Теория вероятностей в примерах, решение задач. Часть 1. Случайные события
Покупка
Основная коллекция
Автор:
Буреев В. А.
Год издания: 2007
Кол-во страниц: 40
Дополнительно
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 09.03.03: Прикладная информатика
- 09.03.04: Программная инженерия
- 11.03.02: Инфокоммуникационные технологии и системы связи
- 38.03.01: Экономика
- 45.03.04: Интеллектуальные системы в гуманитарной сфере
- ВО - Специалитет
- 21.05.04: Горное дело
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Буреев В.А., Махова Н.Б.
Теория вероятностей в примерах решениях задач.
Часть I. Случайные события.
Москва 2007
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА
МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Буреев В. А., Махова Н.Б.
Теория вероятностей в примерах, решениях задач.
Часть I. Случайные события.
Допущено Министерством транспорта Российской Федерации в качестве учебного пособия в сфере образования для студентов учебных заведений водного транспорта. Приказ № 37/15-э.з. от 08,06.2007.
■^Москва 2007
Оглавление
удк sm
ББК 22.17я7
Допу] цени Министерством транспорта Российской Федерации в качестве учебного пособ яя в сфере образования для студентов з'чебньп заведений водного транспорта. Ирик и № 37/15-э.з. от 08.06.2007.
Реком зндовано к изданию на Учебно-методическом совете МГАВТ
Рецен 1енты профессор кафедры высшей математики MEАВТ к. ф - м н. Киселев ДМ., профе гсор высшей математики МГАВТ к. ф - м. н. Логанов В.А., доцент высшей матем пики МГТУ им. Баумана к. т. н. Кряжановская Л.Ю.
Буреев В, А., Махова Н.Б.
Теории вероятностей в примерах, решениях задач.
Часть I. Случайные события.
В пособии предложеаа методика решения задач по теории вероятностей по те нам: комбинаторна, теоремы сложения, умножения вероятностей, повторные нспьп алия, формула полной вероятное!?!, формула Байеса. Случ айная величина.
Пособие может быть использовано студентами пра самоподготовке по соответствующему разделу, а также как сборник заданий на практических занятиях.
Одобрено на заседании кафедры высшей математики (прстокол № 2 от 28.09.2005)
Рекомендовано к изданию на Учебно-методическом
совете МГАВТ (протокол № 3 от 08.12.2005)
Введение................................................. 5
Практическое занятие №1. Тема: Основные понятия теории вероятностей...................7
Практическое занятие № 2.
Тема: Основные зависимости комбинаторики. Классическое определение вероятности.................................................11
Практическое занятие № 3.
Тема: Геометрическая вероятность. Задача Бюффона............23
Практическое за нит не № 4.
Тема. Теории сложения совместных и несовместных событий. Теории умножения зависимых и независимых событий............28
Практическое занятие № 5.
Тема. Повторные испытания. Теорема Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Теорема Пуассона...........................39
Практическое занятие № 6.
Тема. Формула полной вероятности. Формула Байеса............53
Теория вероятности с “улыбкой”..............................64
Индивидуальные типовые задания по теме “Теория вероятностей. Часть I. Случайные события”...........67
Вариант!....................................................67
Вариант 2...................................................68
Вариант 3................................................. 69
Вариант 4...................................................70
Вариант 5...................................................71
Вариант 6................................................. 72
Вариант 7...................................................73
Вариант 8...................................................74
Вариант 9...................................................75
Вариант 10..................................................76
Ответы к индивидуальным заданиям............................77
Список использованной литературы............................78
Введение
Т- :ория вероятностей - это наука о случайных событиях. Событием можно считать все то, ¹ то может произойти или ве произойти при осуществлении определенного комплекса у гловий. Каждое такое осуществление называется испытанием. Например, соб.ятие может с< стоять в выпадении герба при бросании монеты; в этом случае испытанием будет служить бросание монеты. Событие может состоять в том, что некоторое изделие, выбранное из партии готовых изделий, окажется бракованным; в этом случае испытанием будет ся окать акт выборки изделия из партии.
X трактирной чертой случайного события является то, что в результате испытания оно прот сходит не обязательно; это отливает случайное событие от того, которое проис ходит обязательно. Случайность события связана с тем, что многие факторы, сопутствующие испытанию и существенные для его исхода, не задаются.
