Стохастические методы идентификации и оценивания характеристик средств измерения

УДК 389.004.12
ББК 30.10
Р 93

Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 15-08-07000,
не подлежит продаже

Р ы ж а к о в
В. В.,
Р ы ж а к о в
М. В.
Стохастические
методы
идентификации
и
оценивания
характеристик
средств
измерения
/
Под
ред.
В.В. Рыжакова.
—
М.:
ФИЗМАТЛИТ,
2015.
—
144
с.
—
ISBN 978-5-9221-1658-9.

В монографии кратко рассмотрены основные положения определяющих
документов по метрологической терминологии и основным понятиям (погрешность, неопределенность) (РМГ 29-99 и Руководство по выражению неопределенности), отмечена их противоречивость, предложены направления по исправлению. Представлены методы идентификации оценок законов распределения
случайных величин, градуировочных характеристик и функций преобразования средств измерения (СИ), на основе которых с использованием стохастических представлений предлагаются методики оценивания погрешностей СИ
и стабилизации их характеристик. В отдельном разделе рассматривается оценивание погрешностей квазиинвариантных средств измерения, позволяющих
в сложных условиях повысить точность измерительной информации.
Работа выполнена на кафедре технического управления качеством Пензенского государственного технологического университета и кафедре прикладной
механики Московского физико-технического института (государственного университета).
Предназначено научным и инженерно-техническим работникам, занимающимся разработкой, производством и эксплуатацией современных средств
автоматики и измерений.

ISBN 978-5-9221-1658-9

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2015

c⃝ В. В. Рыжаков, М. В. Рыжаков, 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
5
Краткие сведения из области метрологической терминологии
и комментарии к ним . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
5

Г л а в а 1.
Идентификация
законов
распределения
вероятностей
случайных величин . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
15
1.1. Классические методы идентификации моделей распределений
вероятностей случайных величин . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
15
1.2. Методы идентификации оценок распределения на основе малых
выборок . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
20

Г л а в а 2.
Стохастические методы идентификации моделей градуировочных характеристик, функций преобразования СИ
и их погрешностей . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
48
2.1. Взаимосвязь градуировочных и индивидуальных характеристик
преобразования измерительных средств: общие положения . .. .. .
48
2.2. Метод разностей . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
50
2.3. Метод выбранных точек . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
54
2.4. Метод наименьших квадратов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
55
2.5. Метод систем условных уравнений . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
60

Г л а в а 3.
Методы идентификации погрешностей средств измерения с линейными и нелинейными функциями преобразования
и влияния . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
65
3.1. Погрешности средств измерения с линейными функциями преобразования, с постоянными функциями влияния и методика их
оценивания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
65
3.2. Погрешности средств измерения с линейными функциями преобразования и нелинейными функциями влияния и методика их
оценивания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
73
3.3. Погрешности средств измерения с нелинейными функциями
преобразования и влияния и их оценивание . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
79
3.4. Пути повышения метрологических показателей средств измерения. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
94
3.5. Взаимосвязь погрешностей градуирования и моделей функций
преобразования (линейный вариант) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
102
3.6. Взаимосвязь погрешностей градуирования и моделей функций
преобразования (нелинейный вариант). .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
110

Оглавление

Г л а в а 4.
Идентификация
погрешностей
квазиинвариантных
средств измерения и методики их оценивания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
119
4.1. Принцип построения квазиинвариантного средства измерения. .
119
4.2. Предельные оценки погрешностей квазиинвариантных средств
измерения. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
121
4.3. Оценки среднеквадратических погрешностей квазиинвариантных средств измерения с равномерно распределенными погрешностями каналов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
128
4.4. Оценки среднеквадратических погрешностей квазиинвариантных средств измерения с произвольными законами распределения погрешностей каналов. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
136

