О проекционном итерационном методе решения нелинейных уравнений Кармана изгиба пластины

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА                                                      № 195 
 

 
УДК 517.988.8 
 
О ПРОЕКЦИОННОМ ИТЕРАЦИОННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ 
НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ КАРМАНА ИЗГИБА ПЛАСТИНЫ 
 
А.А. ФОНАРЁВ 
 
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л. 
 
Для отыскания решений уравнений Кармана изгиба пластины в канонической форме предлагается проекционный 
итерационный метод наискорейшего спуска, сочетающий в себе проекционный метод и итерационный процесс. 
 
Ключевые слова: проекционный итерационный метод, уравнения Кармана, решение. 
 
Введение 
 
Нелинейные уравнения Кармана [1] изгиба пластины весьма сложны и не могут быть решены точно даже в простейших случаях. 
В статье предлагается проекционный итерационный метод наискорейшего спуска, сочетающий в себе проекционный метод и итерационный процесс, для отыскания приближений к решениям уравнений Кармана изгиба пластины в канонической форме [2]. При этом строится последовательность проекционного итерационного метода, являющаяся компактной, так, что 
каждая её сходящаяся подпоследовательность сходится к решению уравнений Кармана. 
 
1. Каноническая форма уравнений Кармана 
 
Рассмотрим уравнения Кармана изгиба пластины в форме, обычно используемой в известных публикациях [2, с. 81]: 

 
2
2
[ , ]
,
( )
u
u
f
f
L
ϕ
ω
∆
=
+
∈
   в   
,
ω  

 
2
[ , ]
u u
ϕ
∆
= −
   в   
,
ω

0
u
u
ν
= ∂
=
   на   ,
γ

5 2
3 2
0
1
( ),
( )
H
H
ν
ϕ
ϕ
γ
ϕ
ϕ
γ
=
∈
∂
=
∈
   на   ,
γ  

где 
11
22
22
11
12
12
[ ,
]
2
u w
u
w
u
w
u
w
= ∂
∂
+ ∂
∂
− ∂
∂
 (ω  – ограниченная односвязная область евклидова 

пространства 
2
R  с границей γ ). 

В [2] уравнения Кармана изгиба пластинки сводятся к уравнению, называемому канонической формой уравнений Кармана изгиба пластины [2, c. 93], 
 
(
)
( )
0
(
)
I
u
C u
F
u
V
− Λ
+
−
=
∈
 
(1) 

в гильбертовом пространстве С.Л. Соболева 
2
0 ( )
V
H
ω
=
 со скалярным произведением 

 
,
v w
v w

ω
=
∆ ∆
∫
 

и нормой 

 
(
)
(
)

1 2
2
v
v
ω
=
∆
∫
 

для ,
.
v w
V
∈