Закономерное™ случайных событий проявляются при многократном повторении испытаний. Например, нельзя предсказать результат единичного бросания монеты: может выпасть хак герб, так и цифра. Никого особенно не удивит, если при десятикратном бросании герб выпадет всего два раза. Но если при 1000-кратном бросании герб выпадет всего 200 р; 1з, то есть основание полагать, что что-то не в порядке либо с монетой, либо с бросанием: ведь при симметричных условиях нн герб, ни цифра не имеют преимуществ; друг пер зд другом, т. е. оии должны выпадать примерно одинаково часто. Например после 1000 бросаний герб не обязательно выпадет ровно 500 раз, он может выпасть и 45’0, и 525 раз, ю не 200. Таким образом, результат однокршной выборки из партии изделий не позволяв г сделать заключение о качестве па]>тии, это можно сделать только при боль пом. объеме в ыборки. Поэтому, говорят не вообще о случайных событиях, а о массовых случайных с эбытиях, понимая под массовостью многократную повторяемость.
В обычной жизни мы часто называем одно событие очень, вероясным, а другое маловероятном; при возможности многократнэго повторения испытаний это означает, что первое с< -бытие будет происходить часто, а второе - редко. Важнейшей чертой теории вероятностей является то, что в ней говорится не просто о большой или малой вероятности события, а о точном численном значении этой вероятности. Таким образом, верояписть считаете; величиной, характеризующей частоту наступления события при многократном повторен аи испытаний.
В тастоящем пособии излагаются элементы: теории вероятности: понятия класс веской, статистической, геометрической версязиосш, теоремы сложения и умножения в:ро-ятностей понятие повторных независимых испытаний, теоремы, применяемые для расчетов вероятности при повторных независимых истпятаниях: формулы Бернулли и Лангаса,
5
понятия условная вероятность, формулы полной вероятности и Байеса. Основное внимание в пособии уделяется практической стороне дела; рассмотрены примеры решения задач. Теоретический материал приводится в справочной форме, необходимой для решения задач по этим темам. Кроме того, в пособии приведены тренировочные контрольные работы, составленные таким образом, чтобы прояснить изучаемые понятия и свойства, разобраться с закономерностями, встречающимися в более сложных задачах, предлагаемых на зачете, экзамене.
Контрольные работы могут быть использованы преподавателями на практических занятиях со студентами в группах.
6
Практичес»:»'; занятие Jfel.
Те ла: Основные понятия теории вероягностей.
Цепь: дать определение основных понятий теории вероятностей, опре делить предмет теории вероятностей.
Теоретичеасиз положения.
Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных явлений.
В научных исследованиях, на практике мы часто встречаемся с явлениями мнсго-кратао повторяющимися в неизменных условиях. Несмотря на постоянство основного комплекса условий, результаты их всегда болэе или менее разнятся друг от друга, т.е. они испытываот случайное рассеивание. Сказываются случайные факторы (случайные вибрации отдельных частей прибора, различные неучитываемые измерения в среде и т.д.).
Результат каждого отдельного измерения при наличии случайного рассеивания заранее невозможно предсказать, но это не ознагает, что нет никаких закономерностей.
Пр:г очень большом числе случайных явлеггай средний и?: результат практически перестает быть случайным. Поэтому в теорш вероятностей рассматриваются массовые однородю хе случайные явления.
Событием называется результат испъпания, происходящий в определенных условиях.
Сщ чайное событие - событие, которое при осуществлении совокупности условий может либ о произойти, либо не произойти.
Наг римср, возможность выпадения любой грани кубика, любой стороны монеты -это случайные события.
Невозможное событие - событие, которое заведомо ие произойдет, если будет осуществиггься определенная совокупность условий.
Например, вода никогда не закипит при t° -~20 и нормальном атмосферном Делении.
Достоверное со€-ытие - сх»быгие, которэе обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий.
Например, вода всегда будет находиться в жидком состоянии при 1° ~30 н нормальном ai мосферном давлении.
Неовместные события — события, появление одного из которых исключает появление друг 1х в одном и том же испытании.
Например, выпадение одновременно 2 и 3 очков на гранях одного кубика при одном бросании.
Совместные события - события, появление одного из которых не исключает появление других в одном и том же испытании.
Например, событие В — появление 4 очков (4 четное число) при бросании игральной кости, и событие А - появление четного числа очков. А и В совместные события.
Равновозможные события — события, при которых есть основание считать, что ни одно из них не является более вероятным, чем другое.
Например, выпадение любой грани кубика при одном бросании это равновозможные события.
Единственно возможные события таковы, что одно из них непременно должно иметь место при испытании.
Например, из урны с 10 шарами обязательно можно достать 1 шар.
Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. То есть появление хотя бы одного из событий полной группы событий есть достоверное событие.
