки 
A x
a
= −
= −
(
)
4  и A(x = a = 4), точку B  (здесь с учетом 

заданного направления BO
OB
b
=
=
= 2, но OB = −2 ) 

и точку 
′
B , где OB
OB
c
′ =
′ =
= 8. Диаметр этой окруж
ности определяется суммой отрезков: d
BO
OB
=
+
′ =

=
+
=
+
=
b
c
2
8
10. Соответственно радиус равен

R
d
b
c
=
=
+
=
2
2
5.  
(10)

Тогда уравнение этой окружности можно записать: 

x
y
y
R
2
0

2
2
+
−
(
) =
,  
(11)

где 

y
OQ
OB
R
c
b

0
2

8
2

2
3
=
=
′ −
=
−
=
−
= . 
(12)

Для определения координат двойных точек A  и 

A, расположенных на оси абсцисс, необходимо уравнение окружности (11) решить совместно с уравнением этой оси (y = 0): 

x
y
y
R

y

o
2
2
2

0

+
−
(
) =

=

,

.

 В результате решения получаем x2 = b · c, что 

вполне соответствует выражению (9), т.е. в данном 
случае x2 = a2, откуда x1 = –a = –4 и x2 = a = 4, которые являются соответственно координатами точек 
A  и A.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2017 
GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 1. 3–11

Проверка: при определении координат точек B

и 
′
B  окружности (11) на оси ординат (при x = 0) в 

соответствии с выражениями (10) и (12) получаем 
для точки B y3 = –b = –2, а также y4 = c = 8 для 
точки 
′
B . 

Таким образом, при известных точках B(x = b) и 

B′(x = c) определяем на оси ординат положение точек 
B  и 
′
B , через которые проводится окружность ди
аметром d
BO
OB
b
c
=
+
′ =
+
, эта окружность пере
секает ось абсцисс в точках A x
a
1 = −
(
)  и A(x2 = a). 

Положение точки Q (центр окружности) можно определить различными известными способами как определение середины отрезка BB′
(
) . Кроме того, мож
но воспользоваться способом, представленным на 
рис. 8. 

Рис. 8

Для любого случая положения точек и прямая l1

имеет тангенс угла наклона к оси абсцисс, равный 
k1 = tgα = 2, а прямая l2 соответственно k2 = tg45° = 1 
(определение положения точки Q ∈ Oy показано на 
рис. 8 стрелками). 

На основании изложенного можно было бы сфор
мулировать положение: если окружность расположена в координатной плоскости симметрично хотя бы 
одной оси координат, то произведение координат двух 
точек пересечения окружности с одной осью координат 
равно произведению координат двух других точек пересечения этой окружности с другой координатной 
осью: x1 · x2 = y3 · y4. 

Подтверждением этого положения может слу
жить аналитическое решение по определению 
координат рассматриваемых точек пересечения 
окружности с осями координат, из которых следуют тождества: 

• для точек, расположенных на оси абсцисс (y = 0), 

аналогично 

x
y
R
x
x
R
y
o
o

2
2
2
1
2

2
2
+
=
⇒
⋅
= −
−
(
);

• для точек, расположенных на оси ординат (x = 0), 

получаем 

y
y
R
y
y
y
R
o
o
−
(
) =
⇒
⋅
=
−
2
2
3
4

2
2.

Однако, выполняя более общее решение для окруж
ности произвольного положения в координатной 
плоскости Oxy: 

x
x
y
y
R
o
o
−
(
) +
−
(
) =

2
2
2,  
(13) 

получаем, что она пересекается с осью абсцисс (y = 0) 
в двух точках с координатами x1 и x2, т.е. 

x
x
R
y
x
x
R
y
o
o
o
o
1
2
2
2

2
2
=
+
−
=
−
−
и
,

эта же окружность (13) пересекает ось ординат (x = 0) 
в двух других точках с координатами y3 и y4, т.е. 

y
y
R
x
y
y
R
x
o
o
o
o
3
2
2
4

2
2
=
+
−
=
−
−
и
,

при этом оказывается, что 

x
x
y
y
x
y
R
o
o
1
2
3
4
2
2
2
⋅
=
⋅
=
+
−
. 
(14)

т.е. эти произведения численно равны.

Равенство этих произведений остается справед
ливым даже при мнимых точках пересечения окружности с осями координат.

На основании выражения (14) можно сформули
ровать теорему, которая гласит: в прямоугольной системе координат произведение координат двух точек 
пересечения окружности с одной осью координат равно произведению координат двух других точек пересечения этой окружности с другой координатной осью: 
p2 = x1 · x2 = y3 · y4. 

