Текстовые фрагменты публикации
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА
Дедовская Е.В. Махова Н.Б.
Решение дифференциальных уравнений I порядка и некоторых видов дифференциальных уравнений старшего порядка
у'" + у"-6у' = (20х+14)-е²х
Уо.,,. = е²л • х² + С, + С₂е²х + С₃е²х
Библиотека МГАВТ
Москва 2007
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА
МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Ледовская Е.В.
Махова Н.Б.
Методические указания к типовому расчету по теме «Решение дифференциальных уравнений I порядка
и некоторых видов дифференциальных уравнений старшего порядка».
Москва 2007
УДК 517.91
ББК22.161.6я73
Дедовская Е.В., Махова Н.Б.
« Реп ение дифференциальных уравнений I порядка и некоторых видов дифференциальных уравнений старшего порядка»
Предложенное учебно-методическое пособие посвящено решению дифференциальных уравнений и позволяв!? получить практические навыки при определении типов и выборе методов решения дифференциальных уравнений.
Л пособии кратко изложена теория и разобраны примеры решения дифференциальных уравнений. В конце пособия предложены варианты заданий для типового расчёта по курсу «Диф ференциальные уравнения»
Пособие может быть использовано студентами при изучении соответствующего раздела и преподавателями для выдачи заданий по типовым расчётам курса.
Одобрено на заседании кафедры высшей математики (про'?окол №6 от14.02.2007)
Рекомендовано к изданию на Учебно-методическом
совете МГАВТ (протокол № _ от 03.05.2007)
ОГЛАВЛЕНИЕ
I. Основные понятия............................................ 4
II. Дифференциальные уравнения первого порядка.................. 5
1 .Уравнения с разделяющимися переменными (Задача № 1) 5 2.Уравнения с однородными функциями (Задача №2)............ 6
.-{.Уравнения, приводящиеся к виду “с однородными функциями"
(Задача №3)......................................... 8
4 .Линейные уравнения. Решение задачи Коши. (Задача №4). 10
5 .Уравнения Бернулли. (Задача №5)................... 13
б .Уравнения в полных дифференциалах (Задача №6)......... 14
Ill. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.................................. 17
1 .Уравнения вида /(х₁У"_,,,Ул,) = 0 (Задача №7)......... 17
2 .Уравнения вида = 0 (Задача №8)........................ 18
IV. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков... 19
1 .Основные понятия...................................... 19
2 . Общее решение однородных уравнений.................. 20
3 .Линейные неоднородные уравнения....................... 20
3.1 .Линейные уравнения с правой частью вида: f (х) = Рт (х) (Задача №9).......................................... 22
3.2. Линейные уравнения с правой частью вида: f(x}^CmРп(х) (Задача №10)....................................... 23
3.3. Линейные уравнения с правой частью вида:
f(x) =^m^A.-cosfix + N -sinfix) (Задача №11)....... 25
3.4. Линейные уравнения с правой частью вида:
(Задача №12)........................26
Варианты заданий для типового расчета по теме «Дифференциальные уравнения»....................................................29
Список литературы.............................................38
1. Основные понятая.
II. Дифференциальные уравнения первого порядка.
1 .Уравнения с разделяющимися переменными (Задача №1).
Дифференциальные уравнения - это уравнения, в которые вход!Т переменная, неизвестная функция этой переменной, и производные неизвестной функции:
F{x^y,>ya^yM)^
Порядок уравнения определяется передком старшей производной.
Определение!: Решением, интегралом или интегральной кривей дифференциального уравнения называется п р.аз дифференцируемая функция у-=ф(х), удовлетворяющая этому уравнению, т.е. такая, что
F (х,р(х),р'(х),..., <рм (х)) з О (1)
тождественно по хна некотором участке изменения х.
Определение?: Общим решением, называю!' функцию
у = Ф(х,С₁,С₂>...,Сг), (2)
зависящую от аргумента х и констант СьС*...,^ (количество констант определяется порядком уравнения), такую, что: а) при произвольном выборе констант является решением заданного уравнения;
б) какие бы ни были заданы начальные условия
уЫ = д. у'Ы=у1, ■,у'’~"Ы = у1’~" (3)
существует единственный набор констант Cj—Сю , Сг^Сго, Сп=Спо такой, что функция у = Ф(хэС₁О,С₂₀,...,СиО) (4)
удовлетворяет начальным условиям (3).
