Об одном семействе систем ортогональных функций с ограниченным модулем спектральной плотности

УДК 517.5
А.Н. Дегтярев, доц., канд. техн. наук
Севастопольский национальный технический университет
ул.Университетская 33,  г. Севастополь, Украина, 99053
root@sevgtu.sebastopol.ua
ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ СИСТЕМ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ С 
ОГРАНИЧЕННЫМ МОДУЛЕМ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Доказано, что эквидистантные функции с ограниченным модулем спектральной плот
ности ортогональны с весом в виде четного тригонометрического полинома.

Введение. В работе [1] были определены весовые функции, с которыми ортогональны на 

бесконечном интервале функции вида 
n
n

n

m
m
t

m
t
t

)
(

)
(
sin
)
(
для n=1, 2, 3. Так, функции вида 

)
(

)
(
sin
)
(
m
t

m
t
t
m
ортогональны с весом равным 1; функции вида 
2
2

2

)
(

)
(
sin
)
(

m
t

m
t
t
m
ортого
нальны с весом 
t
2
sin
4
3
; функции вида 
3
3

3

)
(

)
(
sin
)
(

m
t

m
t
t
m
ортогональны с весом 

t
2
sin
7
24

7
20
. 

Представляет интерес доказать, что функции вида 
n
n

n

m
m
t

m
t
t

)
(

)
(
sin
)
(
, а также функции 

вида 
n
n

n
K

n

n
m
m
t

m
t
g
t

)
(

)
(
sin
)
(

1

, где n и m – целые числа, ортогональны с весом, который может 

быть представлен в виде  тригонометрического полинома по четным степеням 
t
sin
:

t
a
t
a
t
a
a
Q

Q sin
...
sin
sin
4

4

2

2
1
,

причем максимальная степень полинома Q определяется показателем степени n.

1. Вес ортогональности функций вида 
n
n

n

m
m
t

m
t
t

)
(

)
(
sin
)
(
.

Теорема 1. Функции вида 
n
n

n

m
m
t

m
t
t

)
(

)
(
sin
)
(
, где и m – целые числа, ортогональны на 

бесконечном интервале изменения аргумента с весом 

1
4

)1
(
1

2

1

)
2

)1
(
1
(

1

1

)
(sin
)
(

n

i
n

i

i

i
t
a
t
h
, где 
ia –

коэффициенты тригонометрического полинома.

Доказательство. Запишем условие ортогональности функций 
n
n

n

m
m
t

m
t
t

)
(

)
(
sin
)
(
с весовой 

функцией в виде полинома по степеням 
t
sin
:

.0
,0
d
sin

)
(

)
(
sin

)
(

sin

,1
d
sin

)
(

sin

0

0

2

2

m
t
t
a

m
t

m
t

t

t

t
t
a

t

t

N

k

k

k
n
n

n

n

n

N

k

k

k
n

n

(1)

Используя тригонометрическое тождество

,
sin
)1
(
sin
)1
(
)
sin
cos
cos
(sin
)
(
sin
t
t
m
t
m
t
m
t
n
mn
n
m
n
n

равенство (1) можно переписать в виде

.0
,0
d

)
(

sin
)1
(

,1
d

)
(

sin

0

2

2

0

2

2

m
t

m
t
t

t
a

t

t

t
a

N

k

n
n
n

k
n
mn

k

N

k

n

k
n

k

(2)

Из первого равенства системы (2) видно, что если k принимает нечетные значения, то 

интеграл 
t

t

t

n

k
n

d

)
(

sin

2

2

обращается в нуль как интеграл от нечетной функции с симметричны
ми пределами интегрирования. Следовательно, для выполнения первого равенства системы 
(2) необходимо принять k четным числом. 

Преобразуем интеграл, входящий во второе равенство системы (2): 

.
d

)
(
sin
...
d

)
(
sin
d
sin

d
sin
...
d
sin
d
sin
d

)
(

sin

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

t

m
t

t
B
t

m
t

t
B
t
m
t

t
B

t

t

t
A
t

t

t
A
t
t

t
A
t

m
t
t

t

n

k
n

n

k
n
k
n

n

k
n

n

k
n
k
n

n
n

k
n

Поскольку 
)
(
sin
)
sin(
m
t
t
, то справедливо равенство

.
d
sin
)
(
...
d
sin
)
(
d
sin
)
(
d

)
(

sin
2

2

2

2
2

2

1
1

2

t

t

t
B
A
t

t

t
B
A
t
t

t
B
A
t

m
t
t

t

n

k
n

n
n

k
n
k
n

n
n

k
n

(3)

С учетом того, что интегралы от нечетных функций по симметричным пределам интег
рирования равны нулю, для четных значений n из (3) получим:

.
d
sin
)
(
...
d
sin
)
(
d
sin
)
(
d

)
(

sin
2

4

2

4
4
2

2

2
2

2

t

t

t
B
A
t

t

t
B
A
t

t

t
B
A
t

m
t
t

t

n

k
n

n
n

k
n
k
n

n
n

k
n

(4)

В этом случае количество слагаемых, которые входят в правую часть равенства (4) равно 

2
n .

