Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений

УДК 517.91/4
ББК 22.161.1
П 30

Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 08-01-07069

П е т р о в с к и й И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. — 208 с. —
ISBN 978-5-9221-1144-7.

Книга представляет собой учебник по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений. Тщательно продуманное изложение дало
возможность в небольшом объеме вместить обширный материал.
Более детально и строго, чем в других руководствах, рассмотрены
уравнения простых типов. Подробно изложены общие теоремы о разрешимости уравнений и систем уравнений с непрерывными правыми
частями. Теория линейных уравнений сопровождается оригинальным
изложением канонической формы систем. Книга включает в себя
дополнение, содержащее теорию линейных и нелинейных уравнений
с частными производными 1-го порядка. Большое количество задач
значительно расширяет содержание книги.

Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебного пособия для физико-математических факультетов
университетов.

ISBN 978-5-9221-1144-7

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2009

c⃝ И. Г. Петровский, 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к первому изданию . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Предисловие к третьему изданию . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Ч а с т ь I.
Одно дифференциальное уравнение
1-го порядка с одной неизвестной функцией

Г л а в а I. Общие понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
§ 1. Определения, примеры . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
§ 2. Геометрическая интерпретация. Обобщение задачи . .. . .
12

Г л а в а II. Простейшие дифференциальные уравнения . .
18

§ 3. Уравнения вида dy

dx = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18

§ 4. Уравнения вида dy

dx = f(y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21

§ 5. Уравнения с разделяющимися переменными . .. . . . . . . .
22
§ 6. Однородные уравнения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
§ 7. Линейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
§ 8. Уравнения в полных дифференциалах . .. . . . . . . . . . . .
29
§ 9. Интегрирующий множитель. .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
31

Г л а в а III.
Общая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
§ 10. Ломаные Эйлера . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
§ 11. Теорема Арцеля. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39

Оглавление

§ 12. Доказательство существования решения дифференциального уравнения (1) методом Пеано . .. . . . . . . . . . . . . .
42

§ 13. Теорема Осгуда о единственности. .. . . . . . . . . . . . . . .
47

§ 14. Дополнение о ломаных Эйлера. .. . . . . . . . . . . . . . . . .
52

§ 15. Метод последовательных приближений . .. . . . . . . . . . .
52

§ 16. Принцип сжатых отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59

§ 17. Геометрическая интерпретация принципа сжатых отображений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
63

§ 18. Теорема Коши о дифференциальном уравнении dy/dx =
= f(x, y) с голоморфной правой частью. .. . . . . . . . . . .
65

§ 19. О степени гладкости решений дифференциальных уравнений. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69

§ 20. Зависимость решения от начальных данных . .. . . . . . . .
70

§ 21. Лемма Адамара . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74

§ 22. Теорема о зависимости решения от параметров . .. . . . . .
75

§ 23. Особые точки . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
79

§ 24. Особые линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85

§ 25. О поведении интегральных кривых в целом . .. . . . . . . .
86

§ 26. Уравнения, неразрешенные относительно производной . .
90

§ 27. Огибающие. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99

Ч а с т ь II.
Системы обыкновенных дифференциальных
уравнений

Г л а в а IV. Общая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103

§ 28. Сведение любой системы к системе уравнений 1-го порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103

§ 29. Геометрическая интерпретация. Определения . .. . . . . . .
104

§ 30. Формулировка основных теорем . .. . . . . . . . . . . . . . . .
107

§ 31. Принцип сжатых отображений для систем операторных
уравнений. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
113

§ 32. Приложение принципа сжатых отображений к системе
дифференциальных уравнений . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
117

Оглавление
7

Г л а в а V. Общая теория линейных систем . . . . . . . . . . .
122

§ 33. Определения. Следствия из общей теории систем дифференциальных уравнений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
§ 34. Основные теоремы для однородных систем 1-го порядка
125
§ 35. Теорема Лиувилля . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
§ 36. Составление однородной линейной системы дифференциальных уравнений вида (97) по данной фундаментальной
системе ее решений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
§ 37. Следствия для дифференциального уравнения n-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
§ 38. Понижение порядка линейного однородного дифференциального уравнения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
§ 39. О нулях решений линейных однородных уравнений 2-го
порядка . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
§ 40. Система неоднородных линейных уравнений 1-го порядка
140
§ 41. Следствие для линейного неоднородного уравнения n-го
порядка . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142

Г л а в а VI. Линейные системы с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144

§ 42. Предварительные замечания . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
§ 43. Теорема о приведении к каноническому виду . .. . . . . . .
146
§ 44. Инварианты линейного преобразования . .. . . . . . .. . . . .
152
§ 45. Элементарные делители . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
§ 46. Отыскание фундаментальной системы решений для однородной системы уравнений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
§ 47. Применение к однородному дифференциальному уравнению n-го порядка. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
§ 48. Разыскание частных решений неоднородных систем. .. . .
164
§ 49. Приведение
к
каноническому
виду
уравнения
dy
dx = ax + by

cx + dy
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167

§ 50. Устойчивость решений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
§ 51. Один физический пример . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175