Если в результате интегрирования дифференциального уравнения решение найдено в неявном виде Ф(х,у,С₁,Сг,...,Си)==0, говорят, что найден общий интеграл дифференциального уравнения.
Определение З’.Частным решением дифференциального уравнения навивают функцию у =--Ф(х,С₁О.С₂₀,...,С„с), которая получается гз общего решения (2) при определенном значении констант С1=Сю , Са =Czo> C,i=Cₙo
Геометрически общее решение (2) представляет собой семейство кривых на плоскости OXY , зависящее от п произвольных постоянных Ci,C2,...,Cₗₛ а частное решение (4) - одну интефальную кривую этого семейства, проходя] цую через точку (х₀,у₀) и удовлетворяющую условиям (3), наложенным на производные функции у.
Определение 4: Задачей Коши называется задача отыскания решения уравнения (1), удовлетворяющего начальным условиям (3).
Уравнение вида у' = /(х) - g(y) (5)
где и 8<У) , - непрерывные функции, называется
дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Для отыскания решения уравнения (5) надо разделить в нем переменные. Для этого заменяют в (5) у' на —, обе часта уравнения (5) dr-
делят на g(y) (предполагая g(y)*O) и умножают на dr. Тогда уравнение (5) принимает вид:
(6)
В этом уравнении переменная х входит только в правую часть, а переменная у - только в левую (т.е переменные разделены). Интегрируя (6), получаем:
i+C, = р(х)А+Сг,ит1 f-^-= f/(x)A+C.
g(X> J г'Ы J (7)
где С = С₂ - Cj - произвольная постоянная.
Соотношение (7) определяет неявным образом общее решение уравнения (Ч
Возможна другая форма записи уравнения с разделяющимися переменными. А именно:
.A W - а (у)ф + Л W ■ " о. (8)
Здесь дифференциалы переменных записаны отдельно, и каждый из них умножен на произведение функций, зависящих только от одной переменной. В этом случае все уравнение делят на “посторонние” сомножители каждого слагаемого (в том слагаемом, где есть дифференциал переменной х, “посторонним” будет множитель, зависящий от у, и наоборот, там где есть dy, “посторонним” является множитель, зависящий от х), т.е. уравнение (8) делят на #,(у)и /₂(х) (предполагая
А(х) ?= О и gₜ(y) 0). Уравнение принимает вид:
А(*> а(>)
Интегрируя это равенство, получим:
(9)
(Ю)
ПРИМЕР!.
20xdx - 3ydy ~ Зхг ydy - 5xy²dx
В этом уравнении дифференциалы переменных представлены в явном i-иде. Будем разделять переменные. Дня этого перенесем все слагаемые, содержащие dy в правую часть, a dx - в левую часть уравнение:
20 <cdx+Sx^dx = 3x²ydy + 3ydy
Вынесем общие множители в левой и правой частях уравнения:
5х 4+y⁷)dx = Зу(х⁷ + 1)ф ■
Разделим левую и правую части уравнения на множители, являющиеся “посторонними” в каждом произведении. Для части, содержащей , “посторонним” будет множитель, зависящий от у, т.е. 4+у⁷, а для части, содержа цей ф - м ножитель, зависящи й от х, т.е. х² +1.
. Интегрируем полученное равенство:
Получим: ЛЙЪ
J Х²₊] /₊4
, учитывая, что tdt ~ —<*(* ² «), перепишем:
5 -J(x²+1) я 3fd(y²+4) г du. , , । _
2. ТТп ⁺ с ' 2 J /ТГ’ ™-JV⁼⁺с’ гюлучим
■|li|x²+l| + C=- ⁺ ⁴|или оконч ательно:
Зк^+^+С^З 1зт| у⁷ + 4|.
Решение получено в неявном виде, т.е. в виде общего интеграта.
2 .Уравнения с однородными функциями (Задача №2).
Определение 5: Функция двух переменныхf{x,y) называется
однородной функцией измерения к, если при любом значении Л сп] >аведливо равенство
Л.Ь,Лу) = Л*Ях,у). (11)
В частности, функция являете:! однородной функцией нулевое? измерения, еслипрн любом значении Л справедливо
/(.1х,ЯЯ = /(х,у). (12)
Т.в. Л выбирается производив о, можно взять 2 = --. Но тогда X
равенство (12) принимает вид: /■(!,--) = /(х,у). х
Таким образом, однородная функция нулевого измерения зависши только от отношения —.