Доказательством этой теоремы может служить по
лученный результат выражения (14). Эта теорема имеет 
несколько следствий, которые вытекают также из выражения (14) и продемонстрированы рис. 9 (на этом 
рисунке центры окружности промаркированы: серый 
цвет — произведение p2 < 0, темный — для p2 > 0, неокрашенный соответствует p2 = 0). Рис. 9 сформировался по положению окружности симметрично биссектрисе первого квадранта, начиная с окружности с центром 
в начале координат (левый нижний угол рис. 9). В остальных квадрантах будет получен аналогичный результат, 
который подтверждается выражением (14), так как в 
нем параметры (14) имеют квадратичные значения.

GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 1. 3–11                                                                  ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2017

Рис. 9

Следствие 1. Если окружность проходит через 

начало координат, то x
y
R
o
o
2
2
2
+
=
и произведение 

p2 = 0. 

Следствие 2. Если окружность пересекает проти
воположные направления координатных осей, т.е. 
x
y
R
o
o
2
2
2
+
<
, то произведение p2 < 0, в противном 

случае произведение p2 > 0. 

Конечно, здесь речь не идет о какой-либо инво
люции. Просто это замечательное свойство окружности позволяет определить координаты необходимых точек и обобщить это свойство на другие модели по определению положения искомых точек в 
других инволюциях. 

На рис. 10 представлена трансляция вдоль оси 

ординат окружности радиуса R = 5 (m1), которая в 
качестве примера приведена на рис. 7–8, но соответственные точки условно не показаны.

В случае если эта окружность займет положение 

окружности m3, то она проходит через точку O (начало координат). Здесь произведение p2 = x1 · x2 =
= y3 · y4 = 0, что ассоциируется с параболической 
инволюцией. Определенный интерес представляет 
собой окружность m2, она проходит через точки с 
координатами x1 = –3, x2 = 3, y3 = –1 и y4 = 9, что 
позволяет определять графически квадратные корни 
(x1 = –3, x2 = 3) из числа (y4 = 9) при условии, что 
эта окружность с центром Q2 ∈ Oy проходит через 
точку с координатой y3 = –1. 

Рис. 10

Аналитической проверкой полученных результа
тов послужила реализация этого положения в математическом пакете Maple, которая представлена ниже 
для y4 = 16.
> with(plots):
y3:=-1;y4:='y4';;y4:=16; yR:=(y4-y3)/2; R:=abs(yR); 
y0:=(y4+y3)/2; f1:=x^2+(y-y0)^2=R^2; F1:= 
implicitplot(f1,x=-16..16,y=–16..16): display({F1},scali
ng=constrained,title=`y3 = -1, y4 = 16`);

y3 := –1
y4 := y4
y4 := 16

yR := 17
2

R := 17

2

y0
15
2
:=

Рис. 11

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2017 
GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 1. 3–11

Этот способ намного проще, чем представленный 

на рис. 5–6.

Естественно полагать, что если число, из которо
го необходимо извлечь квадратный корень, будет 
меньше нуля, например y4 = –16, то окружность с 
диаметром, проходящим через точки y3 = –1 и 
y4 = –16 (Q2 ∈ Oy), не будет пересекать ось абсцисс. 
В этом случае должны быть получены мнимые точки (x1 = –4i, x2 = 4i). Так как моделью мнимого 
продолжения окружности (по любому выбранному 
направлению) является равносторонняя гипербола, 
то искомые точки (x1 = –4i, x2 = 4i) можно получить 
как точки пересечения этой гиперболы с осью абсцисс. 

Ниже представлен фрагмент такой реализации в 

математическом пакете Maple. 
> with(plots): x:='x':y:='y':
y3:=-1:y4:=16: yR:=(y4-y3)/2:R:=abs(yR);y0:=(y4+y3)/2;
f1:=x^2+(y-y0)^2=R^2; F1:= implicitplot(f1,
x=-16..16,y=-16..16): > display({F1},scaling=constrain
ed,title=`Продолжение примера с определением точек`); 
y:=0;solve({f1},x);

