Прикладная информатика, 2010, №5 (29)


икладная





                ИНФОРМАТИК®




научно-практический
  №5(29) 2010                ЖУРНЭЛ
ISSN 1993-8314

    Сентябрь-октябрь


       С 19 февраля 2010 года журнал включен в Перечень ведущих периодических изданий, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертационных исследований.




Уважаемые коллеги!

   В ноябре текущего года факультет Вычислительной математики и кибернетики (ВМК) Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова проведет V Международную научно-практическую конференцию «Современные информационные технологии и ИТ-образование», посвященную 40-летию ВМК. Редакция журнала «Прикладная информатика», входящего в число соучредителей конференции, поздравляет научнопедагогический коллектив, администрацию и студентов факультета с этим торжественным событием!
   По материалам наиболее ярких докладов предыдущей конференции ВМК в октябрьском номере в рубриках «Инструментальные средства», «IT и образование (Технологии обучения)» и «IT-менеджмент (Управление проектами)» подготовлен ряд статей. В последнем разделе вниманию читателей предложены публикации, в которых описаны актуальные подходы куправлению промышленным предприятием. Данная тематика рассматривается также в рубрике «Лаборатория (Управление производством)». В этом же разделе освещаются вопросы моделирования информационных процессов.
   Новая рубрика «Simulation» предлагает обзор современных средств имитационного моделирования. Авторы раздела «IT-бизнес» знакомят читателя с оригинальной методикой анализа финансового рынка. В «IT в государственных программах» в качестве предметной области применения информационных технологий выступают задачи охраны культурного наследия.

Главный редактор
А. А. Емельянов

ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА

№ 5(29) 2010

1Т-бизнес
Анализ финансового рынка
Е. В. Соколов, Д. В. Бородин
Модель прогнозирования цен акций с применением функций Уолша и марковских цепей............................3

1Т-менеджмент
Автоматизированные системы управления
М. И. Дли, О. В. Стоянова, И. В.Абраменкова, О. В. Зайцев
Метод интеллектуального управления информационными ресурсами промышленногопредприятия.................... 13
А. А. Вичугова, Е. А. Дмитриева, Г. П. Цапко
Разработка модели данных PDM-системы ENOVIA SMARTEAM для управления спецификациями при создании радиоэлектронной аппаратуры.....23
Управление проектами
С. П. Кульдин
Генетический подход к проблеме оценки сроков и трудоемкости разработки программного обеспечения с заданными требованиями к качеству .... 30

1Т и образование
Технологии обучения
М.А.Марценюк
Операторно-логические схемы как средство изучения алгоритмов в учебных курсах по математике и информатике..................43
E-learning
Е.А.Влаеова
Адаптивное планирование численного состава кафедр в дистанционном образовании.......... 55

1Т в государственных программах
Охрана культурного наследия
М. В. Румянцев, Р.А. Барышев,А. С. Генвальд
Web-представительство регионального музея... 70
Инструментальные средства
Аппаратно-программные комплексы
А.  К. Ким, В. Ю. Волконский, Ф. А. Груздов, М. С. Михайлов,
Ю. Н. Парахин, Ю. X. Сахин, С. В. Семенихин, М. В. Слесарев,
В. М. Фельдман
Архитектура, программное обеспечение и области применения компьютеров серии «Эльбрус»..... 78
Мобильные технологии
Н. Б. Дворкина, Д. Е. Намиот
Использование OpenCelllD API в мобильных сервисах... 92
Simulation
Теория и практика
Т. В. Девятков
Некоторые вопросы создания систем автоматизации имитационныхисследований.... 102

Лаборатория
Моделирование информационных процессов
К.С.Гудков
Математическая модель управления справочниками административно-территориального деления стран СНГ в корпоративных информационных системах.... 117
Управление производством
О.А. Макаревич
Обобщенная модель оценки экономической эффективности технологически интегрированной производственной системы (на примере АПК).. 125
Сведения об авторах........................ 130
Аннотированныйсписокстатей................. 133
Правилаоформлениярукописей................. 137