Число всех равновозможных, несовместных и единственно возможных событий, которые могут оказаться исходом единичного испытания в данных условиях называется числом всех равновозможных случаев или полной группой событий данного испытания. Число всех исходов единичного испытания из числа всех равновозможных случаев, в которых осущестзияется данное событие (т.е. событие, о вероятности которого идет речь) -называется числом случаев, благоприятствующих наступлению события.
Противоположные события это два единственно возможных события, образующих полную группу.
Например, попадание и промах - два противоположных события.
7
Пример 1,2. Назвать противоположные события:
I) А - «три попадания при трех выстрелах»
А - «хотя бы один промах»;
2) В - «не более двух попаданий при шести выстрелах»
В - «не менее четырех попаданий при шеста выстрелах»;
3) С - «хотя бы одно попадание при пята выстрелах»
С - «пять промахов»;
4) Д - «выигрыш первого игрока при игре в шахматы» Д - «выигрыш второго игрока или ничья».
противоположные равновозможные
Р bq=l Р(А) + Р(А)==1 Р(А0 = Р(А₂)
Пример 1.1. Указать совместные и несовместные события и опыте:
1) два выстрела по мишени:
А - ни одного попадания;
В - одно попадание;
С - два попадания;
Д - нет промаха;
Н - есть хотя бы одно попадгшие.
РЕШЕНИЕ: Несовместгные: 1) А и В Совместные: I) В и Н
2)АиС 2)СиД
3)АиД 3)СиН
4)АнН 4)ДнН
5)ВиС
2) Указал 5 какое событие какому благоприятствует (т.е. событие А благоприятствует событию В, если из того, что произсшло событие А следует, что произошло событие В, те. Ас В).
1. ВсС 4. ДсС
2 ССН 5. ДСН
3. СсД 6.из4. и 3. следует, что С = Д
9
10
11ра1сгичес1»:о1‘ занятие № 2.
legal Основные зависимости комбинаторики. Классическое определение вероятности.
Це/ ь: научить студентов применять элементы комбинаторики при решении зада¹ по теории вероятности.
Теоретические положения.
Ко мбинаторика — раздел математики, занимающейся решением задач, в которых производится подсчет различных соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу.
Основные виды соединений:
1) размещение;
/) перестановка;
2) сочетание.
Ра 1мегцениями называются соединение, составленные ИЗ п элементов по т элем ен-тов, которые отмечаются либо составом элементов, либо их порядком расположения.
Число всех возможных размещений рассчитывается по формуле:
4? = n(n-J)(n-2)...(n-m + l) (2.1)
Ч.'
траз
или Л" =7---Л7 <²-²)
(n-m)l
Пе остановкам а называются соединеъия, состоящие из одних и тех же т р!1злич-ных элементов и отличающиеся только порядком расположения.
Число всех возможных перестановок
Р„ = т\ (2.3)
Сояетаниями называются соединения составленные из ли различных элеменгов по т элеь ентов, которые отличаются хотя бь. однягм элементом (то есть составом элементов).
Чи ;ло всех возможных сочетаний:
Св.езь мез
остановок и сочетаний
(2-5)
Замечание: п1 = 1-2-3-4-.... -(и-2)(«-7)«и;
б!=/.2-3-4-56;
/!=/;
01=1.
Элементы комбинаторики используются для решения задач по теории вероятности.
Классической вероятностью или вероятностью называется число, характеризующее степень возможности появления события.
Формула классической вероятности имеет вид:
„ т
Р = —, (2.6)
п
грн т - число благоприятствующих исходов,
к — общее число всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу
Вертятность - это некоторое положительное число, заключенное в отрезке [б;/] Статистической вероятностью (частостью) появления данного события называется отношение числа появления этого события, при испытании к общему числу испытаний (фактически проведенных)
W=-.
п
Зная величину возможного уклонения частости от вероятности, можно принять частость за приближенную величину вероятности данного события.
Уклонение частости от вероятности укажет на ту погрешность, которую мы допустим, приняв частость за вероятность. На возможности определения величины уклонения частости от вероятности основано практическое применение теории вероятности к различным наукам.
В приведенных в сборнике задачах рассматривается классическая вероятность. В дальнейшем мы будем называть ее вероятностью, и иметь в виду вероятность некоторого события до проведения испытания.
При расчете количества благоприятных исходов т и общего количества всех возможных исходов п, часто применяются формулы комбинаторики, приведенные ранее.
В следующем практическом занятии будет рассмотрена геометрическая вероятность, которая является также прогнозируемой вероятностно, т.е. рассчитанной до проведения испытания. Однако она применяется в случае бесконечного числа элементарных
11
исходов, для преодоления некоторых недостатков классического определения вероягно-сти.