R := 17

2

y0
15
2
:=

f
x
y
1
15
2
289
4

2
2
:=
+
−
=

Рис. 12. Продолжение примера с определением точек

y := 0

{x = 4}, {x = –4}

> x:='x':y:='y':y3:=-1;y4:=-16; yR:=(y4-y3)/2: 
R:=abs(yR);y0:=(y4+y3)/2; f11:=x^2+(y-y0)^2=R^2; 
F11:= implicitplot(f11,x=-10..10,y=-20..20): display
({F1,F11},scaling=constrained,title=`y3 = -1, y4 = -16 
в сравнении с y4 = 16`);

y3 := –1
y4 := –16

R := 15

2

y0
17
2
:= −

f
x
y
11
17
2
225
4

2
2
:=
+
+
=

Рис. 13. y3 = –1, y4 = –16 в сравнении с y4 = 16

> y:=0;solve({f11},x);
y := 0
{x = 4I}, {x = –4I}
>y:='y':f2:=-(xI)^2+(y-y0)^2=R^2; 
F2:= implicitplot(f2,(xI)=-8..8,y=-24..20): 
display({F2,F11},scaling=constrained,title=`Значения из 
квадратного корня y4 = -16`);

f
xI
y
2
17
2
225
4

2
2
:= −
+
+
=

Рис. 14. Значения из квадратного корня y4 = –16

> y:=0:solve({f2},(xI));
{xI = –4}, {xI = 4}

Заключение

Из источников [2–7; 9–11; 21] известно, что на 

прямой линии всегда индуцируется инволюция при 
взаимном ее расположении с окружностью. Точки 
пересечения (и касания) этой окружности с прямой 
принимаются за двойные. Но от взаимного положения прямой и этой окружности инволюция может 
быть трех типов, что отмечено в начале статьи. 

GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 1. 3–11                                                                  ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2017

Как известно, многие геометрические задачи бо
лее успешно решаются при выходе исходного пространства на пространство большей размерности 
[18]. И это еще раз подтверждается в настоящем 
исследовании. 

В настоящей статье представлен анализ известных 

построений инволюционных соответствий и показаны другие возможности решения геометрических 
задач по проективным инволюционным преобразованиям, которые отсутствуют в известных источниках. 

Рассмотренные теоретические основы представ
ленных исследований необходимы для фундаментальной подготовки студентов технических специальностей [14–16; 19; 20]. Полученные знания способствуют приобретению профессиональных навыков по выбранной специальности обучения в 
техническом вузе, которые невозможны без применения информационных технологий [1; 8; 13].

Литература

1. Варушкин В.П. Использование САПР для курсового 

проектирования [Текст] / В.П. Варушкин // Геометрия 
и графика. — 2014. — Т. 2. — № 3. — C. 41–45. — DOI: 
10.12737/5591.

2. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // 

Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 2. — С. 3–8. — 
DOI: 10.12737/5583.

3. Глаголев Н.А. Проективная геометрия [Текст] / Н.А. Гла
голев. — М.: Высшая школа, 1963. — 344 с. 

4. Графский О.А. Введение мнимых элементов в начерта
тельную геометрию [Текст]: монография / О.А. Графский. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2004. — 168 с.

5. Графский О.А. Моделирование мнимых элементов на 

плоскости [Текст]: монография / О.А. Графский. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2004. — 162 c. 

6. Графский О.А. Основы аффинной и проективной геоме
трии [Текст]: учеб. пособие / О.А. Графский. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2013. — 135 c.

7. Графский О.А. Теоретико-конструктивные проблемы 

моделирования мнимых элементов в начертательной 
геометрии и ее приложениях [Текст]: автореф. дис. ... 
д-ра техн. наук / О.А. Графский. — М., 2004. — 406 с.

8. Гузненков В.Н. Информационные технологии в графиче
ских дисциплинах технического университета [Текст] /
В.Н. Гузненков // Геометрия и графика. — 2013. — 
Т. 1. — № 3/4. — C. 26–28. — DOI: 10.12737/2128.

9. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мни
мыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 2. — 
С. 3–8. — DOI: 10.12737/12163.

10. Иванов Г.С. Теоретические и конструктивно-приклад
ные вопросы квадратичных кремоновых инволюций 
[Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / Г.С. Иванов. — 
М., 1968. — 149 с.

11. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной гео
метрии [Текст]: учеб. пособие / Г.С. Иванов. — М.: Машиностроение, 1998. — 157 с.

12. Инновации при изучении студентами проективной ге
ометрии/ Инновации в теории геометрического моделирования при изучении студентами технических вузов 
фундаментальных и специальных дисциплин [Текст]: 

отчет о НИР. № ГР 02201361138, ИНВ. № 01201364859 
(промежуточный). Часть 2 / ВНТИЦентр; рук. О.А. Графский. — Хабаровск, 2012. — 106 с. 

13. Логиновский А.Н. Формирование и развитие професси
ональных навыков студентов в курсе начертательной 
геометрии / А.Н. Логиновский, Е.А. Усманова, Л.И. Хмарова // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 2. — 
C. 46–51. — DOI: 10.12737/12168.