Редакционная коллегия

Главный редактор                            Павловский Ю. Н. докт. физ.-мат. наук,       Бугорский В. Н. докт. экон. наук, проф.
                                                             проф., чл.-корр. ГАН,       БуяноваЛ. Н.    докт. экон. наук, проф.
                                                             сопредседатель              Волкова В. Н.   докт. экон. наук, проф.
Емельянов А. А. докт. экон, наук, проф.     Пузанков Д. В.   докт. техн. наук, проф.     Диго С. М.      канд. экон. наук, проф.
Заместители главного редактора              Госс Г. В.       докт. техн. наук,           Дик В. В.       докт. экон. наук, проф.
                                                             докт. экон. наук, проф.     Дли М. И.       докт. техн. наук, проф.
                                            Губин Ю. Б.      докт. экон. наук,           Емельянов С. А. докт. техн. наук, проф.
Власова Е. А.                               Саркисов П.Д.    проф., чл.-корр. ГАО        ИвановЛ. Н.     канд.экон. наук        
Харитонов С. В. канд.экон. наук                              докт. техн. наук,           Литвинова О. А. докт. техн. наук, проф.
Редакционный совет                                           проф., акад. ГАН,           Малышев Н. Г.                          
Багриновский К. А. докт. экон. наук, проф.  сопредседатель                                               чл.-корр. ГАН          
ЗвоноваА.Н.     канд.экон.наук              СухомлинВ.А.    докт.физ.-мат.наук,          Попов И. И.     докт. техн. наук, проф.
Козлов В. Н.       докт. техн. наук, проф.                     проф.                     Потемкин А. И.  докт. техн. наук, проф.
Коршунов С. В.     канд. техн. наук, проф.  Титарев Л. Г.       докт. техн. наук, проф.  Салмин С. П.    докт. экон. наук, проф.
Мешалкин В. П.    докт. техн. наук, проф.,  Члены редколлегии                            Халин В. Г.     докт. экон. наук, проф.
         чл.- корр. ГАН,                                                                 Хубаев Г. Н.    докт. экон. наук, проф.
         сопредседатель                                                                  Чистов Д. В.    докт. экон. наук, проф.
         Ph. D., проф.                      Амбросов Н. В.   докт. экон. наук, проф.     Шориков А. Ф.   докт. физ.-мат. наук,  
Мэйпл К.                                    Бендиков М. А.   докт. экон. наук, проф.                     проф.                  

2

Читайте в номере

ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА

№ 5(29) 2010


Е. В. Соколов, Д. В. Бородин

        Модели прогнозирования цен акций с применением функций Уолша и марковских цепей

    В статье для решения задачи прогнозирования авторами предложено использовать математический аппарат, который продолжительное время применяется в прикладных исследованиях для обработки растровых изображений, в голографии и анализе медицинских сигналов. Для реализации этой модели и алгоритма прогнозирования разработана программа в системе MatLab.

Одна из главных задач современного инвестиционного и риск-менеджмен-та — прогнозирование цен и котировок на финансовых рынках. Прогнозирование бывает качественным (указывается лишь направление движения рынка) или количественным (результат представляет собой численный прогноз).
   Результатом количественного прогнозирования могут быть либо наиболее вероятная цена, либо ожидаемый диапазон цен, либо их полный закон распределения. Существующие подходы к анализу и прогнозированию финансовых временных рядов можно разделить на три основные группы:
   1) методытехническогоанализа;
   2) эконометрические методы;
   3)   методы математической обработки сигналов.
   Преимуществами технического анализа являются универсальность, простота применения, учет психологии участников рынка, применимость к любым временным периодам. Недостатками можно назвать его ориентированность на прошлое, отсутствие экономического обоснования используемых методов, лежащую в основе гипотезу об эффективности рынка, которая не всегда выполняется на практике.
   Эконометрические методы обладают проработанным математическим аппаратом, возможностью легкой автоматизации


процесса анализа, широко известны и насчитывают десятилетия успешного применения в финансовой практике. Одним из существенных недостатков наиболее распространенных эконометрических методов, применяемых в настоящее время, является тот факт, что большая их часть базируется на гипотезе о нормальном (или логнормальном) законе распределения вероятностей изменений цен на финансовом рынке. Однако многочисленные исследования показывают, что на финансовом рынке распределение ненормально [5]. Примером может служить гистограмма распределения приращений значений индекса Dow-Jones за 2009 г. (рис. 1), из которой следует, что реальные распределения имеют более острый пик и более тяжелые «хвосты», это озна

Рис. 1. Гистограмма эмпирического распределения приращений индекса Dow-Jones за январь-октябрь 2009 г. и теоретическая кривая нормального распределения

