О некотором признаке сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА                                                         № 120 
Серия Прикладная математика. Информатика 

 
УДК 517.5 
 
О НЕКОТОРОМ ПРИЗНАКЕ СХОДИМОСТИ  
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА ФУРЬЕ В ТОЧКЕ 
 
А.А. ФОНАРЕВ  
 
Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором Красильщиком И.С. 
 
В статье предлагается признак сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке, условия которого проверяются легче, чем условия признака Лебега–Гергена. Показывается, что предлагаемый признак и признак Лебега–
Гергена несравнимы. 
 
1. Общая постановка задачи 
 
В естествознании и технике часто приходится иметь дело с периодическими процессами: 
колебательным и вращательным движением деталей машин и приборов, периодическим движением небесных тел и элементарных частиц, акустическими и электромагнитными колебаниями 
и т. п. Математически все такие процессы описываются периодическими функциями, представимыми в виде своих разложений в тригонометрический ряд Фурье. 
Имеется ряд признаков сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке, являющихся 
классическими результатами в теории рядов Фурье: признаки Дини, Жордана, Вале-Пуссена, 
Юнга, Лебега-Гергена [1]. При этом направление теории рядов, связанное с получением достаточных признаков сходимости ряда Фурье, продолжает развиваться. Одним из наиболее общих 
признаков сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке является признак Лебега–
Гергена. В статье предложен признак сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке, 
условия которого проверяются легче, чем условия признака Лебега-Гергена. Показано, что 
предлагаемый признак и признак Лебега–Гергена несравнимы. 
 
2. Признак сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке 
 
Пусть задана периодическая с периодом 2π  и интегрируемая (по Лебегу) на отрезке 

[
]
,
π π
−
 вещественнозначная функция 
( ).
f x  Ей соответствует ряд Фурье 

 
       
0

1

cos
sin
2
n
n
n

a
a
nx
b
nx

∞

=
+
+
∑
 
(1) 

с коэффициентами 
1
( )cos
na
f x
nxdx

π

π
π −
=
∫
 (
0,1,
)
n =
…  и 
1
( )sin
nb
f x
nx dx

π

π
π −
=
∫
 (
1,2,
).
n =
…  

Введем функции ( )t
ϕ
 и 
( ),
t
Φ
 заданные для 
0,
t ≥
 

0
0
( )
(
)
(
)
2 ,
t
f x
t
f x
t
s
ϕ
=
−
+
+
−
    где 
[
]
0
,
x
π π
∈ −
 и 
,
s∈ℝ     а 

0

( )
( )
.

t

t
d
ϕ τ
τ
Φ
= ∫
 

В нижеследующей теореме 1, являющейся признаком сходимости ряда (1) в точке, используется понятие абсолютно непрерывной на отрезке функции. Напомним, что функция 
( ),
F x
 
заданная на отрезке [
]
,
,
a b
 называется абсолютно непрерывной на отрезке [
]
,
,
a b
 если для вся
кого 
0
ε >
 существует такое 
0,
δ >
 что для любой системы (конечной или счетной) непересе