14. Савельев Ю.А. Графика мнимых чисел [Текст] / Ю.А. Са
вельев // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — 
C. 22–23. — DOI: 10.12737/465.

15. Савельев Ю.А. К определению числа корней уравнений 

[Текст] / Ю.А. Савельев // Геометрия и графика. — 2013. — 
Т. 1. — № 1. — C. 24–25. — DOI: 10.12737/466.

16. Сальков Н.А. Начертательная геометрия — база для гео
метрии аналитической [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 1. — C. 44–54. — 
DOI: 10.12737/18057.

17. Серегин В.И. Геометрические преобразования в начер
тательной геометрии и инженерной графике [Текст] / 
В.И. Серегин [и др.] // Геометрия и графика. — 2015. — 
Т. 3. — № 2. — C. 23–28. — DOI: 10.12737/12165.

18. Соколова Л.С. Многомерное пространство и наглядная 

геометрия в учебной программе по геометрической 
подготовке для бакалавриата [Текст] / Л.С. Соколова // 
Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 1. — C. 40–46. — 
DOI: 10.12737/10457.

19. Столбова И.Д. Об обеспечении качества предметно
го обучения студентов технического университета / 
И.Д. Столбова // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 3. — 
№ 4. — C. 27–37. — DOI: 10.12737/17348.

20. Усанова Е.В. Формирование базового уровня геометро
графической компетентности в электронном обучении / 
Е.В. Усанова // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — 
№ 1.– C. 64–72. — DOI: 10.12737/18059.

21. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия [Текст]: учеб
ник для пед. ин-тов / Н.Ф. Четверухин. — М.: Просвещение, 1969. — 368 с.

22. Staudt K.G.Ch. Beitrage zur Geometrie der Lage. Nürnberg: 

Verlag der Fr. Korn`schen Buchhandlung, 1856. Heft 1. 129 s.

23. Staudt K.G.Ch. Beitrage zur Geometrie der Lage. Nürnberg: 

Verlag der Fr. Korn`schen Buchhandlung, 1856. Heft 2. 
S. 131–283. 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2017 
GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 1. 3–11

24. Staudt K.G.Ch. Beitrage zur Geometrie der Lage. Nürnberg: 

Verlag der Fr. Korn`schen Buchhandlung, 1860. Heft 3. 
S. 285–396.

25. Staudt K.G.Ch. Geometrie der Lage. Nürnberg: Verlag von 

Bauer und Raspe, 1847. 216 s.

References

1. Varushkin V.P. Ispol'zovanie SAPR dlja kursovogo proekti
rovanija [CAD Use for Course Design]. Geometriya i grafika 
[Geometry and Graphics]. 2014, v. 2, i. 3, pp. 41–45. (in 
Russian). DOI: 10.12737/5591.

2. Girsh A.G. Mnimosti v geometrii [Imaginaries in Geom
etry]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2014, 
v. 2, i. 2, pp. 3–8. (in Russian). DOI: 10.12737/5583.

3. Glagolev N.A. Proektivnaja geometrija [Projective geom
etry]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1963. 344 p.

4. Grafskiy O.A. Vvedenie mnimykh elementov v nachertatel'nuu 

geometriu [Introduction of imaginary elements to descriptive 
geometry]. Khabarovsk, DVGUPS Publ., 2004. 168 p.

5. Grafskiy O.A. Modelirovanie mnimykh elementov na ploskosti

[Simulation imaginary elements in the plane]. Khabarovsk, 
DVGUPS Publ., 2004. 162 p.

6. Grafskiy O.A. Osnovy affinnoy i proektivnoy geometrii [Basics 

of affine and projective geometry]. Khabarovsk, DVGUPS 
Publ., 2013. 135 p. 

7. Grafskiy O.A. Teoretiko-konstruktivnye problemy modeliro
vaniya mnimykh elementov v nachertatel'noy geometrii i ee 
prilozheniyakh. Dokt. Diss. [Teoretiko-construktive problems 
of modeling of imaginary elements in descriptive geometry 
and its applications. Doct. Diss]. Moscow, 2004. 406 p. 

8. Guznenkov V.N. Informacionnye tehnologii v graficheskih 

disciplinah tehnicheskogo universiteta [Information technologies in graphic disciplines of technical university]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, v. 1, i. 
3/4, pp. 26–28. (in Russian). DOI: 10.12737/2128.

9. Ivanov G.S., Dmitrieva I.M. O zadachah nachertatel'noi 

geometrii s mnimymi reshenijаmi [On the tasks of descriptive geometry with imaginary solutions]. Geometriya i grafika 
[Geometry and Graphics]. 2015, v. 3, i. 2, pp. 3–8. (in Russian). DOI: 10.12737/12163.