3

IT-бизнес К> Анализ финансового рынка

ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА

№ 5(29) 2010

Модели прогнозирования цен акций с применением функций Уолша и марковских цепей

чает большую вероятность редких и значительных изменений цен, чем следует из нормального распределения. Подтверждение тому — знаменитое банкротство инвестиционного фонда LTCM, когда непрогнозируемое по применяемым статистическим моделям резкое падение котировок оказалось критическим для действующей в фонде системы управления рисками [7].
   Методы математической обработки сигналов лишены перечисленных выше недостатков, в них не заложены гипотезы о статистических свойствах временных рядов, они основаны на солидном теоретическом математическом аппарате. Среди таких методов наибольшее распространение получили методы спектрального анализа Фурье [1], суть которых — представление исходного сигнала в виде суммы базисных функций с соответствующими коэффициентами [6]. Методика Фурье широко применяется для анализа и прогнозирования сигналов в физике, оптике, электротехнике, радиотехнике и медицине, а в последнее время — ив экономике. Метод рядов Фурье применим к обработке сигналов, являющихся гладкими функциями, без локальных особенностей, к которым нельзя отнести временные ряды цен акций, характеризующиеся дискретностью и наличием резких выбросов.
   Но идея рядов Фурье, заключающаяся в представлении сигнала в виде суммы базисных функций, может быть актуальна при создании моделей прогнозирования цен акций. Поэтому в данной статье в виде базисных функций предлагается использовать не периодические, гладкие и бесконечные гармонические, а кусочно-непрерывные функции. К таким функциям относятся полиномы Лежандра, Эрмитта, Уолша, Лагер-ра, Хаара и т.д. Авторами для решения задачи прогнозирования выбраны функции Уолша, которые продолжительное время применяются в прикладных исследованиях для обработки растровых изображений, в голографии и анализе медицинских сигналов. Это связано со следующими их достоинствами [3]:

   1)    они кусочно-непрерывны, что позволяет использовать их для моделирования как резких изменений сигналов (цен акций), так и гладких участков;
   2)    имеют меняющийся период, т. е. чем больше порядковый номер функции, тем более мелкие локальные особенности сигналов эта функция в состоянии моделировать, что дает возможность оптимально подбирать нужные периоды для выделения реальной цикличности рынка;
   3)    принимают значения 0 или 1, что позволяет успешно пользоваться методами обработки цифровых данных;
   4)    они квазипериодические, т. е. периодичны только в пределах определенного временного участка.
   Аналитически функции Уолша вычисляются по формулам [2]:
   Wal(0,0) ^ 1; Wal(п, 0) = П [Rad(к, 0)] *,
к =1
п = 0,1,..., N -1,
где Wal(п,0) — функция Уолша порядка п;
0 — безразмерный параметр, играющий роль относительного времени;
Rad(к,0)— функция Радемахера порядка к; пк — значение к-ого разряда номера функции Уолша п, записанного в виде m-разрядного кода Грея;
N — число функций Уолша в системе, связанное с параметром m соотношением N = 2m.

   Относительное время рассчитывается как 0 = Т , где t — время; Т — период анализа (длительность сигнала). Очевидно, что если t < Т,то 0 е [0;1).
   Функции Радемахера образуются из синусоидальных функций по формулам:

Rad (0,0) = 1; Rad (к ,0) = sign [sin(2к л:0)].

   Общий вид функций Уолша представлен на рис. 2.
   Для обработки сигналов, заданных на интервале [0,Т), удобно использовать функции


4

IT-бизнес Анализ финансового рынка

ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА

№ 5(29) 2010

Рис. 2. Функции Уолша различного порядка (интервал определения сигнала Т = 1000)

Уолша, которые после преобразования их аргумента записываются в виде Wal(п,t / Т). Обобщенный ряд Фурье по функциям Уолша одномерного сигнала х(t), t е[0; Т) будет иметь вид:
£       t
х (t) = Х cnWal (п,-), п=0           '
где

1Т         t
С = Т J х (t )Wal (п,-) dt —
' 0        '
коэффициенты Уолша.


   Так как функции Уолша на интервалах дискретности принимают значения +1 или -1, при вычислении коэффициентов сп не требуется производить операцию умножения. Поэтому спектральный анализ по Уолшу связан с меньшими затратами машинного времени, чем анализ с использованием гармонических функций. Обозначим для удобства функцию Уолша как зависящую от трех параметров:

Wal (п, t, Т) = Wal (п, Т).