Аналогично для нечетных значений n из равенства (3) будем иметь

.
d
sin
)
(
...
d
sin
)
(
d
sin
)
(
d

)
(

sin

1

2

1
1
4

2

4
4
2

2

2
2

2

t

t

t
B
A
t

t

t
B
A
t

t

t
B
A
t

m
t
t

t

n

k
n

n
n

k
n
k
n

n
n

k
n

(5)

В правую часть выражения (5) входит 
2

1
n
слагаемое. Таким образом, для любых значе
ний n правая часть равенства (3) состоит из 

4

)1
(
1

2
4

)1
(
1
2
1
n
n
n
n
M
(6)

слагаемых.

Обозначая 
k
k
k
B
A
C
, с учетом (6) второе уравнение системы (2) перепишем в виде

.0
d
sin
...
d
sin
d
sin

...
d
sin
...
d
sin
d
sin

d
sin
...
d
sin
d
sin

2

4

2

4
2

2

2

2
2

4

2
2

4
2

2
2

2
1

2

4

2

4
2

2

2
0

t

t

t
C
t

t

t
C
t

t

t
C
a

t

t

t
C
t

t

t
C
t

t

t
C
a

t

t

t
C
t

t

t
C
t

t

t
C
a

M

N
n

M

N
n
N
n

N

M

n

M

n
n

M

n

M

n
n

Для того чтобы данное выражение было тождеством положим

.0
d
sin
...
d
sin
d
sin

....
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........

,0
d
sin
...
d
sin
d
sin

,0
d
sin
...
d
sin
d
sin

2
2
2

1

2

0

4

2

4

2
2

1
4

2

0

2

2

2

2
2

1
2

2

0

t

t

t
a
t

t

t
a
t

t

t
a

t

t

t
a
t

t

t
a
t

t

t
a

t

t

t
a
t

t

t
a
t

t

t
a

M

N
n

N
M

n

M

n

N
n

N

n
n

N
n

N

n
n

(7)

Выражение (7) представляет собой систему из M линейных алгебраических уравнений  с 

N неизвестными 
ia . Для того, чтобы данная система уравнений была полной, дополним ее 

первым уравнением из системы равенств (2). Тогда 

1
4

)1
(
1

2
1
4

)1
(
1
2
1

1
n
n
n
n
M
N
.
(8)

Таким образом, весовая функция может быть представлена тригонометрическим поли
номом по четным степеням функции 
t
sin
. Максимальное количество слагаемых N, состав
ляющих весовую функцию, определяется формулой (8). Степень гармонических составляющих весовой функции может быть определена через показатель степени ортогонализуемых 
функций как 
2

)1
(
1
1
n

n
Q
.

Теорема доказана.

2. Вес ортогональности функций вида
n
n

n
K

n

n
m
m
t

m
t
g
t

)
(

)
(
sin
)
(

1

.

Можно показать, что вес ортогональности функций вида 
n
n

n
K

n

n
m
m
t

m
t
g
t

)
(

)
(
sin
)
(

1

имеет 

вид тригонометрического полинома по четным степеням 
t
sin
, причем степень этого поли
нома определяется числом K.

Действительно, составим уравнения для определения неизвестных коэффициентов 
k
a

веса 

N

k

k

k
t
a

0

sin
ортогональности функций
n
n

n
K

n

n
m
m
t

m
t
g
t

)
(

)
(
sin
)
(

1

. 

.0
,0
d
sin

)
(

)
(
sin

)
(

sin

,1
d
sin

)
(

sin

0
1
1

0

2

1

m
t
t
a

m
t

m
t
g

t

t
g

t
t
a

t

t
g

N

k

k

k

K

n

n
n

n

n

K

n

n

n

n

N

k

k

k

K

n

n

n

n

Раскрывая произведения под знаками интегралов, меняя местами операции интегрирова
ния и сложения, учитывая равенство (3) и свойства четности или нечетности подынтегральных функций, можно записать систему уравнений для определения коэффициентов 
k
a , ана
логичную системе (7).

Выводы.

1. Функции вида 
n
n

n

m
m
t

m
t
t

)
(

)
(
sin
)
(
, где n – целое число, ортогональны на бесконечном ин
тервале изменения аргумента с весом 

1
4

)1
(
1

2

1

)
2

)1
(
1
(

1

1

)
(sin
)
(

n

i
n

i

i

i
t
a
t
h
, где 
ia – коэффици
енты тригонометрического полинома.

2. Функции вида
n
n

n
K

n

n
m
m
t

m
t
g
t

)
(

)
(
sin
)
(

1

, где m и n – целые числа, ортогональны на беско

нечном интервале изменения аргумента с весом

1
4

)1
(
1

2

1

)
2

)1
(
1
(

1

1

)
(sin
)
(

K

i
K

i

i

i
t
a
t
h
, где 
ia –

коэффициенты тригонометрического полинома.

Библиографический список 
1. Дегтярев А.Н. Дополнительные свойства специальных функций / А.Н. Дегтярев // 

Вестник СевГТУ. Сер. Физика и математика: сб. науч. тр. – Севастополь, 2007. – Вып. 85. –
С. 105 – 114.