10. Ivanov G.S. Teoreticheskie i konstruktivno-prikladnye voprosy 

kvadratichnykh kremonovykh involjucij. Kand. Diss. [Theoretical and constructive and applied questions square kremonovykh of involyution. Cand. Diss.]. Moscow, 1968. — 149 p.

11. Ivanov G.S. Teoreticheskie osnovy nachertatel'noy geometrii 

[Theoretical fundamentals of descriptive geometry]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1998. 157 p. 

12. Innovatsii pri izuchenii studentami proektivnoy geometrii / In
novatsii v teorii geometricheskogo modelirovaniya pri izuchenii studentami tekhnicheskikh vuzov fundamental´nykh i 
spetsial´nykh distsiplin [Innovations in the study of projective 
geometry by students / Innovation in geometric modeling 
theory in the study of students of technical colleges the basic 
and special disciplines]. Khabarovsk, 2012. 106 p.

13. Loginovskiy A.N., Khmarova L.I., Usmanova E.A. Formiro
vanie i razvitie professional'nykh navykov studentov v kurse 
nachertatel'noy geometrii [Formation and Development of 
Professional Skills of Students When Studying Descriptive 
Geometry]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 
2015, v. 3, i. 2, pp. 46–51. (in Russian). DOI: 10.12737/12168.

14. Savel´ev Y.A. Grafika mnimykh chisel [Graphics of imaginary 

numbers]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 
2013, v. 1, i. 1, pp. 22–23. (in Russian). DOI: 10.12737/465.

15. Savel´ev Y.F. K opredeleniju chisla kornej uravneniy [How 

to define a number of roots of equations]. Geometriya i grafika. [Geometry and Graphics]. 2013, v. 1, i. 1, pp. 24–25. (in 
Russian). DOI: 10.12737/466. 

16. Sal´kov N.A. Nachertatel'naya geometriya — baza dlja ge
ometrii analiticheskoj [Geometry As the Basis for Analytical 
Geometry]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 
2016, v. 4, i. 1, pp. 44–54. (in Russian). DOI: 10.12737/18057. 

17. Seregin V.I., Ivanov G.S., Senchenkova L.S., Borovikov I.F. 

Geometricheskie preobrazovaniya v nachertatel'noy geometrii i inzhenernoy grafike [Geometric Transformations 
in Descriptive Geometry And Engineering Graphics]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2015, v. 3, i. 2, 
pp. 23–28. (in Russian). DOI: 10.12737/12165.

18. Sokolova L.S. Mnogomernoe prostranstvo i nagljadnaya 

geometriya v uchebnoy programme po geometricheskoj 
podgotovke dlya bakalavriata [Multidimensional Space and 
Visual Geometry in the Curriculum Geometric Preparation 
for Undergraduate]. Geometriya i grafika [Geometry and 
Graphics]. 2015, v. 3, i. 1, pp. 40–46. (in Russian). DOI: 
10.12737/10457.

19. Stolbova I.D. Ob obespechenii kachestva predmetnogo 

obucheniya studentov tehnicheskogo universiteta [Ensuring the Quality of Subject Teaching for Students at the 
Technical University]. Geometriya i grafika [Geometry and 
Graphics]. 2016, v. 3, i. 4, pp. 27–37. (in Russian). DOI: 
10.12737/17348.

20. Usanova E.V. Formirovanie bazovogo urovnya geometro
graficheskoy kompetentnosti v jelektronnom obuchenii 
[Formation of the Basic Level of Geometry and Graphics 
Competence of Students in E-Learning]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2016, v. 4, i. 1, pp. 64–72. (in 
Russian). DOI: 10.12737/18059.

21. Chetverukhin N.F. Proektivnaya geometriya [Projective ge
ometry]. Moscow, Prosveshchenie Publ., 1969. 386 p.

22. Staudt K.G.Ch. Beitrage zur Geometrie der Lage. Nürnberg: 

Verlag der Fr. Korn`schen Buchhandlung. 1856. Heft 1. 129 p.

23. Staudt K.G.Ch. Beitrage zur Geometrie der Lage. Nürn
berg: Verlag der Fr. Korn`schen Buchhandlung. 1856. Heft 2. 
Pp. 131–283. 

24. Staudt K.G.Ch. Beitrage zur Geometrie der Lage. Nürn
berg: Verlag der Fr. Korn`schen Buchhandlung. 1860. Heft 3. 
Pp. 285–396.

25. Staudt K.G.Ch. Geometrie der Lage. Nürnberg: Verlag von 

Bauer und Raspe. 1847. 216 p.

GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 1. 3–11                                                                  ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2017