   В реальные расчеты всегда включают ограниченное количество коэффициентов ряда. В связи с этим вместо исходного сигнала получается его графическая статистическая модель (ГСМ), которая тем точнее соответствует исходному сигналу, чем больше коэффициентов было взято при расчете. Графическая статистическая модель сигнала имеет вид:


  W(t, Т) = XcₙWal(п,|) = YcWal(п,Г, Т). (1) п=0              '   п=0
   Графики функций W(t,Т) ступенчатые (см. рис. 2).
   Исходный сигнал х(t) теперь может быть представлен в виде:

х (t) = W (t, Т) + w (tₖ),

где w(tₖ) — погрешность, т. е. разность между исходным сигналом и его ГСМ;
к — номер интервала (уровня Уолша), к = 1,2,..., N.


Е. В. Соколов, Д. В. Бородин

   Сигнал W(t,Т) представляет собой дол


госрочные процессы и тренды, а разность w(tₖ) — краткосрочные колебания относительно W(t,Т). Сигнал W(t,Т) относится ко всему сигналу длиной Т и использует единое для него время t; w(tₖ) соответствует каждому отдельному периоду функции Уолша


длиной Т₀ = N. Время на этом интервале (tₖ)


вычисляют по формуле:


tₖ = t- (к -1)* Д.


   Тогда погрешность w(tₖ) принимает следующий вид:
N
w ⁽tk ⁾ =X wk ⁽t, U
к =1
где wₖ(t,Т₀) — погрешность на к-ом участке длиной То. Аналитически ее можно представить как разность исходного сигнала и его ГСМ на каждом участке:


wk⁽t, Т0⁾ = '

(х(t) - W(t,Т)), t е[(к -1) • Т0; к • То) 0,t й[( к - 1) • Т; к • Т0 ).


   Для поставленной в статье задачи прогнозирования временных рядов цен акций с использованием функций Уолша иллюстрацией вида исходного сигнала является временной ряд котировок индекса ММВБ (рис. 3 (а)). Полученный в результате обработки исходного сигнала по формуле (1)


5

IT-бизнес К> Анализ финансового рынка

ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА

№ 5(29) 2010

Рис. 3. Результаты применения графической статистической модели сигнала

  ния. В данной статье в качестве критерия точности обработки исходного сигнала выбрано суммарное среднеквадратичное отклонение (СКО).
     Суммарное СКО (ох ) для погрешности (разности исходного сигнала и его ГСМ) рассчитывают по формуле:


о

N
X

= Х (х (t) - W (t, т ))² t=0             т


     С учетом вышеизложенного модель математической обработки временных рядов цен акций с использованием функций Уолша имеет вид:

Модели прогнозирования цен акций с применением функций Уолша и марковских цепей

восстановленный сигнал (ГСМ) изображен на рис. 3 (б), на котором видно, что график ГСМ исходного сигнала кусочно-постоянный, т. е. состоит из набора уровней. При этом каждый уровень соответствует тому или иному значению индекса. На рисунке 3 (в) приведен график погрешности восстановления, т. е. разность между исходным сигналом и его ГСМ.
   В соответствии с теорией рядов Фурье увеличение количества членов ряда должно приводить к бесконечно точному приближению исходного сигнала. Практические расчеты показали, что увеличение числа членов ряда более 200 приводит к некоторому увеличению погрешности. Это обусловлено тем, что отдельные локальные особенности сигнала начинают влиять на весь спектр, что вызывает появление ложных выбросов в тех местах сигнала, в которых ряд Уолша «предсказывает» их появление. Следовательно, встает задача поиска оптимального значения числа функций Уолша, обеспечивающих приближение сигнала с заданной точностью и не приводящих к его искажению.
   Поиск оптимального количества функций может осуществляться по критерию минимизации максимального отклонения исходного сигнала от ГСМ, минимизации суммарного абсолютного отклонения либо минимизации суммарного среднеквадратичного отклоне
Г      N-¹               А²
т I х(t) -XcₙWal(n,t, т)
   оX = X ----------;— ^ mⁱⁿ; (2)
          t=0            '


cₙ = T- J х (t )Wal (n,T) dt;         (3)
' 0           '


W (t, т) = X cₙwal (n,t, т);     (4)
n=0


ⁿk
I,

   Wal(0,0) ^ 1; Wal(n,0) = f[[Rad(k,0)] k =1
n = 0,1,...,N -1;


(5)

  Rad(0,0) = 1; Rad(k,0) = sign[sin(2kл0)]. (6)