Дополнение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
180
Уравнения с частными производными 1-го порядка от
одной неизвестной функции. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
§ 52. Почти линейные уравнения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180

Оглавление

§ 53. Первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187
§ 54. Квазилинейные уравнения. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
§ 55. Нелинейные уравнения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194
§ 56. Уравнение Пфаффа . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
204

Предисловие к первому изданию

Эти лекции я читал в 1936/37 уч. году в Саратовском
государственном университете и (с небольшими изменениями)
в Московском государственном университете. Я не стремился изложить возможно больше методов интегрирования, применимых для различных частных типов дифференциальных
уравнений; на русском языке уже имеются курсы, где эти
методы достаточно полно изложены. Я не старался также
рассказать о всех отделах теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Из всей этой теории я выбрал лишь
несколько вопросов, но их я старался изложить по возможности цельно и строго — так, как теперь излагается большинство математических дисциплин. Я не предполагал у моих
слушателей знакомства с теорией аналитических функций и
потому необходимые для моего курса сведения из этой теории
или разъяснял или точно указывал, где их можно найти.
Я должен выразить благодарность А. И. Барабанову, записки которого легли в основу изложения первых 21 параграфов, В. В. Степанову, С. А. Гальперну и А. Д. Мышкис, которые просмотрели всю мою рукопись и сделали ряд ценных
указаний.

1939 г.
И. Петровский

Предисловие к третьему изданию

В третьем издании я заменил параграф о сопряженных
уравнениях параграфом о нулях линейных однородных уравнений второго порядка. А. Д. Мышкис добавил ряд задач.

15 февраля 1949 г.
И. Петровский

Ч а с т ь I

ОДНО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
1-ГО ПОРЯДКА С ОДНОЙ НЕИЗВЕСТНОЙ
ФУНКЦИЕЙ

Г л а в а I

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

§ 1. Определения, примеры

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение вида

F(x, y, y′, y′′, ... , y(n)) = 0

между независимым переменным x, его функцией y и производными y′, y′′, ..., y(n). Функция y = ϕ(x) 1) называется
решением этого дифференциального уравнения, если после
замены y на ϕ(x), y′ на ϕ′(x), ..., y(n) на ϕ(n)(x) оно обращается в тождество. Всюду, где нет особой оговорки, мы будем
считать, что рассматриваемые величины принимают только
действительные значения.
Таким образом в обыкновенных дифференциальных уравнениях неизвестная функция зависит только от одного аргумента. В противоположность этому в уравнениях с частными
производными неизвестные функции зависят от нескольких
независимых переменных. В дальнейшем, говоря о дифференциальных уравнениях, мы будем иметь в виду всюду, кроме
добавления, только обыкновенные дифференциальные уравнения.
К обыкновенным дифференциальным уравнениям приводят многие вопросы естествознания. В качестве иллюстрации
рассмотрим два следующих примера.

1) Я считаю всюду функции однозначными.

§ 1. Определения, примеры
11

ПРИМЕР 1. Допустим, что в каждый момент времени известна скорость точки, движущейся по оси Ox; пусть она
равна f(t), где f(t) непрерывна и ограничена. Будем считать,
кроме того, что известна абсцисса x0 этой точки в некоторый
определенный момент t = t0. Требуется найти закон движения
точки, т. е. зависимость абсциссы движущейся точки от времени.
Эта задача сводится к нахождению того решения дифференциального уравнения

dx
dt = f(t),

которое при t = t0 обращается в x0. Из интегрального исчисления известно, что такое решение дается формулой

x(t) = x0 +

tt0

f(τ)dτ.

ПРИМЕР 2. Известно, что скорость распада радия прямо
пропорциональна наличному количеству радия. Допустим, что
в момент t0 имелось R0 г радия. Требуется определить количество R г радия в любой момент t.
Если коэффициент пропорциональности обозначить через
c (c > 0), то задача эта сводится к нахождению того решения
дифференциального уравнения

dR
dt = −cR,

которое при t = t0 обращается в R0. Таким решением будет
функция
R = R0e−c(t−t0).

Из рассмотренных примеров видно, что одному и тому
же дифференциальному уравнению могут удовлетворять очень
многие функции. Именно поэтому для определения искомой
функции задавалось не только дифференциальное уравнение,
которому она должна удовлетворять, но также и ее значение
(начальное значение) при каком-нибудь определенном значении аргумента. В рассмотренных нами примерах начальные
значения определяли единственным образом соответствующие
им решения дифференциальных уравнений.
Основной задачей теории дифференциальных уравнений
является разыскание всех решений данного дифференци

Гл. I. Общие понятия

ального уравнения и изучение свойств этих решений. Нахождение решений дифференциального уравнения называют
интегрированием этого уравнения.