Определение вероятности
1) Класа ческое определение 2) Статистическое определение
"вероятность” (до опыта) "частость" ( после опыта)
Пример 2Л, В ящике лежат 20 одинаковых иа ощупь шаров. Из них 14 белых и 6 черных. Наудачу вынимают два шара. Какова вероятность того, чго оба они белые? Какова вероята ость того, что они разного цвета?
а) стандартная деталь
б) нестандартная деталь
РЕШЕНИЕ:
утеряна
а) 1) п=21+10 - 1 — 30 (д) - всего деталей осталось после потери одной;
2) гп = 21 - I = 20 (д) - количество деталей стандартных, которые остались после \\ утери и извлечения одной стандартной.
р _ 20 _ 2 извлечено
А "зо"з
б)1)п = 30(д)
2) гл = 30 - 20 = 10 (д) - количество деталей нестандартных
14!__
Р;₌ Q ₌ 2^2f ₌
С’1 _____20!___2П21-20! 190
2!-(20-2)!
14-6!__
₂₎ р - С'< . с’ = 1)11(6 -I) ₌ 14 6 _ 42
с» ‘ ___ !90 ~ 95
21(20-2)
2
или Р„ =1---в 3
Свойства верой ности события
I) Р(А)~1
2) Р(А) = 0
3) 0 < Р < 1
т.к. Р, +Р, =1.
Р(А) + Р(А)=!
Пример 2 2. Их шеста, букв разрезной азбуки составлено слово ’ теория". Какова версят-иость того, что, рассыпав эти буквы, мы соберем их в произвольном порядке и получим то же слово?
Р = -6!
1
720
Пример 23. При перевозке ящика, в котором содержалась 21 стандартная деталь н 10 нестандартных. Утеряна 1 детгль, причем неизвестно какая. Наудачу лз-влеченная деталь оказалась тгавдартной. Найти вероятность того, »гго утеряна:
14
13
Контрольная работа № 1
по темам
«Комбинаторика», «Классическое определение вероятности»
1 вариант
1. Груш а учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на попеделы ик, если в этот день недели должно быть 4 различи гх дисциплины?
РЕШЕНИЕ: Число способов, которыми можно составить расписание занятий, равно числу размещений из 7 элементов по 4, т.е. А* (т.к. мы можем: не только комбинировать ме-ждУ-СО&гё 4 раз личе,ых предмета, но и заменять, один или несколько из них на другие из 7 и составлять все новые и новые соединения).
А* = 7 - 6 - 5 • 4 = 840 (способов)
2. Сколы» матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команда встречаются между со той один раз.
РЕШЕНИЕ: Матчей состоится столько, сколько существует двухэлементных подмножеств из множества, состоящего из 16 элементов, т.е. их С,₆, (размещение мы нспол >зо-вать не можем, т.к. по условию каждые две команда встречаются между собой тогько один раз).
16*
С,. ~ ⁼г 120 (матчей) “ 2!-14!
З. В брюаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среда обладателей билетов окажутся 2 женщины и 2 мужчины.
РЕШЕНИЕ: Общее число элементарных исходов можно рассчитать как число сочетаний, которые ложно составить из 7 элементов пс 4 (7 элементов, т.к. общее количество человек 7 4 женщины + 3 мужчины).
При этом число благоприятных событий равно произведению сочетаний: С₄ - количество комбинаций из 4 женщин по 2 человека и С² - количество комбинаций из 3 мужчин по
2 человека.
-А₌₆.
2»-2!
—=з. 2!-2!
18
35’
4. В команде из 12 спортсменов 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают 3 спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные мастера спорта?
РЕШЕНИЕ:
1 способ. Вероятность равна отношению сочетаний благоприятных исходов к общему числу всех элементарных исходов
5!
р с’, . 3!-2! Ю_1
С’ 12! 220 22
3!-9!
2 способ. Данную задачу можно решить, используя понятие условной вероятности и теорему о произведении зависимых событий
Р=Р(А)Рд(В)Рдв(С),где
Р(А) - вероятность того, что первый из отобранных будет мастером спорта.
Р(А) = - 12
Ра (В)-вероятность того, что при выполнении первого условия и второй будет мастером спорта.
Рл (/;) = — (одного уже отобрали)
Рав (С)—вероятность того, что при выполнении первых двух условий и третий будет мастером, спорта.