   Алгоритм математической обработки временных рядов цен акций с применением данной модели следующий:
   1)   для исходного сигнала х (t) по формуле (3) рассчитываем коэффициенты Уолша (cₙ);
   2)   варьируя число используемых для приближения функций Уолша (N) в диапазоне от 40 до 400 с шагом 10, по формулам (4)-(6) определяем набор ГСМ (W(t, т));
   3)   рассчитываем разность исходного сигнала и его ГСМ для каждого значения N;
   4)   исходя из результатов, полученных в предыдущих пунктах, находим суммар

6

IT-бизнес Анализ финансового рынка

ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА

ное СКО погрешности приближения (о£ ) по формуле (2);
   5)   определяем оптимальное число функций Уолша (Nₜ), которое соответствует минимуму целевой функции (2);
   6)   с помощью найденного на предыдущем шаге числа функций Уолша (N ₜ) получаем соответствующую ему оптимальную ГСМ (W(t, Т)).
   Авторами были проведены исследования в программе MatLab 7.0 для котировок цен акций 20 российских и 20 американских компаний, индексов ММВБ, РТС, NASDAQ и Dow-Jones Industrials 30 для разных значений длительности сигналов (от 1 года до 20 лет). Пример зависимости величины суммарного СКО от числа функций Уолша для акций Боинга, Ростелекома, индексов NASDAQ иРТС представлен на рис. 4.
   Результаты исследований показали, что существует минимум суммарного СКО и соответствующее ему число функций Уолша. На американском рынке оптимальное количество функций Уолша, обеспечивающее минимум суммарного СКО, равно 120-140 (см. рис. 4, точки А и В), что соответствует длинам уровней Уолша 90-100 дней, т. е. кварталу — периоду публикации как финансовой отчетности отдельных компаний, так и макроэкономических показателей страны. При этом чем более гладким является временной ряд цен акций и чем меньше в нем резких всплесков и выбросов, тем меньше функций требуется для его приближения с приемлемой точностью. Пример тому — временной ряд цен акций Боинга, для которого N =116, т. е. соответствует минимальному значению (рис. 4).
   Для российского рынка такого явного значения минимума суммарного СКО нет, функция имеет более пологий вид, в качестве оптимального числа функций Уолша выбран диапазон 170-190 (рис. 4, точка С), которому соответствует квазипериод примерно в 2-3 недели.
   Проведенные авторами исследования позволили установить следующие свойства графических статистических моделей:

№ 5(29) 2010

Рис. 4. Погрешность приближения по критерию суммарного СКО

Е. В. Соколов, Д. В. Бородин

   1.   Устойчивы по отношению к отдельным выбросам сигналов, т. е. не изменяются при резких колебаниях цен, не обусловленных фундаментальными факторами. Это свойство важно при использовании сигнала для последующего прогнозирования цен акций.
   2.   Чувствительны к существенному изменению состояния рынка (например, кризисным явлениям), т.е. ГСМ изменчивы при резком падении или подъеме цен акций, если это движение рынка связано с фундаментальными факторами.
   3.   Длина ступеньки Уолша определяется двумя факторами: числом функций Уолша N и общей длиной сигнала Т.
   4.   Разница между исходным сигналом и его ГСМ, т.е. погрешность (см. рис. 3 (в)) средняя, стремящаяся к нулю. Это позволяет сделать вывод о том, что полученная ГСМ соответствует исходному сигналу, очищенному от случайных колебаний (рыночного шума).
   5.   Изменения ГСМ полностью отражают изменения исходного сигнала, так как коэффициент корреляции между этими сигналами равен 0,9...0,99. При этом с ростом числа функций Уолша степень корреляции возрастает.
   Далее рассмотрим возможности применения аппарата марковских цепей.
   Марковской цепью называется случайная последовательность состояний, причем вероятность перехода из предыдущего состояния в последующее не зависит от того, когда и как система попала в предыдущее состояние. Под состоянием понимается некоторое значение или диапазон значений случайной величины.

7

IT-бизнес К> Анализ финансового рынка

ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА

№ 5(29) 2010

Модели прогнозирования цен акций с применением функций Уолша и марковских цепей

   При прогнозировании цен акций, представленных в виде ГСМ (формула (1)), в качестве этой случайной величины выступают значения уровней Уолша:

W = W (t, Т )| t е[( к -1) • То; к • То),

где Wₖ — цена акции в виде уровня Уолша; к — порядковый номер уровня Уолша.