§ 2. Геометрическая интерпретация.
Обобщение задачи

Будем рассматривать дифференциальное уравнение вида

y′ = f(x, y),
(1)

где функция f(x, y) определена в некоторой области G 1)
плоскости (x, y). Это уравнение задает в каждой точке области значение углового коэффициента касательной к проходящему через эту точку графику решения уравнения (1).
Если в каждой точке (x, y) области G представить с помощью
некоторого отрезка 2) направление касательной, определяемое
значением f(x, y), то получится поле направлений. Тогда
поставленную прежде задачу нахождения решения дифференциального уравнения можно сформулировать так: требуется
найти кривую y = ϕ(x), которая в каждой своей точке имеет
заданную уравнением (1) касательную или, как часто говорят,
заданное уравнением (1) направление.
С геометрической точки зрения в такой постановке задачи
представляются мало естественными следующие обстоятельства:
1) Требуя, чтобы угловой коэффициент заданного в любой
точке (x, y) области G направления равнялся f(x, y), мы тем
самым исключаем направления, параллельные оси Oy 3).

1) Областью называется непустое множество G точек, обладающее следующими двумя свойствами: 1) каждая точка G есть внутренняя, т. е. она имеет окрестность, целиком принадлежащую G;
2) множество G связно, т. е. любые две его точки можно соединить
состоящей из конечного числа звеньев ломаной, целиком лежащей
внутри G.
Граничными точками области называются те точки, которые являются предельными для точек области, но не принадлежат области.
Совокупность всех граничных точек называется границей области.
Замкнутой областью G называется область вместе с ее границей.
2) Оба направления по этому отрезку для нас безразличны.
3) Мы всюду рассматриваем только конечные величины.

§ 2. Геометрическая интерпретация. Обобщение задачи
13

2) Рассматривая только кривые, служащие графиками
функций от x, мы тем самым исключаем из рассмотрения
те линии, которые некоторыми перпендикулярами к оси x-ов
пересекаются больше одного раза.
Поэтому мы несколько обобщим предыдущую постановку
задачи. Именно мы будем допускать, что поле направлений
в некоторых точках параллельно оси Oy. И в таких точках,
где угловой коэффициент по отношению к оси Ox не имеет
смысла, мы будем пользоваться угловым коэффициентом по
отношению к оси Oy. Соответственно этому мы будем наряду
с дифференциальным уравнением (1) рассматривать уравнение
dx
dy = f1(x, y),
(1′)

где f1(x, y) =
1

f(x, y), если f(x, y) ̸= 0, используя второе урав
нение там, где первое не имеет смысла, а второе имеет смысл.
Задачу же интегрирования дифференциальных уравнений (1),
(1′) мы поставим так: в области G найти все линии 1),
имеющие в каждой точке направление, заданное уравнениями (1) и (1′) 2). Эти линии (кривые) мы будем называть
интегральными линиями (кривыми) уравнений (1), (1′) или
поля направлений, задаваемого этими уравнениями. Вместо
множественного числа «уравнения (1), (1′)», мы часто будем

1) Линией мы будем называть множество точек (x, y), даваемых уравнениями: x = ϕ(t), y = ψ(t), когда t пробегает значения
некоторого интервала (a, b); в частности может быть a = −∞ и
b = +∞. Мы будем предполагать, что функции ϕ(t) и ψ(t) имеют
непрерывные производные и что всегда ϕ′2(t) + ψ′2(t) > 0. Каждая
точка x0 = ϕ(t0), y0 = ψ(t0) такой линии лежит на некотором куске
ее, который служит графиком, или функциональной зависимости y
от x, или функциональной зависимости x от y. Действительно, по
крайней мере одно из двух чисел ϕ′(t0) и ψ′(t0) отлично от 0.
Пусть, например, ϕ′(t0) ̸= 0. Тогда в силу непрерывности ϕ′(t) она
сохраняет знак на некотором интервале значений t от t0 − ε до t0 + ε.
Поэтому при этих значениях t можно разрешить относительно t
уравнение x = ϕ(t). Пусть после этого получим t = χ(x). Подставляя
это значение t в уравнение y = ψ(t), получим y = ψ[χ(x)], т. е. y есть
функция от x.
2) Иногда поле направлений бывает задано не только внутри G, но
и на некоторой части ее границы или даже на всей границе. В таком
случае может быть, что и интегральные линии проходят не только
внутри G, но и по некоторой части ее границы.