Рав (О = ~ (ДОУ* уже отобрали)
» 5 4 3
Итак: Р = —— • — • —
12 II 10
1
22
15
5. В лот грее 2000 билетов. На один билет падает выигрыш: 100 рублей, на четыре - г о 50 рублей, за 10 - по 20 рублей, на 20 - по 10 рублей, иа 165 - по 5 рублей, иа 400 — ио 1 рублю, < стальные билеты невыигрышные. Иакова вероятность выиграть по билету нс: менее Юр.'блей? РЕШЕН 4Е: Общее число всех элементариьх исходов равно п — 2000, тоги,а число исходов благоприятствующих этому событию равно ni=l+4+l 0+20=35 6. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах, рояля, е( ли каждое звукосочетание может содержать от 3 до 10 звуков. РЕШЕНИЕ: Для каждого звукосочетания клавиши нажимаются одновременно, поэтому для К звуков имеем С]₀ звукосочетаний, те. сумма всех звукосочетаний от и (по условию каждое звукосочетание содержит от 3 до 10 звуков). с³ + С* + С⁵ + Г* + С¹ + С* + С⁹ 4- гю =■ '"ю о т '-то т '"ю + т '-'го т г Ио 10! 10! 10! 10! 10! 10! 10! 10! — ------}------1-----+ ----1------1----г-------1— ---== 968 3!-7! 4!-6! 5!-5! 6! 4! 7!-3! 8!-2! 91-1! 1(М! 7. Порядок выступления 8 участников конк/рса определяется жребием. Сколько раз тинных исхс дов жеребьевки при этом возможно? РЕШЕНИЕ: т.е. надо найти число перестановок из 8 жребиев по 8 участников. Pg=8! 8. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три и располаг потея в ряд в порядке появления Какова вероятность, что получится слово «ДВА»? РЕШЕНИЕ: Общее число исходов равно чиету размещений из 5 букв по 3 (в данном случае нас иттересуюткак соединения, получающиеся перегруппировкой 3 из 3 , так соединения , в которых заменяется одна или несколько букв). Число благоприятных исходов равно 1, -.к, нет повторяющихся букв по условию. Итак: Р = 1_ ₌ J_ 5! 60 2! 9. Ребенок играет с четырьмя буквами разрезной азбуки А, А, М, М. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «МАМА»? РЕШЕНИЕ: Общее число всех возможных исходов равно числу перестановок (по условию мы имеем четыре буквы и из них же всех должны составить слово). Число благоприятных исходов равно числу размещений по 2 элемента с повторениями из 2 элементов,т.е. А[ = 2² =4. Также число благоприятных исходов можно рассчитать простым перебором. Действительно возможны следующие варианты: МАЛ£4, М4МА, МАМА, МАМА 17 18
2вариант
(для самостоятельного решения) (с указаниями)
1. Сколы ими способами собрание, состоящее из 30 человек, может выбрать из присутствующих президиум в составе председателя, секретаря и члена президиума?
ОТВЕТ: Л₃₀ = 24360
2. Сколько четырехзначных чисел можно со навить из четырех цифр 1,2,3,4 без повторений?
ОТВЕТ: Р< =24
3. Сколькими способами можно распределит). 12 человек по бригадам, если в каждой по 6 человек?
ОТВЕТ: С‘ =924
4. В киас< е 30 учеников. На контрольной рибэте 6 учеников получили «5», десять - «4» и девять - <3». Какова вероятность того, что все три ученика, вызванные к доске, имеют неудовлетворительные оценки по контрольной работе?
ОТВЕТ: Р = -—
406
5. В ящике лежат 20 одинаковых на ощупь паров. Из ешх 12 белых и 8 черных. Наудачу вынимаю’ ■ два шара. Какова вероятность того, что они разного цвета?
С²
OIBET: 1) /> = —£- = 0,35
Сг
*-'20
С²
2)p=-s--c; =о,5
с²
*-'20
6. На шеей одинаковых карточках написаны буквы А, В, К.. М, О, С. Карточки распопа-гаются на /гад в ряд. Какова вероятность того, что полечится слово «МОСКВА»?
ОТВЕТ: Р = —
720
7. В ящике лежат 7 одинаковых на ощупь шаров с номерами от 1 до 7. Наудачу вынимают шар. Определить вероятность того, что это шар с номером 6.
ОТВЕТ: Р = 7
8. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти цифр. Угадать номер удалось только на последней попытке. Сколько попыток предшествовало удачной?
ОТВЕТ: (Л;/ =124
9. Команда по плаванию из 5 человек выступает на соревнованиях, в которых занято еще 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые членами этой команды?
ОТВЕТ: A*ₛ =6375600
19