Список литературы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
139

ВВЕДЕНИЕ

Краткие сведения из области метрологической
терминологии и комментарии к ним

Прежде чем начать рассмотрение методов идентификации и оценивания метрологических характеристик средств измерения (СИ), приведем определения этих понятий из современных нормативных документов.
В соответствии с Федеральным законом «О техническом регулировании» от 01.05.2007 № 65-ФЗ под идентификацией будем понимать
установление тождественности объекта (продукции) его существенным
признакам.
В настоящее время используются новые основополагающие документы по терминологии из области метрологии [1, 2], которые требуют
определенных усилий по их осмыслению и адаптации к практическим
задачам.
Отдельные авторы такую работу представляют в виде статей, опубликованных в специализированных журналах. Но вопросы, поставленные новой терминологией [1, 2], столь сложны и важны, что требуется
дальнейшее их обсуждение в печати в виде статей и монографий.
Авторы настоящей работы предлагают свое видение по разрешению
сложных задач, связанных с использованием новых понятий в инженерной практике.
Прежде чем перейти к изложению основного материала, авторы
предлагают представить отдельные понятия из [1, 2] и отдельные публикации с краткими комментариями к ним, в которых будут намечены
направления последующего изложения.
Достаточно сложная ситуация складывается при оценивании погрешности измерения в соответствии с п. 9.1 [1]. Приведем определение этой погрешности.
«Погрешность измерения — отклонение результата измерения от истинного (действительного) значения измеряемой величины.

Примечание.

1. Истинное значение величины неизвестно, его применяют только
в теоретических исследованиях.

Введение

2. На практике используют действительное значение xд, в результате чего погрешность ∆xизм определяют по формуле

∆xизм = xизм − xд,

где xизм — измеренное значение величины».

Для более детального уяснения сути данного определения погрешности приведем и определения понятий истинного и действительного
значений величины из [1].
«Истинное значение физической величины — значение физической
величины, которое идеальным образом характеризует в качественном
и количественном отношении соответствующую физическую величину»
(п. 3.6).
«Действительное значение физической величины — значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько
близко к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него» (п. 3.7).
Из приведенных определений следует, что истинное значение никогда не может быть определено и утилитарной ценности не представляет, а поэтому носит чисто условный характер.
Далее пояснение вида: действительное значение — «значение,
полученное экспериментальным путем и настолько близко к истинному
значению» — также не вносит ясности в измерительную практику.
Из цитируемых определений также не прослеживается путь оценивания погрешностей значений физических величин на основе метрологических характеристик средств измерений.
Решение данной задачи можно представить проще и более наглядно
в ином виде.
Но предварительно рассмотрим виды оценок погрешностей результатов и средств измерений, которые рекомендованы в [1].
Средняя квадратическая погрешность измерений — «оценка S-рассеяния единичных результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же физической величины около среднего их значения,
вычисляется по формуле

S =

n
i=1
(xi − x)2

n − 1
,
(В.1)

где xi — результат i-го единичного измерения; x — среднее арифметическое значение измеряемой величины из n единичных результатов»
(п. 9.14).

Введение
7

Далее — «суммарная погрешность результата измерений (состоящая из суммы случайных и неисключенных систематических погрешностей, принимаемых за случайные), вычисляемая по формуле

SΣ =
S2 + S2
Θ ,
(В.2)