   В системе уровней Уолша протекает случайный процесс. Система имеет дискретное множество состояний и периодически «перескакивает» из одного в другое. Переход между уровнями Уолша можно считать марковским процессом, поскольку при этом:
   1) отсутствуетсвойство последействия;
   2)   система переходит из одного состояния в другое скачком (дискретно);
   3)   в любой момент времени система находится только в одном состоянии.
   Состояниями марковской цепи являются диапазоны некоторой ширины (Н), в которые попадают приращения уровней Уолша (цены акций) на каждом шаге, рассчитываемые по формуле:

Dw (к - 1) = - Wk-₁,

где Dw— сигнал приращений уровней Уолша;
Dw (к-1) — приращение к-ого уровня Уолша относительно (к-1)-ого;
Wₖ, Wₖ₋₁ — значения к-ого и (к-1)-ого уровней Уолша соответственно. Исследования показали, что корреляция между сигналом Уолша и его приращением оказывается менее 0,1. Это позволяет сделать вывод о независимости приращения и исходного сигнала (что является необходимым условием применения марковской модели).

   Пример разбиения индекса ММВБ на марковские состояния приведен на рис. 5, где цифрами 1...7 указаны номера состояний, каждое шириной Н = 100 пунктов. Отметим, что если проводится исследование


Рис. 5. Приращение значений индекса ММВБ, представленного в виде уровней Уолша

Н — размер (ширина) состояния; Min — нижняя граница первого состояния; D¹ w ... Dw⁷— численные характеристики состояний; Dᵣₐₙgₑ — размах сигнала


отдельных акций, то Н измеряется в долларах, рублях или других денежных единицах, в которых измеряют цену акции.
   Разбив сигнал на состояния, можно подсчитать количество точек, попавших в каждое i-ое состояние, определить количество переходов сигнала Dw из i-ого состояния в j-ое и соответственно вероятности этих переходов. Их называют переходными вероятностями и рассчитывают по формуле:


п„
Pₗₗ( к) =       , V i, j = 1,2... М,
                     Z О
                     i=1


где ру (к) — переходные вероятности;
к — число уровней Уолша;
М — число состояний марковской цепи;
О — число переходов сигнала Dw из i-ого состояния ву-ое.

   Данные вероятности в совокупности образуют матрицу переходных вероятностей:
Т = ( рД i, j = 1,2,... М,

где Т— матрица переходных вероятностей. Каждый ее элемент (ру) — это вероятность перехода из i-ого состояния ву-ое. Всего существует М состояний, в которых может находиться система.


8

IT-бизнес Анализ финансового рынка

ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА

№ 5(29) 2010

   Сумма элементов матрицы по каждой строке — вероятность того, что система, находившаяся на предыдущем шаге в состоянии i, на следующем шаге окажется в одном из М возможных состояний. Поскольку система всегда находится в одном из М состояний, то вероятность такого события равна 100%. Следовательно, сумма элементов матрицы по любой строке всегда должна быть равна 1:

            м
            Y ру = 1, V i = 1,2... м. у=1

   Эта матрица переходных вероятностей соответствует накопленной на момент расчета информации. Обозначим число уровней Уолша к. Каждому уровню Уолша соответствует шаг расчета. Тогда, зная матрицу переходных вероятностей за к шагов, можно определить вероятности состояний, в котором система будет находиться на следующем (к + 1)-ом шаге:

Pi( к +1) = pw( к), VI = 1,2... М,

где ру(к +1) — вероятность нахождения системы ву-ом состоянии на (к +1)-ом шаге;
pᵢᵣJ(к) — переходная вероятность на к-ом шаге, соответствующая состояниям iK и у при условии, что на к-ом шаге система находилась в iK состоянии.

   Для выделения данной вероятности из матрицы переходных вероятностей Т с математической точки зрения необходимо эту матрицу умножить на вектор, характеризующий состояние системы на к -ом шаге. Поскольку состояние системы на к-ом шаге известно, то его вероятность равна 1, а вероятности всех других состояний — 0, т. е.:

Pₖ(к) = 1; Pi(к) = 0; i ф iK.

   Тогда:

PiKi (к) = ( pj, к),..., рК (к),..., рм (к)) • Т =
= (0, ...,1,...,0) • Т.