Например, функция /(x,y) = 5j/-2j^+3x³ - однородная функция третьего измерен! я, т.к.
/(Лх,Я>) = = 5(А>)³ -2Дл:(Ли)г т 3(Лг)³ = Яэ(5/ -2ху² +3хэ) » Я? -/(х,у).
А функция f(x,y) = ~—²у ⁺Х - однородная функция нулевого измерения, 2х-у
т.к. числитель и знаменатель дроби представляют собой однородные функции первого измерения (убедиться самостоятельно). Покажем, что данная функция может быть представлена как функция отношения —. Для этого вынесем переменную х за скобки под корнем, затем за скобки в числителе и знаменателе:
Уравнение вида У' (13)
где f(х, у) - однородная функция нулевого измерения, называется дифференциальным уравнением с однородными функциями.
Решение уравнений такого вида основано на том факте, что однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения —. Такие уравнения приводят к виду уравнений с разделяющимися переменными, вводя новую функцию по формуле
г», (14)
X
и учитывая, что у = х t, а значит
У = Г+хГ. (15).
Подставляя (14) и (15) в (13), получим уравнение с разделяющимися переменными:
г+х-г’ = 7(0-
1-г х , dt
Перенося t в правую часть и заменяя г на—, получаем dx
dx
Разделяя переменные, окончательно получим;
(16) /«)-< X
После интегрирования уравнения (16) выполняют обратную подстановку по формуле (14).
Еще одна форма уравнений с однородными функциями имеет вид: /•F(x,y) = G(x,y) (17)
где F(x у), G(x,y)- однородные функции одинакового измерения. Разделив такое уравнение на F(x,y) * 0, получают уравнение вида (13).
пример 2.
2х²-«х>>
Убедившись, что функция в правой части является однородной функцией нулевого измерения (самостоятельно), вводим новую функцию по формулам:
у' - t+X‘t', y — x-t, у'-t+x-f.
Получаем уравнение с новой функцией: t + x-f-^^ ² 3-—. 2х -6x-xt
Вынесем в числителе н знаменателе правой части х² за скобки и сократим дробь. Уравнение примет вид: г+х• г* = кш/+х7 =~~-.
В полученном уравнении перенесем t в правую часть и приведем
выражение в правой части к общему знаменателю:
1+2/-5/²-2/t-6/a , г²-И
------------------, т.е. x-t . 2 — 6/-----------2—5/
I+2/-5/² д
----------₁ или 2-6/
Заменим /' на и разделим переменные: х~⁼ |~^’ тогда
Интегрь руем полученное у равнение:
т.е. 2areg/- 31ц!/² + lj = ln]x| + C.
В полуденное решение подставляем значение t и окончательно получаем
решение заданного уравнения в неявном виде:
2irctg|--31nW +I=ln|x|
3 .Уравнения, приводящиеся к виду “с однородными функциями” (Задача №3).
Уравь. ениявида У = н€ являются уравнениями с
Я₂Х + &2У + С₂
однородными функциями, если с, * 0 в с₂ *■ 0, но могут быть приведены к
{Х = х+1Я
(18)
В этом случае ~ ~. Числа тик подбираются таким образом, чтобы dx dx{
дробь в правой части нового уравнения была однородной функцией нулевого измерения. Подставим равенства (18) в числитель н знаменатель правой части уравнения. Дробь примет вид—^-Х| ⁺ т—.
afa + т)+Ь₂(у} + к)+с₂
Раскрывая скобки н приводя подобные слагаемые, получим дробь
„ а,х, + Ь.у, + (а,тп + Ь,к + сЛ аналогичную неходкой: —*-*———--------*-¹—.
а₂х} + Ь₂У) + (а₂тп »• Ь₂к + с₂)
Для того, чтобы эта дробь была однородной, приравняем свободные коэффициенты в числителе и знаменателе к нулю:
bₘ ₊ ᵢ*₊c,₌O '
[а₂т+Ь₂к+с₂ = О
Полученные условия (19) служат для определения чисел тик.