где

SΘ =
1
3

i
Θ2
i ,

— средняя квадратическая погрешность суммы неисключенных систематических погрешностей при равномерном распределении (принимаемых за случайные)» (п. 9.30).
Из данных определений следует, что при оценивании погрешностей
результатов измерений должна использоваться дисперсионная оценка,
о чем свидетельствуют выражения под корнем в (В.1) и в (В.2).
В (В.2) вторая составляющая принимается за случайную. Она может быть порождена и средством измерения, его основной и дополнительной погрешностями.
Согласно [1] их суть в следующих определениях.
Основная погрешность средства измерений — «погрешность средства измерений, применяемого в нормальных условиях» (п. 10.7),
а дополнительная погрешность средства измерения — «составляющая
погрешность средства измерений, возникающая дополнительно к основной погрешности вследствие отклонения какой-либо из влияющих
величин от нормального ее значения или вследствие ее выхода за пределы нормальной области значений» (п. 10.8).
Для того чтобы далее обоснованно предложить конкретные методики оценивания погрешностей средств измерений, приведем и определение понятия «нормальные условия измерений» из [1]. Согласно этому
определению это «условия измерения, характеризуемые совокупностью
значений или областей значений влияющих величин, при которых
изменением результатов измерений пренебрегают вследствие малости»
(п. 11.1).
Из указанного пункта приведем еще примечание, которое имеет
прикладное значение.
«Примечание. Нормальные условия измерений устанавливаются
в нормативных документах на средства измерений конкретного типа
или по их поверке (калибровке)».
Ранее отмеченное влияние погрешностей средств измерений на погрешности результатов измерений достаточно конкретно указывается
в п. 9.29 [1]: погрешность измерения — «погрешность ..., оцениваемая
на основании известных погрешностей средства и метода измерений
в данных условиях (измерений)».

Введение

Поскольку дальнейшее изложение материала будет связано с методикой оценивания погрешностей средств измерений, приведем и ее
определение из [1] с соответствующими пояснениями (п. 10.1):
«Погрешность средства измерений — разность между показанием
средства измерений и истинным (действительным) значением измеряемой физической величины.
Приведенное определение понятия “погрешность средства измерений” соответствует определению, данному VIM-93, и не противоречит
формулировкам, принятым в отечественной метрологической литературе. Однако признать его удовлетворительным нельзя, так как, по сути,
оно не отличается от определения понятия «погрешность измерений»,
поэтому необходима дальнейшая работа по усовершенствованию определения этого понятия».
В этой выдержке подчеркивается существенный факт: приведенное
определение понятия «признать ... удовлетворительным нельзя», оно
«не отличается от определения понятия погрешности измерения (которое приведено нами выше) и требуется его дальнейшее усовершенствование».
Здесь к сказанному следует добавить, что использование термина действительное значение не совсем удачное, так как истинное
значение и действительное значение — синонимы: истинное и есть
действительное [3]:
«действительный — существующий на самом деле, настоящий, подлинный. Не выдумка, а действительный факт» (с. 153);
«истинный — действительный, настоящий, несомненный» (с. 250).
По сути, в [1] одним словом обозначено два различных объекта:
фактически существующее, действительное значение физической
величины и условно признанное действительным значение физической величины, которое должно быть «близко к истинному».
Здесь напрашивается заменить термин «действительное значение»
известным из публикаций термином «условно истинное значение» [4, 5]
или «номинальное значение» [6]. Но об этом более подробно будет
изложено далее.
Представляют интерес в научном и прикладном плане понятия
неопределенность измерения и погрешность измерения, приведенные в руководстве [2], которое подготовлено рабочей группой, состоящей из экспертов, назначенных Международным бюро мер и весов (МБМВ), Международной электротехнической комиссией (МЭК),
Международной организацией по стандартизации (ИСО) и Международной организацией законодательной метрологии (МОЗМ). Ряд организаций поддержали подготовку этого руководства, которое опубликовано по их поручению.