   Таким образом, из матрицы Т оказывается выделенной строка с порядковым номером iK.
   Следует отметить, что в разрабатываемой модели используются несколько управляемых параметров:
   •  размер состояния Н;
   •    нижняя граница первого состояния Min;
   •    численное значение приращения уровней Уолша, соответствующее каждому состоянию.
   Поскольку состояние — это не конкретная цена акции, а диапазон цен, то в качестве его характеристики вычисляют середину этого диапазона по формуле:

DW = Min + (у -1/2) • Н, VI = 1,2... М,

где DW — численное значение приращения уровней Уолша дляу-ого состояния;
у — номер состояния.

   Наконец, зная вероятности состояний и их значения, можно вычислить прогнозное значение приращения уровней Уолша (которому соответствует приращение цен акций) на следующем (к +1)-ом шаге:

м
D w (к) = 1 pw- DW.
у=1

   Значение прогнозного уровня Уолша (прогнозной цены акции на следующий период) рассчитывают по формуле:

WK+1 = W + D w (к),

где Dw(к) — вычисленное по модели значение приращения цены акции за период;
Wₖ₊₁ — прогнозное значение цены на следующий временной период;
к— номер шага на момент прогнозирования.

   Для приведенного выше примера с индексом ММВБ (см. рис. 3 (б), 5) матрица переходных вероятностей будет иметь вид:


Е. В. Соколов, Д. В. Бородин

9

IT-бизнес К> Анализ финансового рынка

ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА

№ 5(29) 2010

    ( 0 0  1    0   0   0  0                 1
    0   0   0  1    0    0 0                  
    0   0   0  0,75 0,25 0 0                  
Т = 0,021   0  0   0,396   0,438 0,125 0,021  
    0   0   0  0,35 0,567  0,05 0,033         
    0   0  0,444   0,222   0,333 0   0        
    I0  0,333  0   0,333   0,333 0   0      ? 

Модели прогнозирования цен акций с применением функций Уолша и марковских цепей

   В данной матрице номер строки означает номер состояния, из которого происходит переход, номер столбца — номер состояния, в которое осуществляется переход. Тогда число на пересечении строки и столбца — это вероятность перехода.
   Поскольку последнее приращение цены акции (к =127), представленное на рис. 5, попало в 3 состояние, то из матрицы Т можно выделить третью строку. Умножая ее на вектор (0, 0, 1,0, 0, 0, 0), по формуле (7) получим:

чение уровня Уолша было равно W₁₂₇ = 1590 (см. последний уровень цены на рис. 3 (б)), поэтому следующее окажется равным 1590 - 25 = 1565. Реальное значение следующего уровня (данные получены позже, после построения графиков на рис. 3 (б)) — 1502. Погрешность прогнозирования (5W⁺¹) можно рассчитать по формуле:

еК+1
⁵ W

\wK+₁ - WК+1

У+₁

•100%=

|1565-1502|
   1502    =

4,2%.

                  л0    0    1     0     0     0    0      1                      
                  0    0    0    1     0    0   0                                 
                  0    0   0    0,75 0,25 0   0                                   
(0 0 1 0 0 0 0) х 0,0210   0   0,396 0,4380,125 0,021        = (0 0 0 0,750,250 0)
                  0   0   0   0,35 0,5670,05 0,033                                
                  0   0   0,444     0,2220,333 0   0                              
                  0   0,333    0    0,3330,333 0   0                              

   Таким образом, из матрицы переходных вероятностей были определены вероятности переходов из третьего состояния в другие. С вероятностью 75% переход будет произведен в 4 состояние (ему соответствует приращение, равное половине ширины состояния, т. е. -50), с вероятностью 25% — в пятое состояние (с приращением +50).
   Вычислим матожидание приращения уровней Уолша для следующего шага по формуле (8):

Dw (127) = 0,75 • (-50) + 0,25 • (+50) = - 25.

   Это дает возможность спрогнозировать следующий уровень Уолша: последнее зна

На основании вышеизложенного модель прогнозирования цен акций в долгосрочном

периоде имеет вид:

5

К+1 W

\wK₊₁ - Wк+1

У+1

• 100% ^ min;

Wk = W (t, Т)\t e[( к -1) • То; к • То);

Dw (к - 1) = Wk - Wk_,;

DW = Min + (j -1/2) • H,        Vj = 1,2... M;

Pₗₗ( к) =        , V i, j = 1,2... M;
                Z nil
                i=1


10

IT-бизнес Анализ финансового рынка