С новыми переменными исходное уравнение примет вид: у = ^Xⁱ⁺bⁱyⁱ .
Это уравнение с однородными функциями, решение которых рассмотрено выше.
ПРИМЕР 3. у = у--
2х + у~4
Введем новые переменные по формулам (18) .Подставим эти выражения в исходное уравнение:
, у.+к + 2 . у.+(£ + 2)
у. =---.<!—---------или у' ₌----\_
2(Xj + m) + (y, + fc)-4 2xₜ +yₜ + (2m + k-4)
Приравняем свободные коэффициенты к нулю н определим ти к.
[А+ 2 = О (к = -2 (к=-2
( тогда < т.е. <
|2т + А —4 = 0 |m=—1/2А + 2 [w-3
В данном случае формулы (18) принимают вид: ⁺ .
При найденных значениях тик уравнение примет вид: у=—.
2х,+у,
Выносим в знаменателе Xi за скобки: у =--------------------- или
ХД2+У,/*,)
Л
У = —2L1— .Используя подстановку — = t, у. = tx., у. = t'x. +1, преобразуем
₂ ₊ 21
уравнение к виду: /,х|+/=—¹~—. Переносим t в правую часть, приводим
правую часть к общему знаменателю, получаем: ---------¹ или
, —t-t¹ rj , dt dt -t-i¹
1хг~----. Заменяем t на —- и разделяем переменные:---х, ----
2+t dx, dx, 2+t
(2+t)dt dx. T_
тогда -------^=-==—J-. Интегрируем полученное уравнение¹:
j®=4⁺c’
Выполним преобразование первой подынтегральной функции:
/4-2 ¹ ⁺ ² ____/4-2 ___/4-2__₌ 3/2 /4-1/2
^₊₂.₍.1₊1_1 f iY_i 1/ i.Y f 1Y.1’
²⁴⁴ I 2) 4 4 [ 2J [ 2) 4
Уравнен ie примет вид: 3/2 [-—--т-1/2[—fc±VSjd^ = ]ₙbₜ|₊f.
¹ Jl/4-(₍ ₊ l/z! j (/+l/2)!-V4 ¹¹¹
Получаем: j—bj2±l^±^||-.Liⁱ₁|(I₊¹/2)I-¹/4| = lⁿ]₄|+c. Запишем
постоянь ую интегрирования С как Injcj и, преобразовав, получим:
||п|ф-1 ■ ⁺'1=|пМ⁺,пП ■и™ =ⁱⁿic*ii •
Значит: Ц^«Ох, или Г4-1 = О/г-х,. Подставляем значение / =—, / *1
получим
~+1~ С j • xₜ. Умножая равенство на xₜ, получим у] 4- х₍ = С • у².
Вернемся к исходным обозначениям по формулам Гс’ х ³ . Получим [у, =>4 2
решение исходного уравнения: (у+2) + (х-3) = С-(у+2)². Либо
окончатетьно: х+у = С-(у 4-2/4-1.
4 .Линейные уравнения. Решение задач и Коши. (Задача №4).
Уравнение вида
У+р(х)у = /(хД (20)
йгЬ ₘp(x) И . н£предывны_е,. функг/ии, называется линейным
Один из методов решения таких уравнений — метод Бернулли. Он заключается в том, что решение ищут в виде произведения двух функций:
y = w(x)-v(x) (21)
В э' ’ом случае у' = ilv 4- uv’ (22)
Подставляя у и у в исходное уравнение, получают уравнение: u'v+uv'+p-u-v ~f (23)
Затем выполняют группировку слагаемых, содержащих одну из функций: l4-(v'4-pv) + «'-V = / (24)
Каждая функция из произведения (21) может быть выбрана произвольно, только все произведение в целом должно удовлетворять уравнению (20). Поэтому ту функцию, которая осталась в скобках, находят из условия - выражение в скобках приравнивается к нулю:
v' 4- р • v == 0 (25)
Полученное уравнение - с разделяющимися переменными. Его разрешают относительно неизвестной функции V. При этом находят только одну функцию, удовлетворяющую уравнению (25) (интегрируя уравнение (25), в решение не включают постоянную интегрирования).
Найденную функцию подставляют в уравнение (24), которое с учетом равенства (25), принимает вид: г/-г(х) = /(х) (26)
Это уравнение также является уравнением с разделяющимися переменными. Его разрешают относительно неизвестной функции и(х). Найденные функции v = v(x) и « = «(х,С) подставляют в равенство (21).