Введение
9

«2.2.3. ...неопределенность (измерения) есть параметр, связанный
с результатом измерения, который характеризует дисперсию значений,
которые могли быть обоснованно приписаны измеряемой величине».
В примечании к этому определению даются пояснения. Приведем некоторые из них:
«1. Параметром может быть, например, стандартное отклонение
(или данное кратное ему) или полуширина интервала, имеющего установленный уровень доверия.
2. Неопределенность измерения обычно включает много составляющих..., которые также могут характеризоваться стандартными отклонениями, оценивают из предполагаемых распределений вероятностей, основанных на опыте или другой информации.
3. ... все составляющие неопределенности, включая те, которые
возникают от систематических эффектов, таких как составляющие,
связанные с поправками и эталонами сравнения, вносят вклад в дисперсию».
Данное определение в [2] называется рабочим, «которое сфокусировано на результат измерения и его оцененную неопределенность».
Здесь же приводятся еще два определения понятия неопределенности: «мера возможной погрешности оцененного значения измеряемой
величины, полученной как результат измерения; оценка, характеризующая диапазон значений, в пределах которого находится истинное
значение измеряемой величины.
Примечание. Неопределенность поправки, вносимой в результат
измерения для компенсации систематического эффекта, не является
систематической погрешностью, часто называемой смещением результата измерения, вызванного этим эффектом... Это на самом деле мера
неопределенности результата из-за неполного знания требуемого значения поправки... Термины погрешность и неопределенность следует
использовать правильно и следить за тем, чтобы не путать их». (Выделения по тексту — авторов.)
Далее приводится понятие расширенной неопределенности. Это
«величина, определяющая интервал вокруг результата измерения,
в пределах которого, можно ожидать, находится большая часть распределения значений, которые с достаточным основанием могли быть
приписаны измеряемой величине».
В примечании к этому определению указывается, что:
«1. Эта часть распределения может рассматриваться как вероятность охвата или уровень доверия для интервала.
2. Установление связи между конкретным уровнем доверия и интервалом, определенным расширенной неопределенностью, требует явных
и неявных предложений относительно распределения вероятностей,
характеризуемого результатом измерения и его суммарной стандартной

Введение

неопределенностью. Уровень доверия, который может быть приписан
этому интервалу, может быть известен только до той степени, в которой такие предположения могут быть оправданы...».
В отношении понятия погрешности измерения в [2] приводятся
следующие пояснения:
«3.2.1. Обычно измерение обладает рядом несовершенств, которые
вызывают погрешность результата измерения. Традиционно погрешность рассматривают как состоящую из двух составляющих, а именно:
случайной и систематической составляющей».
Приведем еще примечание к этому определению.
«Примечание. Погрешность — идеализированное понятие, и погрешности не могут быть известны точно».
Далее из п. 3.22 следует, что «случайная погрешность предположительно возникает из непредсказуемых или стохастических временных
и пространственных изменений влияющих величин. Эффекты таких изменений, ... называемые случайные эффекты, вызывают изменения измеряемой величины при повторных наблюдениях. ... случайная погрешность результата измерения не может быть компенсирована поправкой,
ее обычно можно уменьшить, увеличив число наблюдений; ее математическое ожидание или ожидаемое значение равняется нулю».
Приведем определения и этих составляющих.
«В 2.21. Случайная погрешность ... — разность результата измерения и среднего значения, которое могло бы быть получено при бесконечно большом числе повторных измерений одной и той же измеряемой
величины, проводимых в условиях сходимости».
«В 2.22. Систематическая погрешность — разность между средним
значением, получаемым при бесконечном числе измерений одной и той
же измеряемой величины в условиях сходимости, и истинным значением измеряемой величины».
И в том, и в другом определении приводится термин «условия сходимости». Суть его излагается через понятие «сходимость (результатов измерений)». «В 2.15. Это близость результатов последовательных
измерений одной и той же измеряемой величины, выполненных в одинаковых условиях измерений». В примечаниях к этому определению
находим:
«1. Эти условия называются условиями сходимости.
2. К условиям сходимости относятся:
– одна и та же измерительная процедура;
– один и тот же наблюдатель;
– один и тот же измерительный прибор, применяемый в одних и тех
же условиях;
– одно и то же место;
– повторение измерений в течение короткого времени».