Гл. I. Общие понятия

употреблять единственное число: «уравнение (1), (1′)». Ясно,
что график всякого решения уравнения (1) будет интегральной кривой уравнения (1), (1′), но не всякая интегральная
кривая уравнения (1), (1′) будет графиком решения уравнения (1). В дальнейшем, если будет явно указано, что

f(x, y) = M(x, y)

N(x, y) ,

то мы наряду с уравнением

dy
dx = M(x, y)

N(x, y)
(2)

не будем выписывать уравнение

dx
dy = N(x, y)

M(x, y) = f1(x, y).
(2′)

Иногда же мы будем такие уравнения записывать в более
симметричной относительно x и y форме так:

M dx − N dy = 0.
(3)

ПРИМЕР 1. Уравнение

dy
dx = y

x
(4)

Черт. 1

задает поле направлений всюду
за
исключением
начала
координат. Схематически оно
изображено на черт. 1. Все
определяемые им
направления проходят через начало
координат. Ясно, что при любом k функции

y = kx
(5)

являются
решениями
уравнения (4). Совокупность же
всех интегральных линий этого уравнения дается соотношением
ax + by = 0,
(6)

где a и b — любые постоянные, не равные нулю одновременно.
Ось Oy является его интегральной линией, но не служит
графиком его решения.

§ 2. Геометрическая интерпретация. Обобщение задачи
15

Так как уравнение (4) не определяет поля направлений
в начале координат, то линии (5) и (6) являются интегральными всюду за исключением, конечно, начала координат.
Поэтому правильнее говорить, что интегральными линиями
уравнения (4) являются не прямые, проходящие через начало
координат, а полупрямые, выходящие из начала координат.

ПРИМЕР 2. Уравнение

dy
dx = −x

y
(7)

задает поле направлений всюду, за исключением начала координат. Схематически оно изображено на черт. 2. Направления,
задаваемые в точке (x, y) уравнениями (4) и (7), взаимно
перпендикулярны. Ясно, что все окружности, имеющие центр
в начале координат, будут интегральными кривыми уравнения
(7). Решениями же этого уравнения будут функции

y = +
R2 − x2

и
y = −
R2 − x2
(−R < x < R).

Черт. 2

Условимся в следующей терминологии:
1. Для краткости мы будем иногда вместо слов: «график решения
проходит через точку (x0, y0)», говорить: «решение проходит через точку (x0, y0)».
2. Функцию ϕ(x, C1, C2, ... , Cn)
мы будем называть общим решением
рассматриваемого дифференциального уравнения в области G, если при
соответствующем выборе постоянных
C1, C2, ..., Cn эта функция обращается в любое решение этого уравнения, график которого
лежит в G 1).
3. Уравнение Φ(x, y) = 0 интегральной кривой уравнения
(1), (1′) мы будем называть интегралом дифференциального
уравнения (1), (1′).

1) Это определение, как и определение 4, не совпадает с обычным.

Гл. I. Общие понятия

4. Уравнение

Φ(x, y, C1, C2, ... , Cn) = 0

мы будем называть общим интегралом данного дифференциального уравнения в области G, если при соответствующем
выборе постоянных C1, C2, ..., Cn это уравнение дает любую
интегральную кривую нашего уравнения, проходящую в области G.
Так, например, в первом из разобранных примеров соотношение (5) давало общее решение уравнения (4) во всей
плоскости (x, y) за исключением оси Oy, а уравнение (6)
давало общий интеграл этого уравнения во всей плоскости
(x, y) за исключением начала координат. Во втором же примере уравнение
y = +
R2 − x2

давало общее решение во всей полуплоскости y > 0, а уравнение
x2 + y2 = R2
(7′)

давало общий интеграл нашего дифференциального уравнения
во всей плоскости (x, y) за исключением начала координат.
Что у уравнения (4), соответственно (7), нет других интегральных линий, кроме линий (6), соответственно (7′), будет
доказано в § 5.

ЗАДАЧИ. 1. У какой области на плоскости нет границы?
2. Начертить интегральные линии уравнений:

а) dy

dx = xy

|xy|,
б) dy

dx = |x + y|

x + y ,
в) dy

dx = −x + |x|

y + |y| ,

г) dy

dx =
0 при y ̸= x,
1 при y = x,
д) dy

dx =
1 при y ̸= x,
0 при y = x.

Указать те области, где эти уравнения определяют поле направлений.
3. Пусть дана линия x = ϕ(t), y = ψ(t), a < t < b, где ϕ(t)
и ψ(t) удовлетворяют указанным в примечании на стр. 13
условиям. Пусть a < a′ < b′ < b. Докажите тогда следующие
утверждения:
а) отрезок a′ ⩽ t ⩽ b′ можно разбить на конечное число
таких примыкающих друг к другу отрезков, что соответствующие части рассматриваемой линии являются графиками
либо однозначной непрерывно дифференцируемой функции
y = y(x), либо функции x = x(y) с такими же свойствами;