ПРИМЕР 4.Найти решение задачи Коши. у~у!х ~-21х², у(1) = 1- (27)
Для решения этой задачи сначала найдем общее решение заданного уравнения в виде y = u-v, тогда у' = u'v+uv'. Уравнение принимает вид: u'v+uV — uv/ х = —2/х² Группируем слагаемые, содержащие функцию v, функцию и выносим за скобки: и - (v* - v/x) 4- u'v = -2/х². (28)
Находим функцию v, приравняв к нулю выражение в скобках: v'-v/x = 0. о , dv dv v dv dx
Заменяем г'на— и разделяем переменные: — == —, т.е. —=—.
dx dx х V х
Интегрируя это равенство, находим одну функцию v, удовлетворяющую уравнению: J-— = J—, значит ln|vj = 1п]х] ,т.е. v = х.
Подставляем найденную функцию v в уравнение (28), с учетом равенства нулю выражения в скобках, получаем уравнение относительно неизвестной функции и:
«’-х = -2/х². Заменяем и'на — и разделяем перейенные:х-—=—т.е. dx dx х²
du = ~^-. Интегрируя, находим функцию и: рк = -2|‘-^+С или
io
u=-2jx'³t&+C, значит u = -j+C. Подставляем найденные значения мил находим общее решение уравнения (27): щ=^Д+с}-х или
у = --Сх. (29)
Т.к. г оставлена задача Кошн, необходимо из найденного семейства функций (29) выбрать такую функцию, которая удовлетворяет условию XI) = 1- Т.е. используя заданные начальные условия, надо определшь конкретное значение постоянной С. Для этого в найденное общее решение подставим х=1 н у = 1. Получим уравнение для определения С:1 = |+С«], Откуда следует, что С = 0. Подставляем это значение в общее решение (2S¹) и находим частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям: у = —.
х
Другой метод решения уравнений (20) — метод Лагранжа, который заключался в том, что сначала решают однородное уравнение, соответствующее исходному:
(30)
Общее решение уравнения (30) находят, разделяя переменные, в виде:
(31)
где С - гронзвольная постоянная.
Общее решение уравнения (20) вариадни ищут, вариацией произвольной постоянной в виде:
(32)
где С(х, - некоторая, подлежащая определевмю, дифференцируемая функция ОТ X.
Для нахождения С(х) нужно подставить у в исходное уравнение, которое принимает вид уравнения с разделяющимися переменными.
ПРИМЕ?. Проинтегрировать уравнение
arcsinx+x.
(33)
Однородное уравнение, соответствующее исходному, имеет вид:
Разделяя переменные, интегрируем это уравнение: ~ = /лу = ~?и(1-х²)+/лС, т.е. y==cVl-x² ■
(34)
Полагаем теперь у = С(х)71-х²;
тогда у = С’(х)т/1-х² - х^х^ . 71-х²
(35)
(36)
Подставляя в уравнение (33) равенства (35) и (36), получим:
С'(х ~ хг —х )Jl-x² = arcsinx+х, (37)
71-х² 1-х
, arcsinx х /аоч
т.е. С(х) = ~г==+~Г= - (38)
71-х² 71-Х²
Интегрируя, находим:
Найденное значение (39) подставляем в равенство (35) и окончательно получаем общее решение уравнения (33):
у - 71—х² (arcsin х)²
5.Уравнения Бернулли. (Задача №5).
Уравнение вида
У + Р(х)-У = /(х)-у\ (40)
еде у(х) и /(х) - непрерывные функции, называется уравнением Б.врнущи
Уравнения такого вида можно привести к виду линейных уравнений. Разделив уравнение на у", получают уравнение:у*-у""+р(х)-у¹"” ~f(x). Замена z = y’"”;z'-y'-y"" приводит к линейному уравнению z’ + y(x)z = /(x).
Кроме того, такие уравнения можно сразу решать методом Бернулли, так же как и линейные уравнения.
ПРИМЕР 5.Найти решение задачи Коши.