Введение
11

Приведем еще понятие истинное значение (величина) из [2].
Это — «значение, соответствующее определению данной конкретной величины».
В примечании к этому определению есть пояснения:
«1. Это — значение, которое могло бы быть получено при идеальном
измерении.
2. Истинное значение по природе неопределимо».
Из рассмотрения всех приведенных определений понятия неопределенность измерения следует, что это — гипотетическая величина,
которая оценивается на основе различных допущений, а поэтому использовать ее в практике измерений в реальных условиях более чем
затруднительно.
Из анализа и сопоставлений определений погрешностей в [1] и в [2]
можно сделать вывод, что случайные составляющие погрешности вызываются случайными эффектами, вызванными случайными влияющими величинами, а другие составляющие погрешностей (неопределенности) по своей природе не всегда являются аналогичными случайным
погрешностям, а также порождаются неопределенностью поправок,
эталонов. Но они согласно понятию расширенной неопределенности
определяются интервалом вокруг результата измерения, в пределах
которого, можно ожидать, находится большая часть распределения
значений, которые ... могли быть приписаны измеряемой величине.
Из последнего пояснения также видно, что неопределенность предлагается описывать законами распределений, т. е. представлять как
случайные составляющие. Из этого следует, что их (в силу неопределенности) рекомендуется также оценивать дисперсиями или средними
квадратическими значениями.
Из изложенного следует, что случайные составляющие погрешностей и составляющие, вызванные неопределенностями, по своей природе — различные объекты, но для их оценивания рекомендуется
один и тот же аппарат математической статистики или в предельных
случаях — теории вероятностей, т. е. предлагается использовать стохастические принципы. Последнее нивелирует дифференциацию введенных объектов. Полученное противоречие, заключающееся во введении
двух различных, но трудно различимых объектов, должно разрешаться
определенным методическим приемом. В качестве такого приема можно
рекомендовать при оценивании погрешностей средств измерений вернуться к использованию их функций преобразования для оценивания
скедастических линий на всей шкале, вызванных всеми указанными
выше факторами.
В Рекомендациях [1] по основным терминам и определениям трудно найти определение такого понятия, как функция преобразования
средства измерения. Хотя ее использование в современных теорети

Введение

ческих разработках, публикуемых в центральных журналах, например,
«Измерительная техника», встречается. Об этих публикациях скажем
несколько позднее. В [1] вводятся другие понятия: уравнения связи
и уравнения измерений. Суть их в следующем.
«Уравнение связи — уравнение, отражающее связь между величинами, обусловленными законами природы, в котором под буквенными
символами понимают физические величины.
Уравнение связи между величинами в конкретной измерительной
задаче часто называют уравнением измерений».
Из этих определений можно сделать вывод, что величинами могут
быть входной и выходной сигналы средств измерений, но из определений уравнений не прослеживается методика их использования
на практике.
Для разрешения этой задачи вновь напрашивается использование функции преобразования средств измерений, в качестве которой
по терминологии [1] можно использовать уравнение измерения. И тогда
в качестве действительных значений выходной физической величины
(сигнала) средства измерения можно принять значение этой величины,
определенное по уравнению измерения. Но это уравнение во всем
диапазоне измерения физической величины может быть весьма сложным. Действительно, из трактовки [7] можно видеть, что уравнение
измерения (при косвенных измерениях) должно обосновываться весьма
сложным алгоритмом, который:

1) устанавливает объект измерения и величины, одна из которых
подлежит определению, а другая — измерению;
2) указывает перечень эффектов, которые являются существенными
для формирования функциональной зависимости и величин, указанных выше;
3) определяет соотношения, связывающие величины с их оценками
точности (на основе анализа литературных источников);
4) математически формулирует уравнения для физических эффектов и процессов с указанием специфики измерительной задачи
(начальных и граничных условий) и т. д.

Из данного перечня особенностей алгоритма, а значит, и уравнения
измерения, следует, что последнее становится практически не реализуемым: учесть все физические эффекты, процессы, сопутствующие
измерению, оценить вклад этих процессов в формирование связей
между искомой и непосредственно измеряемой величинами в аналитической и/или иной форме — задача неразрешимая. Из этого же вывода
следует, что подобным путем трудно оценить различные составляющие
погрешностей (методические, погрешности соотношений), поправок.