У' - У ■ tgx = -(2/3)у⁴ sinx, у(0) = 1. (41)
Будем искать решение сразу методом Бернулли: в виде произведения у = w(x) v(x), у ~и'-v+u-v'. Выполняя указанную подстановку, получаем уравнение: «’v+wv’-w-v-(gx = -(2/3)-w⁴-v⁴-sinx. Группируем слагаемые, содержащие функцию v, функцию и выносим за скобки:
uly'-v ■ tgx) + и' v = -(2/3) - и⁴ - V⁴ - sinx (42)
13
Находим функцию v, приравняв к нулю выражение в скобках: v' - v -tgx = С-. п , dv dv . dv sinx-dx
Заменяем vna— и разделяем переменные: — = v-tgx, т.е.— =-------------.
dx dx v cosx
Интегрируя это равенство, находим одну функцию v, удовлетворяющую уравнению: |^= Г-пх' — или Г— Значит 1пЫ == -Inlcosxl, т.е.
J v ■’ cosx J v ³ cosx
Inlvl = lnj(< .osx)⁻¹1, т.е. v = ——. ’ ¹ I > cosx
Подстав таем найденную функцию v в уравнение (42), с учетом равенства нулю зыражения в скобках, пс луча ем уравнение относительно неизвестной функции и:
и' I ₄ sinx „ , du
-----±=---и------. Заменяем и н<— и разделяем переменные: cosx J cos х dx
du 2 л sinx < , 2 ₄ siix *, .
—=—и-----------—, т.е. и du=---и----г—. Интегрируя, находим функцию
dx 3 cos х 3 corx
fu^du = ~ Jcos ³
-1 _ 2co..~²x । g u³~ -2 ⁺ ‘
или
— = —Jcos x-a(cosx)+C.
x-sinx dx + Сили
1 1 1 l+Ccos’x
— = —— IC, т.е. -~ =--------------
U COS X U COS -C
Тогда
Значит
з COS X I COS X I³
w =—-—, a и = -----------x—• . Подставляем найденные значения и и и,
1+Ссозгх ll + Ccos²x)
находим общее решение уравнения (41):
У J со;²* Y.или у _____________________L_, т.е. у₌__ ¹ (43)
^l + Csos X) COSX (1-1-СсО3²х)’Л cos* ^C0Sx(l + Cc3S*x)
Для решения задачи Коши необходимо найти функцию, удовлетворяющую начальным условиям у(0) = 1. Определим значение постоянной С, подставляя х = 0, у = 1в общее решение (43). Получим: 1= г-— * или -^==-1; 1 + С = 1; С-0. Таким образом
ycosOl+С cos² 0) V1 + C
1 решением поставленной задачи является функция у=-===. Vcosx
б.Уравнения в полных дифференциалах (Задача №6),
Определение 6: Полным дифференциалом функции двух
переменных F(x,y) называется выражение dr ==—dx+—dy. дх fy '
Уравнение вида
M{x,y)dx + N(x,y)dy ~ 0 , (44)
где левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции двух переменных F(xy) называется уравнением в полных дифференциалах.
Если уравнение (44) является уравнением в полных дифференциалах, то его можно записать следующим образом: d F{x,y) = О.
Отсюда следует, что общее решение уравнения (44) в неявном виде определяется равенством
F(x,y) = C, (45)
где С - произвольная постоянная.
Решая уравнения вида (44), необходимо сначала убедиться, что левая часть этого уравнения — действительно полный дифференциал некоторой функции F(x,y). Т.е. проверить, что функции М(х,у) - частная производная по х, a N(x,y) - частная производная по у одной и той же функции:
8F BF
М(Х,У)^—; Мх,у) = ^- (46)
ох ду
Для этого используют следующее свойство частных производных: смешанные частные производные второго порядка функции двух a⁷/' d²F , ,
переменных — • - и-----не зависят от порядка дифференцирования и
8хду дудх
dfdF} d(dF} „ .
совпадают, т.е. — — = — — . I юэтому дифференцируют функцию 8х\ду) 8у\дх)
М(х,у) по у, а функцию N(x,y) по х (чтобы получить смешанные частные производные второго порядка) н сравнивают полученные функции. Если они совпали, значит, уравнение действительно является уравнением в полных дифференциалах.
После того, как проверка выполнена, решение уравнения сводится к определению функции F(x,y) для подстановки его в решение (45).
Для этого интегрируют функцию М(х,у) по переменной х (т.к. она является частной производной по этой переменной):
F(>.y)= fa (х, ?№+(,(?), (47)
где <р(у) - постоянная интегрирования, которую считают зависящей от у . На этом этапе решения <р{у) - ещё неопределенная. Для окончательного получения Ffcy) найденную функцию (47) дифференцируют по переменной у н приравнивают к уже известной, частной производной функции F(x,у) по у, т.е. к функции N(x,y)-.
~^M(x,y)dx^-<р'(у) = N(x,y). Полученное дифференциальное уравнение решают относительно неизвестной функции <р по переменной у .
Полученную функцию $j(y) подставляют в (47), а окончательно определенную функцию F(x,y) в решение (45).
ПРИМЕР 6. х-у² dx + у-(х² + y²)dy = 0 (48)
Эго уравнение имеет вид уравнения (44). Здесь Af(x,y) := х/; N{x,y) = у(х² + у²).
Полагал, что ЛфыУ)=~; М*>У) = —проверим это. Вычислим ОС бу
смешанные производные второго порядка функции F(x,y) по её частным производным первого порядка (при вычислении частной производной то переменной х, переменную у рассматриваем как константу, а при вычислении производной по переменной у, константой считаем переменную х).
Получи ти совпадение смешанных частных производных второго порядка. Будем определять функцию Ffcy), интегрируя функцию Mfcy) по переменной х. При этом полагаем y^oonst, и постоянную интегрирования (обознашем у(у) ) считаем зависящей от у.
Р(.Х>У) = fa/dr + (Р(у) = у¹ jxdx + ?>(у) = у² у + р(у) = ~х²у² + р(у). (4$)
ФункциаК(х,у/ определена с точность до постоянной интегрирования ^(>). Для определения р(у) продифференцируем полученную функцию (49) по переметной у (х считаем! постоянной величиной) и приравняем к известной частной производной функции F(x,y) по у, т.е, к функции N(x,yf.
¥⁼"rl1* V + <Л ->■)] = • 1у+v'M=^У+^-,
иу . J X х
с другой стороны, — = Л(х,у) = у(х² 4 >²). ду
Приравнивая, получаем дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции $з(у) -.х²у+<р' = ytx² +./)- В этом уравнении у -переменная величина, x-const.
Заменяем р'(у) на — и разделяем
ty
_ f dtp ■, , dtp , ,
переменные:х у 4-= х у 4- у ; — = у ; d<p - ydy. Интегрируем
ф dy
получен ное уравнение и находим <у) ]ф = Jy’dc+С; р = X . + с.
Таким образом окончательно найдена функция F(x,y)‘.
F(x,y) = £х²у²+^у* + С. Так как решение уравнения в полньх
дифференциалах выражается формулой (45), решение данного уравнения имеет вид:
или окончательно: —х²у² +— уА = С, где С = С-С - произвольная
постоянная.
III. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
1 .Уравнения вида /‘(х.у⁽"~|>,у⁽">) = О (Задача №7).
Уравнения такого вида не содержат в явном виде неизвестной функции у и её производных до (п-2)-го порядка включительно. Для понижения порядка, уравнения вводят новую функцию по формуле: z(x) == у<и_,⁾. Тогда z'(x) = у<и⁾, и уравнение превращается в уравнение первого поряд ка. Решая его, находят функцию z(x), которую затем интегрируют п-1 раз для получения функции у(х).
Так как при каждом интегрировании в решение включается постоянная интегрирования, окончательная функция зависит от аргумента х и п произвольных постоянных С], Сг,..., Сп.
ПРИМЕР 7.
(50)
В этом уравнении старшей производной является производная третьего порядка, кроме того в уравнении представлена производная второго порядка, а искомая функция и её первая производная в явном виде отсутствуют. Поэтому понижение порядка уравнения выполняем по формулам: z(x) = y"; (51)
z'(x) = y”'. Уравнение принимает вид: x-z'4-z = -~ или z’ + z™ = ^=. Это
линейное уравнение. Будем искать его решение в виде произведения двух функций: z = u-v, тогда z' = i/v4-«v'. Подставляем в уравнение:
uv' 4 UV—
Группируем слагаемые, содержащие функцию v,
функцию и выносим за скобки:
u'v 4- и(У 4- V—) = — X XVX
Функцию v находим, приравнивая к нулю выражение в скобках:
(52)
(53)
17
о , dv dv v dv dx
Заменяем v на — и разделяем переменные: — =—; т.е. — ------------.
dx dx х v х
Интегрируя, находим только одну функцию v, удсвлетворяюгцую условию (53): значит ln|v| --1п|х| или ln[v| = ln|—|. Таким образом v==-.
Найденную функцию подставляем в уравнение (52) и , с учетом равенства. (53), пол учаем: Г. X л}Х
Определяем функцию w, интегрируя уравнение — -=х ² или du = х ²dx:
ри= Jx ²dx+C\. Значит и-2-Jx+Q. Подставляем найденные значения
функций и и v, определяем функцию z : z(x) = (2₄/x + C])-—. Найденную х
2 с
функции > подставляем в равенство (40) /'=:—=+ -1 (54).
Jx х
/ 2 с )
Интегри руя равенство (43), находим у: у' = fl-=+-± L&+C,. Получаем \Vx х)
У = 2 Jx ² dx + С] J~ +С₂ или У = 4-Jx + 1п|х|+С₂. Интегрируя последив з
равенств э, находим у: у = j(47x + С, 1п[х| - С₂)а'х+С₃. Подробнее:
У = 4 Jx²d с+С₍ fln]4& + С₂ Jefr + С₃ (55)
Т.к Jlnxifr = xlnx + х, окончательно получаем у = --/х³ + C,(xfaix+х)+ Qx+C₃.
Уравнение принимает вид: у* z' -z =у⁴ -16. Заменяем z’ на —- и разделяем
переменные: у³ • ~ ■ z = у* -16, т.е. zdz = - dy ■ Интегрируя, находим: dy у
^zdz- ^~~^dy+Cj или —■ - |уф-1б|у'³ф’+С₁. Т.е. ^- = ^-+-^+С,.
_ z I Jy⁴ +2Gy* +16 „
Окончательно, выражая z(y), получим: z = -—----!. Подстановка
этой функции приводит к уравнению: у = —---*-----.
Т.к. в данном случае требуется найти частное решение, можно воспользоваться начальными условиями уже иа этом этапе решения задачи для определения первой из двух констант, которые должны входить в общее решение дифференциального уравнения второго порядка. Это упростит следующий этап интегрирования.
Подставим в полученное выражение для производной начальное условие:
у₀ = 2^2; уо- ^2, получим л/2 = ⁺ } или 1+ go = 16.
2v2
Отсюда Ci=-4. Подставив Сь получаем уравнение: у' = ^- ⁺*⁶ или
— = ———. Разделяем переменные и интегрируем: [ +1HQ = [«& dx у Jу -4 J
т°гда: — ИпС, = л или: 1л(/ - 4)+ taC₂ = 2х. Откуда, используя
2.Уравнения вида / (у",у) = 0 (Задача №8).
Уравнения такого вида не содержат в явном виде аргумент? х. Для понижения порядка уравнения вводят новую функцию по формуле z(y) = y. (56)
» d(y') йУ dy dz dy dz
1огдв у = ~—2 = ~±—₌ ....zy), и уравнение превращается в dx dy dx dy dx dy
уравненг e первого порядка относителыо неизвестной функции z(y). Решат его, находят функцию z(y), которую подставляют в (56). Полученное дифференциальное уравнение первого порядка решают относительно функции у(х).
ПРИМЕТ* ¹8. Решить задачу Копти у³/ = / -16, у(0) -- 2 Л, у (()) = ^2. (57)
Т.к. данное уравнение не зависит явным образом от переменной х, понижаем порядок уравнения. Вводим новую функцию z(y) го формулам: y = z(y);/ = z'-z .
свойства логарифмов, получаем: С₂-(^² -4]=ё^х . Для получения окончательного решения подставим начальные условия х₀ = 0; yₜ₎ = 2-^2 и определимСг: - 4) = в⁰; Са • (8 - 4) = 1; С₂ = 1 /4 Таким образом,
решением задачи Коши является функция 1/4(у²-4)=в²х; у¹ -4 = 4С²х ИЛИу = 2у/^Х +1 .
IV. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
I .Основные понятия.
Определение 7. Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка называют уравнение вида:
Ц>У⁽Я⁾ + + -+а„-1У’ + Ы = / W (⁵ ⁸)
18
